Chapter 3 정상 열전도
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 열저항에 대한 개념과 응용 범위의 이해 및 실제적인 열전도 문제에 있 어서 열저항 회로를 개발한다.
2. 다층 직사각형, 원통형 및 구형 형상에 있어서 정상상태 열전도 문제에 대해 해석한다.
3. 열접촉 저항 및 그 중요성이 강조되는 경우에 대해 이해한다.
4. 단열이 실질적으로 열전달을 증가시키는 조건에 대해 이해한다.
5. 휜이 부착된 표면의 해석, 그리고 휜이 효율적이고 효과적으로 열전달 을 증가시키는 방법에 대한 평가를 한다.
6. 열전도 형상 인자를 이용한 실제적인 다차원 열전도 문제를 해석한다.
Q(W) R(℃/W)
전도 Qcond.wall =
Rwall = L kA
대류 Qconv =
∞
Rconv = 1 hA
복사
Qrad = εσA(- ) = hradA(– )
=
[
]
Rrad = 1 hA
3.1 평면벽에서의 정상 열전도
t열전달률 일반식
Qcond.wall = kA
(W) t열저항 개념
t열저항 회로
-양쪽에 대류가 있는 평면벽을 통한 열전달에 대한 열저항
Rconv.1 Rwall Rconv.2
t열전달률 =
∞ ∞
t저항 Rtotal = Rconv.1 + Rwall + Rconv.2 =
+ L
kA +
t다층 평면벽
Rconv.1 Rwall.1 Rwall.2 Rconv.2
k1
k2
R1
R2 temperat
ure drop L a y e r
Layer 1 L a y e r Layer 2
2 interface
temperatur e
no temperat ure
T1=T2
△T T1
T2
t저항 Rtotal = Rconv.1 + Rwall.1 + Rwall.2 + Rconv.2 =
+
+
+
3.2 열접촉 저항
-접촉면은 공기의 작은 열전도에 의해 단열 작용을 하는 여러 크기의 많은 공극을 가진다. 그 러므로 접촉면은 열전달에 약간의 열저항을 제공하고 이러한 접촉면의 단위 면적당 열저항.
∆interface hc = Q/A
ΔTinterface (W/㎡℃) Rc = 1/hc = ΔTinterface
Q/A (㎡℃/W)
3.3 열저항 회로의 일반화
t저항의 병렬연결
=
=
+
---> Rtotal =
t직렬-병렬 배열에 대한 열저항 회로
=
∞
Rtotal = Rmid + R3 + Rconv =
+ R3 + Rconv
K1
K2 K3
R R
R R
c o
R1 =
, R2 =
, R3 =
,
Rconv =
3.4 원형관과 구에서의 열전도
(W)
=
(W)
Rcyl =
ln
= ln (바깥반지름/안반지름) 2π(길이)(열전도도) =
∆
[ Alm =
ln
]
cond.sph =
Rsph =
= 바깥반지름-안반지름
4π(바깥반지름)(안반지름)(열전도도) =
∆
[ Agm = A1A2 ]
t안쪽과 바깥쪽의 양면에서부터 대류가 일어나는 원통형과 구 셀에 대한 열저항 회로
(1) 원통형
Q =
∞ ∞
Rtotal = Rconv.1 + Rcyl + Rconv.2 =
+ ln
+
(2) 구형
Q =
∞ ∞
Rtotal = Rconv.1 + Rsph + Rconv.2 =
+
+
3.5 임계 단열 반지름
임계 단열 반지름은 단열재의 열전도도 k와 외부의 대류열전달계수 h에 의존.
∞
ln
∞
(W)
r
cr.cylinder = kh (m)
r
cr.max =m in
m ax
(m)
구형쉘에 대한 임계 단열반경 같은 방법으로 다음과 같이 표시될 수 있다.
r
cr.sphere = 2k h3.6 휜 표면으로부터의 열전달
tNewton 의 냉각법칙
Q = hAs(Ts -T∞)
t휜 방정식
where, a2 = hp
kAc (p:접수길이 , θ=Ts -T∞ )
(1). 무한히 긴 휜( Tfin tip = T∞ )
휜 끝에서의 경계조건 : L--->∞ , θ(L)=T(L) - T∞ =0 무한히 긴 휜 : T(x)-T(∞)
T(b)-T(∞) = Exp(-x hp/kAc)
P= 접수길이, AC= 휜의 단면적, x= 휜 바닥으로부터의 거리
(2). 휜 끝으로부터의 열손실 무시(단열된 휜 끝, Qfin.top = 0 ) t휜 끝에서의 경계조건 : dθ
dx x=L = 0
t단열된 휜 끝 : T(x)-T(∞)
T(b)-T(∞) = cosh .a(L-x) cosh .aL
휜으로부터의.실제.열전달률
휜.전체의.온도가.바닥의.온도와.같다고.가정할때.휜에서의.이상적인.열.전달률 Qinsulated tip =
= hp/kAc (Tb -T∞) tanh.aL
(3). 휜 끝으로부터의 대류 (또는 대류와 복사의 조합)
t수정 휜 길이 Lc = L + Ac
p where, P : 휜 끝에서의 접수길이 사각형이나 원통형으로된 휜의 수정 길이
Lc, rectangular fin = L + t
2 , Lc, cylinderical fin = L + D 4 where, t: 사각형 휜의 두께 , D : 원통형 휜의 지름
t휜 효율
Qfin.max = hAfin(Tb -T∞) ηfin = Q(fin)
Q(fin. max ) =
Qfin = ηfin Qfin.max = ηfin hAfin(Tb -T∞)
ηlong tip = Q(fin)
Q(fin. max ) = 1 aL
ηinsulated tip = Q(fin)
Q(fin.max) = tanh.aL aL t휜 유효도
εfin = Q(fin)
Q(no.fin) = Q(fin) hA(Tb-T∞)
εfin = A(fin)η(fin) A(b)
( )( )
( )
totalfin unfin fin fin b
finoverroll
nofin b totalnofin
Q h A A T T
hA T T Q
e h
¥¥
+ -
= =
-
�
�
( ) tanh
tanh
( )
fin C b
c b
longfin
Q hpkA T T aL
aL hpkA T T
Q
¥
¥
= - =
-
�
�
( )
( )
fin C b
longfin
b b c
nofin
Q hpkA T T kp
hA T T hA
Q
e
¥¥
= = - =
-
�
�
t정상상태에서 균일한 단면을 가지는 길이가 충분한 긴 휜에서의 열전달률
t총괄유효도
적절한 휜 길이
유한한 길이의 휜에서의 열전달과 동일한 조건의 무한히 긴 휜에서의 열전달 비교
열전달 비:
3.7 일반 형태에서의 열전달
두 표면 사이의 정상 열전달률은
S= 전도형상계수[m], k= 표면 사이 매체의 열전도도 (전도형상계수는 시스템의 형상에만 의존한다.)
전도형상계수는 몇몇 일반적인 경우에 다음 표 3-8에 주어졌다.
예제 3.1 벽을 통한 열손실
높이 3m, 폭 5m 그리고 두께 0.3m 인 벽. 벽의 내부와 외부의 온도차가 각각 16℃ , 2℃
로 측정. 벽을 통한 열 손실을 구하여라
물성치
벽 열전도도 k = 0.9W/mk
가정
1. 벽을 통한 열전달은 정상상태이다.
2. 1차원 열전달이다.
3. 열전도도는 일정하다.
풀이
×
×
예제 3.2 한 장의 유리창문을 통한 열손실
높이 0.8m, 폭 1.5m 그리고 두께 8mm 인 유리창문.
창문 밖의 온도가 - 10℃ 이고 방안의 온도가 20℃로 유지됨.
유리창문을 통한 정상 열전달률과 내부 표면의 온도를 구하라.
복사의 영향을 포함한 창문의 안쪽과 바깥쪽의 열전달계수는 각각 h1 = 10W/m2k , h2 = 40W/m2k 이다.
물성치
열전도도 k = 0.78W/mk 이고 안쪽 열전달계수 h1 = 10W/m2k 바깥쪽 열전달계수는 h2 = 40W/m2k
가정
1. 유리창문을 통한 열전달은 정상상태이다.
2. 1차원 열전달이다.
3. 열전도도는 일정하다.
풀이
×
총 열 저항 구하기
유리를 통한 정상 열전달률
∞
∞
유리창문의 내부 표면온도
∞
⇒
∞
예제 3.3 2중 유리창을 통한 열손실
높이 0.8m, 폭 1.5m 두께 4mm 인 2중 유리창문과 그 안의 폭 10mm의 공기층을 생각.
2중 유리창문을 통한 정상 열전달률과 밖의 온도가 -10℃이고, 방안의 온도가 20℃로 유지될 때 안쪽 유리창문 표면의 온도를 구하라.
물성치
유리창문 k = 0.78W/mk 공기층 k = 0.026W/mk
유리창문의 안쪽 열전달계수 h1 = 10W/m2k 유리창문의 바깥쪽 열전달계수 h2 = 40W/m2k
가정
1. 유리창문을 통한 열전달은 정상상태이다.
2. 1차원 열전달이다.
3. 열전도도는 일정하다.
풀이
×
총 열 저항 구하기
유리를 통한 정상 열전달률
∞
∞
유리 내부 표면온도
∞
⇒
∞
예제 3.4 접촉저항에 대한 등가 두께
1cm 두께 두 개의 알루미늄 평판의 열 접촉 컨덕턴스는 11000W/m2k. 열 저항이 평판 사이 접촉면의 열저항과 같은 알루미늄의 두께를 구하라
물성치
알루미늄의 열전도계수 k = 237W/m2k
풀이
×
평판의 열저항
알루미늄의 두께
×
예제 3.5 트랜지스터의 접촉저항
알루미늄케이스에 들어있는 네 개의 동일한 동력 트랜지스터
두께 1cm , 가로 20cm, 세로 20cm의 사각형 구리판에 평균 6MPa 압력의 나사로 부탁되 어 있다. 각 트랜지스터의 밑면적은 , 평판의 10cm × 10cm 인 네 면의 각 중심에 부착 접촉면의 거칠기는 약 1.5 μm. 모든 트랜지스터의 접합점에서 발생되는 모든 열은 구리판 의 뒷면을 통과 20℃의 공기로 소산.
트랜지스터 케이스의 온도가 70℃를 넘지 않을 때, 각 트랜지스터에서 열이 안전하게 소산될 수 있는 최대 동력과 케이스와 평판의 접촉면에서의 온도상승을 구하라.
물성치
구리판 k = 386W/mk
뒷면의 복합열전달 계수 25W/m2k 열접촉 컨덕턴스 hc = 42000W/m2k
가정
1. 정상상태에서 작동
2. 평판의 면적이 트랜지스터 바닥면보다 크므로 1차원 열전도 문제로 본다.
3. 모든 열은 평판의 뒷면을 통해서 소산된다.
4. 열전도도는 일정하다.
풀이
×
×
총 열 저항 구하기
×
열전달률
∆
접촉면의 온도상승
∆
예제 3-6 복합 열을 통한 열손실
높이 3m, 폭 5m의 벽이 두께 3cm의 플라스틱 층으로 분리된 16cmX20cm의 단면을 가지는 수평벽돌로 구성. 그림과 같이 벽돌 각각의 면은 2cm 두께의 플라스터 층으로 덮여 있고, 벽 의 내부 면은 3cm 두께의 강성포말로 되어있음.
물성치
플라스터 k=0.22W/mK 수평벽돌 k=0.72W/mK 강성포말 k=0.026W/mK
실내온도 20℃, · 실외온도 -10℃, ·
가정
1.복사에 의한 열전달 무시 할 수 있다.
2.1차원 열전달이라 가정
풀이
각각의 부분에서 저항값을 구해주면
ⓘ ① ②
③
④ ⑥
⑤
3 2 16 2
1.5 22
1.5
· ·
℃
성 포 말
· ·
℃
플 라 스 터 벽
· ·
℃
플 라 스 터 중 심 벽
· ·
℃
벽 돌
· ·
℃
· ·
℃
저항 3,4,5는 병렬구조이기 때문에
℃
℃
℃
℃
따라서 ℃
총 저항의 값은
℃
유리창을 통한 정상 열전달 값은
∞ ∞
벽면 전체의 표면적은 · 이기 때문에
·
예제 3-7 구형 용기로의 열전달
내경이 3m, 두께가 2cm인 스테인리스 강 용기에 온도 ℃ 인 얼음이 저장되어있음 이 용기는 ∞ ℃ 인 방에 있음. 이 방벽의 온도는 22℃, 외부는 검은색 용기의 바깥표 면과 주위와의 열전달은 자연대류와 복사에 의해 일어남
(a)용기에서 얼음으로의 열전달률은?
(b)24시간동안 녹은 0℃ 얼음의 양은?
물성치
스테인리스 강 k=15W/mK 내부표면 · 외부표면 ·
얼음의 융해열 해 열 용기의 검은표면 방사율
가정
1. 정상상태이다.
2. 1차원이다.
3. 열전도도 일정하다.
풀이
(a)
용기의 내경은 3m, 외경은 3.04m 각각의 표면적은
복사열전달계수는
∞ ∞
문제에 값을 주어주지 않았기 때문에 위의 식으로는 값을 구할 수 없다. 따라서 값 을 가정하여 구한 뒤 다시 대입하여 값이 맞는지 확인하여야 함.
0℃ < < 22℃이고, 복사열전달계수 내부값이 더 크기 때문에 은 0℃에 더 가까울 것.
값을 5℃=278K로 가정함
·
℃
℃
℃
℃
외부표면은 대류와 복사에의해서만 열전달이 생기므로
외 부
℃
따라서 외 부 ℃
총 저항의 값은
외 부
℃
정상상태에서 얼음으로의 열전달률은
∞ ∞
처음의 가정값의 타당성을 검토하기위해 식을 다시 세움
∞ 외 부
℃
℃
5℃로 가정한 값과 별 차이가 안남
(b)24시간동안 총 열전달량은
∆ ·
얼음의 융해열은 333.7KJ/Kg이므로
얼 음
융 해 열
예제 3.8단열된 증기관을 통한 열손실
℃ 인 증기가 내경 D1 = 5cm, 외경 D2 = 5.5cm인 주철관 안으로 흐름
관은 두께 3cm인 유리솜 단열재로 둘러싸여 있음. 열은 복합열전달계수 h2 = 18W/m2k인 자연대류와 복사에 의해서 ∞ ℃ 인 주위로 손실. 관 내부의 열전달계수 h2 = 60W/mk 라고 할 때, 증기로부터 관의 단위길이당 열손실률과 단열재와 관을 통한 온도강하를 구하라.
물성치
주철관 k=80W/mk
유리솜 단열재 k=0.05W/mk
가정
1. 시간에 따른 열변화가 없으므로 열전달은 정상상태이다.
2. 축방향으로 변화가 없고 중심선에 대해 대칭으므로 1차원 열전달 문제이다.
3. 열전도도는 일정하다.
4. 접촉면에서 열접촉저항은 무시한다.
풀이
L = 1m 일 때
열저항은
ln
ln
ln
ln
증기로부터의 열손실률은
∞ ∞
단열재와 관을 통한 온도강하는
∆ 이 프 파 이 프 ×
∆ ×
예제 3-9 단열된 전선에서의 열손실
열전도도 k=0.15 , 두께 2mm인 플라스틱 덮개로 싸여있는 직경 3mm, 길이 5m인 전선전선은 10A의 전류가 흐르고 8V의 전압강하. 열전달계수 h=12
이고 온도
∞=30℃인 매체에 노출. 정상상태에서의 전선과 플라스틱 덮개의 접촉면에서의 온도는?
가정
1. 정상상태 2. 1차원 열전달 3. 열전도도 일정
4. 접촉면에서의 열접촉저항 무시
물성치
k=0.15
풀이
ln
ln
℃
℃
℃
∞→
∞
℃ ℃ ℃예제 3-10 트랜지스터의 최대동력 소산
동열저항이 ℃ 인 동력 트랜지스터의 케이스의 온도가 ℃를 넘지 않아야함.
주위온도 ℃에서 작동될때의 동력은?
물성치
열저항 ℃
가정
1. 정상 조건에서 작동
2. 트랜지스터 케이스는 등온이다.
풀이
∞
예제 3-11 트랜지스터에서 열싱크 선택
60W 동력트랜지스터의 케이스온도를 주위 공기온도 30℃에서 90℃가 넘지 않도록 하는 열싱 크는?
가정
1. 정상 조건에서 작동한다.
2. 트랜지스터 케이스 온도는 90℃
3. 트랜지스터와 열싱크 사이의 접촉저항은 무시
풀이
∆
→
∆
℃
∴저항이 1.0℃/W인 저항을 선택!
예제 3-12 가변 단면 휜으로 부터의 열전달
휜 표면온도 200℃. 휜의 길이 20mm, 휜 바닥 지름 5mm, 휜 주변온도 25℃.
대류열전달계수 , 휜의 열전도도
. 휜 효율, 열전달률, 각 휜의 유효도는?가정
1. 정상상태 2. 1차원 열전달 3. 열물성치 일정
물성치
k=
풀이
×
한 개의 휜에 대한 열 전달률은
∞ ×
휜 유효도
∞
예제 3-13 매설된 증기관으로부터의 열손실
지역 난방시스템의 길이 30m, 지름 10cm의 온수관이 지표에서 50cm아래 흙속에 매설됨.
관으로부터의 열손실률은?
물성치
외부표면온도 0℃
지표온도 10℃
흙의 열전도도 k=0.9W/mK
가정
1. 정상상태 2. 2차원
3. 흙의 열전도도는 일정
풀이
형상계수는 표 3-7의 (1)을 참고하여 알아냄
ln
Z > 1.5D이고
이 값을 대입하면
ln ·
·
따라서
℃
예제 3-14 온수관과 냉수관 사이의 열전달
두 관의 지름 5cm, 길이 5m, 관의 중심선 사이 거리 30cm, 각 관의 표면온도 각각 70℃, 15℃
콘크리트의 열전도도 k=0.5W/m*k, 관 사이의 열 전달률?
가정
1. 정상상태 2. 2차원 열전달 3. 열전도도 일정
풀이
cosh
cosh
예제 3-15 동절기 벽을 통한 열손실 비용
벽 높이 3m, 단열 R = = 2.3 ( · ℃) 두 벽의 길이 12m, 9m. Ti = 25℃
내부벽 표면 hi = 8.29 (W/m· ℃ )
동절기 풍속 24km/h 일 때 외부벽 표면 h0 = 34.0 (W/m
· ℃ )
(a) T∞= 7℃ 일 때 벽을 통한 열손실?
(b) 전기료 $0.075/kWh 일 때 열손실 비용?
가정
1. Ti ,T∞ = 일정, 정상상태 2. 1차원 열전달
풀이
A = 둘레 * 높이 = (2*9m + 2*12m)(3m) = 126m Ri = Rconv,i =
=
· ℃
= 0.00096 ℃
Rwall =
=
=
· ℃
= 0.01825 ℃ Ro = Rconv,o =
=
· ℃
= 0.00023 ℃
Rtotal = Ri + Rwall + Ro = 0.00096 + 0.01825 + 0.00023 = 0.01944 ℃
열전달률 =
∞ ∞
= ℃
℃
= 925.9 W 24시간동안 총 열손실량과 비용
Q = ∆ = (0.9259kW)(24-h/day) = 22.2 kWh/day 비용 = (22.2kWh/day)($0.075/kWh) = $1.67/day
