제 2 장 축하중을 받는 부재

제 2 장 축하중을 받는 부재

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 02-2

제 2 장 축하중을 받는 부재

2.1 소개

- 인장과 압축만을 받는 구조물: 축하중을 받는 부재

- 트러스, 엔진 연결봉, 자전거 스포크, 건물 기둥, 항공기 지주 등등 - 축방향 변형(길이 변화)의 산정

- 부정정 구조물

- 온도효과 및 열응력, 열변형률

- 경사면의 응력(Stresses on Inclined Sections) - 변형에너지의 계산

- 충격하중

- 피로(Fatigue) 및 이완(relaxation) - 응력집중(Stress Concentrations)

- 비선형 거동(Nonlinear Behavior, Elastoplastic Analysis)

2.2 축하

- 코일 스

 스프링 스프링의 늘어난 길 - 선형탄

P  k 

k

_{; 강성}

f

_{; 유연}

강성도와

k P

   f _  _

하중을 받는

스프링으로 모

링

의 길이

L

; (변 길이



; 신장 탄성일 경우(하

1

 _{  } ^{ } k

 

도(Stiffness);

연도(flexibility 와 유연도는 서

1

 f

_{; 강성도}

 1

_{; 유연도}

는 부재의 길

모델링

변형 이전) 장량

하중과 신장량

P f P

  



; 힘 / 단위길 y); 신장량 /

서로 역수의

도 혹은 스프링 도 혹은 컴플라

길이 변화

량은 비례)

길이

단위하중 관계

링 상수 (Spr 라이언스 (Co

ring Constan

ompliance) t)

Mechanic

 균일단

균일 단면 단면적

 단면의

cs of Materials

단면봉

면봉: 전체 길 적이 일정

의 형상은 다

s, 7

^th

ed., Jame

길이에 걸쳐

다양할 수 있음

es M. Gere &

재료의 성질

음

Barry J. Goo

질과

dno

제 2 장

축하중을 받

Page

받는 부재

e 02-4

단축하중

P ,

  A

재료가 선

  E 

EA

; 봉의

k P

   f P

  

중의 응력, 변

L

  

선형 탄성이면



P

A E L

 

의 축강도 (a

EA

 L

_{; 강성도}

L

 EA

_{; 유연}

형률;

면 Hooke 의

L





P

  E

axial rigidity)

도 도

법칙을 따름

PL EA

)

름

Mechanic

 케이블

- 큰 인장 - 굽힘에

- 나선형 - 케이블 - 유효면

 케이

cs of Materials

블 (Cable)

장력 하지만 에 대한 저항이

으로 꼬아진 블의 단면적은 면적은 케이블

이블의 탄성계

s, 7

^th

ed., Jame

압축력은 전 이 아주 약함

진 6 개의 가닥 은 각각의 와이 블과 같은 지름

계수 (유효계

es M. Gere &

전달하지 못함 함

닥을 중앙의 이어들의 전체 름을 갖는 원 계수) < 재료의

Barry J. Goo

함

가닥 주위에 체 단면적과 원의 면적보다

의 탄성계수

dno

에 다시 꼬아서

동일  유효 다 작음

제 2 장

서 제작  와

효면적 or 금

축하중을 받

Page 와이어 로프 금속면적

받는 부재

e 02-6

 예제 문제

AB

길이 스프링 상 행어의 무 포인터

C

2-1

이

b  10.5

상수

k  4.2

무게

W  2 C

_{가 포인터}

in

_,

BC

_길

2 lb/in

_너트

lb

_{가 점}

A

표지로 돌아

길이

c  6.4

트의 피치

p

의 행어에 작 아오기 위한

in

1/16 in



작용할 때 너트의 회전전수

제 2 장 축하중을 받는 부재

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 02-8 풀이

그림 (b)의 FBD 에서

점

B

에 대한 모멘트 평형조건 

Fc  Wb

_

^{F Wb}

 c

이에 상응하는 스프링 신장량



는

F Wb k ck

  

너트의 회전수를

n

이라 하면,

Wb np    ck

너트의 회전수는

Wb

n  ckp

_

수치를 대입하면

(2 lb)(10.5 in)

12.5 revolutions (6.4 in)(4.2 lb / in)(1/16 in)

n Wb

 ckp  

_

 예제 문제

45 AB 

4 BD  Area

BD

점

A

의

2-2

50 mm, BC 80 mm, CE

1020 mm



변위가

1.0

225 mm C 

600 mm E 

m ,

2

Area

_CE

 0 mm

_{로 제한}

m m

520 mm

2



한되기 위한

, 205 E  G

최대허용하중

GPa

중

P

_{를 구구하라.}

Mechanic

풀이

자유물체

M

B





F

vert



부재

BD

부재

CE

cs of Materials

체도 (b)에서

 0

_

450

 0

_

 P D

의 변위

 E

_{의 변위}



s, 7

^th

ed., Jame

0 P  225 F

_C

BD CE

P  F  F

BD B BD

BD

F L

  EA

CE CE CE

CE

F L

  EA

es M. Gere &

CE 

F

CE



E

 0

_

F (3 (205 G

BD D

 P

(2 (205 GP

E

 P

Barry J. Goo

 2P

BD

3

F  P )(480 mm GPa)(1020 m

P

)(600 mm) Pa)(520 mm

dno

2

m) 6.88

mm ) 

2

11.26 m ) 

제 2 장

87 P  10 m

^6

10 mm

6

P 

^

축하중을 받

Page

mm

_(압축)

m

_(인장)

받는 부재

e 02-10

그림 (c)의

A A A C

  

 





^A



제한값



의 변위도에서

B B B C

 

 

^

4 11.26 10 450 225

 P 



1.0 mm



A



서 삼각형의

450 225

A CE

   



0

^6

 6.887 m

_{로 하고}

P

닮음;

 A A 

225

BD CE

  



7 10

6

1 225 P 

^

 P

에 대해 풀

A C     B B 

1.26 P  10

^

풀면 된다.

P B C  

6

max

2

P  P  23, 200 N

_

Mechanic

2.3 비균

 봉의 하중이 변

 구간별 변형산

AB

구간

BC

_구간

CD

_구간

각각의 구

1 1

N L

  EA

전체 길이

3

1 i

 



 

cs of Materials

균일 상태에

중간에 하중 변화하는 경우 별로 나누어 산정후 합성 간

N

1

  P

B

간

N

2

 P

C



간

N

3

 P

D _,

구간에서 길이

1 2

2

L N

A   E

이 변화는

1 2



i

    

s, 7

^th

ed., Jame

에서의 길이

이 작용할 때 우의 변형량

작용하는 하

C D

P P

 

_,

P

D



_{, 길이}

L

길이

L

3

이변화는,

2 2

3

N L

EA   E



3



es M. Gere &

변화

때 계산 하중에 대한

길이

L

1

L

2

3 3

N L EA

Barry J. Goo

dno

제 2 장

축하중을 받

Page

받는 부재

e 02-12

 균일한

- 단면적

 구간별

1 n

i





 

한 단면 부분

과 길이가 다 별로 나누어

i i i i

N L

 E A

으로 구성된

다른 균일단면 작용하는 하

봉

면봉이 조립된 하중, 단면적을

된 경우의 일 을 통해 변형

일반식:

형량 산정후 합합성

Mechanic

 연속적

그림 (c)의

전체 봉의 적분을 해

 제한 선형 탄성

cs of Materials

적으로 변하는

의 미소요소

의 신장량은 해석적으로 구

성재료, 응력

s, 7

^th

ed., Jame

는 하중 또는

dx

_{의 신장}

윗 식을 적분 구할 수 없는

분포가 전체

es M. Gere &

는 치수를 가진

량

N

d   E

분하여 구함 는 경우 수치해

단면적에 대

Barry J. Goo

진 봉

( ) ( ) N x dx

EA x

0 L

d

   

해석 방법을

대해 균일한

dno

0

( ) (

L

N x d

  EA x

사용함.

경우. (테이퍼

제 2 장

) dx x

퍼단면에서는

축하중을 받

Page 는 오차발생)

받는 부재

e 02-14

 예제 문제

1

20.

L  28 i a 

1

210

P 

2-3

.0 in, A

1

 0 in, b  25 00 lb, P

2

 5

2

0.25 in , L

2

in, 29.0 E  5600 lb

_{일 때}

2

 34.8 in, 0 10 psi 

6

때 점

C

_에서

2

0.15 in A 

서의 수직변위

n

2

위



C _{구하기기.}

Mechanic

풀이

cs of Materials

그림 (c

R

A

 P N

2

 P

길이변화

s, 7

^th

ed., Jame

c)에서 수직방

3 1

500

P   P

1

2100 lb P 

화는

(

i

 



 



es M. Gere &

방향 힘의 평

00 lb  2100 b

_(인장,

BC

2

1

6

( 2900 lb (29.0 10 p

0.0080 in

i i

i i i

N L N E A E









 



Barry J. Goo

그림

P

3

형조건에서

0 lb  2900 C

_{구간에 작용}

1 1 2 2

1 2

b)(20.0 in) psi)(0.25 in

0.0168 in N L N L

EA  EA



dno

(b)에서 점

2

(5

P b

 a 

lb  N

1 _(압

용하는 힘)

2

(21 ) (29.0

0.0088 in

 



제 2 장

D

에 대한 모

600 lb)(25.

28.0 in

압축,

AB

구간

6

00 lb)(34.8 10 psi)(0.

n



축하중을 받

Page 모멘트 평형조

0 in)

 500

간에 작용하는

2

8 in) .15 in )

받는 부재

e 02-16 조건에서

00 lb

는 힘)



 예제 문제

원형 단면 우측 끝점 자유단

A

양끝

A ,

하중

P

2-4

면적의 길이가 점

B

에서 지

A

에서 인장

B

_{에서의 지}

에 의한 봉의

가

L

인 완만 지지됨

하중

P

를 받 지름은

d

_A

, d

의 신장량 구

만한 테이퍼

받고 있다.

d

B_이다.

구하기.

봉

AB

제 2 장 축하중을 받는 부재

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 02-18 풀이

삼각형의 닮음 조건에서 ^{A A}

B B

L d

L  d

(a) 원점에서

x

만큼 떨어진 점에서는

( )

A A

d x x

d  L

_

( )

^A

A

d x d x

 L

_

( ) ^{[ ( )]}

^{2 2}₂ ²

4 4

A A

d x A x d x

L



  

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(4 ) 4 4 4

( ) 1 1 1

( ) ( )

B

B B

A A

A

L L L

A A A A

L L

A A A L A A B

Pdx L PL PL PL

N x dx dx

EA x E d x Ed x Ed x Ed L L

    

 

 

                 

여기서

1 1

_{B A}

A B A B A B

L L L

L L L L L L

  

  

 

 

^이므로

2

4

_A

A B

L PL Ed L

 

 

  

 

, 여기에 식 (a)를 대입하면

4

A B

PL

 Ed d

 

_

(Note-1) 중앙부분에서의 단면적을 갖는 균일 단면봉의 신장량과는 다름.

(Note-2) 특수한 경우 (균일단면봉),

d

A

 d

B

 d

_{인 경우}

4PL

₂

PL Ed EA

 ^  ^

2.4 부정

정정 구조 - 반 - 힘 - 미

부정정 구 - 반 - 미 - 추

정정봉 :

정정 구조물

조물 (statica 력과 부재력 (반력 등)은 지 반력의 개

구조물 (stati 력과 내부 축 지 반력의 개 가적인 식 (변

미지반력 :

물

lly determina 을 자유물체 은 재료의 성질

개수와 구할

cally indeter 축력은 평형방 개수가 구할

변위에 관계된

R, 평형조건

ate structure 도와 평형방 질을 알지 못

수 있는 평형

rminate struc 방정식 만으로

수 있는 평형 된 적합방정

식 : ∑ 0 e)

방정식만으로 못해도 구할 수

형방정식의 수

cture)

로는 구할 수 형방정식의 수

식)이 필요함

0 ;

결정 가능 수 있음 수가 일치

수 없음 수보다 많음 함

정정봉봉 부정정정봉

Mechanic

- 평형방



- 미지의 봉 전체

 적합

- 식 (b) (힘-변위



AB



(a), (e)를

A

R Pb

 L

C A

  

cs of Materials

방정식

vert

0 F 



반력이 2 개 체의 길이변화

AB

0

 

합방정식(equ

를

R

_A

, R

_B

위의 관계)

AC CB

 

  

를 연립하여 풀

_B

b Pa

L R  L

A C

R a EA L

 

s, 7

^th

ed., Jame

A B

R   P R

개 이므로 추 화가 없음

(b) uation of com

로 표현하여

A B

R a R b EA EA

 

풀면, (미지수

a

Pab LEA

es M. Gere &

B

 0

_(a)

추가의 식이 필

mpatibility)

여야 함

b 0

A 

수=2, 식의 수

Barry J. Goo

필요

(e) 수=2)

dno

제 2 장

축하중을 받

Page

받는 부재

e 02-20

 일반적 유의사항

부정정 시스템을 풀기 위해 다음의 3 가지 조건이 사용됨 (1) 평형방정식: 정역학 / 동역학 방정식

(2) 적합방정식: 기하방정식 / 운동학 방정식 / 변형방정식

(3) 힘-변위 관계식: 구성관계식 : 재료의 구성/물리적 성질에 관한 조건 위의 식은 구조역학의 원리를 나타내는 3 가지 기본식

부정정 시스템을 풀기 위한 2 가지 방법

(1) 유연도 방법 (하중 방법) : flexibility method (force method) 먼저 구하는 미지수가 하중, 하중을 유연도를 사용하여 표현

(2) 강성도 방법 (변위 방법) : stiffness method (displacement method) 먼저 구하는 미지수가 변위, 변위를 강성도를 사용하여 표현

Mechanic

 예제 문제

길이

L

의 (a) (b) (c)

cs of Materials

2-5

의 원형 강철 ) 강철/구리

) 이에 상응 ) 조립체의

s, 7

^th

ed., Jame

철 실린더

S

리 실린더 각 응하는 압축응 의 줄어든 길이

es M. Gere &

( E

_S

, A

_S

)

_가

각각에 작용하 응력

 

_S

,

이



구하기

Barry J. Goo

가 속이 빈 원 하는 압축력



C_구하기

dno

원형 구리 관

S

,

C

P P

_구하

제 2 장

(

_C

,

_C

C E A

하기

축하중을 받

Page

C

)

안에 들어

받는 부재

e 02-22

있다.

풀이

평형조건식

 F

vert

 0 P

_S

 P

_C

  P 0

식은 1 개이나 미지수가 , 로 2 개  부정정구조 (가해진 하중 P 는 주어지는 값) 강철과 구리의 변형량은 동일.

해석방법-1: 유연도법 (하중법)

(a) 평형방정식

 F

vert

 0 P

_S

 P

_C

  P 0

^(f)

적합방정식



S

 

C _(g)

힘-변위 관계식 _S ^S

,

_C ^C

S S C C

P L P L

E A E A

   

_(h,i)

(h,i)를 (g)에 대입 ^{S C}

S S C C

P L P L

E A  E A

(j)  힘을 미지수로 유연도를 계수로 (f),(j)를 연립하면

S S

C C

S C

S S C C S S C C

E A E A

P P P P

E A E A E A E A

   

           

(2-11a,b) 

S S C C

P PE P PE

     

제 2 장 축하중을 받는 부재

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Page 02-24 Note: 응력비

 

_S

/

_C

 E

_S

/ E

_C

(c) 조립체의 줄어든 길이는 강철/구리 동일하다.

^{S C}

S S C C S S C C

P L P L PL

E A E A E A E A

   



^

해석방법-2: 강성도법 (변위법) (h),(j)를 힘에 대해 풀어쓰면

S S

C C

S S C C

E A E A

P P

L  L 

 

_(k,l)

이 식을 평형방정식 (f)에 대입하면

S S C C

S C

E A E A

L   L   P

(m)  변위를 미지수로 강성도를 계수로 함 적합방정식 (g)와 (m)을 연립하여 풀면,

S C

S S C C

PL E A E A

   



⁽ⁿ⁾

 예제 문제 (a) 와이어 각각

P

에 (b) 알루

E

1

 d

1



마그

E

2

 d

2



일 때 2-6

어

CD

_,

_EF

각

 

1

,

2 _일

에 대한 공식 미뉸 와이어

72 GPa, 



4.0 mm, L



그네슘 와이어

45 GPa, 



3.0 mm, L



때 허용하중

F

의 허용응 때 허용하중 구하기

CD

_는

1

200 M

 

1

0.40 m L 

어

EF

는

2

175 M

 

2

0.30 m L 

P

구하기

력이 중

Pa m

MPa

m

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Page 02-26 풀이

자유물체도 (b)에서 미지수 4 개

( , , T T

1 2

R

_H

, R

_V

)

, 평형방정식 3 개  부정정 시스템 - 평형방정식:

 M

_A

 0 T b

1

 T

2

(2 ) b  P b (3 )  0 or T

1

 2 T

2

 3 P

^(o)

Note: 수평/수직방향 힘의 평형식은

T T

1

,

2 계산에 사용되지 않음.

- 적합방정식: 변위도 (c)에서



2

 2 

1 _(p)

- 힘-변위 관계식

^{1 1 1 1 1 2 2 2 2 2}

1 1 2 2

T L T L

f T f T

E A E A

     

_(s,t)

여기서 유연도 ^{1 1 2 2}

1 1 2 2

L L

f f

E A E A

 

_{를 사용함 (q,r)}

(s,t)를 (p)에 대입하면

2 2

2

1 1

f T  f T

_(u)

평형방정식 (o)와 (u)는 힘을 미지수로 함 (유연도법). 이 식들을 연립하면,

2 1

1 2

1 2 1 2

3 6

4 4

f P f P

T T

f f f f

 

 

^(v,w)

이 식들을 (s,t)에 대입하면 신장량을 구할 수 있음.

(a)

CD

의 응력 ^{1 1 2}

1 1 1 2

3 4

T P f

A A f f

   ^    ^  

^

1 1 1 2

1

2

(4 )

3

A f f

P f

 



_{(2-14a) }

EF

의 응력 ^{2 2 1}

2 2 1 2

6

4

T P f

A A f f

   ^    ^  

^

2 2 1 2

2

2

(4 )

6

A f f

P f

 



_{(2-14b) }

(b)

A

1

  d

1²

/ 4   (4.0 mm ) / 4

²

 12.57 mm

²

A

2

  d

2²

/ 4   (3.0 mm ) / 4

²

 7.069 mm

²

^{1 1 2 6}

1 1

0.40 m

0.4420 10 m / N (72 GPa)(12.57 mm )

f L

E A

   



2 6

2 2

2 2

0.30 m

0.9437 10 m / N (45 GPa)(7.069 mm )

f L

E A

   



(2-14)식에서



1

 200 MPa

_,



₂

 175 MPa

_이므로

P

₁

 2.41 kN P

₂

 1.26 kN

이 중 작은 값은

P

allow

 1.26 kN

_

Mechanic

2.5 열효

온도변화

 열효과 온도변화 열을 가하

T

(

  



T _{: 열변}



: 열팽 단위

  E 

cs of Materials

효과, 어긋남

화로 인한 열효  보통

과

화  열응력(

하면 모든 방

(  T )

변형률 (팽창은 팽창계수 (Coe

위는 온도의

( T )

 

_{; 온도}

s, 7

^th

ed., Jame

남, 사전변형

효과 / 불완전 통 부정정 구

(thermal stre 방향으로 열변

은 양, 수축은 efficient of th

역수

(1/ K

도변화에 대한

es M. Gere &

형

전성에 의한 구조물의 설계

ess) / 열변형 변형률이 발생

은 음)

hermal expa

, 1/ C, 1/

^o

한 응력의 상응

Barry J. Goo

어긋남 / 초 계에서 중요

형률(thermal s 생함

nsion)

/ F)

^o

응하는 값 (열

dno

초기변형

strain)을 발생

열하중)

제 2 장

생시킴

축하중을 받

Page

받는 부재

e 02-28

T T

L

  

구조물은

정정구조

( ) L    T L

은 균일하게 가

조물: 각각의 새로운 (부재의  열응

L

_{(온도-변위}

가열되며 자유

부재가 수축 조인트의 위 변형이 자유 응력이 발생하

위 관계식) 유롭게 수축/

축/팽창한 후 위치가 결정됨

유로움) 하지 않음

(2-16) /팽창함

됨

Mechanic

부정정 구 - 일부부

변형이

 응력 - 일반적 - 해석을 평형방 온도-변

cs of Materials

구조물:

부재가 열효과 이 있을 경우

력 발생 으로 균일한 을 수행할 때, 방정식, 적합방

변위 관계식이

s, 7

^th

ed., Jame

과, 어긋남, 사

타 부재에 의

한 온도변화에

방정식, 힘-변 이 필요함.

es M. Gere &

사전변형에 의 의해 변형이

에 대해서도 열

변위관계식에

Barry J. Goo

의해

구속됨

열응력 발생함

추가하여

dno

함

제 2 장

축하중을 받

Page

받는 부재

e 02-30

 예제 문제 봉의 온도 풀이 2 개의 하

1) 온 2) 반

평형방정

F

vert



적합방정

AB T

  

변위관계

   (

2-7

도가

 T

만큼

하중으로 분리 온도증가에 따 반력에 의한 압

정식

0 R

_B

R

 

정식

T R

0

   

계식

(  T L )

큼 증가할 때

리하여 생각함 따른 팽창 (그

압축 (그림(c)

A

0

R 

_(부정

때 열응력



T

함

그림 (b)) ))

정정) (a)

(b,c)

(d)

T 구하기

제 2 장 축하중을 받는 부재

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 02-32

A R

R L

  EA

_(e)

방정식의 해: (d),(e)를 (c)에 대입하여 구함

( )

^A

0

T R

T L R L

       EA 

_(f)

(f),(a)를 연립하여 풀면

( )

A B

R  R  EA   T

_(2-17)  봉의 길이에 무관

( )

A B

T

R R

E T

A B

     

_(2-18)  봉의 길이와 단면적에 무관

Note)

그림 (b) : 이완구조 (정정구조) R : 잉여력

* 하중(예제에서는 온도변화)에 의한 이완구조의 A 점의 변위=잉여력에 의한 A 점의 변위의 조건으로부터 잉여력을 구한다.

 어긋남 구조물의

 어긋남 사전변 사전응

의도적으 - PC

정정구조 - 자동 - 개

남과 사전변형 의 길이가 정확

남 (misfit)이 변형률 (pres 응력 (prestre

으로 사용되기 C (Prestressed

조물

동적으로 어 별 봉에 변형

형

확하게 제작되 유발됨

train) ess)

기도 함 d Concrete)

긋남이 조정 형률이나 응력

되지 않았을

되어 설계형 력이 발생하지

경우

상과 다르게 지 않음.

게 조립됨

Mechanic

부정정구

- 어긋 - 변

예)

CD

CD

조립

어긋남과 - 온도 - 그 - 평

cs of Materials

구조물

긋남에 대해 형률이나 응

의 길이가 이

D

는 압축이 되 립이 가능해짐

과 사전변형률 도변화에 대

결과도 상응 형방정식, 적

s, 7

^th

ed., Jame

자유롭게 조 력이 발생함

이론치 보다 되고

EF

는 짐.

률의 해석 한 해석방법 응하는 상태를 적합방정식, 힘

es M. Gere &

조정이 불가능 함

크게 제작되 인장이 되어

과 유사함 를 대응시킬 힘-변위 관계

Barry J. Goo

능

되면 어야

수 있음 식, 온도-변위

dno

위 관계식을

제 2 장

이용하여 해

축하중을 받

Page 해석을 수행함

받는 부재

e 02-34 함