제 2 장 인장 및 압축

제 2 장 인장 및 압축

하중을 받고 있는 구조물은 힘의 종류에 따라 인장, 압축, 전단, 비틀림 및 굽힘으로 나눈다. 그 구조물을 구성하고 있는 각 부재의 역학적 거동을 파악하는 것이며, 이것을 다루는 것이 바로 재료(고체)역학이다.

공업역학(정역학이나 동역학)에서는 주로 질점(質點)이나 강체(剛體)에 작용하는 힘과 운동을 다루지만 고체역학에서는 하중을 받아 탄성변형을 일으키는 변형체 내부에 생기는 응력과 변형률을 취급한다.

본 장에서는 물체에 인장, 압축과 같은 힘이 작용할 때 재료내부에서 발 생되는 응력(應力)과 변형률(變形率)의 개념을 자유물체도와 평형방정식 을 사용하여 이해한다. 또한 탄성체역학(彈性體力學)의 가장 기초가 되는 Hooke의 법칙과 그 응용을 다루고, 인장시험을 통한 재료의 기계적 성질 등을 파악한다.

학습목표

2-1 하중

(1) 작용방식에 따른 분류

① 축하중(axial load)

② 전단(剪斷)하중(shearing load)

③ 비틀림하중(twisting load)

④ 굽힘하중(bending load)

재료를 잡아당겨 늘리는 인장하중(tensile load, 引張荷重)과 재료를 압축하여 줄어들게 하는 압축하중(compressive load, 壓縮荷重)

하중의 작용선이 재료의 축선과 수직(단면과 평행)하게 물체를 자르는 형태로 작용하는 하중

축에 비틀림을 일으키는 하중;

비틀림모멘트(twisting moment)가 작용

재료의 축선에 수직으로 작용하여 굽힘을 일으키는 하중

 힘의 종류 (5가지)

[그림 2-1] 하중의 작용방식에 따른 분류

가. 정하중(static load, 靜荷重) (2) 작용시간에 따른 분류

나. 동하중(dynamic load, 動荷重)

① 사하중(dead load) : 자중(自重)과 같이 하중 크기와 작용방향이 일정한 경우

② 점가하중(gradually increased load) : 어떤 크기까지 하중이 점차적으로 서서히 증가하는 경우

① 반복하중(repeated load) :일정한 크기와 방향을 가진 하중이 반복되는 경우

② 교번하중(alternative load) :하중의 크기와 방향이 변화하면서 상호 연속적으로 반복되는 하중

③ 충격하중(impulsive load) :외력이 순간적으로 작용하여 재료에 충격을 주는 하중

(3) 분포상태에 따른 분류

나. 분포(分布)하중(distributed load) 가. 집중(集中)하중(concentrated load)

다. 이동(移動)하중(movable load);

하중이 한 점에 집중하여 작용하거나 아주 짧은 거리에 모여 작용하는 경우

하중이 일정한 길이 또는 면적에 분포되어 작용하는 경우

차량이 다리 위를 이동하는 것과 같이 하중의 작용점이 시간에 따라 변하는 경우

[그림 2-2] 하중의 분포상태에 따른 분류

2-2 인장응력과 인장변형률 2-2 인장응력과 인장변형률

0 :

0 ⋅ − =

∑ ^{P y} = ^{σ A P}

^(2-1)

임의 단면을 갖는 균일 단면봉이 축하중을 받을 때, 그 단면에 발생하는 응력은 식(2-1)에서 식 (2-2)와 같이 구해진다.

A

= P

σ

^(2-2)

그림 2-3 인장을 받는 균일단면봉

(a) 봉이 힘을 받아 늘어난 상태 (b) mn단면에서의 FBD

외력P가 작용하는 균일 단면봉의 단면 mn을 절단하여 자유물체도(free body diagram; FBD)를 그려보자. 그 러면 절단면에서는 뉴턴(Newton)의 제3법칙에 의하여 작용력(action force)과 반작용력(reaction force)은 같게 되므로 [그림(b)]와 같은 자유물체도에서 y방향 방향의 힘의 평형방정식을 적용시키면 식(2-1)을 얻을 수 있다.

 응력( stress , σ)

1. 정의

: 단위 면적당의 힘의 세기

2. 종류

인장응력(tensile stress) : 하중 P에 의해 봉이 신장되는 경우의 응력

압축응력(compressive stress) : 하중 P에 의해 봉이 압축되는 경우의 응력 수직응력( normal stress) : 단면에 수직인 응력

단순응력상태 : 인장 또는 압축만을 받을 때 횡단면에는 균일한 수직응력이 생기며, 이 수직응력의 합력이 P가 되는 응력상태

3. 단위

미터계 단위(Meter System Unit) :

USCS 단위(U.S. Customary System) : SI 단위(International System of Unit) :

2

2 , /

/ mm kgf cm kgf

) (

/ in

²

psi lb

GPa MPa

kPa Pa

Pascal m

N /

²

( , ), , ,

1psi는 약 7,000Pa이며, 1ksi=10³ psi, 1kPa=10³ psi, 1MPa=10⁶ Pa, 1GPa=10⁹Pa이다.

본서에서는 위의 3가지 단위계들을 혼용하여 사용함으로써 독자들이 여러 단위계에 익숙해지게 하고자 한다.

USCS(U.S. Customary System / unit)의 약자.

 변형률(strain, ε)

1. 정의

외력 P에 의해 길이 l인 봉이 힘의 방향으로 δ만큼 늘어났다고 가정 할 때, 원래 길이 l에 대한 신장량 δ의 비로 식(2-3)과 같이 정의된다.

l

ε = δ

^(2-3)

2. 종류

인장변형률(tensile strain) : 봉이 인장될 때의 변형률

압축변형률(compressive strain) : 봉이 압축될 때의 변형률 수직변형률(normal strain) : 수직응력과 관계되는 변형률

3. 단위

무차원량(dimensionless)으로서 어떤 단위계가 사용되던지 숫자로만 나타남  따라서 사용하기가 가장 용이함

제 3 장 전단

본 장에서는 절단기로 물체를 절단할 때와 같이 접선방향으로 작용하는

전단응력(Shearing stress)에 대해 알아보고 이때 일어나는 열 응력과

크리프(creep)를 알고 힘의 평형과 부정정 문제를 풀어본다.

학습목표

3-1 전단응력과 전단변형률

 전단응력(shearing stress, τ)

그림3-1 리벳의 전단

: 수평으로 전단하려는 전단력(shearing stress) P가 작용하여 리벳의 단면 ab에 발생하는 응력

2 2

( / , / ) P kgf cm N m

τ = A

^(3-1)

 단순전단(simple shear)

: 전단응력이 리벳을 직접 절단시키도록 된 경우

 이중전단(double shear)

:

전단은 평면 A를 아래위로 감싸는 평면 B에서 일어난다. 이 경우 리벳 B는 이중전단상태이다.

그림 3-2 U형 링크된 볼트의 이중전단 상태

2

F P

A A

τ = =

_(3-2)

P=2F

그림 3-3 리벳의 전단면의 확대

 순수전단(pure shear)상태

: 오직 전단응력의 영향을 받는상태.

전단응력에 의해 그림(a)의 정사각형은 그림(b)와 같이 마름모꼴로 변형된다.

이때, 상대적 변형량 δ는 다음 식과 같다.

tan

l l

δ = γ ≅ γ

 전단변형률(shearing strain, γ)

: 전단을 받을 때도 인장(압축)때와 같이 후크 법칙이 성립하며, 식(3-3)로 표현된다. γ는 단위길이에 대한 변화량(미끄럼량) 이므로 변화율이 된다.

τ = ⋅ G γ

 전단탄성계수 (shear modulus, G)

:

횡탄성계수

또는 강성율(modulus of rigidity)이라 하며, 재료의 탄성적 성질을 나타내는 중요한 정수.

Ex) 구조용강의 탄성계수

4 2

0.81 10 /

G = × kgf mm

10 2 11 2

0.81 10 9.8 / 0.79 10 / 79

G = × × N m = × N m = GPa

(미터계단위) (SI단위)

(3-3)

그림 3-4 짝힘으로 작용하는 전단응력

일반적으로, 재료의 요소에 작용하는 전단응력은 서로 직각을 이루는 면에서 그 크기가 같고 방향이 반대인 쪽으로 발생한다. 그림 3-4 에서 τ₁의 작용면에 수직인 면(BCGF)(ADHE)에도 τ₂가 존재하여 τ₂dy∙dz의 전단력이 생기고 , 이는

[(τ₂∙dy∙dz)∙dx]의 짝힘이 되어 식(3-4)처럼 서로 평형을 유지해야 한다.

1 2

( τ dxdy dz ) ⋅ = ( τ dydz dx ) ⋅

1 2

τ τ

∴ =

(3-4)

즉, 한 면에 τ가 있으면 이와 직각인 면에는 반드시 크기가 같고 작용방향이 반대인 τ가 존재한다.

[예제 3-1] 펀치를 사용해서, 두께 4mm의 연강판(軟鋼板)에 지름 15mm의 구멍을 내고 싶다. 필요한 하중 P 및 펀치에 작용하는 평균압축응력 σ를 구하라. 단, 연강의 전단강도 τ = 220MPa이다.

풀이 판의 두께 t, 원공의 지름 d라면 하중 P는 다음 식으로 된다.

그림 1

SI 단위로 고쳐 쓰면

윗 식에 대입하면 하중 P는 다음과 같이 된다.

평균압축응력 σ는 다음과 같다.

[예제 3-2] 그림 2처럼 네 개의 볼트에 의해 플렌지 이음을 한 두 개의 축에

비틀림 모멘트 To = 10kN∙m가 전달되고 있다. 볼트 중심거리d=150mm이면, 볼트(d_b = 20mm)에 걸리는 평균전단응력 τ는 얼마인가?

풀이 볼트 한 개에 걸리는 힘을 P, 볼트의 단면적을 A라 하면

0

2

T = ⋅ P d

₀

4

2 T p d ⋅

= ×

2

4 d

b

A ₌ π

0

0

2 2 2

2 2(10 )

2 106

(150 )(20 )

b b

T

T

P d kN m MPa

A d dd mm mm

τ π π π

∴ = = = = ⋅ =

(볼트 한 개에 대한 것) (볼트 네 개에 대한 것)

그림 2

FBD

제4장 비틀림(Torsion)

본 장에서는 동력을 전달하는 경우에 많이 생기는 비틀림(torsion)상태 를 배운다. 즉 기계의 축 또는 회전축의 응력과 변형률에 관계되는 식을 후크 법칙이 성립하는 탄성한계내에서 유도하며 임의 단면에 관한 비틀

림에 대해서도 알아본다.

학습목표

4-1 원봉의 비틀림

봉의 한 쪽 끝을 고정시키고 다른 쪽 끝을 비틀었을 때 상대적인 비틀림이 생기게 하는 모멘트를 비틀림모멘트(twisting moment)

또는 회전모멘트(torque)라 한다.

정의 -

그림 4-1 비틀림과 전단응력 (1)

1. 원형단면일 경우 비틀어진 후에 도 평면이고 원형단면이다.(단면

의 강체적 회전만 존재한다.) 2. 횡단면상의 반지름은 비틀어진

후에도 직선인 채로 있다.

가정 -

φ

: 비틀림각(angle of twist)

l γ ρφ

γ ≈ =

tan

^(4-1)

미소요소 dx 를 생각하면,

2 1

2

C B

C C ′′

γ =

dx d φ ρ

γ =

φ ρ d C

C

₂

′′ = dx C

B

_{1 2}

=

^이므로,

dx d φ θ =

단위길이당의 비틀림각(angle of twist per unit length) :

φ ρθ γ = ρ =

dx d

l ρθ ρφ

γ = =

(4-2)

(4-3) 순수비틀림

(pure torsion)

4-1 원봉의 비틀림

그림 4-1 비틀림과 전단응력 (2)

그림 4-2

식 (4-5)와 그림 4-2 (a) 에서 전단변형률 및 전단응력의 최대 값은 바깥 표면상에 존재함을 확인할 수 있다.

비틀림모멘트는 그림 (b)의 미소 원환요소에 작용하는 전단력 에 반지름을 곱한 것이므로 다음 식이 성립한다.

∫

∫ ^{⋅ ⋅ =} ∫ ^{⋅ = = ⋅}

=

^r

dA

^r

G dA G

^r

dA G I

_p

T

0

2

0

( τ ) ρ

0

ρθ ρ θ ρ θ

∫

= dA

I

_p

ρ

²

여기서,

식 (4-7)은 4-7절에서 다시 취급할 것이다.

ρθ γ

τ = G = G

_(4-5)

(4-7) (4-6)

4-1 원봉의 비틀림

GI

p

T l =

= φ θ

GI

p

=

Tl

φ

θ

GI

_p

= T

: 비틀림 강성(torsional rigidity)으로 축 강성 AE 에 대응된 다.

식 (4-9)는 후크의 법칙

AE

= Pl

δ

에 대응된다.

I r T

p

τ =

단,

2 32

4

4

r

I

_p

₌ π d ₌ π

d T Z

r T I

T

t p

max 3

16

τ = = = π

³ _max

16 τ π d T =

또는

단,

r

Z

_t

= I

^p :비틀림의 단면계수 (torsional section modulus)

(4-8)

(4-9)

(4-10)

(4-11)

4-1 원봉의 비틀림