5 지 선 다 형
1. log 일 때, 의 값은? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
2.
의 값은? [2점]① ② ③ ④ ⑤
3. 함수 tan
의 주기는? [3점]①
②
③ ④
⑤
4. 공차가 인 등차수열
의 첫째항부터 제항까지의 합이 일 때, 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
2021학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지
수학 영역
1
제 2 교시
2 수학 영역 고 3
2 20
5. 함수 의 그래프가 그림과 같다.
함수 가 에서 연속일 때, 의 값은?
(단, , 는 실수이다.) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
6. 곡선 위의 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB는 한 변의 길이가 인 정사각형의 대각선이다. 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
7. 두 함수 , 에 대하여 함수
가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
고 3 수학 영역 3
8. 보다 큰 상수 에 대하여 두 곡선
log
,
log
가 만나는 세 점 P, Q, R의 좌표를 각각 , ,이라 하자. 일 때, 의 값은?
(단, ) [3점]
①
②
③ ④
⑤
9. 수열
이 모든 자연수 에 대하여
을 만족시킬 때, 의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
10. 최고차항의 계수가 인 이차함수 와 보다 작은 실수
에 대하여 함수 가 에서만 미분가능하지 않다. 함수 의 극댓값이 일 때, 의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
4 수학 영역 고 3
4 20
11. 닫힌구간 에서 정의된 함수 는
sin
≤ ≤
sin
sin
≤
이다. 곡선 와 직선 sin
의 교점의 개수를 라 할 때, 의 값은? [4점]① ② ③ ④ ⑤
12. 곡선 위의 점 P 에서 원 에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. 삼각형 OAB의 넓이를
, 삼각형 PBA의 넓이를 라 할 때, lim
→
lim
→ ∞
의 값은? (단, O는 원점이고, 이다.) [4점]
① ②
③
④
⑤
고 3 수학 영역 5
13. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 와 역함수가 존재하는 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 에 대하여 이다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, , , 는 상수이다.) [4점]
< 보 기 >
ㄱ. ≤
ㄴ. 방정식 ′ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 방정식 ′ 이 실근을 가지면 ′ 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
14. 모든 자연수 에 대하여 직선 위의 점 P과 축 위의 점 Q이 다음 조건을 만족시킨다.
∙ 직선 PQ과 직선 이 서로 수직이다.
∙PQ PP 이고 점 P 의 좌표는 점 P의 좌표 보다 크다.
다음은 점 P이 원 과 직선 의 접점일 때, 이상의 모든 자연수 에 대하여 삼각형 OQP의 넓이를 구하는 과정이다. (단, O는 원점이다.)
자연수 에 대하여 점 Q을 지나고 직선 과 평행한 직선이 선분 P Q 과 만나는 점을 R 이라 하면 사각형 PQR P 은 정사각형이다.
직선 의 기울기가
이므로
R Q 가 × PP 이고
P Q
가
× PQ이다. 이때, PQ 이므로 PQ 나 이다.
그러므로 이상의 자연수 에 대하여
PP
PP 다이다. 따라서 이상의 자연수 에 대하여 삼각형 OQP의 넓이는
× PQ× PP
× 나 ×
다
이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각
, 이라 할 때, 의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
6 수학 영역 고 3
6 20
15. 최고차항의 계수가 이고 ′ 을 만족시키는 삼차함수 에 대하여 함수 를
∣
∣
≥ 라 하자. 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 의 개수가 일 때, 의 최댓값은? [4점]
① ②
③
④ ⑤
단답형
16. 함수 에 대하여 에서의 미분계수가
일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점]
17. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 ( ≥ )에서의 속도
가 일 때, 시각 에서 까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [3점]
고 3 수학 영역 7
18. 그림과 같이 이상의 자연수 에 대하여 두 곡선 ,
이 직선 과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 두 곡선
, 이 직선 와 만나는 점을 각각 C, D라 하자.
사다리꼴 ABDC의 넓이가 이하가 되도록 하는 모든 자연수
의 값의 합을 구하시오. [3점]
19. 수열
이 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나) 모든 자연수 에 대하여 이 성립한다.
일 때, 의 값을 구하시오. [3점]20. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 이고, 모든 실수 에 대하여 를 만족시킨다. 두 곡선
와 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때,
의 값을 구하시오. [4점]
8 수학 영역 고 3
8 20
21. AB , AC 인 예각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선과 삼각형 ABC의 외접원이 만나는 점을 D, 점 D에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E라 하자. 선분 AE의 길이를 라 할 때,
의 값을 구하시오. [4점]
22. 양수 에 대하여 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 에 대하여
이다.
(나) 함수 는 과 에서 미분가능하다.
의 값을 구하시오. [4점]
5 지 선 다 형
23.
의 값은? [2점]①
②
③ ④
⑤
24. 수열
에 대하여
∞ 일 때, → ∞lim 의값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
2021학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지
수학 영역 (미적분)
1
제 2 교시
2 수학 영역(미적분) 고 3
14 20
25. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 ( )에서의 위치
가
ln , ln
이다. 시각 에서 점 P의 속력은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
26. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원
이 있다. 호 BA 위에 점 C을 ∠BAC
가 되도록 잡고, 선분 AB를 지름으로 하는 반원 가 선분 AC과 접하도록 선분 AB 위에 점 A를 잡는다. 반원 와 선분 AC의 접점을 D이라 할 때, 두 선분 AA, AD과 호 DA로 둘러싸인 부분과 선분 CD과 두 호 BC, BD로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
이라 하자.
그림 에서 호 BA 위에 점 C를 ∠BAC
가 되도록 잡고, 선분 AB를 지름으로 하는 반원 이 선분 AC와 접하도록 선분 AB 위에 점 A을 잡는다. 반원 과 선분 AC의 접점을 D라 할 때, 두 선분 AA, AD와 호 DA으로 둘러싸인 부분과 선분 CD와 두 호 BC, BD로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
고 3 수학 영역(미적분) 3
27. 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 인 임의의 두 실수 , 에 대하여
이다.
(나) 닫힌구간 에서 함수 의 최댓값은 이고 최솟값은 이다.
일 때,
의 값은? [3점]① ② ③ ④ ⑤
28. 그림과 같이 AB , BC 인 삼각형 ABC에 대하여 선분 AC의 중점을 M이라 하고, 점 M을 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 선분 BC와 만나는 점을 D라 하자. ∠BAC의
이등분선이 두 직선 BC, DM과 만나는 점을 각각 E, F라 하자.
∠CBA 일 때, 삼각형 ABE의 넓이를 , 삼각형 DFC의 넓이를 라 하자. lim
→ ×
의 값은? (단, ) [4점]
①
②
③
④ ⑤
4 수학 영역(미적분) 고 3
16 20
단답형
29. 함수 sin(≠)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. [4점]
(가)
≥ (나) 인 모든 실수 에 대하여
이다.
30. 서로 다른 두 양수 , 에 대하여 함수 를
라 하자. 모든 실수 에 대하여 ′≠이고, 두 함수
, ∘가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) ′ ′
의 값을 구하시오. [4점]
* 확인 사항
◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.
