해석개론 숙제 #9
제출일시 2012 년 5 월 16 일 11시
문제 1 연습문제 4.2.2, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.4, 4.4.5, 4.4.9, 4.4.12
문제 2 열린구간에서 정의된 미분가능함수 f 와 그 구간의 한 점 x0에 대하여 다음 명제들을 생각하자.
(가) f0(x0) > 0이다.
(나) 함수 f 가 x0에서 증가상태이다.
(다) x0를 포함하는 적절한 열린 구간 위에서 f 가 증가함수이다.
위 세 명제 사이에 인과 관계(여섯 가지)가 성립하는지 살펴보고, 그 이유를 밝혀라.
문제 3
(가) 구간 I에서 정의된 함수 f : I → R이 다음 성질 a, b, c ∈ I, a < c < b =⇒ f (c) − f (a)
c − a < f (b) − f (a) b − a
을 만족하는것이 함수 f 가 볼록함수라는 것과 동치임을 보여라. [숙제 #6 참조]
(나) 함수 f : I → R이 미분가능하고 f0이 증가함수라 하자. 정의역의 세 점 a, c, b ∈ I에 대하여 a < c < b이고 f (a) = f (b)이면 f (c) < f (a) = f (b)임을 보여라.
(다) 함수 f : I → R이 미분가능하고 f0이 증가함수이면 f 는 볼록함수임을 보여라.
(라) 함수 f : I → R이 두번 미분가능하고 f00> 0이면 f 는 볼록함수임을 보여라.
(마) 명제 (라)의 역이 성립하는지 살펴보아라.
문제 4 구간 (0, 1) 안에 있는 유리수 전체를 {r1, r2, . . . }라 두고, f (x) =
∞
X
n=1
1
2n(x − rn)1/3, x ∈ (0, 1) 이라 정의하자.
(가) 함수 f 가 증가함수임을 보여라.
(나) 함수 f 의 역함수를 g라 두었을 때 g가 미분가능함수임을 보여라.
(다) g0(y) = 0인 점 y를 모두 찾아라.
