차원 파동방정식의 모델링 1
물리적 가정
1. 단위 길이당 현의 질량은 일정하다 균일한 현( ). 현은 완전 탄성체이며 휠 때 어떠한 저항도 나타 내지 않는다.
2. 현의 양끝을 고정 시키기 전에 현을 잡아당긴 장력이 매우 커서 현에 작용하는 중력 현을 아래( 로 약간 당기는 힘 은 무시할 수 있다) .
3. 현의 운동은 수직평면 내에서 미소횡진동(small transverse motion)이다 즉 현의 모든 입. 자는 정확하게 수직으로 움직인다
(1) p<<+ I$p66
(2) ( ) ㄱ p58# <7 + 8, ( ) ㄴ p5H# <7 + 8 모든 ( <에 대하여) (경계조건) (3) ( ) ㄱ p56# 87 +4567 ( ) ㄴ p<56# 87 +B567 (8 ≤ 6 ≤ H) (초기조건)
다음과 같은 형태의 해를 구해보자.
(4) p56# f7 +k567 u5<7
를
(4) < 와 6 에 관하여 미분하면
p<<+ k vu# p66+ k ′′ u
따라서 이것을 방정식 (1) 에 대입하면 k vu + I$k′′u 위의 양변을 I$ku 로나누면
9I$u vu
+ 9k
k′′ 이고 왼쪽은 , < 에 관한 함수이고 오른쪽은 , 6 에 관한 함수이므로 그것은 상수가 되
어야만 한다 이를 . T 라고 놓자.
이로부터 두 개의 아래 상미분방정식을 얻는다.
(5) k′′ ; Tk + 8 (6) vu ; I$Tu + 8
p +ku 가 경계조건을 만족하므로 이로부터
(7) k587 + 8# k5H7 +8
이로부터 T 는 반드시 음수가 되어야만 한다. 따라서,
T + ; R$ 이라고 놓자.
그러면 식 (5)는 k′′ - R$k +8 이고 일반해는
k567 + M IJ2R6 - O 23& R6 이다.
식(7)로부터
k587 + M + 8# 따라서 8 +k5H7 + O 23&RH
k ≠8 이므로 O≠8 이어야만 한다 따라서 . 23&RH+ 8 이고,
RH + &K 따라서 R + 9H
&K
(& 은 정수)
O +" 이라 놓으면 (5)의 무한히 많은 해 k567 + k&567 + 23&9H
&K
6 5& + "# $# a# ⋯7를 얻는다.
그리고 T + ;R$+ ;
5
9&KH7
$이 되고 식, (6)은vu - w&$u + 8# w&+ IR + 9H I&K
이 방정식의 일반해는
u&5<7 + O&IJ2 w&< -O&∗23&w&<
따라서 식 (2)를 만족하는 식 (1)의 해는
p&56# <7 + k&567u&5<7 + u&5<7k&567 이고
(8) p&56# <7 +
5
O&IJ2w&< -O&∗23&w&<7
23& 9&KH 6 (& + "# $# ⋯ )이들 함수들을 진동현의 고유함수(eigenfunction) 또는 특성함수(characteristic function)라 부르고, w&+ 9H
I&K
를 고유값(eigenvalue) 또는 특성값(characteristic value)이라고 부른다. 또 집합 ,
S
w"# w$# ⋯x
를 스펙트럼(spectrum)이라고 부른다.각각의 p& 은 단위시간당 진동수 주파수( ) 9R@n3JC
"
+ 9$K w&
+ 9$H I&
을 갖는 조화운동(harmonic 을 나타내고 이를 현의
motion) , & 차 정규진동(&th normal mode)이라고 한다 이 때. , 1차 정 규진동을 기본진동(fundamental mode, & + " 이라 하고) , 다른 것은 배진동(overtone)이라고
식(1)은 제차 선형 편미분방정식이므로 기본정리에 의하여 식(8)에 나타나는 함수들의 유한개 항들 의 합은 식(1)의 해가 된다.
초기조건 (3)을 만족하는 해를 얻기 위해 무한급수(w&+ 9H I&K )
(9) p56# <7 +& + "
*
∞
p&56# <7 +& + "
*
∞
5
O&IJ2w&< -O&∗23&w&<7
23&9H
&K 6
를 생각해 보자.
식 (9)는 초기조건 (3 )ㄱ 을 만족시켜야하므로
4567 + p56# 87 +
*
&+ "
∞
O&23&9H
&K
6 를 얻는다. 따라서 p56# 87가 4567의 푸리에 사인 급수가 되도록
계수 O& 을 선택해야만 한다.
따라서, O&+ 9H
$
A
8H4567 23&9H&K
6 C6 (& + "# $# ⋯ 이다 ) .
또한 식 (9)는 초기조건 (3 )ㄴ 을 만족시켜야하므로
O&∗w&+ 9H
$
A
8 H
B567 23&9H
&K
6C6 5& + "# $# ⋯7 이다.
p<56# 87가 B567의 푸리에 사인 급수가 되도록 계수 O&∗ 를 선택해야만 한다.
특히, B567 + 8 인 경우 O&∗+ 8 이다.
따라서,
p56# <7 + 9$
"
& + "
*
∞
O&23&
S
9H&K
56 ; I<7
x
- 9$"
& + "
*
∞
O&23&
S
9H&K
56 - I<7
x
로 정리 된다.그리고 위의 급수는 4567에 대한 푸리에 사인 급수에 변수 6 대신 6 ; I<# 6 - I< 를 각각 대입하 여 얻어지는 아래 형태로 쓸 수 있다.
p56# <7 + 9$
"
S
4∗56 ; I<7 - 4∗56 - I<7x
여기서 4∗는 주기가 $H 인 4 의 기주기 확장이다.
차원 파동방정식의 해
1 D’Alembert
선적분 Line Integral[ ]
주목1:
A
qk∙C 9yn +A
qk∙GC2 이므로 적분 방향이 반대일 대 호의길이 곡선의 길이 에 대한 적( )분이 변하지 않더라도
A
;qk∙C 9yn + ;A
qk∙C 9yn 이다 그 이유는 . q 가 ; q 로 바뀌면 단위 접선 벡터 G 가 ; G 로 바뀌기 때문이다.주목2: 벡터 9yn8 의 종점에서 시작하여 벡터 9yn" 의 종점에서 끝나는 선분의 방정식은 다음처럼 주어 진다.
9yn 5<7 + 5" ;<79yn8 - <9yn" 58 ≤ < ≤ "7
주목3:
A
qk∙C 9yn +A
qzC6 - {Cf - | C}# 단 k +z 9y3 -{9y~ -|9yT선적분에 대한 기본정리: q •9yn 5<7 + ' 65<7# f5<7(# 5! ≤< ≤ !7 는 부드러운 곡선이고 4 는 두 개 또는 세 개 의 변수를 가진 미분가능한 스칼라 함수라고 하자 그리고 그 것의 그래디언트 벡터( ) .
기울기 벡터
( ) ∇4 는 q 상에서 연속이라고 하자 이 때 다음이 성립한다. .
A
q∇4 ∙C 9yn + 45
9yn 5D77
; 45
9yn 5!77
증명:
A
q∇4 ∙C9yn +A
!D∇45
9yn5<77
∙9yn ′5<7C<+
A
!D5
9•6•4 9C6C< - 9•4•f9C<Cf - 9•4•}9C<C}7
C<+
A
! D
9C<
C 45n5<77 C< (연쇄법칙)
+ 4
5
9yn5D77
; 45
9yn5!77
주목4: 벡터장 k 가 영역 ‚ 를 가진 연속인 벡터장이고, ‚ 에서 똑같은 시점과 똑같은 종점을 가 진 임의의 두 경로 q" 과 q$ 에 대해
A
q"
k∙C9yn +
A
q$
k∙C9yn
이면 선적분
A
q
k∙C 9yn 이 경로의 독립(independent of path)이라고 한다. 따라서 보존적 벡 터장의 선적분은 경로의 독립이다.
주목5:
A
q
k∙C9yn 이 영역 ‚ 안에서 경로의 독립이기 위한 필요충분 조건은 임의의 닫힌 곡선 경(
로) q 에 대하여
A
q
k∙C9yn + 8 이다.
주목6: 벡터장 k 가 열린 연결 영역 ‚ 에서 연속인 벡터장이고,
A
qk∙C 9yn 이 ‚ 안에서 경로의 독립이면 이 때 k 는 ‚ 에서 보존적 벡터장이다 즉. , ∇4 +k 가 되는 스칼라 함수 4 가 존재한 다.주목7: z 와 { 가 영역 ‚ 안에서 연속인 일계 편도함수를 가지고,
k56# f7 + z56# f79y3 -{56# f79y~ 가 보존적 벡터장이라 하면 이 때 ‚ 안에서 다음이 성립한다.
9•f
•z+ 9•6
•{
주목8: 벡터장 k + z9y3 -{ 9y~ 가 열린 단순연결영역 ‚ 안에서 벡터장이고, z 와 { 가 ‚ 안에서 연속인 일계 편도함수를 가지며, 9•f
•z + 9•6
•{ 를 만족시키면 k 는 보존적 벡터장이다.
문제1: ( ) ㄱ k56# f7 +5a - $6f7 9y3 -
5
6$ ; af$7
9y~ 일 때, k + ∇4 가 되는 잠재적 함수 4 를 구하 시오.
( ) ㄴ
A
qk∙C 9yn 의 값을 구하시오 여기서 , q • 9yn 5<7 + @<23&< 9y3 - @<IJ2< 9y~ # 58 ≤ < ≤ K7문제2: k56# f# }7 +' f$# $6f - @a}# af@a}( 일 때, ∇4 +k 가 되는 잠재적 함수 4 를 구하시오.
