3 9 9

(1)

정답과

서술형 대비 문제

해설

1 삼각비

1 ⑴ sinÀ= 2j13k13 , cosÀ= 3j13k13 , tanÀ= 23 ⑵ sin`B= 3j13k13 , cos`B= 2j13k13 , tan`B= 32 2 4

5

3 ⑴ CABC

⑵ sin`x= 513 , cos`x= 1213 , tan`x= 512 4 sin`x= 1213 , cos`x= 513 , tan`x= 125 5 1 6 ⑴ 2

5

⑵ sinÀ= 2j29k29 , cosÀ= 5j29k29 , tanÀ= 25 7 sin`x=BCZ, cos`x=OXCZ, tan`x=AXDZ

8 0 9 ⑴ 0.7431 ⑵ 46! 10 45!<Cx<46!

11-1 sin`x= j22 , cos`x= j22 , tan`x=1 11-2 j2-1 11-3 j2-1

P. 78 ~ 80

1

⑴ sin`A= BCZ AXXBZ= 2

j13k=2j13k 13 cos`A= AXCZ

AXBZ= 3

j13k=3j13k 13 tan`A= BCZ

AXCZ=2 3

⑵ sin`B= AXCZ AXBZ= 3

j13k=3j13k 13 cos`B= BCZ

AXBZ= 2

j13k=2j13k 13 tan`B= AXCZ

BCZ=3 2

2

cos`A=4

5 이므로 오른쪽 그림에서 ^C

A B

5k

4k

BCZ =7^AXCZ @-AXBZ @9 =1{5k}@-{4k}@3 =19k@2=3k sin`A=BCZ

AXCZ=3k 5k=3

5 y`!

90!-CA=CC이므로 tan{90!-A}=tan`C=AXBZ

BCZ=4k 3k=4

3 y`@

∴ sin`A\tan{90!-A}=3 5\4

3=4

5 y`#

채점 기준 배점

! sin`A의 값 구하기 4점

@ tan {90!-A}의 값 구하기 4점

# sin`A\tan {90!-A}의 값 구하기 2점

3

^⑴sABC와 sDAC에서

CC는 공통, CBAC=CADC=90!이므로 sABCTsDAC ( AA 닮음)

따라서 CDAC=CABC이므로 Cx=CABC

⑵ sABC에서

BCZ=7 AXBZ @+AXCZ @9⁼112@+5@3=13이므로 sin`x=sin`B= AXCZ

BCZ=5 13 cos`x=cos`B= AXBZ

BCZ=12 13 tan`x=tan`B=AXCZ

AXBZ=5 12

4

sABC와 sEBD에서 CB는 공통,

CBAC=CBED=90!이므로 sABCTsEBD ( AA 닮음)

∴ Cx=CACB sABC에서

AXB Z=7^BCZ @-AXCZ @9⁼113@-5@3=12

∴ sin`x=sin`C= AXBZ BCZ=12

13 , y`!

cos`x=cos`C=AXCZ BCZ=5

13 , y`@

tan`x=tan`C=AXBZ AXCZ=12

5 y`#

! sin`x의 값 구하기 3점

@ cos`x의 값 구하기 3점

# tan`x의 값 구하기 3점

5

2{sin`60!+cos`60!}{cos`30!-sin`30!}

=2[j3 2 +1

2 ][j3 2 -1

2 ] y`!

=2[3 4-1

4 ]

=2\1

2=1 y`@

! 삼각비의 값 구하기 5점

@ 답 구하기 3점

6

⑴ y=mx에 x=5, y=2를 대입하면 2=5m

∴ m=2 5

(2)

⑵ tan`A=m=2

5 이므로 ^C

A 5k B

오른쪽 그림에서 2k

AXCZ =7^AXBZ @+BCZ @9 =1{5k}@+{2k}@3

=j29kk ∴ sin`A= BCZ

AXCZ= 2k

j29kk=2j29k 29 , cos`A= AXBZ

AXCZ= 5k

j29kk=5j29k 29 , tan`A=2

5

7

sBOC에서 sin`x= BCZ

OXBZ=BCZ

1 =BCZ y`!

cos`x= OXCZ OXBZ=OXCZ

1 =OCZ y`@

sDOA에서 tan`x= AXDZ

OXAZ=AXDZ

1 =AXDZ y`#

! sin`x의 값을 한 선분의 길이로 나타내기 3점

@ cos`x의 값을 한 선분의 길이로 나타내기 3점

# tan`x의 값을 한 선분의 길이로 나타내기 4점

8

^sin`90!\tan`0!+cos`90!\sin`0!

=1\0+0\0 y`!

=0 y`@

! 삼각비의 값 구하기 4점

@ 답 구하기 2점

9

⑴ 48!의 가로줄과 사인{sin}의 세로줄이 만나는 곳의 수가 0.7431이므로 sin`48!=0.7431

⑵ cos`46!=0.6947이므로 A=46!

10

^cos`x= 710=0.7이고, y`! 주어진 삼각비의 표에서

cos`45!=0.7071, cos`46!=0.6947이므로 cos`46!<cos`x<cos`45!

∴ 45!<Cx<46! y`@

! cos`x의 값 구하기 4점

@ Cx의 크기를 가능한 한 좁은 범위로 나타내기 6점

11

-1sACD에서 AXDZ=CDZ이므로

CACD= 12\{180!-90!}=45! y`!

∴ sin`x=sin`45!=j2 2 , cos`x=cos`45!=j2

2 ,

tan`x=tan`45!=1 y`@

! CACD의 크기 구하기 3점

@ Cx의 삼각비의 값 모두 구하기 3점

11

-2sACD에서 AXDZ=CDZ이므로 CACD=CCAD=45!

AXDZ=CDZ=a라 하면 AXCZ=j2a, BCZ=AXCZ=j2a

∴ BXD Z=BCZ+CDZ=j2a+a={j2+1}a y`! 따라서 sABD에서

tan`x=AXDZ BDZ= a

{j2+1}a=j2-1 y`@

! AXDZ=CXDZ=a로 놓고 BDZ의 길이를 a에 대한 식으로

나타내기 5점

@ tan`x의 값 구하기 3점

11

-3sACD에서 AXDZ=CDZ이므로 CACD=CCAD=45!

AXDZ=CDZ=a라 하면 AXCZ=j2a, BCZ=AXCZ=j2a

∴ BXD Z=BCZ+CDZ=j2a+a={j2+1}a y`! sABC에서 AXCZ=BCZ이므로

CCAB=CABC y`@

따라서 sABD에서 tan`x =tan`B=AXDZ

BDZ= a

{j2+1}a=j2-1 y`#

! AXDZ=CDZ=a로 놓고 BDZ의 길이를 a에 대한 식으로

나타내기 5점

@ CCAB와 크기가 같은 각 구하기 2점

# tan`x의 값 구하기 3점

삼각비의 활용

2

1 ⑴ 4 cm ⑵ {4j3-4} cm 2 15{3-j3} m 3 ⑴ 2j3 ⑵ 2j7 4 2j19 k cm

5 4j3 cm@ 6 ⑴ 3j3 cm@ ⑵ 9j3 cm@ ⑶ 12j3 cm@

7 54j3 cm@ 8 8j2 cm@ 9 ⑴ 6j3 ⑵ 3j32 10 40 11-1 3 cm@ 11-2 4j2 cm@

11-3 15 2 cm@

P. 81 ~ 83

(3)

1

⑴ sACD에서 CCAD=45!이므로 CXDZ=4`tan`45!=4\1=4{cm}

⑵ sABD에서 CBAD=60!이므로 BDZ=4`tan`60!=4\j3=4j3{cm}

∴ BCZ=BDZ-CDZ=4j3-4{cm}

2

오른쪽 그림과 같이 A동의 옥상을 P, B동의 아래와 위를 각각 Q, R라 하고, P에서 B동의 벽면에 내린 수선의 발 을 S라 하자. 이때 A동의 높이를 x m 라 하면

QXSZ=x m y`!

sPQS에서 tan`45!= QXSZ

PSZ

∴ PSZ= QXSZ tan`45! =QXSZ

1 =x{ m}

sPSR에서 tan`30!= RSZ

PSZ

∴ RSZ=PSZ`tan`30!=x\j3 3=j3

3 x{ m} y`@ 이때 B동의 높이는 30 m이고, RQZ=RSZ+QSZ이므로 30=j3

3 x+x, j3+3 3 x=30

∴ x =30\ 3

j3+3= 90{3-j3}

{3+j3}{3-j3}

=15{3-j3}

따라서 A동의 높이는 15{3-j3} m이다. y`#

! A동의 높이를 나타내는 선분을 찾고, 문자로 나타내기 2점

@ A동의 높이를 이용하여 선분의 길이 나타내기 3점

# A동의 높이 구하기 3점

3

⑴ sABH에서

AXH Z=AXBZ`sin`60!=4\j3 2 =2j3

⑵ sABH에서

BXHZ=AXBZ`cos`60!=4\1

2 =2이므로 CXHZ=BCZ-BXHZ=6-2=4

따라서 sAHC에서

AXCZ =7^CXHZ @+AXHZ @9⁼1^4@+{2j3}@3=j28_k=2j7

4

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 ^A

B C

4`cm

6`cm 120!

H

서 BCZ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면

sACH에서 AXHZ =AXCZ`sin`60!

=4\j3

2=2j3{cm} y`!

x m S

Q R

P 45!30!

30 m

CXHZ =AXCZ`cos`60!

=4\1

2=2{cm}

∴ BHZ=BCZ+CXHZ=6+2=8{cm} y`@ 따라서 sABH에서

AXBZ =7^BHZ @+AXHZ @9⁼1^8@+{2j3}@3

=j76k=2j19k{cm} y`#

! AXHZ의 길이 구하기 3점

@ BHZ의 길이 구하기 3점

# AXBZ의 길이 구하기 4점

5

정삼각형의 한 내각의 크기는 60!이므로 (정삼각형의 넓이) =1

2\4\4\sin`60! y`! =1

2\4\4\j3 2

=4j3{cm@} y`@

! 정삼각형의 넓이를 구하는 식 세우기 4점

@ 정삼각형의 넓이 구하기 4점

6

^⑴sABD =1

2\ABZ\ADZ\sin {180!-120!}

=1

2\2j3\2j3\sin`60!

=1

2\2j3\2j3\j3

2=3j3{cm@}

⑵ sBCD =1

2\BCZ\CDZ\sin`60!

=1

2\6\6\j3

2=9j3{cm@}

⑶ fABCD =sABD+sBCD

=3j3+9j3=12j3{cm@}

7

한 변의 길이가 6 cm인 정육각형은 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형 6개로 나누어지므로

(정육각형의 넓이) =[1

2\6\6\sin`60!]\6 y`!

=9j3\6

=54j3{cm@} y`@

! 정육각형의 넓이를 구하는 식 세우기 4점

@ 정육각형의 넓이 구하기 4점

8

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 BCZ=AXBZ=4 cm

∴ sABC =1

2\AXBZ\BCZ\sin`45!

=1

2\4\4\j2

2 =4j2{cm@} y`!

(4)

∴ fABCD =2sABC

=2\4j2=8j2{cm@} y`@

! sABC의 넓이 구하기 5점

@ fABCD의 넓이 구하기 3점

9

^⑴fABCD =ABZ\BCZ\sin`60!

=3\4\j3 2 =6j3

⑵ sOAB=sOCD=sOBC=sODA이고, sOBQ+sODP ( ASA 합동)이므로 (어두운 부분의 넓이) =sODP+sOQC

=sOBQ+sOQC =sOBC=1

4 fABCD =1

4\6j3=3j3 2

10

두 대각선 AC와 BD가 이루는 각의 크기를 x{0!<x<90!}

라 하면 fABCD =1

2\8\10\sin`x y`!

=40`sin`x

따라서 sin`x는 x=90!일 때 최댓값이 1이므로

fABCD의 넓이의 최댓값은 40\1=40 y`@

! 삼각비를 이용하여 fABCD의 넓이를 구하는 식 세

우기 5점

@ fABCD의 넓이의 최댓값 구하기 5점

11

-1 (삼각형의 넓이) =1

2\3\4\sin`30! y`! =1

2\3\4\1 2

=3{cm@} y`@

! 삼각형의 넓이를 구하는 식 세우기 3점

@ 삼각형의 넓이 구하기 3점

11

-2sOAB, sABC는 모두 정삼각형이므로

OXMZ=CXM Z=14@-2@3=2j3{cm} y`!

∴ sOMC =1

2\OXMZ\CXMZ\sin`x =1

2\2j3\2j3\2j2 3

=4j2{cm@} y`@

! OXMZ, CXMZ의 길이 각각 구하기 4점

@ sOMC의 넓이 구하기 4점

11

-3 (평행사변형 ABCD의 넓이)

=1

2\6\10\sin{180!-150!}

=1

2\6\10\sin`30!

=1

2\6\10\1

2=15{cm@} y`!

∴ fPQRS =1

2 fABCD =1

2\15=15

2{cm@} y`@

! 평행사변형 ABCD의 넓이 구하기 5점

@ fPQRS의 넓이 구하기 5점

원과 직선

3

1 ⑴ 8 cm ⑵ 16 cm 2 ⑴ 4 ⑵ 4p 3 10j6 cm@ 4 ⑴ 36 cm ⑵ 48p cm@

5 ⑴ 120! ⑵ 60! 6 34 cm 7 3 8 28 9 2 10 {13-2j30k} cm

11-1 3, 120! 11-2 3p 11-3 9j3-3p P. 84 ~ 86

1

⑴ 직각삼각형 OAH에서 AXHZ=110@-6@3=8{cm}

⑵ AXBZ=2AXHZ=2\8=16{cm}

2

⑴ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 AXHZ=1

2 AXBZ=1

2\4=2 직각삼각형 OAH에서 2@+y@=x@ ∴ x@-y@=4

⑵ (어두운 부분의 넓이) =px@-py@

=p{x@-y@}

=4p

3

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서

B

C M

D A N

5 cmO

CDZ에 내린 수선의 발을 N이라 하면 7 cm

AXBZ=CDZ이므로

OXNZ=OXMZ=5 cm y`! 직각삼각형 OND에서

DNZ=17@-5@3=j24k=2j6{cm}

∴ CDZ=2DNZ=2\2j6=4j6{cm} y`@

∴ sOCD =1

2\CDZ\OXNZ =1

2\4j6\5=10j6{cm@} y`#

O

A B

2

x y

H

(5)

! 점 O와 CDZ 사이의 거리 구하기 3점

@ CDZ의 길이 구하기 3점

# sOCD의 넓이 구하기 2점

4

⑴ OXDZ=OEZ=OFZ이므로 AXBZ=BCZ=CXAZ 즉, sABC는 정삼각형이다.

이때 OXDZ\AXBZ이므로 AXDZ=BDZ ∴ AXBZ=2AXDZ=2\6=12{cm}

∴ (sABC의 둘레의 길이) =3ABZ=3\12=36{cm}

⑵ ⑴에서 sABC는 정삼각형이므로

B E C

D F 6 cm A

O

CDAF=60! 30!

AXOZ를 그으면

sOAD+sOAF ( RHS 합동)이므로 COAD =COAF=1

2CDAF =1

2\60!=30!

이때 직각삼각형 OAD에서 cos`30!=AXDZ

AXOZ= 6 AXOZ ∴ AXOZ= 6

cos`30! =6\2

j3=4j3{cm}

∴ (원 O의 넓이) =p\{4j3}@

=48p{cm@}

5

⑴ fAPBO에서 CPAO=CPBO=90!이므로 CAOB =360!-{90!+60!+90!}

=120!

⑵ PXAZ=PBZ이므로 CPAB =CPBA=1

2\{180!-60!}=60!

6

CPAO=90!이므로

sAPO에서 PXAZ=113@-5@3=12{cm} y`! 이때 PXAZ=PBZ이므로 fAPBO의 둘레의 길이는

12+12+5+5=34{cm} y`@

! PXAZ의 길이 구하기 4점

@ fAPBO의 둘레의 길이 구하기 4점

7

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 CQZ=x라 하면

CRZ=CQZ=x

BPZ=BRZ=5-x y`!

또 AXPZ=AXQZ이므로 AXBZ+BPZ=AXCZ+CQZ

8+{5-x}=7+x y`@

2x=6 ∴ x=3

따라서 CQZ의 길이는 3이다. y`#

! BPZ의 길이를 CQZ의 길이를 사용하여 나타내기 3점

@ AXPZ=AXQZ임을 이용하여 식 세우기 3점

# CQZ의 길이 구하기 2점

8

^AXRZ=AXPZ=3

BPZ=AXBZ-AXPZ=10-3=7 CRZ=AXCZ-AXXRZ=7-3=4

∴ BCZ =BQZ+CQZ=BPZ+CRZ=7+4=11 y`!

∴ (sABC의 둘레의 길이) =AXBZ+BCZ+CXAZ

=10+11+7

=28 y`@

! BCZ의 길이 구하기 5점

@ sABC의 둘레의 길이 구하기 5점

9

직각삼각형 ABC에서 AXCZ=112@+5@3=13 y`! 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

BPZ=BXQZ=r, AXPZ=5-r, CQZ=12-r AXCZ =AXRZ+CRZ=AXPZ+CQZ

={5-r}+{12-r}=13 y`@

2r=4 ∴ r=2

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2이다. y`#

! AXCZ의 길이 구하기 3점

@ AXCZ의 길이를 이용하여 식 세우기 4점

# 원 O의 반지름의 길이 구하기 3점

10

O A

B E

D

F C O' 6 cm

10 cm 3 cm

r cm

r cm r cm H

두 원 O, O'과 BCZ의 접점을 각각 E, F라 하고, 원의 중심 O'에서 OXEZ에 내린 수선의 발을 H라 하자.

원 O'의 반지름의 길이를 r cm{0<r<3}라 하면 원 O의 반지름의 길이가 3 cm이므로

OXO'Z={3+r} cm OXHZ={3-r} cm

HXO'Z=10-3-r=7-r{cm}

직각삼각형 OHO'에서

{7-r}@+{3-r}@={3+r}@ y`! r @-14r+49+r@-6r+9=r@+6r+9

r @-26r+49=0 ∴ r=13-2j30k 그런데 0<r<3이므로

r=13-2j30k

따라서 원 O'의 반지름의 길이는

{13-2j30k} cm이다. y`@

(6)

! 식 세우기 5점

@ 원 O'의 반지름의 길이 구하기 5점

11

-1 오른쪽 그림과 같이 POZ를 그으면 sAPO에서

CAPO=30!, CPAO=90!이므로 원 O의 반지름의 길이는

OXAZ =PXAZ`tan`30!

=3j3\ j33=3 y`!

∴ CAOB =360!-{90!+60!+90!}

=120! y`@

! 원 O의 반지름의 길이 구하기 3점

@ CAOB의 크기 구하기 3점

11

-2 POZ를 그으면 sAPO에서

CAPO=30!, CPAO=90!이므로 OXAZ =PXAZ`tan`30!

=3j3\ j33=3 y`!

CAOB=360!-{90!+60!+90!}=120! y`@

∴ (부채꼴 AOB의 넓이) =p\3@\120 360

=3p y`#

! OXAZ의 길이 구하기 3점

# 부채꼴 AOB의 넓이 구하기 2점

11

-3 POZ를 그으면 sAPO에서

CAPO=30!, CPAO=90!이므로 OXAZ =PXAZ`tan`30!

=3j3\ j33=3 y`!

CAOB=360!-{90!+60!+90!}=120! y`@ fAPBO =2sAPO

=2\[1

2\3j3\3]

=9j3 y`#

(부채꼴 AOB의 넓이) =p\3@\120 360

=3p y`$

∴ (어두운 부분의 넓이)=9j3-3p y`%

! OXAZ의 길이 구하기 2점

# fAPBO의 넓이 구하기 2점

$ 부채꼴 AOB의 넓이 구하기 2점

% 어두운 부분의 넓이 구하기 2점

O

B A

P 30!

30!

313

4 원주각

1 165! 2 65! 3 70! 4 풀이 참조 5 80! 6 Cx=50!, Cy=30! 7 175!

8 66! 9 Cx=40!, Cy=95! 10 54!

11-1 40! 11-2 40! 11-3 40!

P. 87 ~ 89

1

Cx =2CBDC

=55!\2=110! y`!

Cy=CBDC=55! y`@

∴ Cx+Cy =110!+55!

=165! y`#

! Cx의 크기 구하기 3점

@ Cy의 크기 구하기 3점

# Cx+Cy의 크기 구하기 2점

2

오른쪽 그림과 같이 OXAZ, OBZ 를 그으면 PAZ, PBZ는 원 O의 접선이므로

CPAO=CPBO=90!

y`! fAPBO에서

CAOB=360!-{90!+50!+90!}=130! y`@

∴ CACB =1

2CAOB =1

2\130!=65! y`#

! OXAZ, OXBZ를 긋고, CPAO, CPBO의 크기 각각 구

하기 2점

# CACB의 크기 구하기 3점

3

오른쪽 그림과 같이 AXDZ를 그으면 AXBZ가 반원의 지름이므로

CADB=90! y`!

sADP에서

CADP=90!, CAPD=55!이므로 CPAD=180!-{90!+55!}=35!

y`@

이때 CCAD는 CDi에 대한 원주각이고, CCOD는 CDi에 대한 중심각이므로

CCOD=2CCAD=2\35!=70! y`#

! 보조선을 그어 반원에 대한 원주각의 크기 구하기 4점

@ CDi에 대한 원주각의 크기 구하기 4점

# CCOD의 크기 구하기 2점

O A

C

B P 50!

O P

A B

C D

55!

(7)

4

^BXDZ를 그으면 AXDZ|BCZ이므로

CADB=CCBD (엇각) y`!

한 원에서 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같 으므로

ABi=CDi y`@

! 평행선의 성질 이용하기 5점

@ 원주각의 성질 이용하기 5점

5

원주각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 CABC`:`CDCB=ACi`:`BDi에서

CABC`:`CDCB=1`:`3 y`!

20!`:`CDCB=1`:`3 ∴ CDCB=60! y`@ sPCB에서 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

Cx=CPCB+CPBC=60!+20!=80!` y`#

! CABC`: CDCB 구하기 3점

@ CDCB의 크기 구하기 3점

# Cx의 크기 구하기 2점

6

네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

Cy=CADB=30! y`!

sAPC에서 CDAC=CAPC+CACP이므로 80!=Cx+Cy, 80!=Cx+30!

∴ Cx=50! y`@

! Cy의 크기 구하기 4점

@ Cx의 크기 구하기 4점

7

Cx =180!-CBCD

=CBAD

=180!-100!=80! y`!

Cy=180!-85!=95! y`@

∴ Cx+Cy =80!+95!=175! y`#

# Cx+Cy의 크기 구하기 2점

8

sPBC에서 CPCQ=Cx+26!

CCDQ=180!-CADC=Cx이므로 sDCQ에서

{Cx+26!}+Cx+22!=180! y`! 2Cx=132! ∴ Cx=66! y`@

! 식 세우기 7점

@ Cx의 크기 구하기 3점

9

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해

Cx=CDCQ=40! y`!

fABCD가 원에 내접하고,

CBCD=180!-{55!+40!}=85!이므로 CBAD =180!-CBCD

=180!-85!=95!

∴ Cy=95! y`@

10

오른쪽 그림과 같이 AXTZ를 그으면 CATB=90!

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 CBAT=CBTQ=72! y`! 이때 sATB에서

CABT =180!-{90!+72!}=18! y`@ 따라서 sPTB에서 CBTQ=Cx+CPBT이므로 72!=Cx+18! ∴ Cx=54! y`#

! CBAT의 크기 구하기 4점

@ CABT의 크기 구하기 4점

# Cx의 크기 구하기 2점

11

-1 접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에

대한 원주각의 크기와 같으므로 y`!

CATP=CABT=40! y`@

! 접선과 현이 이루는 각의 성질 알기 3점

@ CATP의 크기 구하기 3점

11

CATP=CABT=40! y`@

CATP와 CCTQ는 맞꼭지각이므로

CCTQ=CATP=40! y`#

# CCTQ의 크기 구하기 2점

B

P T Q

A 72!

O

x

(8)

11

CATP=CABT=40! y`@

CATP와 CCTQ는 맞꼭지각이므로

CCTQ=CATP=40! y`#

따라서 PQU가 원의 접선이므로

CCDT=CCTQ=40! y`$

# CCTQ의 크기 구하기 2점

$ CCDT의 크기 구하기 2점

대푯값과 산포도

5

1 6개 2 20명

3 ⑴ 36.2위 ⑵ 중앙값: 41위, 최빈값: 42위 4 ⑴ 17 ⑵ 17점 5 a=10, b=11 6 j30k

5 점 7 ⑴ 175 cm ⑵ 46 8 1 9 -16 10 ⑴ 선수 A: 10개, 선수 B: 10개 ⑵ 선수 A 11-1 80 11-2 6 11-3 73

P. 90 ~ 92

1

규진이가 화요일에 받은 이메일의 개수를 x개라 하면 7+x+5+5+8+8+10

7 =7 y`!

43+x=49

∴ x=6

따라서 화요일에 받은 이메일의 개수는 6개이다. y`@

! 평균을 이용하여 식 세우기 3점

@ 화요일에 받은 이메일의 개수 구하기 3점

2

A, B 두 반 전체의 수학 성적의 평균이 64점이므로 70x+60\30

x+30 =64 y`!

70x+1800=64{x+30}

6x=120

∴ x=20

따라서 A반의 학생 수는 20명이다. y`@

! 전체 평균을 이용하여 식 세우기 4점

@ A반의 학생 수 구하기 4점

3

⑴ (평균) =40+42+20+22+22+29+51+42+42+52 10

=362

10=36.2(위)

⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 5번째와 6번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로

(중앙값)=40+42 2 =41(위)

42위가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 (최빈값)=42위

4

⑴ 3번째와 4번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로 15+a

2 =16 ∴ a=17

⑵ 17점이 두 번으로 가장 많이 나타나므로 (최빈값)=17점

5

^{평균이 9권이므로}

7+6+10+10+a+7+8+12+b

9 =9에서

60+a+b=81 ∴ a+b=21 y`! 이때 a, b를 제외한 자료에서 7권과 10권이 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값이 10권이 되려면 a, b 중 적어도 하 나는 10이어야 한다.

a=10일 때, 10+b=21 ∴ b=11

b=10일 때, a+10=21 ∴ a=11 y`@ 따라서 a<b를 만족시키는 a, b의 값은 각각 a=10, b=11

이다. y`#

! 평균을 이용하여 a+b의 값 구하기 3점

@ 최빈값을 이용하여 a, b의 값 각각 구하기 3점

# 조건을 만족시키는 a, b의 값 각각 구하기 2점

6

(평균)=7+10+10+9+9

5 =45

5=9(점) y`! (분산)={-2}@+1@+1@+0@+0@

5 =6

5 y`@

∴ (표준편차)=q 6 5w=j30k

5 (점) y`#

! 평균 구하기 4점

@ 분산 구하기 4점

# 표준편차 구하기 2점

7

⑴ 학생 B의 편차를 x cm라 하면 -12+x+4+6+{-3}=0 x-5=0

∴ x=5

(학생 B의 키)-170=5

∴ (학생 B의 키)=170+5=175{cm}

⑵ (분산) ={-12}@+5@+4@+6@+{-3}@

5

=230 5 =46

(9)

8

(평균) =1\3+4\4+5\5+4\6+1\7

15

=75

15=5(시간) y`!

(분산) ={-2}@\1+{-1}@\4+0@\5+1@\4+2@\1 15

=16

15 y`@

∴ b-a=16-15=1 y`#

! 평균 구하기 4점

@ 분산 구하기 4점

# b-a의 값 구하기 2점

9

-2+{-3}+x+5+y=0이므로

x+y=0 y`!

표준편차가 j14k이므로 {-2}@+{-3}@+x@+5@+y@

5 ={j14k}@

x@+y@+38=70

∴ x@+y@=32 y`@

이때 x@+y@={x+y}@-2xy이므로 32=-2xy

∴ xy=-16 y`#

! x+y의 값 구하기 3점

@ x@+y@의 값 구하기 3점

# xy의 값 구하기 4점

10

⑴ (선수 A의 평균)=12+7+10+10+11

5 =50

5 =10(개) (선수 B의 평균) =5+8+15+18+4

5 =50

5=10(개)

⑵ (선수 A의 분산)=2@+{-3}@+0@+0@+1@

5 =14

5 (선수 B의 분산) ={-5}@+{-2}@+5@+8@+{-6}@

5 =154

5

따라서 선수 A의 분산이 선수 B의 분산보다 작으므로 선 수 A의 홈런 수의 분포 상태가 더 고르다.

11

-1 a, b, c의 평균이 20이므로 a+b+c

3 =20에서

a+b+c=60 y`!

∴ ( 4a, 4b, 4c의 평균) =4a+4b+4c 3 =4{a+b+c}

3 =4\60

3 =80 y`@

! a+b+c의 값 구하기 3점

@ 4a, 4b, 4c의 평균 구하기 3점

11

-2 a, b, c, d의 평균이 4, 분산이 9이므로 a+b+c+d

4 =4에서

a+b+c+d=16

{a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@

4 =9에서

{a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@=36 {2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4의 평균)

={2a+4}+{2b+4}+{2c+4}+{2d+4}

4

=2{a+b+c+d}+16 4

=2\16+16

4 =12 y`!

{2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4의 분산)

={2a-8}@+{2b-8}@+{2c-8}@+{2d-8}@

4

=49{a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@0 4

=4\36

4 =36 y`@

∴ (구하는 표준편차)=j36k=6 y`#

! 2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4의 평균 구하기 3점

@ 2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4의 분산 구하기 3점

# 2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4의 표준편차 구하기 2점

11

-3 3a+1, 3b+1, 3c+1, 3d+1의 평균이 13, 분산이 81 4 이 므로

{3a+1}+{3b+1}+{3c+1}+{3d+1}

4 =13에서

3{a+b+c+d}+4=52

∴ a+b+c+d=16 y`!

{3a-12}@+{3b-12}@+{3c-12}@+{3d-12}@

4 =81

4 에서

99{a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@0

4 =81

4 {a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@=9 y`@ a@+b@+c@+d@-8{a+b+c+d}+64=9

a@+b@+c@+d@-8\16+64=9

∴ a@+b@+c@+d@=73 y`#

! a+b+c+d의 값 구하기 4점

@ {a-4}@+{b-4}@+{c-4}@+{d-4}@의 값 구하기 4점

# a@+b@+c@+d@의 값 구하기 2점

(10)

6 상관관계

1 30 % 2 154 cm 3 ⑴ 6명 ⑵ 36 % 4 ⑴ 7.9점 ⑵ 25 % 5 ⑴ 40 % ⑵ 30점 6 ⑴ 7점 ⑵ 5.6점

7-1 3명 7-2 64 % 7-3 9.6점

P. 93 ~ 94

1

수학 성적과 영어 성적이 모두 60점 이상인 학생은 6명이다.

y`!

∴ 6

20\100=30{%} y`@

! 두 과목 모두 60점 이상인 학생 수 구하기 5점

@ 전체의 몇 %인지 구하기 5점

2

던지기 기록이 30 m 이상인 학생은 5명이고, 이때 이 학생들 의 키는 각각 160 cm, 130 cm, 155 cm, 165 cm, 160 cm

이다. y`!

∴ (평균) =160+130+155+165+160 5

=770

5 =154{cm} y`@

! 던지기 기록이 30 m 이상인 학생들의 키 구하기 6점

@ 키의 평균 구하기 6점

3

⑴ 두 과목의 성적이 같은 학생 수는 두 점 {20, 20}, {90, 90}을 연결한 직선 위에 있는 점의 개수와 같으므로 6명이다.

⑵ 영어 성적이 국어 성적보다 높은 학생은 두 점 {20, 20}, {90, 90}을 연결한 직선의 위쪽에 있는 점의 개수와 같으 므로 9명이다.

∴ 9

25\100=36{%}

4

⑴ 책을 10권 이상 읽은 학생들의 작문 성적은 다음 표와 같다.

작문 성적 (점) 6 7 8 9 10 합계

학생 수 (명) 2 2 3 1 2 10

∴ (평균) =6\2+7\2+8\3+9\1+10\2

10

=79

10=7.9(점)

⑵ 책을 12권 이상 읽은 학생 중 작문 성적이 8점 이상인 학 생은 5명이다.

∴ 5

20\100=25{%}

5

⑴ 두 과목의 성적의 합이 120점 이하인 학생은 모두 6명이다.

∴ 6

15\100=40{%}

⑵ 두 성적의 차가 가장 큰 학생의 국어 성적은 60점, 수학 성적은 90점이다.

∴ 90-60=30(점)

6

⑴ 주어진 산점도에서 멀리뛰기 점수가 7점인 학생이 4명으 로 가장 많으므로

(최빈값)=7점

⑵ 높이뛰기 점수가 5점 이상 7점 미만인 학생들의 멀리뛰기 점수는 다음 표와 같다.

멀리뛰기 점수 (점) 4 5 6 7 합계

학생 수 (명) 1 1 2 1 5

∴ (평균) =4\1+5\1+6\2+7\1

5 =28

5=5.6(점)

7

-1 1차와 2차의 점수의 평균이 7점인 학생은 두 점수의 합이

7\2=14(점)인 학생이다. y`!

1차와 2차의 점수의 합이 14점인 경우를 순서쌍

(1차 점수, 2차 점수)로 나타내면 {6, 8}, {7, 7}, {8, 6}이

므로 구하는 학생 수는 3명이다. y`@

! 1차와 2차의 점수의 평균을 두 점수의 합으로 나타

내기 3점

@ 학생 수 구하기 3점

7

-2 1차와 2차의 점수가 같은 학생은 6명이고, 두 점수의 차가 1 점인 학생은 6+4=10(명)이므로 1차와 2차의 점수의 차가 2점 미만인 학생은 모두 6+10=16(명)이다. y`!

∴ 16

25\100=64{%} y`@

! 1차와 2차의 점수의 차가 2점 미만인 학생 수 구하기 4점

@ 전체의 몇 %인지 구하기 4점

7

-3 전체 학생 수가 25명이므로 상위 20 %에 포함되는 학생 수는 25\ 20

100 =5(명)이다. y`!

이때 상위 5명의 2차 점수는 10점, 10점, 10점, 9점, 9점이

다. y`@

∴ (평균)=10+10+10+9+9

5 =48

5=9.6(점) y`#

! 상위 20 %에 포함되는 학생 수 구하기 3점

@ 상위 5명의 2차 점수 구하기 3점

# 2차 점수의 평균 구하기 4점

(11)

정답과

중간/ 기말고사 예상 문제

해설

1 ⑤ 2 ③ 3 ② 4 ⑤ 5 ③ 6 ① 7 ③ 8 ③ 9 ① 10 ⑤ 11 ⑤ 12 ③ 13 ③ 14 ④ 15 ④ 16 ② 17 ③ 18 ① 19 7

12 20 20 21 j61k cm 22 0, 과정은 풀이 참조 23 20j3, 과정은 풀이 참조

중간고사 예상 문제 1회

^{P. 95 ~ 97}

1

① sin`A= BCZ AXXCZ=15

17

② cos`A= AXBZ AXCZ=8

17

③ cos`C= BCZ AXCZ=15

17

④ sin`C= AXBZ AXCZ=8

17

⑤ tan`C= AXBZ BCZ= 8

15 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

2

^BCZ =1^2@+{j5}@3⁼³ sin`B= AXCZ

BCZ=j5

3 , sin`C= AXBZ BCZ=2

3

∴ sin`B\sin`C=j5 3 \2

3=2j5 9

3

sABC에서 AXBZ=115@+8@3=17 sABC와 sCBD에서

CBCA=CBDC=90!, CB는 공통이므로 sABCTsCBD ( AA 닮음)

따라서 CBAC=CBCD=Cx이므로 cos`x=cos`A=8

17

1

2\BCZ\AXCZ=1

2\AXBZ\CDZ에서 1

2\15\8=1

2\17\CDZ 17 CDZ=120 ∴ CDZ=120

17 sBCD에서 cos`x= CXDZ

BCZ=120 17\ 1

15=8 17

4

⑤ tan`60!_sin`30!=j3_ 12=2j3

5

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180!이므로 CA=180!\ 3

3+4+5=45!

∴ sinÀ\cosÀ\tanÀ =sin`45!\cos`45!\tan`45!

=j2 2\j2

2\1=1 2

6

오른쪽 그림에서 (직선의 기울기)

=( y의 값의 증가량) ( x의 값의 증가량)=BXOZ

AXOZ

=tan`30!= j33

7

^{① sin}`x= AXBZ OXBZ=AXBZ

1 =AXBZ

② sin`z=sin`y= OXAZ OXBZ=OXAZ

③ cos`x= OXAZ OXBZ=OXAZ

1 =OXAZ

④ cos`y= AXBZ OXBZ=AXBZ

1 =AXBZ

⑤ tan`x= CXDZ OXCZ=CXDZ

1 =CXDZ 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

8

① AXXDZ=AXBZ`sin`60!=4\j3

2 =2j3{cm}

② BXDZ=AXBZ`cos`60!=4\1

2=2{cm}

∴ CDZ=BCZ-BXDZ=5-2=3{cm}

③ sADC에서 AXXCZ=1^3@+{2j3}@3⁼j21k{cm}

④ sADC에서 cos`C= CDZ AXXCZ= 3

j21k=j21k 7

⑤ sABC=1

2\5\2j3=5j3{cm@}

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

9

^BXHZ=AXHZ`tan`30!=j3 3 AXHZ CXHZ=AXHZ`tan`45!=AXHZ 이때 BCZ=BXHZ+CXHZ이므로 2=j3

3 AXHZ+AXHZ, j3+3

3 AXHZ=2

∴ AXHZ= 6

j3+3=3-j3

10

오른쪽 그림에서

90`m

P S

Q R

30!

45!

SQZ=PSZ=90 m이므로 sPSR에서

RSZ =90`tan`30!=90\j3

3=30j3{ m}

∴ ( B 건물의 높이) =SQZ+RSZ

=90+30j3{ m}

30!

O A

B y

x

(12)

11

^BDZ를 그으면

fABCD =sABD+sBCD =1

2\3\j3\sin{180!-150!}

+1

2 \5\4\sin`60!

=3j3

4 +5j3=23j3 4

12

원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OXDZ=r-3

또 AXXDZ=BXDZ=5이므로 sOAD에서 {r-3}@+5@=r @ 6r=34 ∴ r=17

3

13

CDZ의 연장선은 원의 중심을 지나므 로 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 sAOD에서 {r-1}@+5@=r @ 2r=26 ∴ r=13

14

오른쪽 그림과 같이 큰 원의 반지름 의 길이를 a cm, 작은 원의 반지름 의 길이를 b cm라 하고, 작은 원과 AXBZ의 접점을 M이라 하면

(어두운 부분의 넓이)

=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)

=pa@-pb@

=p{a@-b@}{cm@}

AXBZ\OXMZ이므로 AXMZ=BXMZ=1

2 AXBZ=1

2\20=10{cm}

sOAM에서 10@+b@=a@

∴ a@-b@=100

따라서 어두운 부분의 넓이는 p{a@-b@}=p\100=100p{cm@}

15

^AXBZ와 CDZ는 원의 중심에서 같은 거리에 있으므로 AXBZ=CDZ이고, OXMZ\AXBZ이므로 AXMZ=BXMZ sOAM에서 AXMZ=110@-8@3=6{cm}

∴ CXDZ=AXBZ=2AXMZ=2\6=12{cm}

16

^OXMZ=OXNZ=2에서 AXCZ=BCZ이므로 CABC=CBAC=65!

∴ Cx=180!-{65!+65!}=50!

17

원 O의 반지름의 길이는 2 cm이므로 POZ=2+2=4{cm}

CPAO=90!이므로

sAPO에서 x=14@-2@3=2j3

A C B

D 1 5

r r-1

O

A M B

10 cm

a cm b cm

18

^DPZ=DXAZ=11 cm, CPZ=CBZ=6 cm이므로

CDZ =DPZ+PCZ=11+6=17{cm}

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AXDZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 DXHZ =DXAZ-CBZ

=11-6=5{cm}

따라서 sDHC에서 CXHZ=117@-5@3=2j66k{cm}

∴ AXBZ=CXHZ=2j66k cm

19

^cos`A=³4 이므로 오른쪽 그림에서 ^C

A B

4k

3k

BCZ=1{4k}@-{3k}@3=j7k

∴ sin`A=j7k 4k =j7

4 , tan`A=j7k

3k=j7 3

∴ sin`A\tan`A=j7 4\j7

3 =7 12

20

sABC =1

2\8\5j2\sin`45!

=1

2\8\5j2\j2 2=20

21

^AXMZ=BXMZ=1 2 AXBZ=1

2\10=5{cm}

sOAM에서 OXAZ=16@+5@3=j61k{cm}

22

sABC에서 BCZ=17@-4@3=j33k이므로 y`! sin`A\tan`C-cos`A

=j33k 7 \ 4

j33k-4 7 =4

7-4

7=0 y`@

! BCZ의 길이 구하기 3점

@ sin`A\tan`C-cos`A의 값 구하기 3점

23

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M, OXMZ의 연장선과 원과의 교점을 C라 하면 OCZ=OXAZ=20,

MXOZ=MXCZ=1 2 OCZ=1

2\20=10 y`! sAOM에서 AXMZ =120@-10@3=10j3

∴ AXBZ=2AXMZ=2\10j3=20j3 y`@

! 점 O에서 AXBZ까지의 거리 구하기 3점

@ AXBZ의 길이 구하기 4점

O D

A B

C P 11 cmH 6 cm

5 cm11 cm 6 cm

O

A 20 M B

C

10

(13)

1 ⑤ 2 ⑤ 3 ① 4 ④ 5 ① 6 ⑤ 7 ⑤ 8 ② 9 ③ 10 ③ 11 ④ 12 ④ 13 ⑤ 14 ⑤ 15 ③ 16 ② 17 ③ 18 ④ 19 81.92 20 17

3 cm 21 4j2 cm 22 과정은 풀이 참조 ⑴ 6 ⑵ 3j3 23 4 cm, 과정은 풀이 참조

중간고사 예상 문제 2회

P. 98 ~ 100

1

⑤ tan`B=AXCZ BCZ=3

4

2

^cos`A=¹_{3 이므로}

오른쪽 그림과 같이

AXCZ=3k, AXBZ=k {k>0}라 하면 BCZ =1{3k}@-k@2=2j2k

∴ sin`A=BCZ AXCZ=2j2k

3k =2j2 3

3

CC=Cx이므로 cos`x=cos`C=5 13 CB=Cy이므로 sin`y=sin`B= 5

13

∴ cos`x+sin`y= 5 13+5

13=10 13

4

^sin`x=AXBZ AXCZ=2j3

4 =j3

2 ∴ Cx=60!

5

sABC에서 tan`30!= 2

BCZ=j3

3 ∴ BCZ=2j3{cm}

sBCD에서 sin`45!= CDZ

2j3=j2

2 ∴ CDZ=j6{cm}

6

두 점 A, B는 각각 일차함수 y=2

3x+4의 그래프의 x절편, y절편이다.

따라서 y=2 3x+4에 y=0을 대입하면 0=2

3x+4, 2x=-12 ∴ x=-6 x=0을 대입하면 y=4

즉, A{-6, 0}, B{0, 4}이므로 sAOB에서

AXBZ =16@+4@2=2j13k

∴ sin`A=BXOZ AXBZ= 4

2j13k=2j13k 13

C

A B

k 3k

O -6 A

y

x y=3@x+4 B4

7

① sin`50!=0.77

② cos`50!=0.64

③ tan`50!=1.19

④ sin`40!=0.64 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

8

cos`0!\sin`90!-tan`45!\cos`60!

=1\1-1\1 2=1

2

9

^{오른쪽 그림의}sOHA'에서 _{8 cm}

a cm A

H A' O 8 cm 60!

OXXHZ =8`cos`60!

=8\1

2=4{cm}

AXXHZ =OXXAZ-OXXHZ

=8-4=4{cm}

∴ a=4

10

¹₂^\AXBZ\5\sin`60!=10j3에서 5j3

4 \AXBZ=10j3

∴ AXBZ=8{cm}

11

fABCD =1

2\10\8\sin`60!

=1

2\10\8\j3

2=20j3{cm@}

12

^AXBZ\OXMZ이므로 AXMZ=BXMZ=1

2 AXBZ=1

2\12=6{cm}

따라서 sOAM에서 OXAZ =16@+3@2=3j5{cm}

13

^CDZ=6+18=24{cm}이므로 원 O의 반지름의 길이는

1 2 CXDZ=1

2\24=12{cm}

∴ OXMZ=OXCZ-CXMZ=12-6=6{cm}

이때 오른쪽 그림과 같이 OXAZ를 그으면 sAOM에서

AXMZ =112@-6@2=6j3{cm}

∴ AXBZ=2AXMZ=2\6j3=12j3{cm}

14

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 큰 원의 반지름의 길이는 10 cm, 작은 원의 반지름의 길이는 8 cm이고, AXBZ\OXHZ이므로

sOAH에서 AXHZ=110@-8@3=6{cm}

∴ AXBZ=2AXHZ=2\6=12{cm}

O

A B

M 6 cm C

D 18 cm

O

A H

B 10 cm 8 cm

(14)

15

^AXBZ\OXMZ이므로 AXMZ=BXMZ

∴ AXBZ=2AXMZ=2\5=10{cm}

이때 OXMZ=OXNZ이므로 AXBZ=CDZ

∴ CDZ=AXBZ=10 cm

16

^OXMZ=OXNZ이므로 AXBZ=AXCZ

즉, sABC는 AXBZ=AXCZ인 이등변삼각형이므로 CB=CC

∴ CB =1

2\{180!-CA}

=1

2\{180!-50!}=65!

17

sPAB는 PXAZ=PBZ인 이등변삼각형이므로 CPAB=CPBA= 12\{180!-46!}=67!

이때 PXAV가 접선이므로 COAP=90!

∴ Cx =COAP-CPAB

=90!-67!=23!

18

sOAP에서 COAP=90!, OXAZ=OXCZ=9 cm이므로 PXAZ=115@-9@2=12{cm}이고,

PBZ=PXAZ=12 cm이므로 fAPBO의 둘레의 길이는

APZ+PBZ+BOZ+OXAZ =12+12+9+9

=42{cm}

19

x =100`cos`35!

=100\0.8192=81.92

20

^AXBZ\OXMZ이므로 BXMZ=AXMZ=5 cm OXBZ=OCZ=r cm라 하면 OXMZ={r-3} cm sOMB에서 5@+{r-3}@=r @

6r=34 ∴ r=17 3

따라서 원 O의 반지름의 길이는 17

3 cm이다.

21

^OXMZ=OXNZ이므로 CDZ=AXBZ=8 cm OXNZ\CDZ이므로

DXNZ=CXNZ=1 2 CDZ=1

2\8=4{cm}

따라서 sODN에서 OXDZ =14@+4@2=4j2{cm}

22

⑴ sABC에서

CBAC=60!-30!=30!이므로

sABC는 AXCZ=BCZ인 이등변삼각형이다.

∴ AXCZ=BCZ=6

⑵ sACH에서

AXHZ=AXCZ`sin`60!=6\j3 2=3j3

23

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므 로 오른쪽 그림과 같이 CDZ의 연장선 위 에 있는 원의 중심을 O라 하면

OXAZ=OCZ=10 cm AXDZ=BXDZ이므로 AXDZ=1

2 AXBZ=1

2\16=8{cm} y`!

sAOD에서 OXDZ =110@-8@2=6{cm} y`@

∴ CDZ =OCZ-ODZ

=10-6=4{cm} y`#

! AXDZ의 길이 구하기 3점

@ OXDZ의 길이 구하기 2점

# CDZ의 길이 구하기 2점

C

O

A D B

8 cm

10 cm

1 ① 2 ④ 3 ④ 4 ① 5 ③ 6 ③ 7 ④ 8 ④ 9 ② 10 ② 11 ① 12 ③ 13 ① 14 ④ 15 ③ 16 ③ 17 ④ 18 ② 19 3 20 선수 A 21 75점 22 65!, 과정은 풀이 참조

23 3j2, 과정은 풀이 참조

기말고사 예상 문제 1회

P. 101 ~ 103

1

sAOP와 sBOP에서

COAP=COBP=90!, OXAZ=OXBZ, OPZ는 공통이므로

sAOP+sBOP ( RHS 합동)

∴ COPA=COPB=1

2CAPB= 12\60!=30!

직각삼각형 AOP에서 cos`30!= AXPZ

OXPZ= 6 OXPZ이므로 OPZ= 6

cos`30! =6\ 2 j3=4j3

2

^DEZ=x라 하면

fABED에서 6+x=8+BEZ이므로 BEZ=x-2 ∴ ECZ=10-x sDEC에서 {10-x}@+6@=x@

20x=136 ∴ x=34 5

(15)

3

^OXEZ를 그으면

CAOE=2CADE=2\25!=50!

CBOE=2CBCE=2\30!=60!

∴ Cx=50!+60!=110!

4

AB i：BC i：CA i =CC：CA：CB

=2：3：4

∴ CC=180!\ 2

2+3+4=40!

5

fSRCD에서 CDSR+Cx=180!

이때 CDSR=CPQR=CA=80!이므로 Cx=180!-80!=100!

6

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 Cx=CBCA=65!,

Cy=CCAT=55!

∴ Cx+Cy=65!+55!=120!

7

④ CABC=180!-65!=115!

CADC=180!-120@=60!

즉, CABC+CADC=175!=180!이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

8

남학생 4명의 점수의 평균을 x점이라 하면 5\86+4\x

5+4 =80 430+4x=720

4x=290 ∴ x=72.5

9

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 6번째와 7번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로 (중앙값)=1+1

2 =1(개) ∴ a=1 1개가 네 번으로 가장 많이 나타나므로 (최빈값)=1개 ∴ b=1

∴ a+b=1+1=2

10

② 편차는 각 변량에서 평균을 뺀 값이다.

즉, (편차)=(자료의 값)-(평균)

11

(평균) =15+20+29+32+18+24+16

7

=154

7 =22{%}

따라서 각 자료의 값에 대한 편차를 차례로 나열하면 -7 %, -2 %, 7 %, 10 %, -4 %, 2 %, -6 % 이므로 편차가 될 수 없는 것은 ①이다.

12

7+x+{-4}+{-2}=0이므로 x=-1

③ 키가 작은 사람부터 차례로 나열하면 C, D, B, A이므로 학생 B와 D의 키의 평균이 중앙값이다.

13

(평균)=2+4+16+8+8+4

6 =42

6=7{GB}이므로 (분산) ={-5}@+{-3}@+9@+1@+1@+{-3}@

6 =126

6 =21

∴ (표준편차)=j21k{GB}

14

5, a, b의 평균이 6이므로 5+a+b

3 =6에서 a+b=13 또 분산이 4이므로

{-1}@+{a-6}@+{b-6}@

3 =4에서

{a-6}@+{b-6}@=11

( 4, a, b, 7의 평균) =4+a+b+7 4 =4+13+7

4 =24 4 =6

∴ ( 4, a, b, 7의 분산)

={-2}@+{a-6}@+{b-6}@+1@

4 =4+11+1

4 =16 4=4

15

자료 A의 평균, 중앙값, 분산을 각각 구하면 (평균) =2+4+6+8+10

5

=30 5=6 (중앙값)=6

(분산) ={-4}@+{-2}@+0@+2@+4@

5 =40

5=8

자료 B의 평균, 중앙값, 분산을 각각 구하면 (평균) =4+6+8+10+12

5

=40 5=8 (중앙값)=8

(분산) ={-4}@+{-2}@+0@+2@+4@

5 =40

5=8

즉, 자료 B의 평균과 중앙값은 각각 자료 A의 평균과 중앙 값에 2를 더한 것과 같고 분산은 서로 같다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

16

수학 성적이 과학 성적보다 높은 학생은 모두 8명이다.

∴ 8

20\100=40{%}

17

④ C는 B보다 키는 크지만, 발의 크기는 작다.

(16)

18

①, ④ 상관관계가 없다.

② 음의 상관관계

③, ⑤ 양의 상관관계

따라서 주어진 산점도는 음의 상관관계를 나타내므로 구하 는 두 변량은 ②이다.

19

원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 sABC에서 BCZ=115@+8@3=17 OXFZ를 그으면

fOEAF는 정사각형이므로 AXEZ=AXFZ=r, BXDZ=BFZ=15-r CDZ=CEZ=8-r

이때 BXDZ+CDZ=BCZ이므로 {15-r}+{8-r}=17 2r=6 ∴ r=3

20

( A의 평균)=7+8+8+8+9 5 =40

5 =8(점) ( A의 분산)={-1}@+0@+0@+0@+1@

5 =2

5 ( B의 평균)=6+6+8+10+10

5 =40

5=8(점) ( B의 분산)={-2}@+{-2}@+0@+2@+2@

5 =16

5

따라서 선수 A의 분산이 선수 B의 분산보다 작으므로 선수 A의 기록의 분포 상태가 더 고르다.

21

국어 성적이 90점인 학생은 4명이고, 이때 이 학생들의 수학 성적은 각각 60점, 70점, 80점, 90점이다.

∴ (평균)=60+70+80+90

4 =300

4 =75(점)

22

OXAZ, OXBZ를 그으면

COAP=COBP=90!이므로

CAOB=360!-{90!+50!+90!}=130! y`!

∴ CACB =1

2CAOB =1

2\130!=65! y`@

! CAOB의 크기 구하기 3점

@ CACB의 크기 구하기 3점

23

a, b, c의 평균이 5이고, 표준편차가 j2이므로 a+b+c

3 =5에서 a+b+c=15

{a-5}@+{b-5}@+{c-5}@

3 ={j2}@에서

{a-5}@+{b-5}@+{c-5}@=6 y`!

1 ⑤ 2 ② 3 ④ 4 ③ 5 ② 6 ③ 7 ⑤ 8 ②, ④ 9 ① 10 ④ 11 ③ 12 ② 13 ⑤ 14 ③ 15 ③ 16 ③ 17 ④ 18 ③ 19 3 20 10 cm 21 A 22 18 cm, 과정은 풀이 참조

23 154 cm, 과정은 풀이 참조

기말고사 예상 문제 2회

P. 104 ~ 106

1

^DXTZ=DXAZ=10, CXTZ=CBZ=5

∴ DXCZ=DXTZ+CXTZ=10+5=15

점 C에서 DXAZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 sCDH에서

CXHZ=115@-5@3=10j2

∴ AXBZ=CXHZ=10j2

2

^AXBZ+5=4+7 ∴ AXBZ=6

3

^CAPB=¹_{2 C}^AOB=¹₂^\106!=53!

이때 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 Cx+53!=106!+24!

∴ Cx=77!

4

CADB=90!이므로

CABC =CADC=90!-36!=54!

따라서 sPCB에서

CBPC=180!-{35!+54!}=91!

3a+1, 3b+1, 3c+1의 평균과 분산을 각각 구하면 (평균) ={3a+1}+{3b+1}+{3c+1}

3 =3{a+b+c}+3

3 =3\15+3

3 =16 y`@

(분산) ={3a-15}@+{3b-15}@+{3c-15}@

3

=3@9{a-5}@+{b-5}@+{c-5}@0

3

=3\6=18

∴ (표준편차)=j18k=3j2 y`#

! a+b+c, {a-5}@+{b-5}@+{c-5}@의 값 구하기 2점

@ 3a+1, 3b+1, 3c+1의 평균 구하기 3점

# 3a+1, 3b+1, 3c+1의 표준편차 구하기 2점

(17)

5

CDCF=180!-CDCB=Cx이고, sAED에서 CCDF=Cx+56!이므로 sCFD에서

{Cx+56!}+Cx+32!=180!

2Cx=92! ∴ Cx=46!

6

③ CB+CD=60!+100!=180!

7

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 Cx=CDCT=55!

CBCD=180!-{45!+55!}=80!이므로 Cy=180!-80!=100!

∴ Cx+Cy=55!+100!=155!

9

(평균) =3+10+4+8+5+6+9+8+7+5+8+6+9+10 14

=98 14=7(점)

∴ a=7

주어진 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 7번째와 8번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로 (중앙값)=7+8

2 =7.5(점)

∴ b=7.5

8점이 세 번으로 가장 많이 나타나므로 c=8

∴ a<b<c

10

주어진 자료에서 8번째 자료의 값이 중앙값이므로 a=12

5시간이 세 번으로 가장 많이 나타나므로 b=5

∴ a+b=12+5=17

11

평균이 7이므로

4+x+10+6+5+9+7+8

8 =7에서

x+49=56 ∴ x=7

주어진 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 4번째와 5번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로 (중앙값)=7+7

2 =7

12

편차의 합은 0이므로 4+a+b+{-3}+1=0

∴ a+b=-2

13

편차의 합은 0이므로

4+x+{-2}+{-1}+3+{-2}+{-1}=0

∴ x=-1

(분산)

=4@+{-1}@+{-2}@+{-1}@+3@+{-2}@+{-1}@

7

=36 7

∴ (표준편차)=q36 7 w=6j7

7 (명)

14

(평균) =5\4+6\5+7\10+8\9+9\2 30

=210

30=7(시간) (분산)

={-2}@\4+{-1}@\5+0@\10+1@\9+2@\2 30

=38 30=19

15

^a+b+6+8₄ =7에서 a+b=14 {a-7}@+{b-7}@+{-1}@+1@

4 =2.5에서

a@+b@-14{a+b}+100=10 a@+b@-14\14+100=10

∴ a@+b@=106

16

③ A반의 표준편차가 B반의 표준편차보다 작으므로 A반의 성적의 분포 상태가 더 고르다고 할 수 있다.

17

수학 성적과 과학 성적이 모두 80점 이상인 학생을 순서쌍 (수학 성적, 과학 성적)으로 나타내면

{80, 80}, {80, 90}, {90, 80}, {90, 90}, {100, 100}

의 5명이다.

19

^BXDZ=x라 하면

BEZ=BXDZ=x, CFZ=CEZ=7-x 이때 AXDZ=AXFZ이므로

10+x=9+{7-x}

2x=6 ∴ x=3

∴ BXDZ=3

20

전학을 간 선수의 키를 a cm, 전학을 온 선수의 키를 b cm 라 하면

185\10-a+b 10 =186 b=a+10

따라서 전학 온 선수는 전학 간 선수보다 키가 10 cm 더 크다.

21

( A의 평균) =2+3+4+4+5+6+6+7+8 9

=45 9 =5(점)

(18)

( A의 분산)

={-3}@+{-2}@+{-1}@+{-1}@+0@+1@+1@+2@+3@

9

=30 9=10

3

( B의 평균) =1+1+2+4+5+6+8+9+9 9

=45 9=5(점) ( B의 분산)

={-4}@+{-4}@+{-3}@+{-1}@+0@+1@+3@+4@+4@

9

=84 9=28

3

따라서 점수에 대한 분산이 A가 B보다 더 작으므로 점수의 분포 상태가 더 고른 사람은 A이다.

22

원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로

CACD：CBDC =ADi：BCi=1：2 y`! 즉, CPDC=2CPCD이므로

sPCD에서

CPCD+2CPCD+60!=180!

3CPCD=120!

∴ CPCD=40! y`@

원의 둘레의 길이를 l cm라 하면 40!：180!=4：l

∴ l=18

따라서 원의 둘레의 길이는 18 cm이다. y`#

! CACD`:`CBDC 구하기 2점

@ CPCD의 크기 구하기 3점

# 원의 둘레의 길이 구하기 2점

23

전체 학생 수가 20명이므로 상위 25 % 이내에 드는 학생 수는 20\ 25

100 =5(명)이다. y`!

이때 상위 5명의 키는 160 cm, 130 cm, 165 cm, 155 cm,

160 cm이다. y`@

∴ (평균) =160+130+165+155+160 5

=770

5 =154{cm} y`#

! 상위 25 % 이내에 드는 학생 수 구하기 2점

@ 상위 5명의 키 구하기 2점

# 키의 평균 구하기 2점