1. 고체와 탄성률
2. 유체와 압력
3. 부력
4. 유체 동력학
제10장. 고체와 유체
목차
개념흐름도
고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존들어서며 (서문)
강체가 아닌 물체의 운동과 힘을 어떻게 표현할 수 있을까?
고체의 변형과 탄성률
장력변형 층밀리기변형 부피 변형유체의 압력과 밀도
정지유체: 압력에 관한 파스칼의 원리, 부력에 관한 아르키메데스의 원리 이상유체: 압력을 포함한 역학적 에너지 보존, 베르누이 방정식물질: 상태에 따라 분류
• 고체, 액체, 기체
물질을 이루고 있는 분자 사이에 작용하는 힘 - Van der Waals force
탄성: 물체에 힘을 가하면 변형이 일어나고,
힘을 제거하면 원래의 상태로 되돌아가는 성질
• 변형력(stress) : 단위면적당 작용하는 힘 • 변형(strain) : 상대적인 변화율
• 탄성률(elastic modulus) = stress/strain
분자간에 스프링으로 연결된 것과 같은 형태의 힘을 받는다.
장력 변형력 = 단위 면적당 작용하는 힘 = F/A [N/m] 장력 변형 = 인장력에 의한 상대적 길이 변화율 = L/L L L Y A F = L L A F Y = : 영 률 [N/m]
1. 고체와 탄성률
층밀리기
(shear)
부피 변형
층밀리기 변형 = F/A 층밀리기 변형 = x/L S (층밀리기 탄성률) = L x A F 부피 변형력 = F/A 부피 변형 = V/V B (부피 탄성률) = V A F 1. 고체와 탄성률
L예제 10.1 장력 변형
반지름 R이 10 mm이고 길이가 80 cm인 강철봉에 6.0 104 N의 힘을 가해서 강철 봉을 늘인다. (가) 강철봉에 작용하는 변형력은 얼마인가? (나) 이 변형력에 의해서 늘어난 길이는 얼마인가? (다) 변형은 얼마인가? 풀이] 2 8 2 3 4 2 1.91 10 N/m ) m 10 10 ( N 10 6 = = = = − R F A F 변형력 가) 나) m 10 3 . 7 N/m 10 1 . 2 ) m 8 . 0 )( N/m 10 91 . 1 ( ) / ( 4 2 11 2 8 − = = = Y L A F L L L Y A F = from 다) 변형 % 091 . 0 10 9 m .8 0 m 10 2 . 7 4 4 = = − − = L L유체(fluid)
흐를 수 있는 물질 • 액체, 기체 밀도 • 단위 부피당 질량 [N/m] 압력 • 단위 면적당 받는 힘 V m =
A F p = 1 m2의 면적에 1 N의 힘이 작용할 경우 압력을 1 Pa(pascal)1 Pa = 1 N/m
22. 유체와 압력
pA
F =
ΔA
p
ΔF =
(평평한 면에 작용하는 균일한 힘)p : 아랫면에 작용하는 압력 p + dp : 윗면에 작용하는 압력 y A V W ( d )g g d d = = 물체가 받는 아래 방향과 위 방향의 힘의 합이 0이다.(평형상태에 있기 때문에) 0 ) d ( d − + = − W p p A pA 0 d d g − − = − A y pA A p pA g d d − = y p ( - 부호는 위로 올라 갈 수록 압력이 줄어든다) y p gd d = −
=
2 − 1 2 1 gd d y y p p p y h y y p p2 − 1 = −g( 2 − 1) = −g p p p p2 = 0 1 =2. 유체와 압력
정지유체
A h mg A h mg대기의 압력
1643년 E. Torricelli가 수은 기압계를 고안 대기의 압력에 의해 수은주를 76cm 밀어 올리는 압력을 1기압(1atm)으로 정의 = 13.6 g/cm3, g = 980 cm/s2, h = 76 cm h pa =
g ) ( ) ( ) . (13 6 g/cm 980 cm/s 76 cm atm 1 = 3 2 Pa 10 013 1 N/m 10 013 1 dyne/cm 10 013 1 6 2 = 5 2 = 5 = . . . mbar 1013 bar 013 1 = = . = 760 torr2. 유체와 압력
대기압 동영상예제 10.2 밀도의 측정
그림과 같이 U자형 관에 두 유체가 담겨 있다. 오른쪽 관에는 밀도 w인 물이 담겨 있고, 왼쪽 관에는 밀도 x를 모르는 기름이 담겨 있다. L = 120 mm이고 d = 10 mm 이다. 기름의 밀도는 얼마인가? 풀이] 대기의 압력 : p0 p0 p0 경계 p l p p경계,물 = 0 +
wg||
3 3 kg/m 923 mm 10 mm 120 mm 120 ) kg/m 1000 ( = + = + = l d l w x 경계에서 ) ( g 0 기름 경계 p d l p , = +
x +예제 10.3 액체의 밀도
1기압에서 수은 기압계에 미지의 액체를 넣었더니 액체 기둥이 676 cm의 높이를 가진다. 이때, 같은 조건에서 물기둥은 약 1014 cm의 높이를 가진다. 물의 밀도가 1 g/cm3일 때, 이 액체의 밀도는 얼마인가? 풀이] 두 액체 모두 1기압 l p물 =
wg||
atm 1 cm) 1014 ( g cm) 676 ( g = w = d p액체 =
xg 3 g/cm 1.5 5 . 1 cm 676 cm 1014 = = = w w 닫힌 정지유체에 가한 압력은 유체의 모든 부분과 그릇의 벽에 줄지 않고 전달된다
2. 유체와 압력
파스칼의 원리 파스칼의 원리와 수력기중기 2 2 1 1 A F A F p = = 1 2 1 2 A A F F = if A2 > A1, F2 > F1 2 2 1 1d A d A V = = (비압축성 유체) 2 1 1 2 A A d d = 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 F d A A d A A F d F W = = = 1 F 2 F 1 d 2 d 1 A A2아르키메데스의 원리
전부 또는 부분이 유체에 잠긴 물체는 밀어낸 유체의 무게만큼의 부력을 받는다. 물체가 유체에 잠겨 있을 경우 - 받는 압력은 위치에 따라 차이 물체 윗면에서의 압력 : 물체 아랫면에서의 압력 : 압력차 :B
V
W
=
g
=
3. 부력
1 1gh
p
=
f 2 2gh
p
=
f 1 2p
p
p
=
−
f f f Bp
A
h
h
A
V
F
=
(
)
=
g
(
2−
1)
=
g
물체를 같은 유체로 대체하였을 경우 - 유체의 무게 만큼의 힘을 위로 받는다. - 부력(Buoyancy)예제 10.4 빙산
바닷물에 떠 있는 빙산의 몇 퍼센트가 물 밖에 드러나 있는가? 풀이] 얼음의 밀도: i = 0.917 g/cm 3 바다 물의 밀도: w =1.024 g/cm3 B W 빙산의 부피 : Vi g i iV W =
W V B = w wg = 104 . 0 kg/m 1024 kg/m 917 1 1 3 3 = − = − = − w i i w i V V V 바다 물에 떠 있는 빙산은 약 10%가 물 밖에 나와 있다.예제 10.5 부력에 의한 액체 밀도 측정
어떤 물체가 스프링 저울에 매달려 있을 때, 공기 중에 있을 때는 눈금이 40 N을 가 리키고, 물 속에 잠겨 있을 때는 30 N을 가리키다. 이때, 밀도를 모르는 액체 속에 담갔더니 눈금이 35 N을 가리킨다. 이 액체의 밀도는 물의 밀도의 몇 배인가? 풀이] 평형을 고려N
F
s=
40
N
F
g=
40
N
F
s=
30
N
F
g=
40
N
F
b,water=
10
F
N
s=
35
N
F
g=
40
N
F
b,oil=
5
2
1
N
10
N
5
g
g
=
=
=
=
w f w w f f w fV
V
B
B
g f fV B = 부력유선
유체동력학
유체의 운동은 유체를 작은 입자로 나누어 이 입자들의 운동을 기술유체의 흐름
정상흐름(steady flow) • 유체내의 모든 점에서 유체의 속도가 시간에 따라 일정 ↔ 비정상흐름 비회전(irrotational)흐름 • 각 점에서 유체 내의 입자의 각속도가 없는 흐름 ↔ 회전흐름 비압축성(incompressible) • 밀도의 변화가 없는 유체 ↔ 압축 성 비점성(nonviscous) ↔ 점성 이상유체 : 정상흐름이고 회전하지 않으며 비압축성 점성이 없는 유체 • 유선 : 유체내의 입자의 경로 • 유체의 속도 : 유선에 접선방향4. 유체 동력학
동영상v1 v2 B점에서 t초 동안 A1단면을 통과한 질량 t v A = 1 1 1 C 점에서 t초 동안 A2단면을 통과한 질량 t v A = 2 2 2 유체가 밖으로 세어 나가거나 밖에서 흘러들어오는 유체가 없으므로 B, C점을 통과한 양은 같아야 한다. 2 2 2 1 1 1Av A v = 유체가 비압축성이므로 (이상유체) 1 = 2 ] / [m3 2 2 1 1v A v s A = : 단위 시간당 흐른 양(유출률) constant = Av
4. 유체 동력학
연속방정식
(부피 흐름률)그림과 같이 균일하지 않은 관에 비압축성 이상유체가 흐르는 경우 t 시간에 유체가 움직인 거리 : 단면적 : A1, A2 t v x = 1 1 2 2 2 1 1 1 p A , F p A F = = 이 힘이 한 일 : W1 = p1A1x1, W2 = −p2A2x2 비압축성이므로... A1x1 = A2x2 = V 알짜 일은... W =W1 +W2 = (p1 − p2)V 운동에너지의 변화 : 2 12 1 2 2 2 1 mv mv K = − 위치에너지의 변화 : U = mgy2 −mgy1 일-에너지 정리에 의하여 W = K + U 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ) (p − p V = mv − mv + mgy −mgy 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 p v v gy gy p − = − + − (m = V ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 v gy p v gy p + + = + +
