2 중 1

정답과 풀이 최상위 수학

중

1

2

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답지블로그

기본 도형

Ⅰ ^{도형의 기초} 1

② 4 5 6 ⑤

⑴ 3개 ⑵ 10개 ⑶ 6개 ⑷ 8개 ③ ③ ⑴ 45 ⑵ 26 ⑤

25`cm D{ } ②, ④ 1 ③ 45ù

55ù ④ 60ù 160ù 5시 15분, 5시 39 ;1¤1; 분

(가) 180ù (나) 180ù (다) ∠y 20쌍 180ù 56ù ②

⑴ 70ù ⑵ 6`cm ⑶ 5`cm 30ù ⑴ ∠f, ∠i, ∠m ⑵ ∠h, ∠k ⑶ 1 ⑴ 40ù ⑵ 55ù

⑴ ∠x=70ù ,`∠y=140ù ⑵ ∠x=25ù,`∠y=155ù 0ù 3a+b

4

7~15쪽

주제별 실력다지기

STEP

한 평면 위의 서로 다른 4개의 점 A, B, C, D 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수를 구해 보자.

A B C D

A ABê ACê ADê

B BAê BCê BDê

C CAê CBê CDê

D DAê DBê DCê

두 점을 지나는 직선의 개수 구하기 최상위

NOTE

01

표에서와 같이 한 점에서 그을 수 있는 직선의 개수는 3이고 ABê=BAê, AC ê=CAê, y와 같이 2가지씩 중복이 발생한다.

따라서 서로 다른 4개의 점 A, B, C, D 중 두 점을 지나는 직선 의 개수는 4_(4-1)

2 =4_3

2 =6이다.

마찬가지로 생각하면 한 평면 위의 서로 다른 n개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수 는 n(n-1)

2  이다.

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문제 풀이

① 점이 움직인 자리는 선이 된다.

② 점이 연속으로 이어져서 직선(길이가 무한함)이 되므로 직선 위의 점의 개수는 무수히 많다.

③ 한 점을 지나는 평면은 무수히 많다.

④ 평면과 평면이 만나면 교선이 생긴다.

⑤ 평면도형은 점과 선으로 이루어져 있다.

직육면체의 꼭짓점의 개수가 교점의 개수이므로 a=8 또, 직육면체의 모서리의 개수가 교선의 개수이므로 b=12

∴ 2a-b=2_8-12=4

원기둥에서 원 모양의 두 밑면은 평면이고, 직사각형 모양의 옆면은 곡면이다.

따라서 a=2, b=1, c=0, d=2이므로 a+b+c+d=2+1+0+2=5

교점이 없는 도형은 원기둥, 원뿔대, 반구, 구이므로 a=4

평면만으로 이루어진 도형은 사면체, 사각기둥, 삼각뿔, 팔 면체이므로 b=4

평면과 곡면으로 둘러싸인 도형은 원기둥, 원뿔대, 반구이 므로 c=3

곡면만으로 둘러싸인 도형은 구이므로 d=1

∴ a+b-c+d=4+4-3+1=6

직선 l을 세 점 A, B, C를 사용하여 나타내면 ABê, BAê, ACê, CAê, BCê, CBê이다.

⑴ 오른쪽 그림과 같이

"

# $

3_(3-1)

2 =3(개)

⑵ 오른쪽 그림과 같이

"

#

$ %

&

5_(5-1)

2 =10(개)

⑶ 오른쪽 그림과 같이

"

# $

%

4_(4-1)

2 =6(개)

직선의 양 끝은 무한이 연장되므로 직선 위의 두 점을 이용해 같은 직선을 여러 가지로 나타낼 수 있다.

⑷ 오른쪽 그림과 같이 8개

" # $

% &

CA³를 수직선 위에 나타내면

" # $ % &

① AB³ " # $ % &

② CD³ " # $ % &

③ BA³ " # $ % &

④ DC³ " # $ % &

⑤ AC³ " # $ % &

따라서 CA³에 포함되는 것은 ③ BA³이다.

①

" # $ % &

AB³와 CD³를 합한 부분은 AB³이다.

②

" # $ % &

BA³와 DE³의 공통 부분은 없다.

③

" # $ % &

BE³와 CB³의 공통 부분은 BCÓ이다.

④

" # $ % &

DE³와 DC³의 공통 부분은 점 D이다.

⑤

" # $ % &

DA³와 BA³의 공통 부분은 BA³이다.

⑴ a= 6_52 =15 b=6_5=30

∴ a+b=15+30=45

⑵ 서로 다른 5개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수는

5_42 =10

이고, 오른쪽 그림에서 세 점 A,

" % # $

&

B, C는 한 직선 위에 있으므로`

ABê=ACê=BCê ∴ a=10-2=8

또, 서로 다른 5개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 반직선의 개수는

1. 기본 도형 3

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5_4=20

이고, 마찬가지로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있으 므로` AB³=AC³`, CB³`=CA³

∴ b=20-2=18

∴ a+b=8+18=26

①

" # $ % &

ACÓ와 ADÓ를 합한 부분은 ADÓ이다.

②

" # $ % &

BCÓ와 BEÓ의 공통 부분은 BCÓ이다.

③

" # $ % &

ABÓ와 BCÓ의 공통 부분은 점 B이다.

④

" # $ % &

ABÓ와 CDÓ의 공통 부분은 없다.

⑤

" # $ % &

BDÓ와 CEÓ의 공통 부분은 CDÓ이다.

점 D는 ABÓ의 중점이므로 DBÓ=;2!; ABÓ=10(cm)

점 E는 ACÓ의 중점이므로 ECÓ=;2!; ACÓ=15(cm) 점 F는 BCÓ의 중점이므로 BFÓ=FCÓ=;2!; BCÓ=5(cm) DFÓ=DBÓ+BFÓ=10+5=15(cm) EFÓ=ECÓ-FCÓ=15-5=10(cm)

∴ DFÓ+EFÓ =15+10

=25(cm)

두 점 A(a), B(b)의 중점 C의 좌표를 구하면 C{ a+b2 }

따라서 A(a), C{ a+b2 }의 중점 D의 좌표는

;2!;{a+ a+b2 }=;2!;{3a+b 2 }

= 3a+b4

∴ D{ 3a+b4 }

①

1 2 3 4

QRÓ는 QP³에 포함되지 않는다.

③

1 2 3 4

PR³와 QP³의 공통 부분은 PQÓ이다.

⑤

1 2 3 4

QRÓ와 RSÓ의 공통 부분은 점 R이다.

ㄱ. 예각 ㄴ. 직각 ㄷ. 평각 ㅁ. 예각

ㅂ. 0ù+90ù<y-90ù+90ù<90ù+90ù에서 90ù<y<180ù

이므로 각 y는 둔각 따라서 a=2, b=1이므로 a-b=2-1=1

③ 예각의 크기에 따라 달라진다.

예를 들어 20ù+30ù=50ù인 경우는 (예각)+(예각)=(예각)이 되고, 45ù+45ù=90ù인 경우는

(예각)+(예각)=(직각)이 되며, 60ù+60ù=120ù인 경우는 (예각)+(예각)=(둔각)이 된다.

∠AOC=;4#;∠AOD이므로

∠COD=;4!;∠AOD이고, ∠EOB=;4#;∠DOB이므로

∠DOE=;4!;∠DOB이다.

∴ ∠COE=∠COD+∠DOE

=;4!;∠AOD+;4!;∠DOB

=;4!;(∠AOD+∠DOB)

=;4!;_180ù=45ù

(∠x+∠y=90ù …… ㉠ {∠y+∠z=90ù …… ㉡ 9∠x+∠z=70ù …… ㉢

㉠+㉡+㉢을 하면 2∠x+2∠y+2∠z=250ù

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∠x+∠y+∠z=125ù …… ㉣ 따라서 ㉣-㉢을 하면 ∠y=55ù

다른 풀이

∠AOC=∠BOD이므로

∠x+∠y=∠y+∠z=90ù ∴ ∠x=∠z

∠x+∠z=70ù이므로 ∠x=∠z=35ù

∴ ∠y =90ù-∠x=90ù-∠z

=90ù-35ù=55ù

④ 7530" =60"_125+30"

=125'+30"

=60'_2+5'+30"

=2ù+5'+30"

=2ù5'30"

;6%;_90ù=75ù이므로

∠a=90ù-75ù=15ù 또, ;2#;_90ù=135ù이므로

∠b=180ù-135ù=45ù

∴ ∠a+∠b=15ù+45ù=60ù

시침은 1분에 30ù60 =0.5ù, 분침은 1분에 360ù60 =6ù씩 움직인다. 12시를 기준으로 시침까지의 각도는 시침이 2시간만큼 움직이고 40분만큼 더 움직였으므로 30ù_2+0.5ù_40=80ù

또, 12시를 기준으로 분침까지의 각도는 분침이 40분만큼 움직였으므로

6ù_40=240ù

따라서 시침과 분침이 이루는 각 중 작은 각의 크기는 240ù-80ù=160ù

다른 풀이

시침이 움직인 각의 크기는 30ù_(시)+0.5ù_(분), 분침이 움직인 각의 크기는 6ù_(분)이므로

시침과 분침이 이루는 각의 크기는

|30ù_(시)-5.5ù_(분)|

따라서 2시 40분을 가리키고 있을 때, 시침과 분침이 이루 는 각의 크기는

|30ù_2-5.5ù_40| =|60ù-220ù|

=160ù

시침과 분침이 이루는 각의 크기 구하기 시침이 움직인 각의 크기는 30ù_(시)+0.5ù_(분) 분침이 움직인 각의 크기는 6ù_(분)이므로

시침과 분침이 이루는 각의 크기는 |30ù_(시)-5.5ù_(분)|

5시 x분이라 하면

|30ù_5-5.5ù_x|=67.5ù Ú 150ù-5.5ùx=67.5ù일 때

5.5ùx=82.5ù

∴ x= 82.55.5 =15 Û 5.5ùx-150ù=67.5ù일 때

5.5ùx=217.5ù

∴ x= 217.55.5 =39;1¤1;

따라서 구하는 시각은 5시 15분, 5시 39 ;1¤1; 분이다.

∠x+∠z= 180ù  이고, ∠y+∠z= 180ù  이므로

∠x+∠z=∠y+∠z ∴ ∠x=∠y

5개의 서로 다른 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞 꼭지각의 개수는

5_(5-1)=20(쌍)

맞꼭지각의 크기는 서로 같

B C

D D

E E

F F

G

으므로 오른쪽 그림에서 H

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e +∠f+∠g

=180ù

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 다음 그림과 같다.

∠x+∠x+3∠x=90ù

±

±

± Y

Y

Y Z Y

Y

5∠x=90ù

∴ ∠x=18ù

∠y+40ù+30ù=90ù

∴ ∠y=20ù

∴ 2∠x+∠y =2_18ù+20ù

=56ù

ABÓ⊥CDê, OAÓ=OBÓ일 때, CDê를 ABÓ의 수직이등분 선이라 한다.

⑴ ∠POB=90ù이므로

∠POD=90ù-20ù=70ù

⑵   PQê가 ABÓ의 수직이등분선이므로 BOÓ=AOÓ=6`cm

⑶ PQÓ=10`cm이고,

ABÓ가 PQÓ를 수직이등분하므로 POÓ=QOÓ=5`cm

따라서 점 Q에서 ABÓ까지의 거리는 5`cm이다.

1. 기본 도형 5

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∠AOD=10∠COD이므로

∠AOD=∠AOC+∠COD에서

10∠COD=90ù+∠COD, 9∠COD=90ù

∴ ∠COD=10ù

또, ∠BOE=3∠DOE이므로

∠COB=∠COD+∠DOE+∠BOE에서 90ù=10ù+∠DOE+3∠DOE, 4∠DOE=80ù

∴ ∠DOE=20ù

∴ ∠COE =∠COD+∠DOE

=10ù+20ù

=30ù

⑶ ∠c의 동위각은 ∠h, ∠k, ∠p이므로 x=3

∠b의 엇각은 ∠e, ∠q이므로 `y=2

∴ x-y=3-2=1

⑴ 오른쪽 그림과 같이 세 점

±

±±

± ±

±

± ±

M

N

"

#

$

A, B, C에서 두 직선 l, m에 평 행한 직선을 그으면 평행선과 엇 각의 성질에 의하여

∠x=20ù+20ù=40ù

⑵ 오른쪽 그림과 같이 세 점 ± Y±

±Y

Y± ±Y

Y± Y±

M

Y± Y± N

Y±

"

$ ± #

A, B, C에서 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으 면 평행선과 동위각, 엇각 의 성질에 의하여

35ù ={∠x+20ù-(220ù-3∠x)}

+{2∠x-10ù-(∠x+30ù)}

=(4∠x-200ù)+(∠x-40ù)

=5∠x-240ù

5∠x=275ù ∴ ∠x=55ù

⑴ 접은 각의 크기는 서로 같

# $

%

"

&

± Y Y

으므로 Z

∠BAC=∠DAC=∠x 따라서 2∠x+40ù=180ù 이므로

2∠x=140ù ∴ ∠x=70ù 또, 평행선과 엇각의 성질에 의하여

∠y=∠^BAD=2∠x

∴ ∠y=2∠x=140ù

⑵ 접은 각의 크기는 서로 같으므로

"

#

$

&

±

% Y YY

Z

∠CBD=∠ABC=∠x 또, 평행선과 엇각의 성질에 의

하여

∠ABD=∠BAE=50ù 따라서 2∠x=50ù이므로

∠x=25ù

또한, ∠ACB=∠CBD=25ù이므로

∠y=180ù-25ù=155ù

평행선과 엇각의 성질에 의

Z ±

Y

"

# $ %

& '

M

N

하여

∠ADC =∠DAF

=∠CAD=30ù

∠^BAC=∠^EAB

=;2!;(180ù-∠CAF)

=;2!;(180ù-2_∠CAD)

=;2!;(180ù-2_30ù)=60ù

∴ ∠x=∠EAB=60ù

또, 평행선과 엇각의 성질에 의하여

∠y=∠CAF=60ù

∴ ∠x-∠y=60ù-60ù=0ù

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3 ㄱ, ㅂ ;1Á8; a+;3!; 56 2시 43 ;1¦1; 분

5시 16 ;1¢1; 분, 5시 38 ;1ª1; 분 48ù 20ù

∠b의 동위각：∠f, ∠i / ∠c의 엇각：∠e, ∠l 10ù 180ù 60ù

80ù 24ù 1`:`2 170ù 50ù 50ù

150ù 60ù 18ù 40ù 55ù 335ù

290ù

a+b+2c 4

16~21쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

ㄱ. 평행한 두 직선이 서로 다른 한 직선과 만날 때, 동위각의 크기는 서로 같다.

ㄴ. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.

ㄷ. 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 만나지 않는다.

ㄹ. 선분 AB의 길이가 5`cm이면 ABÓ=5`cm이다.

ㅅ. 선분의 양 끝 점에서 같은 거리에 있는 점들은 수직이 등분선 위에 있다.

따라서 참인 것은 ㅁ, ㅂ, ㅇ, ㅈ이므로 a=4 거짓인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅅ이므로 b=5

∴ 2a-b=2_4-5=3

ㄱ.

" # $ %

ABÓ와 BC³의 공통 부분은 점 B이다.

ㅂ.

" # $ %

AB³와 BA³의 공통 부분은 ABÓ이다.

A½B의 좌표가 a+b2 이므로 (A½B)½C의 좌표는

;2!;{ a+b2 +c}=;2!;{a+b+2c 2 }

= a+b+2c4

표현 단계 ABÓ=a이므로 ACÓ=;3!;a이고, CDÓ=;3!; CEÓ=;3!;(ABÓ-ACÓ-BEÓ)

=;3!;{;3@;a-2}=;9@;a-;3@;

변형 단계 ADÓ=ACÓ+CDÓ=;3!;a+;9@;a-;3@;=;9%;a-;3@;

이므로

AMÓ=;2!; ADÓ=;2!;{;9%;a-;3@;}=;1°8;a-;3!;

서술형

풀이 단계 ∴ CMÓ=ACÓ-AMÓ

=;3!;a-{;1°8;a-;3!;}

=;1¤8;a-;1°8;a+;3!;

확인 단계 =;1Á8;a+;3!;

DEê=EFê=DFê이므로 직선의 개수는 6_(6-1)

2 -2=13 ∴ a=13

DE³=DF³, FE³=FD³이므로 반직선의 개수는 6_(6-1)-2=28 ∴ b=28

선분의 개수는 6_(6-1)

2 =15 ∴ c=15

∴ a+b+c =13+28+15

=56

2시 x분에 시침과 분침이 일직선이 된다고 하면

|30ù_2-5.5ù_x|=180ù

이때 시침보다 분침이 움직인 각도가 더 크므로 5.5ùx-60ù=180ù

5.5ùx=240ù

∴ x=43 ;1¦1;

따라서 구하는 시각은 2시 43 ;1¦1;분이다.

표현 단계 분침은 한 시간에 360ù, 시침은 한 시간에 360ù

12 =30ù만큼 움직이므로

한 평면 위의 서로 다른 여러 개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으면 두 점을 지나는 직선의 개수와 선분의 개수가 일치한다. 하지 만 한 직선 위에 있는 세 점이 존재하는 경우 두 점을 지나는 직선의 개수 보다 선분의 개수가 더 많음에 유의해야 한다.

서술형

1. 기본 도형 7

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분침은 1분에 360ù60 =6ù, 시침은 1분에 30ù60 =0.5ù 만큼 움직인다.

변형 단계 바늘이 12시일 때를 0ù라 하면 5시 x분일 때 (시침이 움직인 각도) =30ù_5+0.5ùx

=150ù+0.5ùx (분침이 움직인 각도)=6ùx

풀이 단계 따라서 5시와 6시 사이에 시침과 분침이 이루는 각의 크기는

150ù+0.5ùx-6ùx 또는 6ùx-(150ù+0.5ùx)이 다.

Ú 150ù+0.5ùx-6ùx=60ù에서

5.5ùx=90ù ∴ x=:»5¼5¼:=:Á1¥1¼:=16 ;1¢1;

Û 6ùx-(150ù+0.5ùx)=60ù에서

5.5ùx=210ù ∴ x=;:@5!5):);=:¢1ª1¼:=38;1ª1;

확인 단계 따라서 구하는 시각은 5시 16`;1¢1;`분, 5시 38`;1ª1;`분이다.

맞꼭지각의 크기는 서로 같 Y±

Y±

Y±

Y±

Y±

Y

Y Y±

Y±

Z

으므로 오른쪽 그림에서 (∠x+10ù)+(∠x-10ù)

+(2∠x-30ù)+3∠x +(∠x+10ù)+(2∠x+10ù)

=180ù 10∠x=190ù

∴ ∠x=19ù

∠y=∠x+10ù=19ù+10ù=29ù

∴ ∠x+∠y=19ù+29ù=48ù

표현 단계 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠COD=∠GOH=∠y

변형 단계 즉, ∠AOC=9∠BOC=9∠x이고,

∠COE=9∠COD=9∠y이다.

풀이 단계 ∠AOC+∠COE=180ù이므로

9∠x+9∠y=180ù, 9(∠x+∠y)=180ù

확인 단계 ∴ ∠x+∠y=20ù

∠b와 같은 위치에 있는 각, 즉 동위각은 ∠f, ∠i이고,

∠c와 엇갈린 위치에 있는 각, 즉 엇각은 ∠e, ∠l이다.

표현 단계 lm이므로 ∠CAB+∠ABD=180ù

서술형

서술형

변형 단계 ∠CAB`:`∠ABD=5`:`4이므로

∠CAB=180ù_;9%;=100ù,

∠ABD=180ù_;9$;=80ù

풀이 단계 lm이므로

∠x=∠CAD=;2!;∠CAB=;2!;_100ù=50ù

∠y=∠CBD=;2!;∠ABD=;2!;_80ù=40ù

확인 단계 ∴ ∠x-∠y =50ù-40ù=10ù 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 30ù+(∠x+20ù)+90ù=180ù

∴ ∠x=40ù

또, 20ù+∠z+90ù=180ù이므로

∠z=70ù

평행선과 엇각의 성질에 의하여

∠y=∠z=70ù

∴ ∠x+∠y+∠z =40ù+70ù+70ù

=180ù

접은 각의 크기는 같으므로 _"

# $

& %

% Z

Y Z

±[

∠DEC=∠D'EC=∠y ±

△CED'에서 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠y+20ù+90ù=180ù

∴ ∠y=70ù

∠x=180ù-70ù_2=40ù

또, ∠DCE=∠D'CE=20ù이므로

∠z=90ù-20ù_2=50ù

∴ ∠x+∠y-∠z=40ù+70ù-50ù=60ù

오른쪽 그림의 점 C에서 두

±

±

± ±

M

N

"

$

# Z Z

직선 l, m과 평행한 직선을 그으 Y

면 동위각, 엇각, 맞꼭지각의 크기 가 각각 같고, △^{ABC의 세 내각} 의 크기의 합이 180ù이므로

∠x+60ù+∠y+40ù=180ù

∴ ∠x+∠y=80ù

오른쪽 그림의 두 점 A, B에서

± ±

" ±Z

±Z #

M

N

±

Z

두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면 Z

∠x=(60ù-∠y)+60ù

∴ ∠x+∠y=120ù

한편 ∠x`:`∠y=3`:`2이므로

∠x=120ù_;5#;=72ù

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∠y=120ù_;5@;=48ù

∴ ∠x-∠y=72ù-48ù=24ù

표현 단계 보조선 OD를 긋고 ∠OCD=∠a라 하자.

변형 단계

" $

#

9 0

; :

B %

B B

B B B

풀이 단계 CDÓ=OAÓ=ODÓ=OBÓ이므로 △DOC와 △BOD 는 모두 이등변삼각형이다.

한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같으므로

∠ODB=∠OBD=2∠a BCÓOZÓ이므로

∠BOZ=∠DBO=2∠a(엇각)이고,

∠AOZ=∠OCB=∠a(동위각)

확인 단계 ∴ ∠XOZ`:`∠YOZ =∠a`:`2∠a=1`:`2

다음 그림의 세 점 A, B, C를 지나고 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면

M

N B

C

D E

±

BC

BCD BCDE B "

#

$

∠a+∠b+∠c+∠d+10ù=180ù

∴ ∠a+∠b+∠c+∠d=170ù

ABÓCDÓ이므로

C

±

±

B

# %

$ & '

"

±

∠BCD =∠ABC

=30ù(엇각) BCÓDEÓ이므로

∠BCD+∠a=30ù+∠a=70ù(동위각)

∴ ∠a=40ù 또, BCÓDEÓ이므로

∠b=∠BCD=30ù(엇각)

∴ 2∠a-∠b=2_40ù-30ù=50ù

서술형

∠^FA'B=20ù, _" ^& _%

# $

$

)

%

(

"

±Y

± ±

∠EA'F=90ù이므로

∠EA'G

=180ù-(20ù+90ù)

=70ù

또, ∠EGA'=∠HGD'=60ù(맞꼭지각)이고,

△EA'G의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠x+70ù+60ù=180ù

∴ ∠x=50ù

오른쪽 그림의 점 B에서 _M

N

"

#

$

%

&

Y Z ±

두 직선 l, m과 평행한 직선을 긋고,

∠^DAB=∠a, ∠^ECB=∠b

라 하면 평행선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로

∠a+∠b=30ù

∠y =2∠a+2∠b=2(∠a+∠b)

=2_30ù=60ù

∠x =3∠a+3∠b=3(∠a+∠b)

=3_30ù=90ù

∴ ∠x+∠y=90ù+60ù=150ù

△ABC는 정삼각형이므로 "

M

N

±

#

$

%

&

Y

Z

∠ABC=60ù

∠DAB=∠ABE(엇각)이므로

∠x=∠y+60ù

∴ ∠x-∠y=60ù

표현 단계 오른쪽 그림과 같이

$

"

#

M

N O

Y

1

B

B 3 2

%

BB

∠PAD=3∠a,

∠^RCD=7∠a라 하 자.

변형 단계 꼭짓점 D를 지나고 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면

∠^ADC=3∠a+7∠a=90ù 즉, 10∠a=90ù이므로 ∠a=9ù

∠PAD=3_9ù=27ù,

∠RCD=7_9ù=63ù

풀이 단계 ABCD는 정사각형이므로 ∠^CDB=45ù

△CDQ에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

∠RCD=∠CDB+∠x, 63ù=45ù+∠x

확인 단계 ∴ ∠x=18ù

서술형

1. 기본 도형 9

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lm이므로 엇각의 크기는 서로 같다.

따라서 ∠ABC=30ù+70ù=100ù이고, 2∠ABD=3∠CBD에서

∠^ABD`:`∠^CBD=3`:`2

∴ ∠CBD=100ù_;5@;=40ù

△ABD의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠BAD =180ù-(45ù+25ù)

=110ù

∴ ∠DAF=;2!;∠BAD=55ù ADÓBCÓ이므로

∠x=∠DAF=55ù

다른 풀이

ADÓBCÓ이므로

±

±

"

# $

%

&

Y YY

'

±

∠^BAE=∠^DAE=∠x

∠DBE=∠ADB=25ù

평행사변형에서 이웃한 두 내각의

크기의 합은 180ù이므로 ∠x+∠x+45ù+25ù=180ù이다.

∴ ∠x=55ù

표현 단계 보조선을 긋고 각 점을 A~J로 나타낸다.

변형 단계 △ACB에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두

서술형

내각의 크기의 합과 같으므로 ∠BCD=∠a+∠b lm이므로 ∠IJA=∠BCD=∠a+∠b 또한, △^EGF와 △^DHE에서

∠EDH+∠EHD=∠c+∠d

풀이 단계

M

N

±

B

BC BC

C

E D F

G

$

%

& '

) (

* +

"

#

즉, DHIJ의 내각의 총합은 360ù이므로

∠a+∠b+25ù+∠c+∠d+∠e+∠f=360ù

확인 단계 ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=335ù

오른쪽 그림의 두 점 F, G를

M

N

±

±

Y±

Z±

± ±

±

±±

"

$ #

%

&

' ( )

±

지나고 두 직선 l, m과 평행한 직 선을 그으면 △ABC에서 한 외각 의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

∠ECD=10ù+50ù=60ù

∴ ∠CED=180ù-(60ù+50ù)=70ù 평행선의 성질을 이용하면 위의 그림에서 (∠x-40ù)+(∠y-70ù)=180ù

∴ ∠x+∠y=290ù

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15`cm y=2x 4`cm 40ù 12ù 50ù

180ù-4∠a 10ù 360ù 128ù 풀이 참조 270ù

풀이 참조

최고 실력 완성하기

STEP

문제 풀이

주어진 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

" % & # ' $

 

    

AEÓ=2EBÓ이므로

EBÓ=;3!; ABÓ=;3!;_18=6(cm) ACÓ=2BCÓ이므로

BCÓ=ABÓ=18`cm 점 D는 ABÓ의 중점이므로 DBÓ=;2!; ABÓ=;2!;_18=9(cm) 점 F는 ECÓ의 중점이므로 EFÓ=CFÓ=;2!; ECÓ

=;2!; (EBÓ+BCÓ)=;2!;_24=12(cm)

∴ EBÓ=BFÓ=BCÓ-CFÓ=18-12=6(cm) DEÓ=DBÓ-EBÓ=9-6=3(cm)

∴ DFÓ =DEÓ+EFÓ=3+12=15(cm)

∠A+∠B=y yy`㉠

∠CDE+∠DCE=180ù-x이므로

∠C+∠D=2(180ù-x)=360ù-2x yy`㉡

그런데 ∠A+∠B+∠C+∠D=360ù이므로

㉠, ㉡에서

y+360ù-2x=360ù y-2x=0 ∴ y=2x

DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각) 따라서 △DBI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ=3`cm

이때 DEÓ=DIÓ+IEÓ이므로 IEÓ=DEÓ-DIÓ=7-3=4(cm)

또, ∠EIC=∠ICB(엇각)이므로 △EIC는 이등변삼각형 이다.

∴ CEÓ=IEÓ=4`cm

22~25쪽

∠BEF=∠ABE=60ù(엇각), 2∠BEC=∠CEF이므로

± M

N

" # $

% & '

Z

Y Z Y

∠y=∠CEF=;3@;∠BEF

=;3@;_60ù=40ù

또, ∠BED=180ù-∠BEF=120ù, 2∠AEB=∠AED이므로

∠x=∠AED=;3@;∠BED

=;3@;_120ù=80ù

∴ ∠x-∠y=80ù-40ù=40ù

오른쪽 그림의 두 점 B, C에 ^"

&

#

$

M

Y N

Y %

±Y

±Y

Y Y

서 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면

(108ù-∠x)+(108ù-2∠x)

=180ù

216ù-3∠x=180ù, 3∠x=36ù

∴ ∠x=12ù

접은 각의 크기는 서로 같으므로

∠BDC=∠BDE yy`㉠

또, 평행선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로

∠BDC=∠EBD yy`㉡

㉠, ㉡에서 ∠BDE=∠EBD이므로 △EBD는 이등변삼 각형이고, 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠BDE=∠EBD

=;2!;(180ù-80ù)=50ù

오른쪽 그림과 같은 정오각형 "

&

#

$

M

C N

C %

±B

±C

B B

ABCDE에서 lm일 때, ∠a와 ∠b에 대 하여

(108ù-∠a)+(108ù-∠b)=180ù 216ù-∠a-∠b=180ù

∴ ∠a+∠b=36ù

즉, ∠a와 ∠b의 크기의 합은 36ù로 항상 일정하다.

1. 기본 도형 11

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△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로

∠ACB=∠ABC=∠a

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

∠CAD=2∠a

또, △CAD는 ACÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로

∠CDA=∠CAD=2∠a ACÓDEÓ이므로

∠EDF=∠CAD=2∠a`(동위각)

따라서 ∠ADC+∠CDE+∠EDF=180ù이므로 2∠a+∠CDE+2∠a=180ù

∴ ∠CDE=180ù-4∠a

ADÓBCÓ이므로

∠DEF=∠EFB=50ù`(엇각) 또, 접은 각의 크기는 같으므로

∠BEF=∠DEF=50ù

따라서 △BEF에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠EBF=180ù-(50ù+50ù)=80ù

∴ ∠ABE =∠ABF-∠EBF

=90ù-80ù

=10ù

삼각형의 한 외각의 크기는

B

C F

D FE

M

N

"

# EF

CD

그와 이웃하지 않는 두 내각의 크 $

기의 합과 같다.

오른쪽 그림에서 △ABC의 세 내 각의 크기의 합은 180ù이므로

(180ù-∠a)+(180ù-∠b-∠c)+(180ù-∠d-∠e)

=180ù

540ù-∠a-∠b-∠c-∠d-∠e=180ù

∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=360ù

다음 그림과 같이 두 직선 l, m과 평행한 세 직선을 그으면

Y±±

± ±Y Y±

Y±

M

N

±

± ±

±Y ± Y±

±

Y±

Y

Z

∠y+(∠x-50ù)+70ù=180ù

∴ ∠x+∠y=160ù

따라서 ∠x`:`∠y=3`:`2이므로

∠x=160ù_;5#;=96ù

∠y=160ù_;5@;=64ù

∴ 2∠x-∠y =2_96ù-64ù

=128ù

;1¦5;(바퀴)=;1¦5;_360ù=168ù, 720ùÖ360ù=2(바퀴),

;8&;(바퀴)=;8&;_360ù=315ù, 22.5ùÖ360ù=;1Á6;(바퀴), 1;9$;(바퀴)=:Á9£:_360ù=520ù

오른쪽 그림에서 지구 ^"

# $

∠"∠#∠$±이므로 (△"#$의 내각의 크기의 합)±

의 위도와 경도는 항상 수직 이므로

ABÓ⊥BCÓ, ACÓ⊥BCÓ이다.

따라서

∠A=∠B=∠C=90ù 이므로 △ABC의 내각의 크기의 합은 270ù이다.

지도 상의 거리를 환산한 것은 두 지점의 거리를 평면 위의 거리로 생각한 것이고, 실제 거리는 둥근 지구 표면을 따라 움직인 곡선의 거리이다. 따라서 실제 거리는 지도 상 의 거리를 환산한 것보다 항상 크게 된다. 또, 지구 위의 두 지점 사이의 거리는 실제로는 직선이 아니라 곡선이므로 두 지점을 차를 타고 이동한 거리는 실제로는 ‘곡선’이다.

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위치 관계

2

ㄴ,`ㅁ ㄱ,`ㅁ,`ㅅ cd

⑴ BEÓ,`CFÓ ⑵ ADÓ,`BEÓ ⑶ ABÓ,`ADÓ,`BCÓ,`CFÓ ⑷ ADÓ, DEÓ, DFÓ ⑸ ACÓ, ADÓ, CFÓ, DFÓ DFÓ

② ㄴ,`ㅁ,`ㅇ ⑴ 3 ⑵ 3 17

⑴ ABÓ,`DCÓ,`EFÓ,`HGÓ ⑵ 면 AEHD,`면 BFGC ⑶ 면 AEFB,`면 EFGH ⑷ 면 EFGH,`면 BFGC ⑸ 4`cm ⑹ 90ù

④ ③, ⑤ ⑴ 3 ⑵ 2 5 ⑴ 면 ABCD,`면 EFGH ⑵ 6`cm

8개 ⑴ 면 DEFM ⑵ 면 FKLM, 면 GHIJ ㄴ,`ㅁ,`ㅅ,`ㅇ ㄷ,`ㅁ,`ㅂ,`ㅊ 27~33쪽

주제별 실력다지기

STEP

오른쪽 그림을 보면 두 평면이 오직 한 점에 서만 만나는 것처럼 보인다. 하지만 두 평면 이 오직 한 점에서만 만나는 것은 실제로는 불가능하다.

평면의 범위는 무한하다.

최상위 NOTE

02

평면을 나타낼 때는 단지 시각적인 이해를 위해 평행사변형으로 나타내지만 사실은 무한히 뻗어 나간다. 그래서 그림을 정확히 그 리면 두 평면은 한 점에서만 만나는 것이 아니라 한 직선에서 만 나게 된다.

2. 위치 관계 13

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문제 풀이

ㄴ. 점 B는 직선 m에 속하지 않고, 두 직선 l, n에 속한다.

ㅁ. 직선 l과 직선 m의 공통 부분은 점 A이다.

ㄴ. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 1개이다.

ㄷ. 서로 다른 세 점을 지나는 직선은 없을 수도 있다.

ㄹ. 한 직선과 두 점에서만 만나는 직선은 없다.

ㅂ. 한 직선 위에 있지 않은 점을 지나고, 이 직선에 수직인 직선은 1개이다.

한 평면 P 위에 4개의 직선 a, b,

B C D

E 1

c, d가 있을 때, ab, bc이면 ac 이고, ad이므로 cd이다.

⑷ BCÓ와 만나는 모서리 ABÓ, BEÓ, CAÓ, CFÓ와 BCÓ와 평행한 모서리 EFÓ를 제외한 ADÓ, DEÓ, DFÓ는 꼬인 위 치에 있다.

⑸ BEÓ와 만나지 않는 모서리는 BEÓ와 평행한 모서리 ADÓ, CFÓ와 BEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리 ACÓ, DFÓ이다.

주어진 전개도로 삼각뿔을 만들면 " $ &

#

% '

오른쪽 그림과 같다.

따라서 ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리 는 DFÓ이다.

①, ③ l⊥m, l⊥n이면 직선 m과 직선 n은 만나거 나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

④, ⑤ lm, l⊥n이면 직선 m과 직선 n은 수직이거나 꼬 인 위치에 있다.

ㄱ. 서로 만나지도 평행하지도 않은 두 직선은 꼬인 위치에 있으므로 한 평면 위에 있지 않다.

ㄷ, ㅂ, ㅅ. 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 평 면을 하나로 결정한다.

ㄹ. 평행하거나 한 점에서 만나는 두 직선이 평면을 하나로 결정한다.

⑴ 오른쪽 그림과 같이 한 평면 ^M

O

위에 있지 않고, 서로 평행한 세 직 N

선 l, m, n에 대하여 이들 중 두

직선을 포함하는 평면은 직선 l과 직선 m을 포함하는 평면, 직선 l과 직선 n을 포함하는 평면, 직선 m과 직선 n을 포함하는 평면으로 평면의 개수는 3이다.

⑵ 오른쪽 그림과 같이 한 평면 위에 있지 M N O

않은 세 직선 l, m, n이 한 점에서 만날 때, 이들 중 두 직선을 포함하는 평면은`

직선 l과 직선 m을 포함하는 평면, 직선 l과 직선 n을 포함하는 평면, 직선 m과

직선 n을 포함하는 평면으로 평면의 개수는 3이다.

Ú 4개의 점 A, B, C, D로 만들 수 있는 평면의 개수：

1

Û 평면 위의 4개의 점 중 2개와 점 E 또는 점 F로 만들 수 있는 평면의 개수：

4_32 _2=12

Ü 평면 위의 4개의 점 중 1개와 두 점 E, F로 만들 수 있 는 평면의 개수：4

Ú, Û, Û에서 평면의 개수는 1+12+4=17

직선과 평면이 수직이려면 직선은 평면과 한 점에서 만나고, 그 점을 지나는 평면 위의 최소한 2개의 직선과 동 시에 수직이어야 한다.

즉, BEÓ⊥DEÓ, BEÓ⊥EFÓ

직선과 평면이 수직이려면 직선은 평면과 한 점에서 만나고, 그 점을 지나는 평면 위의 최소한 2개의 직선과 동 시에 수직이어야 한다.

즉, 면 ABC 위의 두 모서리 ABÓ와 BCÓ에 대하여 ABÓ⊥BEÓ, BCÓ⊥BEÓ이면 면 ABC와 BEÓ는 수직이다.

⑴ CIÓ와 수직인 면은 면 CGHD이므로 a=1 면 AEJI와 평행한 모서리는 CGÓ, DHÓ이므로 b=2

∴ a+b=1+2=3

⑵ EJÓ와 평행한 평면은 면 AICD이므로 c=1

면 AICD와 수직인 모서리는 AEÓ, IJÓ, CGÓ, DHÓ이므로 d=4

CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AEÓ, IJÓ, EJÓ, JGÓ, EHÓ이므로 e=5

∴ c-d+e=1-4+5=2

ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CDÓ, DEÓ, EFÓ, CFÓ 이므로 a=4

ABÓ와 평행한 모서리는 DFÓ이므로 b=1

∴ a+b=5

한 평면 위에 있는 네 점이 존재하는 경우

평면 위에 있는 여러 개의 점 중 사용하는 점의 개수에 따라 분류하면 쉽 게 구할 수 있다.

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두 평면 P와 Q가 한 직선에

2 1

3 0

서 만나면 공간은 4개의 부분으로 나누어지고, 세 평면 P, Q, R가 오른쪽 그림과 같이 한 점 O에서 만나면 공간은 8개의 부분으로 나 누어진다.

전개도로 입체도형을 만들면

% ) & (

'

" ,

$ *

.

# + / -

오른쪽 그림과 같다.

⑴ 면 ABCN과 평행한 면은 면 DEFM이다.

⑵ ABÓ와 수직인 면은 면 FKLM, 면 GHIJ이다.

ㄱ. 한 평면에 평행한 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

ㄷ. 한 평면에 수직인 두 평면은 만나거나 평행하다.

ㄹ. 한 직선에 수직인 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

ㅂ. 한 직선에 평행한 두 평면은 만나거나 평행하다.

ㄱ. l⊥m, m⊥n이면 두 직선 l, n은 만나거나 평행 하거나 꼬인 위치에 있다.

ㄴ. P⊥Q, Q⊥R이면 두 평면 P, R는 만나거나 평행하다.

ㄹ. lm, m⊥n이면 두 직선 l, n은 만나거나 꼬인 위치 에 있다.

ㅅ. lP, mP이면 두 직선 l, m은 만나거나 평행하거 나 꼬인 위치에 있다.

ㅇ. P⊥Q, P⊥R이면 두 평면 Q, R는 만나거나 평행하다.

ㅈ. lP, lQ이면 두 평면 P, Q는 만나거나 평행하다.

2. 위치 관계 15

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④,`⑤ 6 풀이 참조 20 풀이 참조 ⑤

5 ㄱ,`ㄹ,`ㅁ 6 EHÓ ①, ④ 면 IJKL

꼬인 위치 7 2 2 15ù EFÓ, FGÓ

④ ②,`⑤

34~38쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

④ 서로 다른 세 직선 중에서 두 직선이 반드시 평행 하지는 않다.

⑤ 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

네 직선 a, b, c, d 중에서 두 직 ^B

C

D E

선을 포함하는 평면은

직선 a와 직선 b를 포함하는 평면, 직선 a와 직선 c를 포함하는 평면, 직선 a와 직선 d를 포함하는 평면, 직선 b와 직선 c를 포함하는 평면, 직선 b와 직선 d를 포함하는 평면,

직선 c와 직선 d를 포함하는 평면으로 평면의 개수는 6이다.

표현 단계 두 직선이 평행하려면 다음 두 조건을 모두 만족해 야 한다.

① 만나지 않는다.

② 한 평면 위에 있다.

풀이 단계 PQ이므로 두 평면 P와 Q는 만나지 않는다.

직선 a는 평면 P 위에 있고, 직선 b는 평면 Q 위 에 있으므로 두 직선 a, b는 서로 만나지 않는다.

그런데 두 직선 a, b는 한 평면 R 위에 있다.

확인 단계 따라서 두 직선 a, b는 한 평면 위에 있으면서 서 로 만나지 않으므로 서로 평행하다.

Ú 평면 P 위의 두 점과 평면 Q 위의 한 점으로 만들 수 있는 평면의 개수：3_3=9

Û 평면 P 위의 한 점과 평면 Q 위의 두 점으로 만들 수 있 는 평면의 개수：3_3=9

Ü 평면 P와 평면 Q：2 Ú, Û, Ü에서 평면의 개수는 9+9+2=20

서술형

풀이 단계 평면이 하나로 결정되기 위한 조건은 다음과 같다.

첫째, 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 주어진 경 우

둘째, 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점이 주어 진 경우

셋째, 한 점에서 만나는 두 직선이 주어진 경우 넷째, 평행한 두 직선이 주어진 경우

한 직선 위에 있는 세 점은 한 평면을 결정할 수 없으므로 6개의 점 A, B, C, D, E, F로 만들 수 있는 평면은 다음과 같이 13개이다.

Ú 평면 P 위의 두 점과 평면 Q 위의 한 점으로 만들 수 있는 평면

⇨ 면 ABD, 면 ABE, 면 ABF, 면 BCD, 면 BCE, 면 BCF, 면 ACD, 면 ACE, 면 ACF Û 평면 P 위의 한 점과 평면 Q 위의 세 점 D, E,

F로 만들 수 있는 평면

⇨ 면 ADEF, 면 BDEF, 면 CDEF Ü 평면 P 위의 세 점으로 만들 수 있는 평면

⇨ 면 ABC

전개도로 입체도형을 만들면 오 " &

# %

$ '

른쪽 그림과 같다.

①, ②, ③, ④ 꼬인 위치에 있다.

⑤ ACÓ와 DEÓ는 한 점 A(E)에서 만 난다.

CDÓ와 수직으로 만나는 모서리는 ADÓ, BCÓ, CGÓ, DHÓ 이므로

a=4

또, CDÓ와 평행한 모서리는 ABÓ, EFÓ, HGÓ이므로 b=3

∴ 2a-b=2_4-3=5

서술형

CDÓ와 수직으로 만나는 모서리는 CDÓ와 수직인 평면 CBFG, 평면 AEHD 위에 있는 모서리임을 이해한다.

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꼬인 위치는 공간에서 만나

" (

# ' $ &

+ -

* . / )

%

,

지도 않고, 평행하지도 않은 두 직선의 위치 관계이므로 보기 중 에서 KNÓ, DGÓ, MNÓ이 CJÓ와 꼬 인 위치에 있다.

변형 단계 주어진 전개도로 입

$

# %

'

*

, . ) + /

" & ( -

체도형을 만들면 오 른쪽 그림과 같다.

풀이 단계 EFÓ와 수직인 면은 면 ABMN과 면 CFIL이므로 a=2

LÕMÓ과 꼬인 위치에 있는 모서리는 CFÓ, DEÓ, NAÓ, IFÕ이므로 b=4

확인 단계 ∴ a+b=2+4=6

표현 단계 꼬인 위치에 있는 두 직선의 조건은 다음과 같다.

① 만나지 않는다.

② 평행하지 않는다.

③ 한 평면 위에 있지 않다.

변형 단계 CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AEÓ, BFÓ, EFÓ, EHÓ, FGÓ, GHÓ, IJÕ, JKÓ, JGÓ이고, DHÓ와 수직으로 만나는 모서리는 ADÓ, CDÓ, IKÓ, JKÓ, EHÓ, GHÓ이 므로 두 조건을 모두 만족하는 모서리는 EHÓ, GHÓ, JKÓ이다.

풀이 단계 그러므로 이 중에서 면 JGHK에 포함되지 않는 모서리는 EHÓ이다.

확인 단계 EHÓ

두 평면 P, Q가 수직이 되려면 평면 P가 평면 Q에 수직인 직선을 포함해야 하므로 두 평면 P, Q가 수직이 되 기 위한 조건은 AOÓ⊥CDÓ, AOÓ⊥BOÓ이다.

면 ABMN과 수직인 면

$

# %

'

*

, . ) + /

" & (

은 면 BCLM, 면 CDEF, -

면 FGHI, 면 IJKL이고, 이 중에서 면 CDEF와 평행한 면은 면 IJKL이다.

CEÓ와 KIÓ는 만나지도 않고, 평행하지도 않으므로 꼬 인 위치에 있다.

서술형

서술형

ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CHÓ, DIÓ, EJÓ, GHÓ, HIÓ, IJÕ, JFÓ이므로 a=7

ABÓ와 평행한 모서리는 FGÓ이므로 b=1

ABÓ와 수직으로 만나는 모서리는 AFÓ, BGÓ이므로 c=2

∴ a-2b+c=7-2+2=7

서로 평행한 평면은 면 ABCDE와 면 FGHIJ이므로 1쌍이다. 즉, x=1

면 ABCDE와 수직인 평면은 옆면 5개이므로 y=5 면 ABGF와 수직인 평면은

면 ABCDE와 면 FGHIJ이므로 z=2

∴ 3x-y+2z=3-5+4=2

면 ACD와 수직인 모서리는 AEÓ, CGÓÓ, DHÓ이므로 a=3

면 AEHD와 수직인 면은 면 ACD, 면 AFE, 면 CGHD, 면 EFGH이므로 b=4

면 ACF와 평행한 면은 없으므로 c=0

∴ 2a-b+c=6-4+0=2

△AFC는 정삼각형이므로 ∠AFC=60ù

△ACD는 직각이등변삼각형이므로 ∠^ACD=45ù 또, 면 ACD와 CGÓ는 수직이므로 ∠ACG=90ù

∴ ∠AFC+∠ACD-∠ACG

=60ù+45ù-90ù=15ù

ACÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 DHÓ, EFÓ, FGÓ, GHÓ, EHÓ이고, DHÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ACÓ, AFÓ, CFÓ, EFÓ, FGÓ이다.

따라서 ACÓ, DHÓ와 동시에 꼬인 위치에 있는 모서리는 EFÓ, FGÓ이다.

② 면 ACD와 평행한 모서리는 EFÓ, FGÓ, GHÓ, HEÓ의 4개이다.

④ ADÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CFÓ, CGÓ, EFÓ, GHÓ 의 4개이다.

① lm, l⊥n이면 두 직선 m, n은 만나거나 꼬인 위치에 있다.

③ l⊥m, l⊥n이면 두 직선 m, n은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

④ P⊥Q, Q⊥R이면 두 평면 P, R는 만나거나 평행하다.

2. 위치 관계 17

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문제 풀이

Ú 면 ABC, 면 ABD, 면 ABE, 면 ABF의 4개 Û 면 ACD, 면 ACE, 면 ACF, 면 BCD, 면 BCE,

면 BCF의 6개

Ü 면 ADEF, 면 BDEF의 2개 Ý 면 CDEF의 1개

따라서 구하는 평면의 개수는 4+6+2+1=13

BEÓ와 평행한 면은 면 AHJD, 면 CGFIJD이므로 a=2

BCÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AHÓ, DJÓ, EFÓ, FGÓ, FIÓ, HIÓ, IJÕ이므로 b=7

∴ a+b=2+7=9

CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AFÓ, BGÓ, JHÓ, EIÓ, FGÓÓ, GHÓ, HIÓ, IFÓ이므로 모서리의 개수는 8이다.

ADÓ와 꼬인 위치에 있는 모서

# '

%

*

) + &

$ (

"

리는 BCÓ, EJÓ, FIÓ, JIÕ이다.

꼬인 위치에 있는 두 직선은 만나지도 않고, 평행하지 도 않으며 한 평면 위에 있지 않다.

CDÓ와 평행한 면은 면 AGLF, 면 GHIJKL이므로 a=2

면 ABCDEF와 평행한 모서리는 GHÓ, HIÓ, IJÕ, JKÓ, KLÓ, LGÓ이므로 b=6

AGÓ와 평행하지 않은 면은 면 ABHG, 면 AGLF, 면 ABCDEF, 면 GHIJKL이므로 c=4

∴ a-b+c=2-6+4=0

① 면 DEG와 모서리 DH는 한 점에서 만난다.

③ 면 EGH와 면 DEG가 이루는 각은 90ù가 아니다.

⑤ 모서리 DE와 모서리 GH는 꼬인 위치에 있다.

주어진 전개도로 입체도형을 만들

'

$ *

# %

" & ( + )

면 오른쪽 그림과 같다.

ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 IJÕ, CIÓ, IFÓ이므로 a=3

ABÓ와 평행한 평면은 면 CFI이므로 b=1

ABÓ와 한 점에서 만나는 평면은 면 FGHI, 면 BCIJ이므로 c=2

∴ a-b+c=3-1+2=4

주어진 전개도로 입체도형을 만들 때 평행한 면은 1과 7, 2와 9, 3과 8, 4와 12, 5와 11, 6과 10이다.

13 9 8 ㄴ, ㅂ CIÓ, DJÓ, EKÓ, FLÓ, HIÓ, IJÕ, KLÓ, LGÓ 0 ②, ④ 4 1과 7, 2와 9, 3과 8, 4와 12, 5와 11, 6과 10

최고 실력 완성하기

STEP 39~41쪽

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작도와 합동

3

ㄷ,`ㅅ,`ㅈ ⑴ ㉢ → ㉠ → ㉡ ⑵ ③, ⑤ ㄹ,`ㅂ,`ㅅ ⑴ ㉡ → ㉠ → ㉢ ⑵ ③ ⑶ ②, ④

⑴ ㉠ → ㉣ → ㉡ → ㉤ → ㉢ → ㉥ ⑵ ② ⑶ ③ ⑴ △AOD, △COB ⑵ ③ ⑤

5 8 ② ACÓ의 길이 또는 ∠B의 크기 또는 ∠C의 크기

ㄱ,`ㄹ SAS 합동 △ACE, ASA 합동 ⑴ △ACD, SAS 합동 ⑵ 120ù

60ù-∠a 120ù

43~48쪽

주제별 실력다지기

STEP

삼각형의 세 변의 길이가 a, b, x일 때, 어느

Y

B C

한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보 다 작다.

⑴ a<b+x에서 a-b<x

⑵ b<a+x에서 b-a<x

⑶ x<a+b

삼각형이 결정되기 위한 조건 최상위

NOTE

03

한편, a-b와 b-a=-(a-b)는 절댓값이 같고 부호가 다르므 로 a-b와 b-a 중 최댓값은 |a-b|와 같다.

따라서 ⑴ ~ ⑶에 의하여 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, x일 때, 삼각형이 결정되기 위한 x의 범위는 |a-b|<x<a+b이다.

3. 작도와 합동 19

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문제 풀이

Ú 평각의 이등분선의 작도로 90ù의 작도가 가능하다.

Û 90ù의 삼등분선의 작도로 30ù, 60ù의 작도가 가능하다.

Ü 각의 이등분선의 작도로 다음 각의 작도가 가능하다.

90ù`Ú`45ù`Ú`22.5ù`Ú`…

60ù`Ú`30ù`Ú`15ù`Ú`7.5ù`Ú`…

Ý 작도 가능한 각끼리 더하거나 뺀 각의 작도가 가능하다.

135ù=90ù+45ù, 120ù=90ù+30ù, 75ù=60ù+15ù, … 따라서 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 없는 각은 ㄷ, ㅅ, ㅈ이다.

⑵ ① 두 점 A, B는 점 O를 중심으로 하는 원 위에 있으므로 OAÓ=OBÓ

② 점 P는 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이 가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 APÓ=BPÓ ④ OP³는 ∠XOY의 이등분선이므로

∠^XOP=∠^YOP

ㄱ, ㅇ. PQê는 ABÓ의 수직이등분선이므로 AÕMÓ=;2!; ABÓ, ∠AMP=90ù

ㄴ, ㅁ. 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 APÓ=AQÓ=BPÓ=BQÓ

ㄷ. △APM과 △AQM에서

APÓ=AQÓ, ∠AMP=∠AMQ=90ù

이고, △AQP는 APÓ=AQÓ인 이등변삼각형이므로

∠^APM=∠^AQM

따라서 ∠PAM=∠QAM이므로

△APMª△AQM (ASA 합동)

∴ MPÓ=MQÓ

⑶ ① 점 P는 두 점 C, D를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 CPÓ=DPÓ ③ 두 점 C, D는 점 O를 중심으로 하는 원 위에 있으므

로 COÓ=DOÓ

⑤ OPê는 직선 AB의 수선이므로

∠^AOP=∠^BOP=90ù

⑶ ①, ②, ④ 두 점 P, Q를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로

CPÓ=DPÓ=AQÓ=BQÓ

③ 두 점 A, C를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 ABÓ=CDÓ

⑤ ∠CPD는 ∠AQB와 크기가 같은 동위각을 작도한 것이므로 ∠CPD=∠AQB

⑴ 세 점 O, A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로

OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ=ADÓ=BCÓ 따라서 △AOD, △COB가 정삼각형이다.

⑵ ②, ③ OC³, OD³가 직각인 ∠AOB의 삼등분선이므로 ∠AOC=∠COD=;3!;_∠AOB=30ù

∴ ∠AOD=∠AOC+∠COD=60ù

△AOC에서 OAÓ=OCÓ, ∠AOC=30ù이므로

∠OAC=∠OCA=75ù

∴ ∠AOD+∠OCA

④ △BOD에서 OBÓ=ODÓ, ∠BOD=30ù이므로 ∠OBD=75ù

① , ⑤ △COB는 정삼각형이므로 ∠OBC=60ù, OBÓ=BCÓ

또한, OAÓ=OBÓ이므로 OAÓ=BCÓ

△ABC의 세 변의 수직이등분선의 교 ^"

# $

0

점은 한 점에서 만나며 이 점이 세 점 A, B, C를 지나는 원의 중심이 된다.

x`cm가 가장 긴 변일 때, 3+7>x ∴ x<10 7`cm가 가장 긴 변일 때, 3+x>7 ∴ x>4

∴ 4<x<10

따라서 x의 값으로 알맞은 자연수의 개수는 5, 6, 7, 8, 9의 5 이다.

다른 풀이

삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다 크 고, 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.

즉, 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, x라 하면

|a-b|<x<a+b이므로 7-3<x<3+7, 4<x<10

따라서 구하는 자연수 x의 개수는 5, 6, 7, 8, 9의 5이다.

(4, 5, 6), (4, 5, 8), (4, 5, 10), (4, 6, 8), (4, 6, 10), (4, 8, 10), (5, 6, 8), (5, 6, 10), (5, 8, 10), (6, 8, 10) 중에서

(가장 긴 변의 길이)<(다른 두 변의 길이의 합)을 만족하 는 삼각형의 개수는 (4, 5, 10), (4, 6, 10)을 제외한 8이다.

OBÓ=OCÓ와 ∠COB=60ù임을 통해서도 △COB가 정삼각형임을 알 수 있다.

마찬가지로 OAÓ=ODÓ와 ∠AOD=60ù임을 통해서 △AOD가 정삼각형 임을 알 수 있다.

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