[13차시 각도와 규칙성의 의미]

[13차시 각도와 규칙성의 의미]

1. 각도의 의미

1) 각도(각의 크기)

각의 크기는 각의 꼭짓점을 중심으로 두 변이 벌어진 정도를 나타내는 양이며 이 때 각의 크기를 각도라고 합니다. [그림 제시] 각과 각도를 혼용해서 사용하는 경우가 있는데 기하학에서 각(角,angle)은 평면상의 두 직선이 서로 만나 교차를 이룰 때 그 두 직선들이 서로에 대해 벌어진 정도를 각이라 합니다. 이러한 각의 크기를 각도(角度)라고 부릅니다. 다시 말해 각은 같은 끝점을 갖는 두 반직선이 이루는 도형입니다. 각에서 끝점을 각의 꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며, 두 반직선을 각의 변(邊, 영어:

side)이라고 합니다. 그리고 각의 두 변이 벌어진 정도를 나타내는 양을 각도(角度)라고 합니다.

ㄴ ㄷ ㄱ

2) 각도의 관점

각도는 정적인 관점과 동적인 관점에서 접근할 수 있습니다.

정적인 관점에서는 두 반직선이 기울어진 정도를 나타내며 180° 이하의 크기로 표현됩니다. 초등학교 수학에서 다루게 되는 각도입니다.

① 정적인 관점의 각도 : 180도 이하의 크기로 표현되는 각도

ㄴ

ㄱ

ㄷ

( 예: 30° )

반면, 동적인 관점에서는 한 반직선을 기준으로 다른 반직선이 회전한 양으로 결정됩니다. 이때 각도는 360° 이상으로 무한히 커질 수 있습니다.

이와 같은 회전량으로 각도를 지도하는 것은 중학교 이상에서 다루게 됩니다.

② 동적인 관점의 각도 : 360도 이상의 크기로 표현되는 각도

ㄷ ㄴ

ㄱ

( 예: 360°+30° = 390° )

3) 각도의 비교

각도는 측정의 대상이 되는 양이므로 각도의 지도 역시 일련의 측정 지도 절차인 직관적 비교, 직접 비교, 간접 비교를 하고 이 후에, 임의 단위에 의한 측정, 표준 단위에 의한 측정을 따르는 것이 일반적입니다. 먼저 각도의 비교 방법에 대하여 알아보겠습니다.

① 직관적 비교

두 각의 크기가 확연히 차이가 나는 경우에는 눈으로 보아 어느 각이 더 큰지 파악할 수 있습니다. 이때 각의 크기가 변의 길이에 좌우되지 않는다는 사실 또한 인식시킬 필요가 있습니다. 차이가 눈으로 구별 되지 않을 정도의 두 각은 직관적 비교가 어려움을 인식하도록 함으로써 다른 비교 방법이 필요함을 느끼도록 합니다.

[ 변의 길이가 늘거나 줄어도 각의 크기는 변화가 없다는 것 보여주는 그래픽 ]

② 직접 비교

두 각도의 직접 비교는 여러 가지 모형과 도형을 이용하여 두 각의 한 변을 꼭짓점이 일치하도록 포개어 놓고 나머지 한 변이 서로 어떤 위치에 있는지 살펴봄으로써 각의 크기를 비교하는 것입니다. 이 과정에서 각도는 각의 변의 길이와는 무관하다는 사실을 다시 한 번 확인할 수 있습니다.

③ 간접 비교

두 각 중 어느 하나라도 옮길 수 없을 경우에는 투명 종이 등을 이용하여 본을 뜬 뒤 그것을 다른 각에 겹쳐 크기를 비교합니다.

4) 각도의 측정

각도를 직관적 비교, 직접 비교, 간접 비교를 하고 이 후는 임의 단위에 의한 측정, 표준 단위에 의한 측정의 지도 절차를 따릅니다. 이번에는 임의 단위에 의한 측정과 표준 단위에 의한 측정에 대하여 알아보겠습니다.

① 임의 단위에 의한 측정

임의 단위는 양을 측정하기 위해 측정 대상보다 작은 양을 단위로 택하여 몇 개가 포함되는지를 파악함으로써 양을 수치화하기 위해 필요합니다.

각을 측정하기 위해 그 각보다 작은 각을 단위로 이용하여 주어진 각에 몇 개만큼 포함되는지를 알아보는 것이 임의 단위에 의한 각의

측정입니다. 임의 단위에 의한 측정은 임의 단위에 따라 결과가 달라져 불편하므로 결과가 달라지지 않도록 표준 단위의 필요성을 인식시키는 데 목적이 있습니다. 따라서 앞선 학습에서 길이, 무게 등에서 임의 단위의 필요성을 충분히 경험했다면 각의 크기 측정을 위해 이 단계를 생략해도 무방합니다.

② 표준 단위에 의한 측정

각의 직간접 비교, 임의 단위를 이용한 비교 과정에서 여러 가지 불편함에 직면하게 되며, 이에 따라 표준 단위를 도입하기 위하여 각도기를

이용합니다. 각의 크기는 각도기의 눈금에 따라 수치화되고 그 수치로 각도를 명확하게 비교할 수 있게 됩니다. 각도의 표준 단위는 육십분법과 호도법이 일반적으로 이용되지만, 초등학교에서는 육십분법만 다룹니다.

육십분법에서 1도(°)는 원을 이루는 각의 크기가 360°임을 전제로 합니다.

따라서 사분원인 직각의 크기는 90°가 되며 직각은 각의 크기를 어림할 때 중요한 표준이 됩니다.

각도를 위한 표준 단위의 도입 시 학생들은 각의 측정 도구인 각도기를 이용합니다. 각도기는 각도를 재기 위한 도구로, 각 위에 겹쳐 보아야 측정이 가능하므로 투명해야 하며, 또 각의 위치에 따라 편리하게

이용하도록 좌우 대칭으로 수치가 기록되어 있습니다. 각도기에서 직각을 똑같이 90으로 나눈 것 중 하나를 1도(1°)로 정의하고, 이것이 각도를 재는 단위라는 것을 이해하게 됩니다. 나아가 각의 두 변이 포개었을 때 각도는 0°이고, 일직선일 때 각도는 180°임을 이해합니다.

5) 각도에 따른 각의 분류

초등학교에서는 0°에서 180°까지를 다루며 각의 종류에는 직각, 예각, 둔각이 있습니다. 90°인 직각을 기준으로 직각보다 작은 각과 큰 각을 구분 할 수 있어 각각을 예각과 둔각이라 부릅니다. 따라서 예각은 0°보다 크고 직각보다 작은 각, 둔각은 직각보다 크고 180°보다 작은 각이 됩니다. 각의 양변이 직선을 이루는 180°는 평각이라고 합니다.

2. 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합 1) 각도의 합과 차

각도는 외연량이므로 합과 차를 구할 수 있고, 이는 두 각의 합성 또는 차감 시 꼭짓점과 한 변을 공유해야 하는 상황을 이해하며 그때 두 각의 합과 차가 의미하는 부분이 어디인지 파악할 것을 요구합니다. 각도의 합을 아는 것은 후속 학습에서 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 구하는 것과 연결됩니다.

2) 삼각형의 세 각의 크기의 합

삼각형의 세 각의 크기가 180°라는 사실에 대한 인식에 앞서 삼각형의 모양에 관계없이 세 각의 크기의 합이 일정하다는 사실에 먼저 주목할 필요가 있습니다. 오늘날 학생들이 이와 같은 경험을 하도록 컴퓨터

소프트웨어를 이용하여 지도하는 것이 효과적입니다. 컴퓨터 화면에서 작도한 삼각형의 꼭짓점을 자유롭게 끌면 그 모양이 변하지만 세 각의 합이

일정함을 파악하도록 할 수 있습니다.

삼각형의 세 각의 크기의 합을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 세 각의 크기의 합을 구하는 방법을 엄밀하게 증명하려면 평행선의 성질을 이용해야 하지만 초등학교 수준에서는 측정이나 귀납의 방법을 이용하여 추론하게 하는 다음과 같은 방법을 이용합니다.

① 각도기로 삼각형의 세 각의 크기를 각각 재어 그 합을 구합니다.

② 삼각형을 종이에 그려 오린 뒤 꼭짓점을 각각 포함하는 세 조각으로 잘라서 각 조각의 꼭짓점이 모두 한 점에 모이도록 놓습니다. 세 조각이 서로 겹치지 않고 일직선을 이루기 때문에 삼각형의 세 각의 크기의 합은

180°가 됩니다. 이때 학생들은 직선이 180°임을 알고 있어야 합니다.

③ 삼각형에서 밑변과 평행하도록 접히는 선을 만들어 삼각형의 한 각이 밑변에 닿도록 합니다. 세 꼭짓점이 만나도록 나머지 두 각을 접으면 세 각이 일직선을 이루어 그 합이 180°가 됩니다.

3) 사각형의 네 각의 크기의 합

사각형의 네 각의 크기의 합을 구하는 여러 가지 방법이 있습니다.

① 각도기로 사각형의 네 각의 크기를 각각 재어 그 합을 구하는 것입니다.

② 사각형을 종이에 그려 오린 뒤 꼭짓점을 각각 포함하는 네 조각으로 잘라서 각 조각의 꼭짓점이 모두 한 점에 모이도록 놓습니다. 네 조각이 서로 겹치지 않고 꼭 맞게 되어 하나의 평면을 이루 기 때문에 사각형의 네 각의 크기의 합은 360°가 됩니다. 이때 학생들은 한 바퀴 회전이 360°임을 알고 있어야 합니다.

③ 사각형에 한 대각선을 그어 두 개의 삼각형으로 분할하고 삼각형의 세 각의 크기의 합이 180°임을 이용하면 사각형의 네 각의 합이 360°가 됨을 추론하게 할 수 있습니다.

3. 각도의 지도방안

1) 각도를 지도하기 전에

각도를 학습하기 전에 3학년 1학기에 배운 기본적인 평면도형(각, 직각,

직각삼각형, 직사각형)에 대한 이해 수준을 확인해 봅니다. 각에 대해 살펴볼 때에는 각이 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 도형을 말하며, 구성 요소로 꼭짓점과 변이 있음을 확인합니다. 또한 우리 생활에서 여러 각을 찾아봄으로써 이 단원의 각도 학습을 위한 준비를 하게 합니다.

2) 각도의 단원 학습 계열

각도와 관련된 단원 학습 계열을 보면 3학년 1학기 2단원에서 각과 직각을 학습하게 됩니다. 이를 바탕으로 직각삼각형과 직사각형을 배웁니다. 그리고 4학년 1학기 2단원에서 ‘각도’라는 단원명으로 각의 크기 비교하기부터 각도기로 각도 재기, 예각, 둔각 구별하기, 각도의 합과 차 그리고 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 학습하게 됩니다. 이후 4학년 2학기 2단원 삼각형에서 각에 따라 분류한 삼각형의 종류에 대하여 학습하게 됩니다.

3) 각도와 관련된 지도 유의 사항 각도를 지도할 때 유의 사항입니다.

① 각의 크기를 비교하고 각도를 도입할 때는 직관적 비교, 직접 비교, 간접 비교, 임의 단위에 따른 측정, 표준 단위에 따른 측정의 과정이 자연스럽게 전개될 수 있도록 지도합니다. 각각의 용어를 강조 하지는 않지만 조작 활동에서 과정이 나타나도록 합니다.

② 각도를 잴 때와 각도를 그릴 때 각도기가 이용됨을 학생들이 이해하고 각도기 이용법을 익혀 상황에 따라 적절하게 이용할 수 있도록 합니다.

③ 직각을 기준으로 각을 분류하여 직각과 비교하는 활동을 통해 예각과 둔각을 구별할 수 있게 합니다. 이때에는 시간을 충분히 제공하여 분류 활동이 적절하게 이루어질 수 있도록 합니다.

④ 주어진 각을 어림하고 확인할 때는 적절한 어림 전략을 활용하여 오차가 크지 않도록 지도합니다. 각도를 어림할 때는 어림을 위한 기준을 설정할 수 있도록 도움을 주는 것도 필요합니다.

4) 각도기의 올바른 사용법

학생들이 각도기를 사용하는데 어려워하거나 오류가 많습니다. 각도기를 사용하는 올바른 사용법에 대한 지도 방법을 알아보겠습니다.

학생들이 각도기를 사용하는데 가장 많이 범하는 오류가 각도기에 관한 명칭을 잘 모른다는 것입니다. 각도기의 중심, 각도기의 밑금을 그림처럼 제시하여 익히도록 해야 합니다. 주어진 각의 꼭짓점을 찾도록 합니다.

그림처럼 각㉠㉡㉢에서 각의 꼭짓점 ㉡에 각도기의 중심을 맞춥니다. 이때 각도기의 밑금은 변㉡㉢에 맞추도록 해야 합니다. 그 다음에 변㉠㉡이 닿는 눈금을 읽습니다. 이때도 35도와 145도의 각도가 두 개 표시되는데 각도기의 밑금을 맞춘 부분부터 시작하는 각도를 읽도록 합니다. 주어진 각㉠㉡㉢의 각도는 35도입니다.

[참고문헌]

교육부 (2015). 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] 수학과 교육과정.

4. 규칙성 교수 · 학습의 의미 1) 규칙성

수학의 많은 내용은 규칙성을 다루고 있습니다. 규칙성은 학생들이 수학의 많은 아이디어를 연결하는 데 도움을 주며 수학을 다양하게 사용할 수 있는 방법을 제공하기도 합니다.

학생들이 일상적인 용어로 된 여러 가지 규칙성을 기술하는 것은 이러한 규칙성을 수학적 기호로 표현하는 데 도움을 줄 수 있습니다.

① 계산기를 활용한 수의 규칙 찾기

1씩, 2씩, 5씩, 10씩 또는 다른 수로 세는 것은 보통 계산기의 사용으로 쉽게 이룰 수 있습니다. 사칙 기능 계산기는 이러한 특징이 있습니다.

예를 들어 + 2 = = = = = = 를 누르면 2, 4, 6, 8, 10, 12 의 수열이 나타납니다. + 5 = = = = = 를 누르면 5, 10, 15, 20, 25의 수열이 나타납니다. 계산기에 따라 3, 6, 9, 12……를 나타내기 위해 + 3 = = 와

같이 다른 방식으로 버튼을 누를 수 있습니다.

② 큰 수의 수 배열표를 활용한 규칙 찾기

큰 수의 수 배열표를 실물 화상기로 보여 주거나 학습지로 나누어 주고

“마지막 열에 있는 수를 보고 알 수 있는 것은 무엇인가?”, “일의 자리 숫자가 3인 수는 어디에 있는가?”, “일의 자리 숫자가 0인 수 는 모두 어디에 있는가?”, “0이 얼마나 많이 있는가?” 등에 대한 발문을 함으로써 학생들로 하여금 큰 수의 수 배열표에 익숙해지게 할 수 있습니다. 또한 이 수들을 정리하면서 어떤 규칙을 발견할 수 있는지 확인하게 하고 계속해서 규칙을 찾을 수 있게 유도합니다.

10001 10102 10203 10304 10405 10506 20001 20102 20203 20304 20405 20506 30001 30102 30203 30304 30405 30506 40001 40102 40203 40304 40405 40506 50001 50102 50203 50304 50405 50506 60001 60102 60203 60304 60405 60506

③ 도형을 수로 나타내고 규칙 찾기

수로 패턴을 해석하고 확장하며 설명하기 위해 아래와 같은 배열에서 다음에는 어떻게 진행될 것 같으며 변한 것과 변하지 않은 것은 무엇인지, 이를 수로 나타낼 때 어떤 규칙이 있는가를 알아보게 하는 활동이 유효할 것입니다. 그리고 의사소통을 장려하기 위해 짝과 함께 패턴을 공유하게 하는 것도 바람직합니다.

이 문제의 해결에서 정사각형 모양에만 착안하여 6개씩 6줄이므로 36개의 바둑돌이 있다거나 바둑돌 의 개수를 알아본 결과 1, 3, 5, 7, 9, 11개가 있다고만 한다면 본질적인 규칙을 찾기 어렵습니다. 그러나 첫 째, 둘째……여섯째까지의 개수를 덧셈식과 곱셈식으로 각각 나타내어 서로 비교한다면 홀수의 합에 대한 중요한 구조로까지 일반화가 가능합니다.

덧셈식 곱셈식 첫째까지의 개수 1 1×1 둘째까지의 개수 1+3 2×2 셋째까지의 개수 1+3+5 3×3 넷째까지의 개수 1+3+5+7 4×4 다섯째까지의 개수 1+3+5+7+9 5×5 여섯째까지의 개수 1+3+5+7+9+11 6×6

위 덧셈식에서의 몇째까지의 개수는 곱셈식의 피승수(승수)와도 일치함을 알 수 있습니다. 따라서 “1 부터 연속적인 홀수의 합은 홀수의 개수의 제곱과 같다.”로 일반화할 수 있습니다. 이런 점이 바로 식으로 표현할 때의 장점이라고 할 수 있습니다.

[참고문헌]

김성준, 김수환, 신준식, 이대현, 이종영, 임문규, 정은실, 최창우(2013). 『초등학교 수학과 교재연구와 지도법』. 동명사.

4. 규칙성의 지도방안 1) 규칙성의 지도 개관

우리가 살아가는 일상생활 속에는 많은 규칙이 있습니다. 또한 수의 배열이나 계산식에서도 규칙이 있습니다. 규칙성은 생활 주변에 존재하는 다양한 현상을 탐구하는 데 중요하며 함수 개념의 기초가 됩니다. 생활 주변이나 여러 현상에서 찾을 수 있는 규칙은 실생활의 복잡한 문제를 해결하는 데 유용하고, 규칙 찾기를 통해 추론 능력을 기를 수 있습니다.

규칙에 따라 배열해 보고 규칙을 찾아보는 활동을 통해서 규칙을 이해하고 그 속에서 재미를 느끼며 더 나아가서는 수학적 아름다움을 경험할 수 있습니다. 그리고 생활 주변이나 여러 현상에서 찾을 수 있는 규칙은 실생활의 복잡한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 이러한 규칙 찾기를 통해 추론 능력을 기를 수 있도록 지도해야 합니다.

2) 규칙성의 단원 학습 계열

1학년 2학기, 2학년 2학기에서 시계 보기, 규칙 찾기, 무늬 꾸미기를 통해 경험한 규칙을 바탕으로 4학년에서는 소재와 내용의 폭을 좀 더 확장하여 여러 가지 모양, 수 배열표, 덧셈표, 곱셈표 등을 활용하여 다양한 방법으로 규칙을 경험하도록 하였습니다. 후속되는 5~6학년군에서 더욱 다양한 방식으로 다루며 수와 연산, 도형 같은 다른 영역과도 연계하여 통합적으로

다루게 됩니다.

3) 규칙성과 관련된 성취기준

규칙성의 성취기준은 계열성이 특히 더 중요합니다. 그래서 1~2학년 군의 성취기준과 3~4학년군의 성취기준을 꼭 비교하여 학년 군에 적절한 규칙성 지도를 해야 합니다.

① 1~2학년군 성취기준

Ÿ [2수04-01] 물체, 무늬, 수 등의 배열에서 규칙을 찾아 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있다.

Ÿ [2수04-02] 자신이 정한 규칙에 따라 물체, 무늬, 수 등을 배열할 수 있다.

② 3~4학년군 성취기준

Ÿ [4수04-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고, 그 규칙을 수나 식으로 나타낼 수 있다.

Ÿ [4수04-02] 규칙적인 계산식의 배열에서 계산 결과의 규칙을 찾고, 계산 결과를 추측할 수 있다.

구분되는 점은 1~2학년 군에서는 물체, 무늬 수 등의 배열 등에서 규칙을 찾거나 자신이 저한 규칙에 따라 배열하는 것을 주로 학습하게 되고, 3~4학년 군에서는 계산식까지 다루게 되고, 다양한 변화 규칙을 찾아

설명하고 찾은 규칙을 수나 식으로 나타내는 것을 학습하게 됩니다. 학년군의 성취기준에 맞게 지도하는 것이 필요하겠습니다.

4) 교수 · 학습 방법 및 유의 사항

교수 · 학습 방법 및 유의 사항에서 특히 주의할 사항은 계산기의 사용입니다.

여러 가지 규칙적인 계산식의 배열에서 계산 결과의 규칙을 찾는 활동을 할 때 계산기를 사용하게 할 수 있습니다. 단, 계산 과정이 중요한 경우에는 가급적 계산 도구 사용을 지양합니다. 계산기라는 교구는 학생들이 쉽게 생활에서 접할 수 있기 때문에 사용방법에 대한 특별한 지도가 필요하지는 않습니다. 그렇지만 계산기의 사용에 대한 안내를 해야 수업시간에 혼란을

줄일 수 있습니다.

그리고 규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제까지 확대하여 지도하지 않습니다. 또한 규칙적인 계산식의 배열에 대한 규칙을 찾는 활동은 계산 결과의 규칙을 추측하고 확인하는 데 중점을 두고 지도합니다.