수학

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Ⅴ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리

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1. 아래 그림에서 □ ABCD ∽ □EFGH 일 때, 다음

<보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

<보기>

ㄱ. FE = 9 cm ㄴ. CD = 12 cm ㄷ. ∠G = 55° ㄹ. ∠ D = 123°

ㅁ. BC : FG = 4 : 9

ㅂ. ( □ABCD와 □EFGH의 둘레의 길이의 비) = 16 : 81

① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄷ, ㄹ

④ ㄷ, ㄹ, ㅁ ⑤ ㄹ, ㅁ, ㅂ

(답) ④

(풀이) □ ABCD ∽□EFGH 이므로

AD : EH = 4 : 9 에서 닮음비는 4 : 9 이므로 ㄱ. 4 : 9 = BA : FE , 4 : 9 = 6 : FE

∴ FE =27 2 ( cm)

ㄴ. 4 : 9 = CD : GH, 4 : 9 = CD : 18

∴ CD = 8( cm) ㄷ. ∠ G = ∠C = 55°

ㄹ. ∠ D = ∠H = 123°

ㅁ. BC : FG = 4 : 9

ㅂ. □ABCD 와 □EFGH의 둘레의 길이의 비는 닮음 비인 4 : 9 와 같다.

2. 닮은 도형에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① 닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이는 같다.

② 닮은 두 도형에서 대응하는 각의 크기는 같다.

③ 닮은 두 입체도형에서 대응하는 면은 서로 닮은 도 형이다.

④ 두 직사각형은 항상 닮은 도형이라 할 수 없다.

⑤ 닮음비가 1 : 1 인 도형은 서로 합동이다.

(답) ①

(풀이) ① 닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비는 같다.

3. 다음 그림과 같이 정사각형을 4 등분 하고 윗부분의 왼쪽 정사각형을 지운다. 그리고 남은 3 개의 정사각형을 같은 방법으로 각각 4 등분 하고 윗부분의 왼쪽 정사각형을 지 운다. 이와 같은 과정을 반복할 때, [ 6 단계]에서 새로 지워 지는 정사각형과 [ 9 단계]에서 새로 지워지는 정사각형의 닮음비는?

① 4 : 1 ② 6 : 1 ③ 8 : 1

④ 12 : 1 ⑤ 16 : 1

(답) ③

(풀이) [ 1 단계]에서 지워지는 정사각형의 한 변의 길이는 처음 정사각형의 한 변의 길이의 1

2 이다.

[ 2 단계]에서 새로 지워지는 정사각형의 한 변의 길이는 처음 정사각형의 한 변의 길이의 1

2² 이다.

⋮

마찬가지 방법으로 [ n 단계]에서 새로 지워지는 정사각형 의 한 변의 길이는 처음 정사각형의 한 변의 길이의

1

2ⁿ ( n 은 자연수)이다.

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따라서 [ 6 단계]에서 새로 지워지는 정사각형의 한 변의 길이는 처음 정사각형의 한 변의 길이의 1

2⁶ 이고, [ 9 단계]에서 새로 지워지는 정사각형의 한 변의 길이는 처 음 정사각형의 한 변의 길이의 1

2⁹ 이므로 [ 6 단계]에서 새로 지워지는 정사각형과 [ 9 단계]에서 새로 지워지는 정사각형의 닮음비는

1

2⁶ : 1

2⁹ = 2³ : 1 = 8 : 1

4. 다음 그림에서 두 정팔면체 A 와 B 는 서로 닮은 도형이 고 A 와 B 의 닮음비가 2 : 3 일 때, 정팔면체 A 의 모든 모서리의 길이의 합은?

① 36 cm ② 48 cm ③ 64 cm

④ 72 cm ⑤ 96 cm

(답) ④

(풀이) 두 정팔면체 A 와 B 의 닮음비가 2 : 3 이므로 정팔면체 A 의 한 모서리의 길이를 a cm 라 하면

a : 9 = 2 : 3 , 3 a = 18 ∴ a = 6

따라서 정팔면체 A 의 한 모서리의 길이는 6 cm 이고, 모서리는 12 개이므로

6×12 = 72 ( cm)

5. 다음 그림과 같이 직선 y = 1

3 x + 1 과 x 축 사이에 세

정사각형 P , Q , R 가 있다. 이때 세 정사각형 P , Q , R 의 닮음비는?

① 3 : 4 : 5 ② 4 : 6 : 9

③ 9 : 12 : 16 ④ 12 : 15 : 20

⑤ 16 : 20 : 25

(답) ③

(풀이) 다음 그림과 같이 세 점 A , B , C 의 y 좌표를 각각 a , b , c 라 하면 x 좌표는 각각 3 a - 3 ,

3 b - 3 , 3 c - 3 이다.

정사각형 P 의 한 변의 길이는 ( 3 b- 3) - ( 3 a -3) = a 4 a = 3 b ∴ a = 3

4 b 정사각형 Q 의 한 변의 길이는

( 3 c- 3) - ( 3 b - 3) = b 3 c = 4 b ∴ c = 4

3 b

따라서 세 정사각형 P , Q , R 의 닮음비는 a : b : c = 3

4 b : b : 4

3 b = 9 : 12 : 16

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6. 다음 중 항상 닮음인 평면도형을 모두 찾으면?

① 두 부채꼴 ② 두 정삼각형

③ 두 직각삼각형 ④ 두 원

⑤ 두 직각이등변삼각형 ⑥ 두 직사각형

(답) ②, ④, ⑤

7. 다음 그림에서 두 사각기둥은 닮은 도형이고

□ ABCD ∽□IJKL 일 때, x + y 의 값은?

① 16 ② 20 ③ 24

④ 28 ⑤ 32

(답) ③

(풀이) 두 사각기둥의 닮음비는 AB : IJ = 5 : 10 = 1 : 2 이므로 x : 20 = 1 : 2 ∴ x = 10 7 : y = 1 : 2 ∴ y = 14

∴ x + y = 10 + 14 = 24

8. 다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 물을 부어서 그릇 높이의 1

2 만큼 채웠을 때, 수면의 둘레의 길이는? (단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

① 2π cm ② 4π cm ③ 5π cm

④ 6π cm ⑤ 8π cm

(답) ②

(풀이) 물의 높이는 16×1

2 = 8( cm) 이고, 그릇과 채워 진 물은 서로 닮은 원뿔이므로 닮음비는

16 : 8 = 2 : 1

수면의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 4 : r = 2 : 1 ∴ r = 2( cm)

따라서 수면의 둘레의 길이는 2π×2 = 4π ( cm)

9. 다음 그림에서 세 직사각형 ABCD , BCFE , AEHG 는 서로 닮은 도형이다. BC = 12 ,

DC = 16 일 때, GD 의 길이를 구하여라.

(답) 27 4

(풀이) □ ABCD ∽□BCFE 이므로 닮음비는 AB : BC = 16 : 12 = 4 : 3

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즉, 12 : CF = 4 : 3 ∴ CF = 9

□ ABCD ∽□AEHG 이므로 닮음비는 AB : AE = 16 : ( 16 - 9) = 16 : 7 즉, 12 : AG = 16 : 7 ∴ AG = 21

4

∴ GD = AD - AG = 12-21 4 = 27

4

10. 다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 물을 부어서 그릇 의 높이의 1

4 만큼 채웠을 때, 수면의 둘레의 길이는?

(단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

① 4π cm ② 5π cm ③ 8π cm

④ 10π cm ⑤ 12π cm

(답) ④

(풀이) 그릇과 물이 채워진 부분의 닮음비는 4 : 1 이므 로 수면의 반지름의 길이를 r cm 라고 하면

20 : r = 4 : 1 에서 4r = 20 ∴ r = 5( cm) 따라서 수면의 둘레의 길이는 2π ×5 = 10π ( cm)