1. 이차곡선

초3~4 원의

구성 요소

초5~6 원주율과

원의 넓이

중3 이차함수와 그래프

수학

이차방정식과 이차함수,

원의 방정식

1. 이차곡선

I

포물선, 타원, 쌍곡선은 원뿔의 절단을 통해 얻을 수 있는 곡선 으로 좌표평면에서 방정식으로 표현된다. 포물선과 타원, 쌍곡선 의 방정식을 통해 도형을 식으로 표현하고 이해함으로써 그 연 결성을 경험할 수 있고, 태양계의 행성이나 혜성의 궤도를 밝히 거나 천체를 관측하는 망원경과 위성 안테나 제작에 이차곡선의 성질이 활용됨을 통해 수학의 유용성과 가치를 경험할 수 있다.

1. 이차곡선

이차곡선

이 단원에서는 좌표평면에서의 다양한 이차곡선의 뜻과 이를 나타내는 방정식 에 대하여 알아본다.

폭죽을 쏘거나 공을 위로 비스듬히 던질 때, 공기의 저항을 무시하면 그 운동의 궤적은 포물선을 이루며, 지구, 인공위성, 핼리 혜성 등은 타원의 궤 도를 따라 움직인다. 한편 수면 위에서 물결이 간섭하는 흔적은 쌍곡선을 그린다. 포물선, 타원, 쌍곡선은 원뿔의 단면에서 볼 수 있어 원뿔곡선이라 고 불리며, 수식으로 표현했을 때는 이차식이 되기 때문에 이차곡선이라고 도 한다.

❶포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.

❷타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.

❸쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.

❹이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.

01 포물선 02 타원

03 쌍곡선 04 이차곡선과 직선의 위치 관계

성취 기준

1

학습 계획 다음 빈칸에 스스로 학습 계획을 세워 꼭 실천해 보자.

복습할 내용 ^{중학교 수학 이차함수와 그래프}

수학 이차방정식과 이차함수 원의 방정식, 도형의 이동 01 포물선

02 타원 이 단원의 내용

03 쌍곡선

이차함수의 그래프의 성질을 이해 한다.

중학교 수학 3 이차함수와 그래프

성취 기준❶

이차함수 y=(x-3)¤ +5의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.

다음 방정식이 나타내는 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하시오.

(1) x¤ +y¤ +6x+4y=0 (2) x¤ +y¤ -2x+4y-4=0

1

2

3

원의 방정식을 구할 수 있다.

수학 원의 방정식 성취 기준❷

평행이동의 의미를 이해한다.

수학 도형의 이동 성취 기준❶, ❷, ❸

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

수학 이차방정식과 이차함수 성취 기준❹

다음 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 말하시오.

(1) y=x¤ -x+1, y=2x-1 (2) y=2x¤ -3x+4, y=x+1 (3) y=-2x¤ -5x+1, y=-x+3

4

스스로 점검 하고 계획 하기

V

V

V V

다음 방정식이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하시오.

(1) y=-(x-7)¤ +4 (2) (x-3)¤ +(y-1)¤ =5 (3) x¤ +2x+y¤ -3=0

04 이차곡선과 직선의 위치 관계

0 1

생각의 싹

오른쪽 그림은 마을 회관을 중심으로 마을과 도로가 그려진 어떤 마을의 지도이다. 지도에 는 마을 회관을 중심으로 반지름의 길이가 각 각 a, 2a, …, 5a, 6a인 원들이 표시되어 있다.

또 도로의 한 변을 이루는 직선 l은 마을 회 관을 중심으로 하는 반지름의 길이가 6a인 원 과 접한다. 직선 l과 평행하고 간격이 a인 직 선들을 그었을 때, 다음 물음에 답해 보자.

포물선의 방정식

•포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.

포물선

생각의 싹에서 마을 회관과 도로에서 같은 거리에 있는 지점을 찾아 매끄러운 곡 선으로 연결할 수 있다.

이와 같이 평면 위의 한 점 F와 그 점을 지나지 않 는 직선 l이 주어질 때, 점 F에 이르는 거리와 직선 l 에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을포물선이라고 한다. 이때 직선 l을 포물선의준선, 점 F를 포물선 의초점이라고 한다.

또 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축이라 하고, 포물선과 그 축과의 교점을 포물선의꼭짓점이라고 한다.

그림의 점 D에서 마을 회관에 이르는 거리와 직선 l에 이르는 거리는 각각 5a로 서로 같다. 마을 회관에 이르는 거리와 직선 l에 이르는 거리가 각각 5a인 또 다 른 지점을 찾아보자.

2

그림에서 마을 회관과 직선 l에서 같은 거리에 있는 원 위의 지점을 찾아 그림 위 에 표시해 보자.

3

l

꼭짓점

포물선

초점 축 준선

F 세 지점 A, B, C 중 마을 회관과 도로

위의 직선 l로부터 같은 거리에 있는 지점을 찾아보자.

1

A B

C D

E

마을 회관 도

로

a l

포물선을 이용한 건축물

오른쪽 그림과 같이 한 포물선에 대하여 초점을 지나는 직 선과 포물선이 만나는 두 점 A, B에서 준선 l에 내린 수선 의 발을 각각 C, D라고 하자. AC”=4, AB”=16일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.

문제

1

포물선의 초점 F를 지나는 직선과 포물선이 만나 는 두 점 A, B에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각 각 C, D라고 하자. AC”=3이고 BD”=6일 때, AF”= , FB”= 이다.

확인하기 l

D F

B O

C A

축

l

D F

B O

C A

축

좌표평면에서 점 F(p, 0)(p+0)을 초점으로 하고 직선 l: x=-p를 준선으로 하는 포물선의 방정식을 구해 보자.

오른쪽 그림과 같이 포물선 위의 임의의 점 P(x, y) 에서 준선 l에 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 H의 좌 표는 (-p, y)이다. 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH”

이므로

"‘(x-p)¤ +y¤ =|x+p|

이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 y¤ =4px

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

x -p

l y H

O

x=-p

P(x, y)

F(p, 0)

포물선의 방정식(1)

초점이 F(p, 0)이고 준선이 x=-p인 포물선의 방정식은 y¤ =4px (단, p+0)

꼭짓점이 원점이고, 초점 이 x축 위에 있는 포물선 역으로 점 P(x, y)가 y¤ =4px를 만족시키면 PF”="√(x-√p)¤ +y¤

PF="√(x-p√)¤ +4px PF="√(x+p)¤

PF=|x+p|=PH”

이므로 점 P는 초점이 F(p, 0)이고 준선이 x=-p인 포물선 위에 있다.

초점이 F(2, 0)이고 준선이 x=-2인 포물선의 방정식은 y¤ =4_ _x, 즉 y¤ = x이다.

이때 포물선의 축은 x축(y=0)이고 꼭짓점은 이며, x축에 대하여 대칭인 그래프이다.

확인하기

x y

-2 O

x=-2

F(2, 0)

포물선 y¤ =4px에서 y¤ æ0이므로 x+0이면 px>0이다.

따라서 p>0이면 x>0이므로 포물선은 y축의 오른쪽에 있고, p<0이면 x<0 이므로 포물선은 y축의 왼쪽에 있다.

y¤ =4px

F(p, 0) x

x=-p -p

y

O p>0

y¤ =4px

F(p, 0) x

x=-p -p y

O p<0

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) y¤ =12x (2) y¤ =-8x

1

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 포물선의 초점과 준선 의 방정식을 찾을 수 있는가?

포물선의 방정식을 y¤ =4px의 꼴로 변형하여 p의 값을 구 한다.

초점과 준선의 방정식 을 구하여 그래프를 그린다.

(1) y¤ =12x=4_3_x이므로 p=3 따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (3, 0),

준선의 방정식은 x=-3 또 주어진 포물선의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

(2) y¤ =-8x=4_(-2)_x이므로 p=-2

따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-2, 0),

준선의 방정식은 x=2

또 주어진 포물선의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

(1) 풀이 참조 (2) 풀이 참조 y¤ =12x

x=-3

-3 O 3 x

y

x

=-8x y¤

y

-2 O2

x=2 다음을 만족시키는 포물선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) 초점: F(4, 0), 준선: x=-4 (2) 초점: F(-3, 0), 준선: x=3

문제

2

포물선의 성질을 이용한 파라볼라 안테나

한편 초점이 y축 위의 점 F(0, p)(p+0)이고 준선이 x축에 평행한 직선 y=-p인 포물선의 방정식을 앞에서와 같이 포물선의 정의에 의하여 구하면

x¤ =4py 이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

포물선 x¤ =4py에서 x¤ æ0이므로 y+0이면 py>0이다.

따라서 p>0이면 y>0이므로 포물선은 x축의 위쪽에 있고, p<0이면 y<0이 므로 포물선은 x축의 아래쪽에 있다.

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) y¤ =4x (2) y¤ =-2x

문제

3

포물선의 꼭짓점이 원점에 있고, 그래프가 y축의 왼쪽에 있는 포물선의 방정식을 두 개 이상 만들고, 각각의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구해 보시오.

문제

4

문제 해결

포물선의 방정식(2)

초점이 F(0, p)이고 준선이 y=-p인 포물선의 방정식은 x¤ =4py (단, p+0)

꼭짓점이 원점이고, 초점 이 y축 위에 있는 포물선

F(0, p) p>0

x y =-p -p

y

O F(0, p)

x y =-p -p

y

O p<0

포물선 x¤ =4py는 포물선 y¤ =4px를 직선 y=x에 대하 여 대칭이동한 것이다.

참고

=4py x¤

=4px y=x y¤

O y

x

초점이 F(0, 3)이고 준선이 y=-3인 포물선의 방정식은 x¤ =4_ _y, 즉 x¤ = y 이때 포물선의 축은 y축(x=0)이고, 꼭짓점은

이며, 이 포물선은 `y축에 대하여 대칭인 그 래프이다.

확인하기

F(0, 3)

x -3 y=-3

y

O

다음을 만족시키는 포물선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) 초점: F{0, ;4!;}, 준선: y=-;4!; (2) 초점: F(0, -2), 준선: y=2

문제

5

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) x¤ =2y (2) x¤ =-4y

문제

6

다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) x¤ =8y (2) x¤ =-12y

2

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 포물선의 초점과 준선 의 방정식을 찾을 수 있는가?

포물선의 방정식을 x¤ =4py의 꼴로 변형하여 p의 값을 구한다.

초점과 준선의 방정식 을 구하여 그래프를 그린다.

(1) x¤ =8y=4_2_y 이므로 p=2

따라서 주어진 포물선의 초점 의 좌표는 (0, 2),

준선의 방정식은 y=-2

또 주어진 포물선의 그래프는 위의 그림과 같다.

(2) x¤ =-12y=4_(-3)_y 이므로 p=-3

따라서 주어진 포물선의 초점 의 좌표는 (0, -3),

준선의 방정식은 y=3 또 주어진 포물선의 그래프는

오른쪽 그림과 같다. (1) 풀이 참조 (2) 풀이 참조 x¤ =8y

y=-2 2

-2O x

y

x¤ =-12y y=3

-3 3

O x

y

문제 해결 창의・융합

오른쪽 그림과 같이 관제탑을 초점으로 하고 포물선 궤도를 따라 움직이는 관광 모노레일이 있다. 모노레일과 관제탑 사이의 거리가 60 m일 때, 모노레일과 관제탑을 잇는 선분이 포물선의 대칭축과 이루는 각의 크기는 60˘이다. 이 모노레일이 관제탑과 가장 가까워 졌을 때, 관제탑과 모노레일 사이의 거리를 구해 보자. (단, 모노레 일의 폭과 높이는 고려하지 않는다.)

O x

60 m 60°

y

포물선의 평행이동에 대하여 알아보자.

꼭짓점이 원점인 포물선 y¤ =4px를 x축의 방향으 로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 포물선 의 방정식은 다음과 같다.

(y-b)¤ =4p(x-a) 이때 이 포물선의

꼭짓점의 좌표는 (a, b), 초점의 좌표는 (p+a, b), 준선의 방정식은 x=-p+a 이다.

y¤=4px

=4p(x-a)

¤

(y-b)

a b

O x

y

포물선의 평행이동

포물선 y¤ -8x+4y+28=0의 그래프를 그리고, 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

3

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 쉽게 그래프를 그릴 수 있는가?

주어진 포물선의 방정식을 (y-b)¤ =4p(x-a)의 꼴로 변형 하면 쉽게 그래프를 그릴 수 있다.

주어진 포물선의 방정 식을

(y-b)¤ =4p(x-a) 의 꼴로 변형하여 그 래프를 그린다.

y¤ -8x+4y+28=0에서 (y¤ +4y+4)-8(x-3)=0 따라서 (y+2)¤ =8(x-3) 이 포물선의 방정식은 y¤ =8x를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 -2만큼 평행이동한 것 이므로 그 그래프는 오른쪽 그림 과 같다.

초점의 좌표와 준선의 방정식을 구한다.

포물선 y¤ =8x의 초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2이므로 구하는 초점의 좌표는 (5, -2),

준선의 방정식은 x=1이다.

풀이 참조 -2

3

O x

(y+2)¤ =8(x-3) y¤ =8x y

다음 포물선의 그래프를 그리고, 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.

(1) y¤ -2x-6y+7=0 (2) x¤ -4x-y+5=0

문제

7

방정식 f(x, y)=0이 나 타내는 도형을 x축의 방 향으로 a만큼, y축의 방 향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은

f(x-a, y-b)=0 이다.

매체 및 도구 활용 학습

종이접기에서 찾은 포물선

수학 역량

쑥 쑥 쑥 쑥

쑥 쑥 쑥 쑥

평면 위의 한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선이 있을 때, 점에 이르는 거리와 직선 에 이르는 거리가 같은 점들의 집합이 포물선임을 배웠다.

이를 이용하여 종이접기만으로도 포물선을 찾을 수 있다.

다음은 종이접기에서 포물선을 찾는 과정이다.

❶`[그림1]과 같이 종이의 한 변에서 약간 떨어진 곳에 점 F를 표시한다.

❷`[그림2]와 같이 종이의 한 변이 점 F와 겹쳐지도록 종이를 접는다.

❸` ❷와 같은 방법으로 계속해서 종이의 한 변이 점 F와 겹쳐지도록 여러 번 접고 접 은 자국을 직선으로 그은 후, 직선이 나타내는 곡선의 모양을 관찰하면 포물선이 된다.

F F F F

접은 자국인 직선 중 임의의 한 직선을 m이라 하고, 직선 m에 대한 점 F의 대칭점을 F'이라고 할 때, 직선 m과 두 점 F, F'을 잇는 선분과의 관계를 설명해 보자.

1

점 F'을 지나고 종이의 한 변에 수직인 직선이 직선 m과 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 의미를 설명해 보자.

2

점 F와 종이의 한 변이 각각 포물선에서 어떤 의미를 갖는지 설명해 보자.

3

[그림 1] [그림 2] [그림 3]

오른쪽 그림과 같이 원뿔의 모선에 평행하게 자른 단면은 포물 선으로 둘러싸인 도형이 된다. 다음 순서에 따라 일정한 간격으로 자른 단면인 포물선으로 둘러싸인 도형을 이용하여 원뿔을 구성해 보자.

수학으로 세상보기

포물선과 원뿔의 관계를 종이 모형으로 확인하기

❶[그림 1]과 같이 y=ax¤ (a<0)의 곡선을 이용하여 포물선으로 둘러싸인 도형을 그리 고, 그 종이를 잘라 놓는다.

❷[그림 2]와 같이 삼각형의 종이에❶에서 잘라 놓은 ①, ②, ③, …, ⑨ 의 도형을 꽂을 홈을 만들고[그림 1]의 도형들을[그림 2]의 해당 위치에 꽂는다.

❸[그림 2]의 도형을[그림 3]의 도형에 꽂으면 완성된 종이 모형을 얻는다.

①

② ③

…

⑧ ⑨

④ ⑤ ⑥

⑦ ⑧ ⑨

[그림 3]

[완성된 종이 모형]

[그림 2]

[그림 1]

y=-;4!;x¤ ^이용 y=-;5!;x¤ ^이용 y=-;6!;x¤ ^이용

y=-;7!;x¤ ^이용 y=-;8!;x¤ ^이용 y=-;9!;x¤ ^이용

① ② ③

y=-x¤ 이용 y=-;2!;x¤ ^이용 y=-;3!;x¤ ^이용

타원의 방정식

•타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.

0 2 타원

생각의 싹

생각의 싹에서 연필의 끝 점 P가 나타내는 도형은 오른쪽 그림과 같다. 이때 점 P의 위치에 관계없이

PF”+PF'”=15(cm) 로 그 값이 항상 일정하다.

이와 같이 평면 위의 서로 다른 두 점 F, F'으로부터의 거리의 합이 일정한 점들 의 집합을타원이라고 하며, 두 점 F, F'을 타원의초점이라고 한다.

오른쪽 그림과 같이 타원에서 두 초점을 지나 는 직선이 타원과 만나는 점을 각각 A, A'이라 하고, FF'”의 수직이등분선이 타원과 만나는 점 을 각각 B, B'이라고 할 때, 네 점 A, A', B, B' 을 타원의꼭짓점이라고 한다. 이때 선분 AA' 을 타원의장축, 선분 BB'을 타원의단축이라고 하며, 장축과 단축이 만나는 점을 타원의중심 이라고 한다.

위에서 그려진 곡선은 어떤 모양인지 말해 보자.

1

점 P를 움직일 때, 점 P에서 두 점 F, F'에 이르는 거리의 합 PF”+PF'”의 값을 실의 길이와 관련하여 설명해 보자.

2

다음 그림과 같이 길이가 15 cm인 실의 양 끝을 15 cm보다 짧은 거리에 있는 두 점 F, F'에 고정시킨 후, 실을 팽팽하게 유지하면서 곡선을 그릴 때, 물음에 답해 보자.

F' F

P

A B

F' A' F

B' 중심 단축

장축 꼭짓점

꼭짓점

꼭짓점

초점

초점

꼭짓점

F' F

P

F' F

케플러(Kepler, J., 1571

~1630) 독일의 천문학자 이자 수학자로 행성의 궤 도가 태양을 한 초점으로 하는 타원임을 밝혔다.

[출처: Boyer, C. B. &

Merzbach, U. C.(양영오, 조 윤동 역), “수학의 역사・상”]

타원을 이용한 건축물

좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고 그 두 점으로부터의 거리의 합이 2a (a>c>0)인 타원의 방정식을 구해 보자.

타원 위의 임의의 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 PF”+PF'”=2a

이므로

PF”="“(x-c)¤ +y¤ , PF'”="“(x+c)¤ +y¤

에서

"“(x-c)¤ +y¤ +"“(x+c)¤ +y¤ =2a 이다. 즉 다음 등식이 성립한다.

"“(x-c)¤ +y¤ =2a-"“(x+c)¤ +y¤

이 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 cx+a¤ =a"“(x+c)¤ +y¤`

이고 다시 양변을 제곱하여 정리하면 (a¤ -c¤ )x¤ +a¤ y¤ =a¤ (a¤ -c¤ ) 이다. 이때 a>c>0이므로 a¤ -c¤ >0이다.

여기서 b¤ =a¤ -c¤ 으로 놓고 양변을 a¤ b¤ 으 로 나누면

+ =1 이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

y¤

b¤

x¤

a¤

F'(-c, 0) F(c, 0) P(x, y) y

O x

타원의 방정식(1)

두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의 거리의 합이 2a인 타원의 방정식은 +y¤ =1 (단, a>c>0, b¤ =a¤ -c¤ )

b¤

x¤

a¤

중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있는 타원 역으로 점 P(x, y)가

+ =1을 만족시키면 PF”+P’F'”=2a

이므로 점 P는 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서 거리의 합이 2a인 타원 위 에 있다.

y¤

b¤

x¤

a¤

확인하기 두 초점 F('5, 0), F'(-'5, 0)으로부 터의 거리의 합이 6인 타원의 방정식은 2_a= 에서 a= , c='5이므로 b¤ =a¤ -c¤ = ¤ -('5)¤ = -5=4 따라서 +y¤=1

4 x¤

9

O

F'(-"5, 0) F("5, 0) 3 -3

2

-2 y

x 타원의 성질을 이용한

체외 충격파 쇄석기

두 초점 F(3'3, 0), F'(-3'3, 0)으로부터의 거리의 합이 12인 타원의 방정식을 구하시오.

문제

1

오른쪽 그림과 같이 a>b>0일 때, 타원 + =1에서 두 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)이라고 하면 b¤ =a¤ -c¤

에서 c="“a¤ -b¤ (a>c>0)이다.

이때 두 초점의 좌표 F, F'을 각각 a, b로 나타내면

F("“a¤ -b¤`, 0), F'(-"“a¤ -b¤`, 0)

이다. 또 타원의 꼭짓점의 좌표는 A(a, 0), A'(-a, 0), B(0, b), B'(0, -b)이 고 장축의 길이는 AA'”=2a, 단축의 길이는 BB'”=2b이다.

y¤

b¤

x¤

a¤ ^a

a -a

b

-b b

c Ax

O y

F' F

A'

B

B'

타원 + =1의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프를 그리시오.

y¤

16 x¤

1

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 타원의 초점의 좌표를 찾을 수 있을까?

타원의 방정식을 + =1의 꼴로 변형하여 a, b의 값을 구한다.

y¤

b¤

x¤

a¤

초점의 좌표를 구한다.

장축과 단축의 길이를 구한다.

a=5, b=4이므로 c="“5¤ -4¤ =3 따라서 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0) 꼭짓점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0), (0, 4), (0, -4)

장축의 길이는 2a=10 단축의 길이는 2b=8 그래프를 그린다. 또 주어진 타원의 그래프는

오른쪽 그림과 같다.

초점의 좌표: (3, 0), (-3, 0), 장축의 길이: 10, 단축의 길이: 8, 그래프: 풀이 참조

x y

O 3

4

-4

-3 5

-5 x¤

25+16=1 y¤

다음 타원의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) +y¤ =1 (2) x¤ +4y¤ =4 9

x¤

25

문제

2

두 초점으로부터 거리의 합 2a는 장축의 길이와 같다.

두 초점이 (5, 0) (-5, 0)이고, 중심이 원점인 타원의 방정식을 두 개 이상 만들고, 만든 타원의 방정식의 장축의 길이와 단축의 길이를 각각 구해 보시오.

문제

3

마름모 ABCD에 대하여 AC”=6, BD”=8일 때, 선분 BD를 장축으로 하고, 선분 AC를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리를 구하시오.

문제

4

문제 해결

이제 두 초점이 y축 위에 있는 타원의 방정식을 구해 보자.

y축 위의 두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 합이 2b (b>c>0)인 타원의 방정식을 타원 의 정의를 이용하여 구하면 다음과 같다.

+ =1 (a¤ =b¤ -c¤ )

이때 a¤ =b¤ -c¤ 에서 c="“b¤ -a¤ (b>a>0)이므 로 타원의 두 초점 F, F'의 좌표를 각각 a, b로 나타 내면

F(0, "“b¤ -a¤ ), F'(0, -"“b¤ -a¤ )

이다. 또 타원의 꼭짓점의 좌표는 A(a, 0), A'(-a, 0), B(0, b), B'(0, -b)이 고, 장축의 길이는 2b, 단축의 길이는 2a이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

y¤

b¤

x¤

a¤

F'(0, -c) x y

bB

a -a

-b

A O

A'

B' F(0, c)

타원의 방정식(2)

두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 합이 2b인 타원의 방정식은 +y¤ =1 (단, b>c>0, a¤ =b¤ -c¤ )

b¤

x¤

a¤

중심이 원점이고 초점이 y축 위에 있는 타원

두 초점 F(0, 2), F'(0, -2)로부터의 거리 의 합이 8인 타원의 방정식은

c= 이고, 2b= 에서 b=4이므로 a¤ =b¤ -c¤ =16- =12

따라서 + y¤ =1 16 x¤

12

확인하기 4

-4

-2"3 O 2"3 F'(0, -2)

F(0, 2) x y

다음 타원의 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프를 그리 시오.

(1) + y¤ =1 (2) 9x¤ +4y¤ =36 169

x¤

25

문제

5

오른쪽 그림과 같이 타원에서 네 꼭짓점의 위치가 주어져 있을 때, 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 타원의 초점의 위치를 찾는 방법을 말해 보시오.

문제

6

추론

두 초점의 좌표가 F(4, 0), F'(-4, 0)이고, 장축과 단축의 길이의 차가 4인 타원 위의 한 점 P에 대하여 PF”+PF'”의 값을 구해 보시오.

문제

7

문제 해결

문제 해결

오른쪽 그림과 같이 타원 모양의 액자가 있다. 이 액자에 꽃무늬가 두 군데 있는데, 그 꽃무늬의 중심이 타원의 두 초점 F, F'에 각각 위치한다고 한다. 꽃무늬의 중심 사이의 길이 FF'”이 6 cm이고, 액 자 둘레의 한 점 P에서 두 꽃무늬의 중심까지의 길이의 합이 10 cm일 때, 다음 물음에 답해 보자.

(1) 액자의 장축의 길이를 구해 보자.

(2) 액자의 중심을 좌표평면의 원점으로 하고, 장축을 x축 위에 놓을 때, 두 초점 F, F'의 좌표 를 구해 보자.

(3) (2)의 타원의 방정식을 구해 보자.

(4) 삼각형 PF'F의 넓이의 최댓값을 구해 보자.

F' O y

F P

x

타원의 평행이동에 대하여 알아보자.

중심이 원점인 타원 + =1 (a>b>0) 을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n 만큼 평행이동한 타원의 방정식은 다음과 같다.

+ =1

이때 이 타원의 중심의 좌표는 (m, n),

초점의 좌표는 ("“a¤ -b¤ +m, n), (-"“a¤ -b¤ +m, n)이다.

(y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

타원의 평행이동

O

+ =1 x¤

a¤

y¤

b¤

+ =1

¤ ¤

(x-m) a¤

n

m

(y-n) b¤

x y

타원 4x¤ +9y¤ -16x+36y+16=0의 그래프를 그리고, 초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 각각 구하시오.

2

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 쉽게 그래프를 그릴 수 있는가?

타원의 방정식을 + =1의 꼴로 변형하

여 그래프를 그린다.

(y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

주어진 타원의 방정식을

의 꼴로 변형하여 그 래프를 그린다.

+(y-n)¤=1 b¤

(x-m)¤

a¤

4x¤ +9y¤ -16x+36y+16=0에서 4(x¤ -4x+4)+9(y¤ +4y+4)=36

따라서 + =1

이 타원의 방정식은 + =1을 x축의 방 향으로 2만큼, y축의 방 향으로 -2 만큼 평행이 동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

y¤

4 x¤

9

(y+2)¤

4 (x-2)¤

9

초점의 좌표와 장축, 단축의 길이를 구한다.

타원 + =1의 초점의 좌표는 ('5, 0), (-'5, 0)이므 로 구하는 초점의 좌표는 ('5+2, -2), (-'5+2, -2) 또 장축의 길이는 2a=6, 단축의 길이는 2b=4

그래프: 풀이 참조, 초점의 좌표: ('5+2, -2), (-'5+2, -2), 장축의 길이: 6, 단축의 길이: 4 y¤

4 x¤

9

다음 타원의 장축과 단축의 길이, 중심, 초점의 좌표를 각각 구하시오.

(1) 2x¤ +3y¤ -16x+6y+11=0 (2) 4x¤ +y¤ -24x-4y+24=0

문제

8

O

+ =1 x¤

9 y¤

4

+ =1

9

(x-2)¤ (y+2)¤

4 -2

2 x

y 타원을 평행이동하여도

그 모양과 크기는 변하지 않으므로 장축, 단축의 길 이는 변하지 않는다.

탐구 학습

원을 이용하여 타원 그리기

수학 역량

쑥 쑥 쑥 쑥

쑥 쑥 쑥 쑥

원을 이용하여 타원을 만들어 보고, 그 원리를 알아보자.

컴퓨터 프로그램을 이용하여 중심이 O인 원에 내접하면서 원의 내부의 한 점 A를 지나는 원의 중심 P가 나타내는 도형 을 그려 보자.

A O P

위의 방법으로 얻은 도형이 타원임을 설명하고, 이때 타원의 초점의 위치를 찾아보자.

1

이와 같은 방법으로 원 O의 지름의 길이가 12이고 원 O의 중심에서 점 A까지의 거리 가 4일 때, 중심을 원점으로 하고 장축이 x축 위에 있는 타원의 방정식을 구해 보자.

2

❶점 O를 중심으로 하는 원을 작도한 후, 원 내 부에 한 점 A와 원 위 의 점 B를 잡는다.

❷선분 OB와 선분 AB 를 나타내고, 선분 AB 의 수직이등분선을 작 도한다.

❸선분 AB의 수직이등 분선과 선분 OB의 교 점 P를 나타낸다.

❹점 P를 중심으로 점 A 를 지나고 원 O에 내접 하는 원을 그린다.

❺점 P에 [자취 보이기]

를 설정하고 점 B를 원 위에서 움직인다.

A O B

A O B P

A O B P

타원 궤도를 도는 소행성

태양계에는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성의 여덟 개의 큰 행성 이 있다. 이 여덟 개의 행성은 태양 주위를 타원 궤도를 그리며 돌고 있다. 또 태양계를 구성하는 다른 천체로 혜성이 있다. 타원 궤도를 운행하는 핼리 혜성이 대표적인 예이 다. 태양 주위를 공전하는 천체 중에서 행성보다는 작지만 혜성은 아닌 작은 행성을 소 행성이라 한다. 이카루스는 태양에 가장 가깝게 접근하는 소행성으로 알려져 있다. 지 름이 약 1.3 km이고 궤도는 타원 궤도이다. 1949년 팔로마천문대에서 발견되어 1968 년에는 지구에 약 630만 km까지 접근하여 화제가 되었다.

한편 태양을 한 초점으로 하여 타원 궤도를 도는 행성이나 혜성이 태양으로부터 가 장 멀리 떨어진 지점을 원일점(遠日點), 가장 가까이 있는 지점을 근일점(近日點)이라 고 한다. 이때 원일점과 근일점은 타원 궤도의 장축의 양 끝 점이 된다.

소행성 이카루스가 그리는 타원 궤도에서 태양과 근일점 사이의 거리는 2.8_10‡ km 이고, 태양과 원일점 사이의 거리는 2.95_10° km라고 한다. 근일점 사이의 거리와 원 일점 사이의 거리를 각각 m, M이라고 하면 이카루스가 그리는 타원 궤도의 장축의 길 이는 m+M=(2.8+29.5)_10‡ =32.3_10‡ (km)이고, 이카루스가 그리는 타원 궤 도의 중심에서 태양까지의 거리는

;2!;(M-m)=;2!;(29.5-2.8)_10‡ =13.35_10‡ (km)이다.

따라서 이카루스가 그리는 타원 궤도의 단축의 길이를 2b라고 하면

b¤ =(16.15_10‡ )¤ -(13.35_10‡ )¤ =2.8_29.5_10⁄ ›`으로 이카루스가 그리는 타원 궤도를 나타내는 방정식을 구할 수 있다.

수학으로 세상보기

[출처: Chaisson, E. & Mcmillan, S., “Astronomy(fifth edition)”, Goldstein, R. M., 「Science, Volume 162, Issue 3856」] 목성

금성

수성 태양

지구

이카루스 이카루스

화성 화성

F aF'

r r+r'=2a

태양 r'

중심

행성

원일 점 근일

점

쌍곡선의 방정식

•쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.

0 3 쌍곡선

생각의 싹

생각의 싹에서 살펴본 간격이 일정한 두 동심원에서 한 동심원의 중심 F'에서 P 까지의 거리와 다른 동심원의 중심 F에서 P까지의 거리의 차를 일정하게 하여 연 결한 점들은 한 쌍의 대칭인 매끄러운 곡선이 된다.

진동을 발생시킨 두 동심원의 중심을 각각 F, F'이라 하고, 각 동심원의 반지름 의 길이의 간격이 1이라고 할 때, 두 점 사이의 거리는 6이다. 반지름의 길이의 차가 4가 되는 두 원의 교점을 찾아 표시하고, 이 점들을 매끄럽게 연결해 보자.

예를 들어 점 P는 F에서 3만큼, F' 에서 7만큼 떨어져 두 점에서 거리 의 차가 4인 점이다.

1

거리의 차를 변화시켜 같은 방법으 로 점들을 찾아 표시하고, 이 점들 을 매끄럽게 연결해 보자.

2

물 표면의 두 지점에서 막대기를 이용하여 동시에 같은 진동수의 두 파를 발생시키면 각 지점을 중심으로 하는 동심원의 원형파가 퍼져 나간다. 다음 물음에 답해 보자.

F P F'

F F'

이와 같이 평면 위의 서로 다른 두 점 F, F'으로부터의 거리의 차가 일정한 점들 의 집합을쌍곡선이라고 하며, 두 점 F, F'을 쌍곡선의초점이라고 한다.

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선에서 두 초점을 지나 는 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 A, A'이라 고 하자. 이때 두 점 A, A'을 쌍곡선의꼭짓점이 라고 하며, 선분 AA'을 쌍곡선의주축, 선분 AA' 의 중점을 쌍곡선의중심이라고 한다.

A' A

F

F' _초점

초점

꼭짓점 쌍곡선

꼭짓점

주축 중심

오른쪽 그림과 같은 쌍곡선에서 두 초점은 (3, 0), ( , 0), 꼭짓점의 좌표는 ( , 0), (-2, 0), 중심의 좌표는 ( , ),

주축의 길이는

확인하기

3 2 -2

-3 O

y

x

좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고 두 초점 F, F'으로부 터의 거리의 차가 2a (c>a>0)인 쌍곡선의 방정식을 구해 보자.

쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y)라고 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

|PF'”-PF”|=2a 이므로

PF”="“(x-c)¤ +y¤ , PF'”="“(x+c)¤ +y¤

에서

"“(x+c)¤ +y¤ -"“(x-c)¤ +y¤ =—2a 이다. 즉 다음 등식이 성립한다.

"“(x+c)¤ +y¤ ="“(x-c)¤ +y¤ —2a 이 등식의 양변을 제곱하여 정리하면

cx-a¤ =—a"“(x-c)¤ +y¤

이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면 (c¤ -a¤ )x¤ -a¤ y¤ =a¤ (c¤ -a¤ ) 이다. 이때 c>a>0이므로 c¤ -a¤ >0이다.

여기서 b¤ =c¤ -a¤ 으로 놓고, 양변을 a¤ b¤ 으로 나누면 - =1

이다.

y¤

b¤

x¤

a¤

O y

x P(x, y)

F(c, 0) F'(-c, 0)

쌍곡선을 이용한 건축물

역으로 점 P(x, y)가 - =1을 만족시키면

|P’F'”-PF”|=2a 이므로 점 P는 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서 거리의 차가 2a인 쌍곡선

y¤

b¤

x¤

a¤

이상을 정리하면 다음과 같다.

쌍곡선의 방정식(1)

두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은 -y¤ =1 (단, c>a>0, b¤ =c¤ -a¤ )

b¤

x¤

a¤

초점이 x축 위에 있는 쌍 곡선

두 초점 F(3, 0), F'(-3, 0)으로부터의 거리의 차가 4인 쌍곡선의 방정 식은 2_ =4에서 =2, b¤ =c¤ -a¤ =9- =5

따라서 -y¤ =1 5 x¤

4

확인하기

문제

1

쌍곡선 - =1에서

a= , b= 이므로 c="“3¤ +2¤ ='å13 따라서

초점의 좌표는 ( , 0), ( , 0) 꼭짓점의 좌표는 ( , 0), ( , 0) 주축의 길이는 2_ =6

y¤

4 x¤

확인하기 9

O y

3 x -"13” -3 "13”

x¤

;9;-;4;=1 y¤

다음 쌍곡선의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 주축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프 를 그리시오.

(1) - y¤ =1 (2) x¤ -4y¤ =4 16

x¤

25

문제

2

두 초점이 (5, 0), (-5, 0)이고 주축의 길이가 6인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

문제

3

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 - =1에서 두 초점의 좌표를 F(c, 0) F'(-c, 0)이라고 하면 b¤ =c¤ -a¤ 에서 c="“a¤ +b¤ 이다. 이때 두 초점의 좌 표 F, F'을 각각 a, b로 나타내면

F("“a¤ +b¤ , 0), F'(-"“a¤ +b¤ , 0)

이다. 또 쌍곡선의 꼭짓점의 좌표는 A(a, 0), A'(-a, 0)이고 주축의 길이는 AA'”=2a이다.

y¤

b¤

x¤

a¤

A' A O

- =1 x¤

a¤

y¤

b¤

y

a x

-a F(c, 0) F'(-c, 0)

쌍곡선의 성질을 이용한 원자력 발전소의 냉각탑

이제 두 초점이 y축 위에 있는 쌍곡선의 방정식을 구해 보자.

y축 위의 두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 차가 2b (c>b>0)인 쌍곡선의 방정식은 쌍곡선의 정의를 이용하여 구하면 다음과 같다.

- =-1 (a¤ =c¤ -b¤ )

이때 a¤ =c¤ -b¤ 에서 c="“a¤ +b¤ (c>b>0)이므 로 쌍곡선의 두 초점 F, F'의 좌표를 `각각 a, b로 나타내면 F(0, "“a¤ +b¤ ), F'(0, -"“a¤ +b¤ )이다.

또 쌍곡선의 꼭짓점의 좌표는 B(0, b), B'(0, -b)이고 주축의 길이는 BB'”=2b이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

y¤

b¤

x¤

a¤ _B'

bB

-b x¤- =-1

a¤

y¤

b¤

O y

x P(x, y) F(0, c)

F'(0, -c)

쌍곡선의 방정식(2)

두 초점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식은 -y¤ =-1 (단, c>b>0, a¤ =c¤ -b¤ )

b¤

x¤

a¤

초점이 y축 위에 있는 쌍 곡선

쌍곡선 - =-1의 초점의 좌표와 주축의 길이를 구하고, 그 그래프를 그리 시오.

y¤

5 x¤

1

함께 해결 하기

초점의 좌표가 어느 축 위에 있는 쌍곡선 인가?

쌍곡선의 방정식이 - =-1의 꼴이므로 y축 위에 초점 이 있는 쌍곡선이다.

y¤

b¤

x¤

a¤

c¤ =a¤ +b¤ 을 이용하여 초점의 좌표를 구한다.

다음 쌍곡선의 초점의 좌표와 주축의 길이를 구하고, 그 그래프를 그리시오.

(1) x¤ -y¤ =-1 (2) 9x¤ -4y¤ =-36 3

문제

4

주축의 길이를 구한다. 주축의 길이는 2b=2'5

그래프를 그린다. 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

초점의 좌표: (0, 3), (0, -3), 주축의 길이: 2'5 그래프: 풀이 참조 a=2, b='5이므로 c="“2¤ +('5)¤ =3

따라서 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3)

O 3

-3

x y

-"5

"5 x¤

;4;-;5;=-1 y¤

쌍곡선의 그래프의 특징을 살펴보자.

쌍곡선의 방정식

- =1 yy ①

을 y에 대하여 정리하면 y=— x »Ú≠1-

이다. 이때 |x|의 값이 한없이 커지면 쌍 곡선 ①은 두 직선 y= x, y=- x 에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

이 두 직선을 쌍곡선 ①의점근선이라고 한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

b a b

a a¤

x¤

b a y¤

b¤

x¤

a¤

b

-b -a

-c a c

- =1 x¤

a¤

y¤

b¤

- y= b

a x y=b

a x

O x

y

쌍곡선의 점근선

쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식은

y= x, y=-bx a b

a y¤

b¤

x¤

a¤

쌍곡선 - =1의 점근선의

방정식을 구하면 - =1에서 a= , b= 이므로

y= x, y= x y¤

3¤

x¤

4¤

y¤

9 x¤

확인하기 16

F' F

x¤- =1 16

y¤

9 O

y

5 x 4 3

-4 -3 -5

다음 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하시오.

(1) x¤ -y¤ =1 (2) 9x¤ -4y¤ =-36 25

문제

5

쌍곡선 - =-1 의 점근선의 방정식도 y= x, y=- x 이다.

b a b

a y¤

b¤

x¤

a¤

문제 해결

중심이 원점이고 주축이 x축 위에 있는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선은 한 점 (3, 0)을 지나고 한 점근선의 방정식이 2x+3'2y=0일 때, 이 쌍곡선의 방정식을 구해 보자.

쌍곡선의 평행이동에 대하여 알아보자.

중심이 원점인 쌍곡선 - =1을 x축 의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

- =1

이때 이 쌍곡선의 중심의 좌표는 (m, n), 초점의 좌표는

("“a¤ +b¤ +m, n), (-"“a¤ +b¤ +m, n),

꼭짓점의 좌표는 (a+m, n), (-a+m, n)이다.

(y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

쌍곡선의 평행이동

쌍곡선

- =1

의 점근선의 방정식은 y= (x-m)+n,

y=- (x-m)+n 이다.

b a b a

(y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

쌍곡선을 평행이동해도 주축의 길이는 변하지 않 는다.

x¤- =1 a¤

y¤

b¤

- =1

(x-m)¤

a¤

(y-n)¤

b¤

O n

m x

y

쌍곡선 9x¤ -4y¤ -36x-8y-4=0의 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리

2

함께 해결 하기

식을 어떻게 변형해야 쉽게 그래프를 그릴 수 있을까?

주어진 쌍곡선의 방정식을 - =1의 꼴로

변형하여 그래프를 그린다.

(y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

점근선의 방정식을 구 한다.

주어진 방정식을 변형하면 9(x¤ -4x)-4(y¤ +2y)-4=0, 9(x-2)¤ -4(y+1)¤ =36, - =1

이 쌍곡선의 방정식은 - =1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식은

y=;2#;x, y=-;2#;x이므로 구하는 쌍곡선의 점근선 의 방정식은 y=;2#;x-4, y=-;2#;x+2이다.

y¤

9 x¤

4

y¤

9 x¤

4

(y+1)¤

3¤

(x-2)¤

2¤

쌍곡선 9x¤ -16y¤ -18x-32y-151=0의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 구하시오.

문제

6

그래프를 그린다. 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

점근선의 방정식: y=;2#;x-4, y=-;2#;x+2, 그래프: 풀이 참조 x¤- =1

4 y¤

9

- =1

(x-2)¤

4

(y+1)¤

9 2

-1 O x

원의 방정식 (x-a)¤ +(y-b)¤ =r¤ 을 전개하여 정리하면 x¤ +y¤ -2ax-2by+a¤ +b¤ -r¤ =0

과 같이 x, y에 대한 이차방정식이 된다.

이와 같이 두 일차식의 곱으로 인수분해되지 않는 x, y에 대한 이차방정식 Ax¤ +By¤ +Cxy+Dx+Ey+F=0 yy ①

으로 나타내어지는 곡선을이차곡선이라고 한다.

원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 방정식은 모두 x, y에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있으므로 이차곡선이다.

이차곡선은 다음과 같이 공간에서 원뿔의 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 원뿔 을 자를 때 생기는 단면이 나타내는 곡선으로 원뿔곡선이라고도 한다. 이때 원뿔 을 자르는 평면의 기울기에 따라 다음 그림과 같이 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 얻 을 수 있다.

이차곡선

의사소통 추론

민지와 현우, 민서는 오른쪽 그림의 다리 위의 구조물 을 보면서 대화 중이다. 대화를 읽고 민서의 질문에 대 한 답을 생각해 보자.

저건 위로 볼록한 모습이 포물선 모양이 분명해.

아니야. 쌍곡선일 수도 있잖아. 이차곡선의 초점이 어디 있나 구해 보면 어때?

포물선과 쌍곡선은 비슷한 듯 다르네. 그럼 어떻게 구분할까?

다음 방정식이 나타내는 도형을 말하시오.

(1) x¤ +y¤ -4=0 (2) 2x¤ +2x-6y+1=0 (3) x¤ +3y¤ -12=0 (4) x¤ -2y¤ -4y=0

문제

7

원 타원 포물선 쌍곡선

밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때는 원(circle), 평면을 기울여서 모선에 평행하기 전에 잘랐을 때 는 타원(ellipse), 모선에 평행한 평면으로 잘랐을 때는 포물선(parabola), 모선보다 기울기가 더 급 한 평면으로 잘랐을 때는 쌍곡선(hyperbola)이 된다.

①이 곡선을 나타내지 않 는 경우도 있다.

예를 들어 x¤ +y¤ =0은 한 점 (0, 0)을, x¤ -y¤ =0 은 두 직선 y=x, y=-x 를 나타낸다.

민지

현우

민서

포물선과 직선의 위치 관계

•이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.

이차곡선과 직선의 위치 관계

0 4

생각의 싹에서와 같이 포물선과 직선의 교점의 개수는 다양하게 나타난다.

포물선과 직선의 위치 관계를 이차방정식을 이용하여 알아보자.

포물선과 직선의 방정식을 각각

y¤ =4px yy ①

y=mx+n (m+0) yy ②

이라고 하면 이들의 교점의 좌표는 이 두 방정식 ①과 ②를 연립하여 풀었을 때의 실근 x와 y의 순서쌍 (x, y)와 같다.

②를 ①에 대입하여 정리하면

m¤ x¤ +2(mn-2p)x+n¤ =0 이다.

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D={2(mn-2p)}¤ -4m¤ n¤

D=4(m¤ n¤-4mnp+4p¤ )-4m¤ n¤`

D=16p(p-mn) 이다.

포물선 y¤ =4x의 그래프와 직선의 교점을 관찰해 보자.

포물선의 축과 평행한 직선을 여러 개 그려서 포물선 과의 교점의 개수를 각각 조사해 보자.

2

기울기가 2인 직선을 여러 개 그려 보고, 포물선과 직선의 교점의 개수로 가능한 값들을 모두 말해 보자.

1

생각의 싹

O y

6 x 2

2

4 4

-4 -2

m=0인 경우

포물선과 직선의 교점은 한 개이고, 이 교점이 접 점은 아니다.

특히❷의 경우에 직선은 포물선에 접한다고 하며, 그 직선을 포물선의 접선이라고 한다.

O y

x D>0 D=0 D<0

y¤ =4px

포물선 y¤ =4x와 직선 y=3x+k의 위치 관계를 실수 k의 값에 따라 조사하시오.

1

함께 해결 하기

포물선과 직선의 위치 관계는 어떻게 알 수 있는가?

두 식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 통해 포물선 과 직선의 위치 관계를 알 수 있다.

두 식을 연립하여 얻 은 이차방정식의 판별 식을 구한다.

y=3x+k를 y¤ =4x에 대입하면 (3x+k)¤ =4x 즉 9x¤ +(6k-4)x+k¤ =0

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(6k-4)¤ -36k¤ =16(1-3k) 판별식의 부호로 포물

선과 직선의 위치 관 계를 살펴본다.

따라서 D의 부호에 따라 포물선 과 직선의 위치 관계는 다음과 같다.

⁄ D>0, 즉 k<;3!;이면 서로 다

⁄른 두 점에서 만난다.

¤ D=0, 즉 k=;3!;이면 한 점에

⁄서 만난다.

‹ D<0, 즉 k>;3!;이면 만나지

⁄않는다. 풀이 참조

O x

y 1 k>3 1

k=3 1

k<3

1 3

y¤ =4x

포물선 y¤ =-3x와 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하고, 그 방법을 설명해 보시오.

문제

2

다음 포물선과 직선의 위치 관계를 실수 k의 값에 따라 조사하시오.

(1) y¤ =-2x, y=4x+k (2) x¤ =4y, y=x+k

문제

1

❶D>0이면 서로 다른 두 점에서 만난다.

❷D=0이면 한 점에서 만난다.

❸D<0이면 만나지 않는다.

의사소통

이때 D의 부호에 따라 주어진 포물선과 직선의 위치 관계는 다음과 같다.

기울기가 m인 포물선의 접선의 방정식을 구해 보자.

포물선 y¤ =4px에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y=mx+n (m+0)이라 하고, 포물선의 방정식에 대입하여 정리하면

m¤ x¤ +2(mn-2p)x+n¤ =0

이다. 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 포물 선과 직선이 접할 조건에 의하여

D=16p(p-mn)=0

이다. 이때 p+0이므로 p=mn, 즉 `n= 이다.

따라서 포물선 y¤ =4px에 접하고 기울기가 m (m+0)인 직선의 방정식은

이다.

p m

O y

x y=mx+n

y¤ =4px

포물선 y¤ =2x에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하시오.

2

함께 해결 하기

기울기가 주어진 접선 의 방정식을 어떻게 구할 수 있을까?

기울기가 1인 직선의 방정식 y=x+k와 포물선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 이용한다.

식 y=mx+ 를 이 용하여 구한 것과 일치 하는가?

p

m m=1, y¤ =4_;2!;_x에서 p=;2!;이므로 식` y=mx+

에 대입하면 y=x+;2!;

따라서 판별식을 이용하여 구한 직선의 방정식과 일치한다.

p m 포물선의 방정식과 직

선의 방정식을 연립하 여 얻은 이차방정식의 판별식을 구한다.

y=x+k를 y¤ =2x에 대입하면 (x+k)¤ =2x

즉 x¤ +2(k-1)x+k¤ =0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

D=4(k-1)¤ -4k¤ =4(1-2k)

포물선과 직선이 접할

때의 k의 값을 구한다. D=0일 때 직선은 포물선에 접하므로 k=;2!;

따라서 주어진 포물선에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은

y=x+;2!; y=x+;2!;

y

O x

y¤ =2x

y=x+k y=mx+ p

m

포물선 y¤ =4px 위의 한 점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방정식을 구해 보자.

x¡+0일 때, 접선의 기울기를 m (m+0)이라고 하면 구하는 접선의 방정식은

y=m(x-x¡)+y¡ yy ①

이다. 또 포물선 y¤ =4px에서 기울기가 m인 접선의 방정식은

y=mx+ yy ②

이고, ①과 ②는 같은 직선이므로 m(x-x¡)+y¡=mx+

에서

m¤ x¡-my¡+p=0 이다. 이때 y¡¤ =4px¡이므로

m¤ _ -my¡+p=0 m¤ y¡¤ -4pmy¡+4p¤ =0 (my¡-2p)¤ =0

이다. 따라서 m= 이다.

이 m의 값을 ①에 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

y¡y=2p(x+x¡) yy ③

한편 P(x¡, y¡)이 원점일 때, 즉 x¡=0, y¡=0일 때, 접선의 방정식은 x=0이 다. 따라서 이 경우에도 접선의 방정식 ③이 성립한다.

2p y¡

y¡¤

4p

p m p

m

P(x¡, y¡) x y

O

y¤ =4px 포물선 y¤ =4px의 접선 중에서 y=mx+ 의 꼴로 표현할 수 없는 접선이 있는 가? 있다면 그 접선의 방정식을 구하고, 없다면 그 까닭을 설명해 보시오.

p

문제

5

추론

다음 직선의 방정식을 구하시오.

(1) 포물선 y¤ =8x에 접하고 기울기가 2인 직선

(2) 포물선 y¤ =-x에 접하고 직선 x+y-3=0에 평행한 직선

문제

3

직선 y=mx+3이 포물선 y¤ =6x에 접하도록 m의 값을 정하시오.

문제

4