제5장상미분방정식의급수해법. 특수함수특수함수

제5장 상미분방정식의 급수해법. 특수함수

거듭제곱급수 해법 (Power Series Method)



거듭제곱급수(Power Series) :

• 계수 :

• 중심 :

• 중심이 인 경우 :



Maclaurin 급수

















2 0 2

0 1

0 0

0

x x a x x a a x

x

a ^m

m m

 , , , _{1 2}

0 a a

a

x0

0





2 2 1 0 0

x a x a a x a ^m

m m

   

   















 

 









 























 



























! 5

! 3

! 1 2 sin 1

! 4

! 1 2

! 2 cos 1

! 3

! 1 2

! 1 1

1

5 3

0

1 2

4 2

0

2

3 2

0

2 0

x x x

m x x

x x m

x x

x x x

m e x

x x x x

m

m m m

m m m

m x

m m



거듭제곱급수 해법의 개념

상미분방정식 에 적용

• 와 를 의 거듭제곱급수로 표현

• 해를 미지의 계수를 갖는 거듭제곱급수 로 가정

• 와 를 항별미분하여 얻은 급수

를 상미분방정식에 대입

• 미지계수 을 계산

 

 

 

p q

 

















3 3 2 2 1 0 0

x a x a x a a x a y

m

m m

y y















 2

3 2

1 1

1 2 3

' ma x a a x a x y

m

m m











 a a x

x a m m y

m

m

m 2 3

2

1 2 3 2

1 ''

am

거듭제곱급수 해법 (Power Series Method)

예제1) 다음 상미분방정식을 거듭제곱급수를 이용하여 풀어라.

거듭제곱급수 해법 (Power Series Method)

와 를 대입

0 ' y 

 









 



3 3 2 2 1

0 0

x a x a x a a x a y

m

m

m

 

    



 2

3 2

1 1

1

2 3

'

y

m

m m







! , 4 4

! , 3 3

! , 2 , 2

0 ) (

) 3

2 (

0 3

4 0 2

3 0 1

2 0 1

2 2 1

0 2

3 2

1

a a a

a a a

a a a

a a

x a x a a x

a x a a



































ex

x a x x x

a

y ₀

4 3 2

0 1 2! 3! 4!







     



 

예제 2) 다음 상미분방정식을 풀어라.

거듭제곱급수 해법 (Power Series Method)

와 를 대입

0 '' y 







0 m

m mx a

y



 



 



2

1 1

' '

m

m mx a m m y

 











x a x

a m m

s

s s s

s s

m

m m m

m m







































 











, 2

1

2

0 1

0 0

2 0 2

2

x x x

x a a x

a x a x

a x a x

x a a

y 1 2! 4! 3! 5!

! 5

! 4

! 3

! 2

5 3 1

4 2 0

1 5 0 4

1 3 0 2

1

0 



 



   





 



   

















   

첫 번째 항은 두 번째 항은

순환공식(Recursion Formula) :

  





s s

a_s a^s 0 1

1

2 2 



 

 

! 5 4 5

!, 4 3 4

! 3 2

3

!, 2 1

2

1 3

5 0

2 4

1 1

3 0

0 2

a a a

a a a

a a a

a a a

 





 







 







 





거듭제곱급수 해법의 이론



기본개념(Basic Concepts)

•n 번째까지의 부분합(n th Partial Sum):

•나머지(Remainder) :

•수렴 : 부분합의 수열이 수렴할 때

•수렴값(Value) 또는 합(Sum)

: 부분합의 수열이 수렴할 때, 부분합 수열의 극한값

•발산 : 부분합의 수열이 발산할 때

















2 0 2

0 1

0 0

0

x x a x x a a x

x

a ^m

m m

     

 

n x a a x x a x x a x x

s  ₀  ₁  ₀  ₂  ₀ ²   ₀

 









n x a x x a x x

R

거듭급수는 중심에서 항상 수렴한다

.

 수렴구간(Convergence Interval), 수렴반지름(Radius of Convergence)

• 수렴구간 : 급수가 수렴하는 값들의 구간( 의 형태로 나타남)

• 수렴반지름( )

: 급수는 인 모든 에 대하여 수렴하고, 인 모든 에 대하여 발산할 때 R

x x ₀ 

R R x

x ₀  ^x xx₀ R x

m m m

R a

lim

1







m m a a m

R

lim

1









예제 4) 다음 급수의 수렴반지름을 구하라.

 



 1 8 64 512

8

1 ₃ ^{3 6 9}

0

x x

x ^m x

m

m m

거듭제곱급수 해법의 이론

Homework CH.5

5.1: 2, 7, 10