식의 계산

다항식의 곱셈

1

식의 계산

ⅠⅠ

⑴ -6aÛ`+13ab-6bÛ` ⑵ xÝ`-3xÜ`+7xÛ`-7x+6 ⑶ 2 ⑷ 9+4'2-2'6-4'3 ⑸ 16aÜ`+12abÛ` ⑹ aÚ`ß`-2a¡`b¡`+bÚ`ß`

⑴ xÛ`-x-2+'2 ⑵ -5-4'3 ⑶ xÜ`-2xÛ`-5x+6 ⑷ -13+12'2 ④

⑴ 4a ⑵ xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24 ⑶ xÝ`+4xÜ`-17xÛ`-24x+36 ⑷ 8aÛ`-8ab+2bÛ`+2 ⑴ 20 ⑵ 40

-4 ⑴ '3 ⑵ ;4!; ⑶ ;2%; ⑷ -'6 ⑴ 12 ⑵ 40 ⑶ 8 ⑷ 136

⑴ 13 ⑵ 17 ⑶ 45 ⑷ 161 ⑴ 1 ⑵ 52 ⑶ 194 82 -10

⑴ 7 ⑵ 18 ⑶ 5 ⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ 8 ⑴ 3 ⑵ 0 -9+8'2

a=32, b=7 ⑴ ;1*6!;yÛ` ⑵ 4 ⑶ 20y, -20y 1 6 -4, 4

37 a=0, b=0, c=0

41~47쪽

주제별 실력다지기

STEP

다항식 axÛ`+bx+c(단, a, b, c는 상수)에 대하여 상수항을 포함한 계수의 총합은 a+b+c이므로 다항식에 x=1을 대입하여 구할 수 있다. 마찬가지로 다항식 axÛ`+bxy+cyÛ`(단, a, b, c는 상수)에 대 하여 상수항을 포함한 계수의 총합은 a+b+c이므로 다항식에 x=y=1을 대입하여 구할 수 있다.

따라서 다항식의 모든 미지수에 1을 대입하면 상수항을 포함한 계수 의 총합을 구할 수 있다.

다항식의 계수의 총합 구하기 최상위

NOTE

03

예를 들어 다항식 (x+1)Û`(x-2)Û`을 전개하면 (x+1)Û`(x-2)Û` =(xÛ`+2x+1)(xÛ`-4x+4)

=xÝ`-2xÜ`-3xÛ`+4x+4

이므로 상수항을 포함한 계수의 총합은 1-2-3+4+4=4이다.

하지만 다항식 (x+1)Û`(x-2)Û`을 전개하지 않아도 다항식에 x=1을 대입하면 상수항을 포함한 계수의 총합이

(1+1)Û`(1-2)Û`=2Û`_(-1)Û`=4임을 알 수 있다.

즉, 다항식을 굳이 전개하지 않아도 미지수에 1을 대입하면 상수 항을 포함한 계수의 총합을 구할 수 있다.

문제 풀이

⑴ (2a-3b)(-3a+2b)

=-6aÛ`+4ab+9ab-6bÛ`

=-6aÛ`+13ab-6bÛ`

⑵ (xÛ`-x+2)(xÛ`-2x+3)

=xÝ`-2xÜ`+3xÛ`-xÜ`+2xÛ`-3x+2xÛ`-4x+6

=xÝ`-3xÜ`+7xÛ`-7x+6

⑶ {1+ 1'3 }(3-'3)=3-'3+'3-1=2

⑷ (2+'2-'3)Û` =4+2+3+2(2'2-'6-2'3)

=9+4'2-2'6-4'3

⑸ (2a-b)Ü`+(2a+b)Ü`

=(2a)Ü`-3_(2a)Û`_b+3_2a_bÛ`-bÜ`

+(2a)Ü`+3_(2a)Û`_b+3_2a_bÛ`+bÜ`

=8aÜ`-12aÛ`b+6abÛ`-bÜ`+8aÜ`+12aÛ`b+6abÛ`+bÜ`

=16aÜ`+12abÛ`

⑹ (a-b)Û`(a+b)Û`(aÛ`+bÛ`)Û`(aÝ`+bÝ`)Û`

={(a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)}Û`

={(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)}Û`

={(aÝ`-bÝ`)(aÝ`+bÝ`)}Û`=(a¡`-b¡`)Û`

=(a¡`)Û`-2_a¡`_b¡`+(b¡`)Û`

=aÚ`ß`-2a¡`b¡`+bÚ`ß``

'2-'3)Û` 에서 -'3 과 같이 -를 포함한 항이 있는 경우

'2-'3)Û`={2+'2+(-'3)}Û`로 변형하여 공식을 적용하면 된다.

⑴ (x-'2)(x+'2-1)

=xÛ`+(-'2+'2-1)x-'2('2-1)

=xÛ`-x-2+'2

⑵ (2+'3)(2-3'3)

=2Û`+('3-3'3)_2+'3_(-3'3)

=-5-4'3

⑶ (x-1)(x+2)(x-3)

=xÜ`+(-1+2-3)xÛ`+(-2-6+3)x

+(-1)_2_(-3)

=xÜ`-2xÛ`-5x+6

⑷ (1-'2)(1-2'2)(1+3'2)

=1Ü`+(-'2-2'2+3'2)_1Û`+(4-12-6)_1 +(-'2)_(-2'2)_3'2

=-13+12'2

(어두운 부분의 넓이)=(2+3'2+'3)(2+3'2-'2) 2+3'2를 x로 생각하면

(x+'3)(x-'2)=xÛ`+('3-'2)x-'6

따라서 주어진 그림에서 어두운 부분의 넓이를 구할 때 이 용되는 전개식은 ④이다.

⑴ (주어진 식)

={(a+1)-b}{(a+1)+b}

+{b+(a-1)}{b-(a-1)}

a+1=X, a-1=Y로 치환하면 (X-b)(X+b)+(b+Y)(b-Y)

=XÛ`-bÛ`+bÛ`-YÛ`

=XÛ`-YÛ`

=(a+1)Û`-(a-1)Û`

=aÛ`+2a+1-(aÛ`-2a+1)

=4a

⑵ (주어진 식) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}

=(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6) xÛ`+5x=A로 치환하면

(A+4)(A+6) =AÛ`+10A+24

=(xÛ`+5x)Û`+10(xÛ`+5x)+24

=(xÝ`+10xÜ`+25xÛ`)+(10xÛ`+50x)+24 =xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24

⑶ (주어진 식) ={(x-1)(x+6)}{(x+2)(x-3)}

=(xÛ`+5x-6)(xÛ`-x-6) xÛ`-6=A로 치환하면

(A+5x)(A-x) =AÛ`+4xA-5xÛ`

=(xÛ`-6)Û`+4x(xÛ`-6)-5xÛ`

=(xÝ`-12xÛ`+36)+(4xÜ`-24x)-5xÛ`

=xÝ`+4xÜ`-17xÛ`-24x+36

⑷ 2a-b=X로 치환하면

(주어진 식) =(X-1)Û`+(X+1)Û`

=XÛ`-2X+1+XÛ`+2X+1

=2XÛ`+2

=2(2a-b)Û`+2

=2(4aÛ`-4ab+bÛ`)+2

=8aÛ`-8ab+2bÛ`+2

⑴ (x+2)Û`(2x-1)(x+1)Û`

=(xÛ`+4x+4)(2x-1)(xÛ`+2x+1) =(xÛ`+4x+4)(2xÜ`+3xÛ`-1)

따라서 xÜ` 항은 ㉠과 ㉡에서 만들어지므로 xÜ` 항의 계수 는 12+8=20이다.

⑵ (x+2)Û`(2x-1)(x+1)Û`

=axÞ`+bxÝ`+cxÜ`+dxÛ`+ex+f 라 하고 양변에 x=1을 대입하면

㉡

㉠

a+b+c+d+e+f=(1+2)Û`(2-1)(1+1)Û`=36 상수항은 2Û`_(-1)_1=-4이므로 상수항을 제외한 계수의 총합은

36-(-4)=40

Ú (2x-y+z)Ü`의 전개식에서 계수의 총합은 x, y, z 에 모두 1을 대입하여 계산한 결과와 같으므로 x, y, z 에 모두 1을 대입하면

(2-1+1)Ü`=8

∴ a=8

Û (2x-y+z)Ü`=(2x-y+z)(2x-y+z)(2x-y+z)

xyz항의 계수는 ㉠에서 2_(-1)_1=-2

㉡에서 2_1_(-1)=-2

같은 방법으로 계산하면 -2가 모두 6번이 만들어지므 로 xyz항의 계수는

-2_6=-12

∴ b=-12 Ú, Û에서

a+b=8+(-12)=-4

⑴ x+y= '3-'2

2 + '3+'2 2

=2'3 2 ='3

⑵ xy= '3-'2

2 _ '3+'2 2

= 3-24 =;4!;

⑶ xÛ`+yÛ`={^'3-'2₂ }Û`+{<sup>'3+'2</sup><sub>2</sub> }Û`

=('3)Û`+('2)Û`

2

=;2%;

⑷ xÛ`-yÛ`={^'3-'2₂ }Û`-{<sup>'3+'2</sup><sub>2</sub> }Û`

=-4_'3_'2 4

=-'6

⑴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab

=4Û`-2_2

=16-4=12

⑵ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)

=4Ü`-3_2_4

=64-24=40

㉠

㉡

⑶ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab

=4Û`-4_2

=16-8=8

⑷ aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û`

=12Û`-2_2Û`

=144-8=136

⑴ aÛ`+bÛ` =(a-b)Û`+2ab

=3Û`+2_2

=9+4=13

⑵ (a+b)Û` =(a-b)Û`+4ab

=3Û`+4_2

=9+8=17

⑶ aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b)

=3Ü`+3_2_3

=27+18=45

⑷ aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û`

=13Û`-2_2Û`

=169-8=161

⑴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy이므로 14=16-2xy, 2xy=2

∴ xy=1

⑵ xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)=64-12=52

⑶ xÝ`+yÝ` =(xÛ`)Û`+(yÛ`)Û`=(xÛ`+yÛ`)Û`-2(xy)Û`

=14Û`-2_1Û`

=194

⑵ (x+y)(xÛ`+yÛ`)=xÜ`+yÜ`+xÛ`y+xyÛ`에서

xÝ`+yÝ` =(xÛ`+yÛ`)Û`-2(xy)Û`

=10Û`-2_3Û`

=100-18=82

(a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab에서 4=5+2ab ∴ ab=-;2!;

∴ ;aB;+;bA;= aÛ`+bÛ`ab = 5

-;2!;=5_{-;1@;}=-10

⑴ xÛ`+ 1xÛ`={x+;[!;}Û`-2=9-2=7

⑵ xÜ`+ 1xÜ`={x+;[!;}Ü`-3{x+;[!;}=27-9=18

⑶ {x-;[!;}Û`={x+;[!;}Û`-4=9-4=5

⑴ xÛ`+ 1xÛ`={x-;[!;}Û`+2=4+2=6

⑵ xÜ`- 1xÜ`={x-;[!;}Ü`+3{x-;[!;}=8+6=14

⑶ {x+;[!;}Û`={x-;[!;}Û`+4=4+4=8

⑴ xÛ`-3x+1=0에 x=0을 대입하면 1=0이므로 x+0이다.

따라서 양변을 x로 나누면 x-3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=3

⑵ xÛ`-3x+1=0에서 xÛ`=3x-1 ∴ xÜ`-4xÛ`+4x-1

=x_xÛ`-4_xÛ`+4x-1

=x(3x-1)-4(3x-1)+4x-1

=3xÛ`-9x+3

=3(3x-1)-9x+3

=0

x=-1+'2이므로 x+1='2 양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`+2x-1=0 따라서 xÛ`=-2x+1이므로

xÜ`-2xÛ`-x+3

=x(-2x+1)-2(-2x+1)-x+3

=-2xÛ`+4x+1

=-2(-2x+1)+4x+1=8x-1

=8(-1+'2)-1=-9+8'2

x-;[!;=5에서 x+0이므로 양변에 x를 곱하면 xÛ`-1=5x ∴ xÛ`=5x+1

xÜ`+xÛ`+x+1 =x_xÛ`+xÛ`+x+1

=x(5x+1)+(5x+1)+x+1

=5xÛ`+7x+2

=5(5x+1)+7x+2

=32x+7

∴ a=32, b=7

⑴ 4xÛ`-9xy+=(2x)Û`+2_2x_{-;4(;y}+

∴ ={-;4(;y}Û`=;1*6!;yÛ`

⑵  xÛ`+4xy+yÛ`= xÛ`+2_2x_y+yÛ`

 xÛ`=(2x)Û`

 xÛ`=4xÛ`

∴ =4

⑶ 4xÛ`+ x+25yÛ`=(2x)Û`+ x+(5y)Û`

 x=Ñ2_2x_5y  x=Ñ20xy ∴ =Ñ20y

(주어진 식)

={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+m

=(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+m xÛ`+5x=t로 치환하면

(t+4)(t+6)+m=tÛ`+10t+24+m 완전제곱식이 되려면

24+m={:Á2¼:}Û`=5Û`

∴ m=1

(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 16=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2_5

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=6

(a+b+c)Û` =aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)

=6+2_5=16

∴ a+b+c=Ñ4

a-b=3, b-c=4를 변끼리 더하면 a-c=7

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca

=;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}

=;2!;(9+16+49)

=37

aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca

=;2!;{(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`}=0

즉, (a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`=0이고 a+b, b+c, c+a는 실수이므로

a+b=0, b+c=0, c+a=0 yy`㉠

세 식을 변끼리 더하면 2(a+b+c)=0

∴ a+b+c=0 yy`㉡

㉠을 ㉡에 각각 대입하면 a=b=c=0

⑴ 2Ú`ß`-1 ⑵ xß`-yß` -10 99 -12xÛ`-4x+8 90

55 648 4aß`-12aÝ`bÛ`+12aÛ`bÝ`-4bß` -11xÛ`+6xy+yÛ`

100 54 2'6 22 - 151

8 -2 4aÛ`+4bÛ`+4cÛ` 6 10 3

8

3Ú`Þ`-1 2

13'36

48~52쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

⑴ 주어진 식에 (2-1)을 곱해도 식의 값은 변하지 않으므로

(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)

=(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)

=(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)

=(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)

=(2¡`-1)(2¡`+1)

=2Ú`ß`-1

⑵ (x+y)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)(xÛ`-xy+yÛ`)

={(x+y)(x-y)}{(xÛ`+yÛ`)+xy}{(xÛ`+yÛ`)-xy}

=(xÛ`-yÛ`)(xÝ`+yÝ`+2xÛ`yÛ`-xÛ`yÛ`)

=(xÛ`-yÛ`)(xÝ`+yÝ`+xÛ`yÛ`)

=xß`+xÛ`yÝ`+xÝ`yÛ`-xÝ`yÛ`-yß`-xÛ`yÝ`

=xß`-yß`

다른 풀이

(x+y)(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)(xÛ`-xy+yÛ`)

={(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)}{(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)}

=(xÜ`-yÜ`)(xÜ`+yÜ`)

=(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`

=xß`-yß`

(2x+A)(Bx+5) =2BxÛ`+(10+AB)x+5A

=4xÛ`+6x+C 각 항의 계수를 비교하면

2B=4, 10+AB=6, 5A=C이므로 A=-2, B=2, C=-10

∴ A+B+C=-2+2-10=-10

(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`=aÁ+aª x+y+a¦ xß`이라 하면 계수의 총합은 양변에 x=1을 대입하여 계산한 결과와 같다.

즉, aÁ+aª+y+a¦=(1+2+3+4)Û`=10Û`=100 그런데 주어진 식에서 상수항 aÁ=1이므로 구하는 값은 100-1=99이다.

A=2xÛ`+(1-2)x-1=2xÛ`-x-1 B= 8xÜ`+2xÛ`-6x-2x =-4xÛ`-x+3 C=8xÚ`Û`yß`Ö4xÚ`â`yß`= 8xÚ`Û`yß`4xÚ`â`yß`=2xÛ`

∴ (주어진 식) =2A-{C-(2B-A+B)}

=2A-(C-2B+A-B)

=2A-(C-3B+A)

=2A-C+3B-A

=A+3B-C

=(2xÛ`-x-1)+3(-4xÛ`-x+3)-2xÛ`

=-12xÛ`-4x+8

{2xÛ`+3x+4+;[%;}Û``

={2xÛ`+3x+4+;[%;}{2xÛ`+3x+4+;[%;}

이므로 상수항은

3x_;[%;+4_4+;[%;_3x=46 이고 x항은

2xÛ`_;[%;+3x_4+4_3x+;[%;_2xÛ`=44x

∴ a=46, b=44 ∴ a+b=90

(x+aÁ)(x+aª)(x+a£)_y_(x+an)

=xⁿ`+(aÁ+aª+y+a<sup>n</sup>)x<sup>n-1</sup>`

+(aÁaª+aÁa£+y+an-1an)x^n-2+y

=xⁿ+(각 상수항의 합)x^n-1

+(두 상수항의 곱의 합)x^n-2 +(세 상수항의 곱의 합)x^n-3+y 따라서 다항식의 전개식에서 xá` 항은 `

(1+2+3+…+10)xá`이다.

∴ A=1+2+3+y+10=55

변형 단계 (주어진 식)

=(1+x+1+2x+xÛ`+1+3x+3xÛ`+xÜ`)Ý`

=(3+6x+4xÛ`+xÜ`)Ý`

풀이 단계 구하는 일차항은 4xÛ`, xÜ`을 사용하여 전개된 항과 는 관계가 없으므로 (3+6x)Ý`의 전개식에서 일차 항을 구하면 된다.

(3+6x)Ý` ={(3+6x)Û`}Û`

=(9+36x+36xÛ`)Û`

같은 방법으로 일차항은 36xÛ`을 사용하여 전개된 항과는 관계가 없으므로 (9+36x)Û`의 전개식에서 일차항을 구하면 된다.

(9+36x)Û`=81+648x+1296xÛ`

확인 단계 따라서 x의 계수는 648이다.

주어진 식의 양변에 (3-1)을 곱하면 (3-1)A=(3-1)(3+1)(3Û`+1)(3Ý`+1)(3¡`+1)

-(3-1)_3Ú`Þ`

2A=(3Û`-1)(3Û`+1)(3Ý`+1)(3¡`+1)-2_3Ú`Þ`

=(3Ý`-1)(3Ý`+1)(3¡`+1)-2_3Ú`Þ`

=(3¡`-1)(3¡`+1)-2_3Ú`Þ`

=3Ú`ß`-1-2_3Ú`Þ`

=3_3Ú`Þ`-2_3Ú`Þ`-1

=(3-2)_3Ú`Þ`-1

=3Ú`Þ`-1

∴ A= 3Ú`Þ`-12

(a+b)Ü`=X, (a-b)Ü`=Y로 치환하면 (주어진 식) =(X+Y)Û`-(Y-X)Û`

=4XY

=4(a+b)Ü`(a-b)Ü`

=4{(a+b)(a-b)}Ü`

=4(aÛ`-bÛ`)Ü`

=4(aß`-3aÝ`bÛ`+3aÛ`bÝ`-bß`)

=4aß`-12aÝ`bÛ`+12aÛ`bÝ`-4bß`

|

|

=(3x-y)(-3x+y)-2(x+y)(x-y)

=-(3x-y)Û`-2(x+y)(x-y)

=-9xÛ`+6xy-yÛ`-2(xÛ`-yÛ`)

=-11xÛ`+6xy+yÛ`

서술형 (주어진 식)

=abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ`

=ab(xÛ`+yÛ`)+xy(aÛ`+bÛ`)

=ab{(x+y)Û`-2xy}+xy{(a+b)Û`-2ab}

=5(16-8)+4(25-10)=100

(주어진 식) =(ab)_aÛ`+(ab)Û`+(ab)_bÛ`

=3aÛ`+9+3bÛ`

=3(aÛ`+bÛ`)+9

=3{(a-b)Û`+2ab}+9

=3(9+6)+9=54

x+y='5, x-y='2-'3이므로 (x+y)Û`-(x-y)Û` =5-('2-'3)Û`

=5-(5-2'6)=2'6

x=2+'5에서 x-2='5

양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`-4x-1=0 양변을 x로 나누어 정리하면 x-;[!;=4

∴ (주어진 식)=[{x-;[!;}Û`+2]+{x-;[!;}=22

x=('3-1)('3-1)

('3+1)('3-1)=4-2'3

2 =2-'3 y=('3+1)('3+1)

('3-1)('3+1)=4+2'3

2 =2+'3 이므로 x+y=4, xy=1, x-y=-2'3

∴ (주어진 식)=(x+y)Û`-3xy x-y = 13

-2'3

=- 13

2'3=-13'3 6

xÛ`-5x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x-5+;[!;=0 ∴ x+;[!;=5

이때 xÛ`+ 1xÛ` ={x+;[!;}Û`-2

=5Û`-2=23 xÜ`+ 1xÜ` ={x+;[!;}Ü`-3{x+;[!;}

=5Ü`-3_5=110

∴ 2xÜ`-3xÛ`- 3xÛ`+ 2xÜ` =2{xÜ`+ 1xÜ` }-3{xÛ`+ 1xÛ` }

=2_110-3_23

=151

x=('5+'3)('5+'3)

('5-'3)('5+'3)=8+2'1Œ5

2 =4+'1Œ5 이므로 x-4='1Œ5

양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`-8x=-1

∴ (주어진 식)=(-1+4)_(4+1)-7=8

(주어진 식)

={xÜ`- 1xÜ` }-2{xÛ`+ 1xÛ` }

=[{x-;[!;}Ü`+3{x-;[!;}]-2[{x-;[!;}Û`+2]

=(1+3)-2(1+2)

=4-6=-2

표현 단계 a+b+c=s라 하면

변형 단계 a+b=s-c b+c=s-a c+a=s-b

풀이 단계 (주어진 식)

=sÛ`+(s-2c)Û`+(s-2b)Û`+(s-2a)Û`

=sÛ`+sÛ`-4sc+4cÛ`+sÛ`-4sb+4bÛ`

+sÛ`-4sa+4aÛ`

=4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)+4sÛ`-4s(a+b+c)

=4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)+4sÛ`-4sÛ` (∵ a+b+c=s)

=4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

=4aÛ`+4bÛ`+4cÛ`

확인 단계 따라서 주어진 식을 전개하면 4aÛ`+4bÛ`+4cÛ`이다.

모든 모서리의 길이의 합이 16`cm이므로 4(x+y+z)=16 ∴ x+y+z=4 직육면체의 겉넓이가 10`cmÛ`이므로

2(xy+yz+zx)=10 ∴ xy+yz+zx=5

∴ xÛ`+yÛ`+zÛ` =(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)

=4Û`-2_5=6

;[!;+;]!;+;z!;= xy+yz+zxxyz =1

∴ xy+yz+zx=xyz yy`㉠

한편, xÛ`+yÛ`+zÛ`=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)이므로 xy+yz+zx=(x+y+z)Û`-(xÛ`+yÛ`+zÛ`)

2

= 1-92 (∵ x+y+z=1, xÛ`+yÛ`+zÛ`=9)

=-4

서술형

㉠에서 xyz=-4

∴ (주어진 식)

=27-9(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-xyz

=27-9-12+4=10

(|a|+|b|)Û` =aÛ`+bÛ`+2|ab|

=(a+b)Û`-2ab+2|ab|

=9-2+2=9

|a|¾0, |b|¾0이므로

|a|+|b|¾0

∴ |a|+|b|=3

|-3|=3, |0|=0과 같이 어떤 수에 절댓값을 취하면 음수는 양수가 되

고 0은 0이다. 따라서 두 수 a, b 각각에 절댓값을 취하여 곱한 값 |a||b|

와 두 수 a, b를 곱한 뒤에 절댓값을 취한 값 |ab|는 반드시 같을 수밖에 없다. 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

Ú a¾0, b¾0인 경우

|ab|=ab (∵ ab¾0), |a||b|=ab

Û a¾0, b<0인 경우

|ab|=-ab (∵ abÉ0), |a||b|=a(-b)=-ab

Ü a<0, b¾0인 경우

|ab|=-ab (∵ abÉ0), |a||b|=(-a)b=-ab

Ý a<0, b<0인 경우

|ab|=ab (∵ ab>0), |a||b|=(-a)(-b)=ab

위와 같이 a, b의 값에 관계없이 |a||b|=|ab|가 성립함을 알 수 있다.

따라서 (|a|+|b|)Û`=aÛ`+2|a||b|+bÛ`=aÛ`+2|ab|+bÛ`이다.

표현 단계 aÛ`+bÛ`+cÛ`=12, a+b+c=6이므로`

변형 단계 2(ab+bc+ca) =(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)

=36-12=24

∴ ab+bc+ca=12

따라서 aÛ`+bÛ`+cÛ`=ab+bc+ca이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0

;2!;(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)=0

;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 a-b=0, b-c=0, c-a=0 ∴ a=b=c

풀이 단계 이때 a+b+c=6이므로 a=b=c=2

확인 단계 ∴ abc=2_2_2=8

서술형

-4xÛ`+4xy 4 ② 512 40 40

;2¥7; 1 ;2!5^; xÛ`+yÛ`+zÛ` 775

⑴ 214_21 또는 21_214 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조

최고 실력 완성하기

STEP

53~55쪽

문제 풀이

A=(8xÜ`yÝ`-16xÜ`yÞ`-4xÛ`yÞ`)Ö(-2xyÛ`)Û`

=(8xÜ`yÝ`-16xÜ`yÞ`-4xÛ`yÞ`)_ 14xÛ`yÝ`

=2x-4xy-y B =(2x-y)(1-2x+y)

=(2x-y){1-(2x-y)}

=2x-y-(2x-y)Û`

=2x-y-4xÛ`+4xy-yÛ`

∴ B-A =2x-y-4xÛ`+4xy-yÛ`-(2x-4xy-y)

=-4xÛ`+8xy-yÛ`

B-(A+C)=4xy-yÛ`에서 B-A-C=4xy-yÛ`이므로 C =B-A-(4xy-yÛ`)

=-4xÛ`+8xy-yÛ`-4xy+yÛ`

=-4xÛ`+4xy

(a+b)ⁿ=X, (a-b)ⁿ=Y로 치환하면 (주어진 식) =(X+Y)Û`-(X-Y)Û`

=4XY

=4(a+b)ⁿ(a-b)ⁿ

=4{(a+b)(a-b)}ⁿ

=4(aÛ`-bÛ`)ⁿ

=4_1ⁿ=4

(x+xÜ`+xÞ`+xà`)Ü` ={x(1+xÛ`+xÝ`+xß`)}Ü`

=xÜ`(1+xÛ`+xÝ`+xß`)Ü`

따라서 g(n)=f(n-3) 또는 f(n)=g(n+3)이므로

② `f(4)=g(7)이 옳다.

주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면 2Ú`â`=aÁ+aª+a£+y+aÁÁ yy`㉠

주어진 식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=aÁ-aª+a£-y+aÁÁ yy`㉡

㉠, ㉡을 변끼리 더하면 2(aÁ+a£+y+aÁÁ)=2Ú`â`

∴ aÁ+a£+y+aÁÁ=2á`=512

의 전개식에서 계수의 총합 구하기

에서

x=1을 대입하면 2ⁿ=a¼+aÁ+aª+y+a_n

yy`㉠

x=-1을 대입하면 0=a¼-aÁ+aª-y+(-1)ⁿan

yy`㉡

㉠+㉡에서 2

㉠-㉡에서 2

즉, (x+1)

의 전개식에서 상수항을 포함한 계수의 총합은 2

이다. 또한 홀수차항의 계수의 총합과 상수항을 포함한 짝수차항의 계수의 총합은 모 두 2

이다.

(|x|-|y|)Û`=xÛ`+yÛ`-2|xy|이므로 16=xÛ`+yÛ`-24

∴ xÛ`+yÛ`=40

(x+y)Û` =xÛ`+yÛ`+2xy

=10+6=16

∴ x+y=4 (∵ x>0, y>0)

∴ (주어진 식) =xÜ`+yÜ`+xÛ`y+xyÛ`

=(xÜ`+yÜ`)+xy(x+y)

={(x+y)Ü`-3xy(x+y)}+xy(x+y)

=(x+y)Ü`-2xy(x+y)

=64-2_3_4

=40

다른 풀이

(주어진 식) =xÛ`(x+y)+yÛ`(x+y)

=(x+y)(xÛ`+yÛ`)

=4_10=40

x+y+z=1에서

x+y=1-z, y+z=1-x, x+z=1-y 이므로

∴ (주어진 식)=(1-z)(1-x)(1-y)

=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz

=1-1+;3!;-;2Á7;

=;2¥7;

aÛ`+bÛ`=1에서 bÛ`=1-aÛ` yy`㉠

cÛ`+dÛ`=1에서

dÛ`=1-cÛ`` yy`㉡

ac+bd=0에서 ac=-bd`

∴ aÛ`cÛ`=bÛ`dÛ` yy`㉢

㉠, ㉡에 의해 bÛ`dÛ`=(1-aÛ`)(1-cÛ`)

aÛ`cÛ`=1-(aÛ`+cÛ`)+aÛ`cÛ` (∵ ㉢) 0=1-(aÛ`+cÛ`)

∴ aÛ`+cÛ`=1

(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`)=1이므로 aÛ`cÛ`+aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`=1 yy`㉠

∴ (ad-bc)Û`=aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`-2abcd

=(1-aÛ`cÛ`-bÛ`dÛ`)-2abcd`(∵ ㉠)

=1-(aÛ`cÛ`+2abcd+bÛ`dÛ`)

=1-(ac+bd)Û`

=1-{;5#;}Û``

=;2!5^;

x+y+z

3 =t로 치환하면 (x+y+z)Û`

3 =3_(x+y+z)Û`

9

=3{ x+y+z3 }Û``

=3tÛ`

∴ (주어진 식)

=(x-t)Û`+(y-t)Û`+(z-t)Û`+3tÛ`

=xÛ`+yÛ`+zÛ`-2(x+y+z)t+3tÛ`+3tÛ`

=xÛ`+yÛ`+zÛ`-6tÛ`+6tÛ``(∵ x+y+z=3t)

=xÛ`+yÛ`+zÛ`

다음 그림과 같이 31_25를 선 긋기 곱셈법을 이용하 여 풀면

31_25 =(6_100)+{(15+2)_10}+(5_1)

=600+170+5

=775

다음 그림에서

2 1

3 5 6 4

⑴ 선이 2개, 1개, 4개이고 반대 방향으로 2개, 1개이므로 나타내는 곱셈식은

214_21 또는 21_214

⑵ 1은 천의 자리의 수, 2와 3은 백의 자리의 수, 4와 5는 십의 자리의 수, 6은 일의 자리의 수를 나타낸다.

⑶ 1에 교차점의 개수가 4개이므로 천의 자리의 숫자는 4 2와 3에 교차점의 개수가 각각 2개, 2개이므로 백의 자 리의 숫자는 2+2=4

4와 5에 교차점의 개수가 각각 1개, 8개이므로 십의 자 리의 숫자는 1+8=9

6에 교차점의 개수가 4개이므로 일의 자리의 숫자는 4 따라서 계산 과정은

(4_1000)+{(2+2)_100}+{(1+8)_10}+(4_1)

=4000+400+90+4

=4494

2 인수분해

⑴ b(aÛ`-bc-dÛ`) ⑵ (a-1)(b-1) ⑶ (x-1)(x-2)(x+2) ⑴ (a+2b-1)(a-2b+1)

⑵ (x+y-z)(x-y-z) ⑴ (x+y+3)(x-y-1) ⑵ (ab+a+b-1)(ab-a-b-1) ⑤

⑴ (a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`) ⑵ (x-2y)(x+2y)(xÛ`+4yÛ`) ⑶ (2a+3b)(4aÛ`-6ab+9bÛ`) ⑷ (a-2b)(aÛ`+2ab+4bÛ`)

㈎ 2(xy)Û` ㈏ (xy)Û` ㈐ xÛ`-xy+yÛ ⑴ (3x-8y)(9x-y) ⑵ (2x-y)(7x+13y)

⑶ ;3Á6;(2x-9)(2x+5) {;[!;-3}{;[!;-4} ⑴ (x-1)(x+1)(xÛ`+4)

⑵ (x-2)(x+1)(xÛ`+2x+4)(xÛ`-x+1) ⑶ (xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3) ⑷ (xÛ`-2x+2)(xÛ`+2x+2)

⑴ (2a+b+4c)(2a+b+6c) ⑵ x(x+3)(xÛ`+3x+11) ⑶ (x-y-2)(x-y+1)

⑴ x(x+5)(xÛ`+5x+10) ⑵ (xy+x+1)(xy+y+1) ⑶ -3(a-x)(b-x)(a+b-2x)

㈎ (b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ` ㈏ (b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) ㈐ (b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}

㈑ (b-c)(a-b)(a-c) ⑴ (x+2y+3)(x-y+2) ⑵ (a+b)(b+c)(c+a)

⑶ (x-y)(xÛ`+yÛ`+zÛ`+xy+yz+zx) ⑷ (a-c)(b-c)(ab+bc+ca)

⑸ (a+b+x+y)(a+b-x-y)(a+b+x-y)(a+b-x+y) -7

57~60쪽

주제별 실력다지기

STEP

곱셈 공식의 변형으로부터 인수분해 공식을 유도할 수 있다.

⑴ aÜ`+bÜ`=(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`) 곱셈 공식의 변형에 의해

aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)

=(a+b){(a+b)Û`-3ab}

=(a+b)(aÛ`+2ab+bÛ`-3ab)

=(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)

인수분해 공식의 원리 확인하기 최상위

NOTE

04

⑵ aÜ`-bÜ`=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`) 곱셈 공식의 변형에 의해

aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b)

=(a-b){(a-b)Û`+3ab}

=(a-b)(aÛ`-2ab+bÛ`+3ab)

=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)

문제 풀이 문제 풀이

⑴ 공통인수 b를 묶어내면 aÛ`b-bÛ`c-bdÛ`=b(aÛ`-bc-dÛ`)

⑵ ab-a-b+1 =(ab-a)+(-b+1)

=a(b-1)-(b-1)

=(a-1)(b-1)

⑶ xÜ`-xÛ`-4x+4 =(xÜ`-xÛ`)-4(x-1)

=xÛ`(x-1)-4(x-1)

=(x-1)(xÛ`-4)

=(x-1)(x-2)(x+2)

⑴ aÛ`-4bÛ`+4b-1 =aÛ`-(4bÛ`-4b+1)

=aÛ`-(2b-1)Û`

=(a+2b-1)(a-2b+1)

⑵ xÛ`-yÛ`+zÛ`-2xz =(xÛ`-2xz+zÛ`)-yÛ`

=(x-z)Û`-yÛ`

=(x+y-z)(x-y-z)

⑴ xÛ`-yÛ`+2x-4y-3

=(xÛ`+2x+1)-(yÛ`+4y+4)

=(x+1)Û`-(y+2)Û`

=(x+1+y+2)(x+1-y-2)

=(x+y+3)(x-y-1)

⑵ (1-aÛ`)(1-bÛ`)-4ab

=1-aÛ`-bÛ`+aÛ`bÛ`-4ab

={(ab)Û`-2ab+1}-(aÛ`+2ab+bÛ`)

=(ab-1)Û`-(a+b)Û`

=(ab+a+b-1)(ab-a-b-1)

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것이므로 (1-aÛ`)(1-bÛ`)-4ab를

(1+a)(1-a)(1+b)(1-b)-4ab와 같이 잘못 인수분해하지 않도록

주의한다.

(주어진 식) =xÛ`(yÛ`+4y+4)-(yÛ`+4y+4)

=(xÛ`-1)(yÛ`+4y+4)

=(x-1)(x+1)(y+2)Û` 따라서 인수가 아닌 것은 ⑤ y+4이다.

⑴ a¡`-b¡` =(aÝ`)Û`-(bÝ`)Û`

=(aÝ`-bÝ`)(aÝ`+bÝ`)

=(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)

`=(a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`)

⑵ xÝ`-16yÝ` =(xÛ`)Û`-(4yÛ`)Û`

=(xÛ`-4yÛ`)(xÛ`+4yÛ`)

=(x-2y)(x+2y)(xÛ`+4yÛ`)

⑶ 8aÜ`+27bÜ` =(2a)Ü`+(3b)Ü`

=(2a+3b)(4aÛ`-6ab+9bÛ`)

⑷ aÜ`-8bÜ`=aÜ`-(2b)Ü`=(a-2b)(aÛ`+2ab+4bÛ`)

xÝ`+xÛ`yÛ`+yÝ` =(xÝ`+yÝ`)+xÛ`yÛ`

={(xÛ`+yÛ`)Û`- 2(xy)Û` }+(xy)Û`

=(xÛ`+yÛ`)Û`- (xy)Û`

=(xÛ`+xy+yÛ`)( xÛ`-xy+yÛ` )

⑴ 27xÛ`-75xy+8yÛ`

3x -8y 1Ú -72xy 9x -y 1Ú -3xy +

-75xy ∴ 27xÛ`-75xy+8yÛ`=(3x-8y)(9x-y)

⑵ 14xÛ`+19xy-13yÛ`

2x -y 1Ú -7xy 7x 13y 1Ú ` `26xy +

`19xy

∴ 14xÛ`+19xy-13yÛ`=(2x-y)(7x+13y)

⑶ ;9!;xÛ`-;9@;x-;4%;=;3Á6;( 4xÛ`-8x-45)

2x -9 1Ú -18x 2x 5 1Ú 10x +

-8x

`∴ ;9!;xÛ`-;9@;x-;4%;=;3Á6;(2x-9)(2x+5)

을 곱하면 안되고

한다.

1

xÛ`-;[&;+12={;[!;}Û`-7{;[!;}+12

={;[!;-3}{;[!;-4}

다른 풀이

;[!;=t로 치환하면

(주어진 식) =tÛ`-7t+12=(t-3)(t-4)

={;[!;-3}{;[!;-4}

⑴ xÛ`=t로 치환하면 xÝ`+3xÛ`-4 =tÛ`+3t-4

=(t+4)(t-1)

=(xÛ`+4)(xÛ`-1)

=(x-1)(x+1)(xÛ`+4)

>³

>³

>³

⑵ xÜ`=t로 치환하면 xß`-7xÜ`-8 =tÛ`-7t-8

=(t-8)(t+1)

=(xÜ`-8)(xÜ`+1)

=(x-2)(xÛ`+2x+4)(x+1)(xÛ`-x+1)

= (x-2)(x+1)(xÛ`+2x+4)(xÛ`-x+1)

⑶ xÝ`-7xÛ`+9 =(xÝ`-6xÛ`+9)-xÛ`

=(xÛ`-3)Û`-xÛ`

=(xÛ`-3+x)(xÛ`-3-x)

=(xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3)

⑷ xÝ`+4 =(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ`

=(xÛ`+2)Û`-(2x)Û`

=(xÛ`-2x+2)(xÛ`+2x+2)

⑴ 2a+b=t로 치환하면 (주어진 식) =tÛ`+10tc+24cÛ`

=(t+4c)(t+6c)

=(2a+b+4c)(2a+b+6c)

⑵ xÛ`+3x=t로 치환하면

(주어진 식) =(t+4)(t+7)-28

=tÛ`+11t

=t(t+11)

=(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+11)

=x(x+3)(xÛ`+3x+11)

⑶ (주어진 식)=(x-y)Û`-(x-y)-2 이므로 x-y=t로 치환하면 (주어진 식) =tÛ`-t-2

=(t-2)(t+1)

=(x-y-2)(x-y+1)

⑴ (주어진 식)

={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-24

=(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)-24 xÛ`+5x=t로 치환하면

(주어진 식) =(t+4)(t+6)-24

=tÛ`+10t

=t(t+10)

=(xÛ`+5x)(xÛ`+5x+10)

=x(x+5)(xÛ`+5x+10)

⑵ (주어진 식) =(xy+1)(xy+x+y+1)+xy

=(xy+1){(xy+1)+x+y}+xy xy+1=t로 치환하면

(주어진 식) =t(t+x+y)+xy

=tÛ`+(x+y)t+xy

=(t+x)(t+y)

=(xy+x+1)(xy+y+1)

⑶ a-x=m, b-x=n으로 치환하면 a+b-2x=m+n

(주어진 식) =mÜ`+nÜ`-(m+n)Ü`

=-3mn(m+n)

=-3(a-x)(b-x)(a+b-2x)

(주어진 식)

=aÛ`b-abÛ`+bÛ`c-bcÛ`+cÛ`a-caÛ`

=(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ`：(가)

=(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)：(나)

=(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}：(다)

=(b-c)(a-b)(a-c)：(라)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =xÛ`+(y+5)x-2yÛ`+y+6

=xÛ`+(y+5)x-(2yÛ`-y-6)

=xÛ`+(y+5)x-(2y+3)(y-2)

=(x+2y+3)(x-y+2)

⑵ (주어진 식)

=aÛ`b+caÛ`+abÛ`+bÛ`c+bcÛ`+cÛ`a+2abc a에 대하여 내림차순으로 정리하면

(주어진 식) =(b+c)aÛ`+(bÛ`+cÛ`+2bc)a+bÛ`c+bcÛ`

=(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c)

=(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)

=(a+b)(b+c)(c+a)

⑶ 주어진 식을 z에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(x-y)zÛ`+(xÛ`-yÛ`)z+xÜ`-yÜ`

=(x-y)zÛ`+(x-y)(x+y)z

+(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)

=(x-y){zÛ`+(x+y)z+xÛ`+xy+yÛ`}

=(x-y)(xÛ`+yÛ`+zÛ`+xy+yz+zx)

⑷ (주어진 식)=acÜ`+bcÜ`-aÛ`cÛ`-abcÛ`-bÛ`cÛ`+aÛ`bÛ`

a에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식)

=(bÛ`-cÛ`)aÛ`+(cÜ`-bcÛ`)a+bcÜ`-bÛ`cÛ`

=(b-c)(b+c)aÛ`-cÛ`(b-c)a-bcÛ`(b-c)

=(b-c){(b+c)aÛ`-cÛ`a-bcÛ`}

=(b-c)(aÛ`b+aÛ`c-cÛ`a-bcÛ`)

=(b-c){(aÛ`-cÛ`)b+ac(a-c)}

=(b-c)(a-c){(a+c)b+ac}

=(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)

⑸ (a+b)Û`=A로 치환하면

① ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ (x-y+1)Û` -7 xyÛ`+2xy-1 (x-3y+1)Û`

4 (x+y-1)(x+y+1) (x+y+z)(xy+yz+zx)

-(a-b)(b-c)(c-a) ⑴ -715 ⑵ 4950 46 ⑴ 2003 ⑵ :ª1°6°:

⑴ (xÛ`+5)(x+3)(x-3) ⑵ (xÛ`+3x+1)(xÛ`-3x+1) (xÛ`+2x-4)(xÛ`+x-4) (x+y)(x-y)(y-z) (x-1)(xÛ`-x+1)(xÛ`+x+1)

61~64쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

각각을 인수분해하면

① (x-2)(x-3) ② (x+2)(x+1)

③ (2x+3)(x+2) ④ (2x-1)(x+2)

⑤ (3x+1)(x+2)

따라서 ②, ③, ④, ⑤는 x+2를 공통인수로 갖는다.

ㄱ. (x-2)(x+3) ㄴ. (x+2)(x-2) ㄷ. (x-2)(xÛ`+2x+4) ㄹ. (2x-1)(x-2) ㅁ. (x-2)(x+2)(xÛ`+4) ㅂ. (x+2)(x-3) 따라서 ㅂ만 x-2를 인수로 갖지 않는다.

표현 단계 x, y에 대하여 모두 이차식이므로 x에 대하여 내 림차순으로 정리하면

변형 단계 yÛ`-2y+xÛ`-2xy+2x+1

=xÛ`-2(y-1)x+yÛ`-2y+1

=xÛ`-2(y-1)x+(y-1)Û`

풀이 단계 ={x-(y-1)}Û`

=(x-y+1)Û`

확인 단계 따라서 주어진 식은

서술형

(x-y+1)Û`으로 인수분해된다.

2xÛ`+cx+3=2bxÛ`+(ab-2)x-a 양변의 계수를 비교하면

2b=2, ab-2=c, -a=3

∴ a=-3, b=1, c=-5

∴ a+b+c=-3+1-5=-7

(주어진 식) =(xyÛ`-x)+(1-yÛ`)

=x(yÛ`-1)-(yÛ`-1)

=(x-1)(yÛ`-1)

=(x-1)(y-1)(y+1) 따라서 인수는 x-1, y-1, y+1

(x-1)(y-1)=xy-y-x+1 (x-1)(y+1)=xy-y+x-1 (y-1)(y+1)=yÛ`-1

(x-1)(y-1)(y+1)=xyÛ`+1-x-yÛ`

∴ (x-1)+(y-1)+(y+1)+(xy-y-x+1)

+(xy-y+x-1)+(yÛ`-1)+(xyÛ`+1-x-yÛ`)

=xyÛ`+2xy-1

x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =AÛ`-2(xÛ`+yÛ`)A+(xÛ`-yÛ`)Û`

=AÛ`-2(xÛ`+yÛ`)A+(x+y)Û`(x-y)Û`

={A-(x+y)Û`}{A-(x-y)Û`}

={(a+b)Û`-(x+y)Û`}{(a+b)Û`-(x-y)Û`}

=(a+b+x+y)(a+b-x-y)

(a+b+x-y)(a+b-x+y)

주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =xÛ`-2(2y+3)x+3yÛ`+2y-16

=xÛ`-2(2y+3)x+(3y+8)(y-2)

=(x-3y-8)(x-y+2) 따라서 A=-8, B=-1, C=2이므로 A+B+C=-7

(주어진 식) =xÛ`+2(1-3y)x+9yÛ`-6y+1

=xÛ`-2(3y-1)x+(3y-1)Û`

=(x-3y+1)Û`

다른 풀이

(주어진 식) =(xÛ`+2x+1)-6(x+1)y+9yÛ`

=(x+1)Û`-6(x+1)y+9yÛ`

x+1=A로 치환하면

(주어진 식) =AÛ`-6Ay+9yÛ`

=(A-3y)Û`

=(x-3y+1)Û`

xÛ`-xy-2yÛ`+5x-y+6

=xÛ`+(5-y)x-2yÛ`-y+6

=xÛ`+(5-y)x-(2yÛ`+y-6)

=xÛ`+(5-y)x-(2y-3)(y+2)

=(x-2y+3)(x+y+2)

∴ a+b+c+d=-2+3+1+2=4

표현 단계 x+ay-1은 xÛ`+yÛ`+bxy-1의 인수이므로 xÛ`+yÛ`+bxy-1=(x+ay-1)(x+cy+1) 로 나타낼 수 있다.

변형 단계 xÛ`+yÛ`+bxy-1

=(x+ay-1)(x+cy+1)

=xÛ`+cxy+x+axy+acyÛ`+ay-x-cy-1

=xÛ`+acyÛ`+(a+c)xy+(a-c)y-1

풀이 단계 yÛ`항의 계수를 비교하면 1=ac xy항의 계수를 비교하면 b=a+c y항의 계수를 비교하면 0=a-c

확인 단계 b>0이므로 a=c=1, b=2 xÛ`+yÛ`+2xy-1

=xÛ`+2xy+yÛ`-1

=(x+y)Û`-1

=(x+y-1)(x+y+1)

(주어진 식)

=xÛ`y+xzÛ`+xÛ`z+yÛ`z+xyÛ`+yzÛ`+3xyz

=(y+z)xÛ`+(yÛ`+3yz+zÛ`)x+yz(y+z)

y+z `yz Ú yz

``1 ` y+z Ú (y+z)Û` +`

yÛ`+3yz+zÛ`

={(y+z)x+yz}(x+y+z)

=(x+y+z)(xy+yz+zx)

서술형

>³

=(t-x)(t-y)(t-z)+xyz

=tÜ`-(x+y+z)tÛ`+(xy+yz+zx)t-xyz+xyz

=t{tÛ``-(x+y+z)t+(xy+yz+zx)}

=(x+y+z)(xy+yz+zx)

위와 같이 치환을 이용하여 문제를 해결할 수도 있다.

표현 단계 [a, b, c]=aÛ`(b-c) [b, c, a]=bÛ`(c-a) [c, a, b]=cÛ`(a-b)

변형 단계 [a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b]

=aÛ`(b-c)+bÛ`(c-a)+cÛ`(a-b)

풀이 단계 =aÛ`b-aÛ`c+bÛ`c-abÛ`+acÛ`-bcÛ`

=(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ``

=(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)

=(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}

=(b-c)(a-b)(a-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

확인 단계 따라서 주어진 식은 -(a-b)(b-c)(c-a)로 인 수분해된다.

⑴ 356=t로 치환하면 (주어진 식)

=tÛ`+(t+2)t-(t+2)Û`-(t+1)(t-1)

=tÛ`+tÛ`+2t-tÛ`-4t-4-tÛ`+1

=-2t-3=-2_356-3

=-715

⑵ (주어진 식)

=1Û`+(3Û`-2Û`)+(5Û`-4Û`)+y+(99Û`-98Û`)

=1Û`+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+y

+(99+98)(99-98)

=1+(3+2)+(5+4)+y+(99+98)

=1+2+3+4+5+y+99

= 99_1002

=4950

aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)이므로 3¡`-1 =(3Ý`+1)(3Ý`-1)

=(3Ý`+1)(3Û`+1)(3Û`-1)

=(3Ý`+1)(3Û`+1)(3+1)(3-1)

즉, 3¡`-1의 약수 중 10 이상 20 이하의 자연수는 2_5=10

서술형

2_2_2_2=16 2_2_5=20

따라서 구하는 자연수의 합은 10+16+20=46

⑴ 2002=t로 치환하면 (주어진 식)= tÜ`+1

(t-1)t+1

=(t+1)(tÛ`-t+1) tÛ`-t+1

=t+1

=2003

⑵ (주어진 식)=¾¨ 254_256+1256

=¾¨ (255-1)(255+1)+1256

=¾¨ 255Û`-1+1256

=¾¨ 255Û`256

=:ª1°6°:

⑴ (주어진 식) =(xÛ`+5)(xÛ`-9)

=(xÛ`+5)(x+3)(x-3)

⑵ (주어진 식) =(xÝ`+2xÛ`+1)-9xÛ`

=(xÛ`+1)Û`-(3x)Û`

=(xÛ`+3x+1)(xÛ`-3x+1)

(주어진 식)

={(x-1)(x+4)}{(x-2)(x+2)}+2xÛ`

=(xÛ`+3x-4)(xÛ`-4)+2xÛ`

xÛ`-4=t로 치환하면

(주어진 식) =(t+3x)t+2xÛ`

=tÛ`+3xt+2xÛ`

=(t+2x)(t+x)

=(xÛ`+2x-4)(xÛ`+x-4)

z에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(yÛ`-xÛ`)z+xÛ`y-yÜ`

=(y+x)(y-x)z+y(xÛ`-yÛ`)

=(y+x)(y-x)z+y(x+y)(x-y)

=-(x+y)(x-y)z+y(x+y)(x-y)

=(x+y)(x-y)(y-z)

(주어진 식) =xÝ`(x-1)+xÛ`(x-1)+(x-1)

=(x-1)(xÝ`+xÛ`+1)

=(x-1){(xÝ`+2xÛ`+1)-xÛ`}

=(x-1){(xÛ`+1)Û`-xÛ`}

=(x-1)(xÛ`-x+1)(xÛ`+x+1)

(xÛ`+x+a+1)(xÛ`-x-a+1) b=c인 이등변삼각형 또는 빗변의 길이가 a인 직각삼각형

(ac-d)(ab+c+d) a=b인 이등변삼각형 또는 빗변의 길이가 c인 직각삼각형 64

571 (xÛ`-4x+1)(xÛ`-x+1) 1, 3 p<0 풀이 참조

10`m ⑴ 1`m ⑵ 1`m

최고 실력 완성하기

STEP

65~67쪽

문제 풀이

주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =-aÛ`-2xa+(xÝ`+xÛ`+1)

=-aÛ`-2xa+(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1)

=(a+xÛ`+x+1)(-a+xÛ`-x+1)

=(xÛ`+x+a+1)(xÛ`-x-a+1)

주어진 식을 정리하면 aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-cÝ`=bÛ`cÛ`+aÛ`bÛ`-bÝ`

bÝ`-cÝ`+aÛ`cÛ`-aÛ`bÛ`=0

(bÛ`+cÛ`)(bÛ`-cÛ`)-aÛ`(bÛ`-cÛ`)=0 (bÛ`-cÛ`)(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=0 (b-c)(b+c)(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=0

∴ b=c 또는` aÛ`=bÛ`+cÛ`

따라서 b=c인 이등변삼각형 또는 빗변의 길이가 a인 직각 삼각형이다.

b에 대하여 내림차순으로 정리하면

(주어진 식) =(aÛ`c-ad)b+(acÛ`+acd-cd-dÛ`)

=a(ac-d)b+{ac(c+d)-d(c+d)}

=a(ac-d)b+(c+d)(ac-d)

=(ac-d)(ab+c+d)

주어진 식을 정리하면

(a-b)cÝ`-2(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)cÛ`

+(a-b)(a+b)Û`(aÛ`+bÛ`)=0 (a-b){cÝ`-2(aÛ`+ab+bÛ`)cÛ`+(aÛ`+bÛ`)(a+b)Û`}=0 (a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`){cÛ`-(a+b)Û`}=0

(a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)(c+a+b)(c-a-b)=0 a+b+c+0, c-a-b+0(∵ c<a+b)이므로 a=b 또는 cÛ`=aÛ`+bÛ`

따라서 a=b인 이등변삼각형 또는 빗변의 길이가 c인 직각 삼각형이다.

2⁴⁰-1 =(2²⁰+1)(2²⁰-1)

=(2²⁰+1)(2¹⁰+1)(2¹⁰-1)

=(2²⁰+1)(2¹⁰+1)(2Þ`+1)(2Þ`-1)

따라서 2Þ`+1=33과 2Þ`-1=31에 의해 나누어 떨어진다.

∴ 33+31=64

24=t로 치환하면

(주어진 식) ="Ã(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)+16

="Ã{(t-1)(t+1)}{(t-3)(t+3)}+16

="Ã(tÛ`-1)(tÛ`-9)+16

="ÃtÝ`-10tÛ`+25

="Ã(tÛ`-5)Û`="Ã(24Û`-5)Û`

="Ã571Û`

=571

상반식의 인수분해는 가운데 항 xÛ`으로 묶어낸다.

xÝ`-5xÜ`+6xÛ`-5x+1

=xÛ`{xÛ`-5x+6-;[%;+ 1xÛ` }

=xÛ`[xÛ`+ 1xÛ`-5{x+;[!;}+6]

=xÛ`[{x+;[!;}Û`-5{x+;[!;}+4]

=xÛ`[{x+;[!;}-4][{x+;[!;}-1]

=x{x+;[!;-4}x{x+;[!;-1}

=(xÛ`-4x+1)(xÛ`-x+1)

nÝ`+nÛ`+1 =(nÝ`+2nÛ`+1)-nÛ`

=(nÛ`+1)Û`-nÛ`

=(nÛ`+n+1)(nÛ`-n+1) 따라서 nÝ`+nÛ`+1이 소수가 되려면 nÛ`+n+1=1 또는` nÛ`-n+1=1 Ú nÛ`+n+1=1일 때

n(n+1)=0 ∴ n=0 또는 n=-1 Û nÛ`-n+1=1일 때

n(n-1)=0 ∴ n=0 또는 n=1 Ú, Û에 의해 n=1 (∵ n은 자연수)

∴ p=1+1+1=3

p =aÝ`-2(bÛ`+cÛ`)aÛ`+(bÝ`-2bÛ`cÛ`+cÝ`)

=aÝ`-2(bÛ`+cÛ`)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)Û`

=aÝ`-2(bÛ`+cÛ`)aÛ`+(b+c)Û`(b-c)Û`

={aÛ`-(b+c)Û`}{aÛ`-(b-c)Û`}

=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c) 한편, a>0, b>0, c>0이므로 a+b+c>0

또, 삼각형의 어느 두 변의 길이의 합도 다른 한 변의 길이 보다 크므로 a<b+c, b<a+c, c<a+b

∴ a-b-c<0, a+c-b>0, a+b-c>0

∴ p<0

어떤 동물원에 갔더니 맹수 우리는 총 8개였고, 각각 암수 한 쌍이 있었다.

따라서 이 동물원에는 총 2_8=16(마리)의 맹수가 있다 는 것을 알 수 있었다.

세로의 길이를 x`m라 하면 가로의 길이는 (x+10)`m이고 넓이가 200`mÛ`이므로

x(x+10)=200에서 xÛ`+10x-200=0

이 식의 좌변을 인수분해하면 (x-10)(x+20)=0

∴ x=-20 또는 x=10

이때 x는 양수이므로 x=10이고 구하는 세로의 길이는 10`m이다.

⑴ 가로의 길이를 x`m라 하면 세로의 길이는 (5-x)`m이고 넓이가 6`mÛ`이므로

x(5-x)=6에서 xÛ`-5x+6=0

이 식의 좌변을 인수분해하면 (x-2)(x-3)=0

∴ x=2 또는 x=3

따라서 가로와 세로의 길이의 차는 3-2=1(m)이다.

⑵ 가로와 세로의 길이를 각각 x`m, y`m라 하면 주어진 조 건에서 x+y=5, xy=6이므로

|x-y|="Ã(x+y)Û`-4xy="Ã5Û`-4_6=1 따라서 가로와 세로의 길이의 차는 1`m이다.

11xÛ`+2x-7 a=3, b=4, c=6 ③ -:Á3Á: 0 ①

-6 0 -1 18 -3 8

-256pÛ`qÛ` -;5(; ⑤ ㄱ, ㄷ 2x+2y-1 -10

5 (x+y+z)Û` 9-4'5 {aÛ`+;:ª:;aÛ`-1}Û` (x+1)(m-x-1)(m-x+1) (x-2)(3x+4)

단원 종합 문제 ^68~70쪽

ⅠⅠ

문제 풀이

A =(2x+1)(3x-4)

=6xÛ`+(-8+3)x-4

=6xÛ`-5x-4 B =(x+1)(x-1)

=xÛ`-1

C =(3x-1)Û`-(3x+1)Û`

=(9xÛ`-6x+1)-(9xÛ`+6x+1)

=-12x

∴ (주어진 식)

=3A-2B-(2C-B-C+A)

=3A-2B-A+B-C

=2A-B-C

=2(6xÛ`-5x-4)-(xÛ`-1)-(-12x)

=12xÛ`-10x-8-xÛ`+1+12x

=11xÛ`+2x-7

(ax-5)(2x+b) =2axÛ`+(ab-10)x-5b

=cxÛ`+2x-20 이므로

2a=c, ab-10=2, -5b=-20 -5b=-20에서 b=4

ab-10=2에서 4a-10=2 ∴ a=3 2a=c에서 6=c

∴ a=3, b=4, c=6

1002_998 =(1000+2)(1000-2)

=1000Û`-2Û`

=1000000-4

=999996

따라서 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이용하는 것이 가장 좋다.

x, y에 1을 대입하여 전개식에서 상수항을 포함한 계 수의 총합을 구하면 (2+a+5)(1+2+3)=6a+42이고, 상수항은 5_3=15이므로

(6a+42)-15=5, 6a=-22

∴ a=-:Á3Á:

3a+2b=1에서 2b=1-3a를 주어진 식에 대입하면 9aÛ`-(2b)Û`+3a+3_2b-2

=9aÛ`-(1-3a)Û`+3a+3(1-3a)-2

=9aÛ`-1+6a-9aÛ`+3a+3-9a-2

=0

9aÛ`-4bÛ` =(3a)Û`-(2b)Û`

=(3a+2b)(3a-2b)

=3a-2b (∵ 3a+2b=1)

이므로

9aÛ`-4bÛ`+3a+6b-2 =3a-2b+3a+6b-2

=6a+4b-2

=2(3a+2b)-2

=2_1-2=0

364=t라 하면

366=t+2, 728=2t, 363=t-1, 365=t+1이므로 주어진 식에 대입하면

(주어진 식) =t(t+2)-2t-(t-1)(t+1)

=tÛ`+2t-2t-tÛ`+1

=1

x=2-'3, 즉 x-2=-'3의 양변을 제곱하여 정리 하면

xÛ`-4x=-1

∴ xÛ`-4x-5 =-1-5

=-6

(1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`)Ü`을 전개할 때, xÜ` 항의 계수는 ( ) 안의 xÝ` 항의 영향을 받지 않는다.

즉, (1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`)Ü`의 xÜ` 항의 계수와 (1+x+xÛ`+xÜ`)Ü`의 xÜ` 항의 계수는 서로 같다.

따라서 a=b이므로 a-b=0

(a+b)Û`=aÛ`+2ab+bÛ`이므로 ab=(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`)

2

= 9-52 =2

(주어진 식) =-{(ab)Û`-2ab+1}

=-(ab-1)Û`

=-(2-1)Û`

=-1

x+0이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-4+;[!;=0 ∴ x+;[!;=4

∴ (주어진 식)={xÛ`+ 1xÛ` }+{x+;[!;}

=[{x+;[!;}Û`-2]+{x+;[!;}

=(16-2)+4

=18

(x-2y)Û` =(x+2y)Û`-8xy

=49-8_5

=9

이때 x<2y, 즉 x-2y<0이므로 x-2y=-3

xy+yz+zx=3에서 xy+yz=3-zx,

yz+zx=3-xy, zx+xy=3-yz

∴ (xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)

=(3-zx)(3-xy)(3-yz)

=27-9(xy+yz+zx)+3xyz(x+y+z)-(xyz)Û`

=27-9_3+3_1_3-1

=8

;6Á4;-4pq-={;8!;+A}Û`

=;6Á4;+2_;8!;_A+AÛ`

=;6Á4;+ A4 +AÛ`

이므로 -4pq= A4

∴ A=-16pq

∴  =-AÛ`

=-(-16pq)Û`

=-256pÛ`qÛ`

;4!;xÛ`-;3!;xy+;9!;yÛ`=0의 양변에 36을 곱하면 9xÛ`-12xy+4yÛ`=0

(3x-2y)Û`=0

∴ 3x=2y 즉, y=;2#;x이므로

2x-3y =3x+y

3x+;2#;x 2x-3_;2#;x

= ;2(;x

-;2%;x=-;5(;

aÝ`-bÝ` =(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)

=(a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)

이므로 aÝ`-bÝ`의 인수가 아닌 것은 ⑤ (a+b)Û`이다.

ㄱ. ;9$;xÛ`-;3@;xy+;4!;yÛ`

={;3@;x}Û`-2_;3@;x_;2!;y+{;2!;y}Û`

={;3@;x-;2!;y}Û`

ㄴ. xÛ`+9yÛ`-1-6xy =(xÛ`-6xy+9yÛ`)-1

=(x-3y)Û`-1Û`

=(x-3y-1)(x-3y+1)` ㄷ. (a+2b)Û`-(3a-b)Û`

={(a+2b)-(3a-b)}{(a+2b)+(3a-b)}

=(-2a+3b)(4a+b)

=-(2a-3b)(4a+b) ㄹ. x-3=t로 치환하면

(주어진 식) =2tÛ`+5t-3

=(t+3)(2t-1)

={(x-3)+3}{2(x-3)-1}

=x(2x-7)

따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ⅠⅠⅠ

xÛ`+2xy+yÛ`-x-y-2=(x+y)Û`-(x+y)-2 x+y=t로 치환하면

(주어진 식) =tÛ`-t-2

=(t-2)(t+1)

=(x+y-2)(x+y+1) 따라서 두 일차식의 합은

(x+y-2)+(x+y+1)=2x+2y-1

두 이차식 xÛ`-mx+n, 2xÛ`+3x-m은 x-2를 공통 인수로 갖으므로

x=2를 2xÛ`+3x-m에 대입하면 8+6-m=0

∴ m=14

m=14, x=2를 xÛ`-mx+n에 대입하면 4-28+n=0

∴ n=24

∴ m-n=14-24=-10

다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 f(a)=0이다.

다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 적당한 다항식 Q(x)가 존재하여 

∴ f(a)=0

xÛ`+6x+k=xÛ`+(a+b)x+ab 이므로 a+b=6인 자연수 (a, b)는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 이때 k=ab이므로 k=5, 8, 9

따라서 k의 최솟값은 5이다.

약속에 따라 식을 변형하면

(주어진 식) =(xÛ`+2yz)+(yÛ`+2zx)+(zÛ`+2xy)

=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)

=(x+y+z)Û`

2-a-aÛ`

-aÛ`+10a-9Ö aÛ`+12a+27

81-aÛ` _ 6-a-aÛ`

(a+2)Û`

= -(aÛ`+a-2)

-(aÛ`-10a+9)_ -(aÛ`-81)

aÛ`+12a+27_-(aÛ`+a-6) (a+2)Û`

=(a+2)(a-1)

(a-1)(a-9)_(a-9)(a+9)

(a+3)(a+9)_(a-2)(a+3) (a+2)Û`

= a-2a+2 ='5-2

'5+2= ('5-2)Û`

('5+2)('5-2)=9-4'5

aÝ`-2aÛ`+5- 4aÛ`+ 4 aÝ`

={aÝ`+ 4aÝ` }-2{aÛ`+ 2aÛ` }+5

=[{aÛ`+ 2aÛ` }Û`-4]-2{aÛ`+ 2aÛ` }+5

={aÛ`+ 2aÛ` }Û`-2{aÛ`+ 2aÛ` }+1 이므로 aÛ`+ 2aÛ`=A로 치환하면

(주어진 식)=AÛ`-2A+1=(A-1)Û`={aÛ`+ 2aÛ`-1}Û`

xÜ`-(2m-1)xÛ`-(1+2m-mÛ`)x-1+mÛ`

=xÜ`-2mxÛ`+xÛ`-x-2mx+mÛ`x-1+mÛ`

=(x+1)mÛ`-2(xÛ`+x)m+(xÜ`+xÛ`-x-1)

=(x+1)mÛ`-2x(x+1)m+{xÛ`(x+1)-(x+1)}

=(x+1)mÛ`-2x(x+1)m+(x+1)Û`(x-1)

=(x+1){mÛ`-2xm+(x+1)(x-1)}

=(x+1)(m-x-1)(m-x+1)

처음 이차식을 3xÛ`+ax+b라 하면

A는 x의 계수를 잘못 보았으므로 xÛ`의 계수와 상수항은 바 르게 보았다.

즉, (x+2)(3x-4)=3xÛ`+2x-8에서 b=-8

B는 상수항을 잘못 보았으므로 xÛ`의 계수와 x의 계수는 바 르게 보았다.

즉, (x-1)(3x+1)=3xÛ`-2x-1에서 a=-2

따라서 처음 이차식은 3xÛ`-2x-8이므로 인수분해하면 3xÛ`-2x-8=(x-2)(3x+4)