예)
9차 부정정 구조물
(9th-order statically indeterminate system)
1 자유절점변위(1자유도) 구조물
(first-order geometrically indeterminate system)
변위일치법을 이용한 해석시 9개의 부정정력을 구 해야 하나 구조물의 변형상태를 한 절점 자유도 에 의해 표현하고 이를 통해 절점 모멘트를 구할 수 있다면 단지 1개의 식을 통해 해석이 가능하다.
9. 처짐각법
9.1. 개요
∎ 응력법(변위일치법) : 부정정력을 미지변수로 둔다
∎ 변위법(처짐각법, 모멘트 분배법) : 축방향 변위 및 축력을 무시하고 자유절점변위 (처짐, 처짐각)을 미지변수로 하여 절점모멘트 를 계산한다. 부정정차수가 높고 자유절점변위 수가 낮은 구조물의 해석에 유용하게 적용된 다.
9.2. 처짐각법의 개념
∎ 처짐각 방정식 : 절점 에서의 자유도 만이 미지변위이며 각 절점에서의 모멘 트를 의 함수로 표현할 수 있다.
부재 의 절점 에 생기는 모멘트
A B C
① ②
q δ
1δ
2
∎ 절점 평형방정식 : 절점 에서의 평형 조건식을 이용하여 를 구하고 이를 이용 하여 각 절점 모멘트를 구한다.
→ →
∎ , : 절점 모멘트와 하중을 고려하여 를 완성하고 이를 이용하여
를 찾는다.
9.3. 처짐각 방정식
■ 개념
아래 구조물의 경우 절점 ① 과 ②로 구성된 부재는 인접한 부재들의 휨 강성에 따라 절점에서 제한된 회전변형(탄성회전변형)이 가능하도록 구속되어 있다.
=
P
A B C
MBC MCB MBA
MBC
MBC
MBA MBC MCB
이때 부재 ①-② 만 고려할 경우 양단을 고정시킨 상태를 기본시스템으로 둔다.
(기하학적 정정)
① ②
q
δ
1δ
2M
2M
1=
q M
20M
10+
δ
1M
21M
11+
δ
2M
12M
22즉,
§ 및 를 알면 절점모멘트 과 를 구할 수 있다.
§ 는 를 발생시키는 절점 에서의 모멘트이다
§ 는 주어진 하중에 의해, 는 부재의 휨강성에 의해 결정된다.
정역학적 정정 시스템 (Statically determinate)
(부정정력 : , 기지수 : )
기하학적 정정 시스템 (Geometrically determinate)
(부정정변위 : , 기지수 : )
x1=1
x2=1
δ10
δ20
δ11 δ21
δ12 δ22
M10 M20
M21
M22 M11
M12 x1=1
x2=1
■ 처짐각 방정식의 유도
아래 그림의 절점모멘트 및 부재단 회전각(절점 변위를 고려한 변형 후 부재축 방 향에 대한 절점회전각) 방향을 +로 정의, 하나의 구조 시스템은 두 개의 절점을 갖는 여러 개의 부재로 분할되고 에 대한 각각의 방정식이 유도되므로 모든 절 점에 동일한 부호 규약을 적용함으로 계산이 용이해 진다. 절점변위가 없는 경우 부재단 회전각는 절점 회전각(변형 전 부재축 방향에 대한 회전각) 와 동일하 다.
M1
δ1
M2 δ2 ②
①
: 절점모멘트
: 부재단 회전각
: 절점회전각
(9.3.1a) (9.3.2a)
(9.3.1b) (9.3.2b)
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
(9.3.5a)
(9.3.5b) (9.3.1a), (9.3.1b)를 , 에 대하여 정리하면
또는
(9.3.3a)
(9.3.3b)
(9.3.3a), (9.3.3b)와 (9.3.2a), (9.3.2b)의 계수비교
(9.3.4a~c)
(9.3.4d~f)
단위하중법에 의해
식 (9.3.2a~b)의 계수 중 를 제외하고 모두 와 로 표현되었다.
·
·
·
·
·
·
■ 절점변위 ∆ 가 발생할 경우, 부재회전각 가 발생하며 부재단회전각 는 절점회 전각 에 이를 고려한 값으로 계산된다.
∆
∆
∆
∆
, : 절점회전각 + : 부재회전각 +
, : 부재단회전각 +
(9.3.6a)
(9.3.6b)
식(9.3.2a), (9.3.2b)에 (9.3.6a), (9.3.6b)를 대입하면
(9.3.7a)
(9.3.7b)
②
M1 M2
①
P
∆
M10 P M20
① ②
① ②
+
+
이라 하면
식(9.3.7a), (9.3.7b)에 를 적용하면
(9.3.8a)
(9.3.8b)
, 는 주어진 하중이 기하학적 정정 시스템에 작용할 때의 고정단 모멘트이며, 식 (9.3.4a), (9.3.4d)로부터 구할 수 있으나 이미 계산된 표를 이용하면 계산이 용이하다.
10KN
A
B
C
12m 5m 5m
EI = constant 예제 9-1 아래 보의 전단력도와 모멘트도를 구하시오.
1) 예비계산
2) 부재별 처짐각 방정식
⋅부재
⋅부재
A B C
+ + + +
A B C
A B C
2.84 5.68 -5.68 15.91 10KN
2.84 -5.68 -5.68 -15.91 10KN
+
+ 처짐각법
기존부호규정 3) 절점평형 방정식
⋅미지변수 에 대하여
4) 절점모멘트
⋅
⋅
⋅
⋅
5) ,
10KN
VA VB VC
2.84
-15.91
14.19 -5.68
+
- -
+ A
B
D C
10kN
(BMD)
-0.71
3.98
-6.02
(SFD)
× ×
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
+
ⓝ ⓘ
①
②
③
ⓟ
ⓝ Mk
①
② ⓟ
③ ⓘ
(9.3.11)
: 절점 ⓝ에 작용하는 모멘트 하중 n 한 절점에 개의 부재가 만날 경우
처짐각방정식 (9.3.8a), (9.3.8b)의 첨자는 부재 ⓝ-ⓘ에 대하여
(9.3.9)
(9.3.10)
로 표현되고 절점 평형방정식은 식(9.3.9)을 풀기 위해 아직 미지수인 , 에 대하여 각 절점에서의 평형조건을 고려한다.
절점 ⓝ에 대하여 절점 모멘트하중 를 고려하면
식(9.3.9)을 식(9.3.11)에 대입하면
(9.3.12)
식(9.3.12)은 , 즉 부재회전각이 존재하지 않는 경우 개의 미지 절점 회전각을 포함하고 이 식은 모든 절점 즉, 개의 절점에 대하여 세 워지므로 해를 구할 수 있다.
부재회전각이 발생하여 ≠ 인 경우 해당 부재들에 발생하는 전단력을 포 함한 추가 조건식(전단방정식)이 고려된다.(예제참조)
n 부재의 한 지점에서 모멘트가 “0”인 경우 해당 모멘트는 더 이상 구할 필요가 없 다. 이 경우 이에 대응하는 회전각을 소거하면 계산이 용이해진다.
(9.3.13)
(9.3.14)
(9.3.15)
A B
MBA=0
≠
예) 내부 힌지를 갖는 연속보(개념 설명)
15kN
A E
B C D
2kN/m
20m 10m 10m 10m 10m
1) 예비계산 , , ,
2) 부재별 처짐각 방정식
, , 이므로 부재 , , 에 식(9.3.15) 적용
⋅ 부재 , 부재
∆,
∆
E C
B 10m 10m
△
⋅ 부재 : 식(9.3.15) 사용
3) 절점 평형 방정식
⋅ 절점 와 에서 2개의 절점 평형방정식이 세워지나 이때 미지수는 , ,
∆ 3개이다. 따라서 추가조건식이 필요하다.
4) 전단방정식
⋅ 3개의 미지수에 대하여 3개의 방정식이 세워졌으므로 , , ∆ 를 구한 후 부재별 처짐각 방정식에 대입하여 각 절점 모멘트를 계산
5) 부재력
· · ·
B E C
V
E ∆ ∆
B
∆
⋅절점B
C
∆
⋅절점C
A
B C
D 20kN/m
20m 20m
BMD?
EI=constant
대칭을 고려하면
9.4. 횡변위가 없는 라멘의 해석
n 하중을 포함한 라멘의 구조시스템이 대칭이거나 횡변위가 구속된 경우 횡변위는 발생하지 않는다.
예) 횡변위가 없는 라멘
1) 예비계산
⋅
⋅
⋅
2) 부재별 처짐각 방정식
3) 절점 평형방정식
⋅절점
4) 부재력 계산
A B
-444.446
444.446
222.223 A B
-444.446
-444.446
222.223
(, 처짐각법) ()
A
B C
D -444.446
-444.446 -444.446
-444.446
222.223 222.223 555.554
()
1층 라멘 2층 라멘
A
B C
D P
△
△
P2
△1
△2
P1
A B C
D
E
F
△1
△2
부호정의
부재단 회전각 절점 회전각
부재 회전각
+ + +
+ ++ ++ +
+ + +
부재회전
각
∆
∆
∆
미지변수 , , ∆ , , , , ,
절점 평형
방정식
층방정식
9.5. 횡변위가 있는 라멘의 해석
∎ 라멘구조 시스템이 대칭이 아니고 횡변이 구속되어 있지 않은 경우 횡하중의 작용 없이도 횡변위는 발생할 수 있다.
∎ 횡변위가 있는 경우 부재회전각이 발생하므로 미지변수가 추가되어 이에 대한 추 가방정식(층방정식, 전단방정식)이 요구된다.
n 해석개요
예제 9-2 아래 라멘 구조물의 를 구하시오.
A
B C
D 300kN
10m 15m
5m
6m
EI=constant
∆
1) 예비계산
횡변위의 방향을 모를 경우 를 로 가정하면 P
B C
a b
2) 부재별 처짐각 방정식
⋅부재
⋅부재
⋅부재
3) 절점 평형방정식
⋅절점
B
MBC
MBA
(9.5.1)
⋅절점
C MCB
MCD
(9.5.2)
4) 전단방정식(층 방정식)
15m
A B
MAB
MBA
VAB VBA
6m
C
MDC
MCD
VDC VCD
D
(9.5.3)
5) , 계산
식 (8.5.1), (8.5.2), (8.5.3)을 연립하면
A
D
△ △
B C
6) 모멘트도 작성
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅
A
B C
D -418.07
418.07
279.2
-279.2
-18.2
234.28
627.9
A
B C
D -418.07
-418.07
234.28
-279.2 -279.2
18.2
(, 처짐각법) ()
∆
<예제 9.7- 전산 해석(FEM)결과-변형도(EI=1⋅)>
A B
C D
E F
P
q
△1 △2
10m
△2
△1
BMD?
EI=constant
∎미지변수
, , , , ∆, ∆
∆
∆ n 횡변위가 있는 2층 라멘 구조물의 해석(개념설명)
1) 예비계산
2) 부재별 처짐각 방정식
3) 절점 평형방정식
절점 4개의 절점평형방정식(
)⇒ 6개의 미지변수, 4개의 방정식
⋅2층에서의
부재 와 에서 2층 전단력 , 를 와 및 , 로 나타내고
⋅1층에서의
부재 와 에서 1층 전단력 , 를 와 및 , 로 나타내고
⇒ 2개 방정식 추가
A B
C D
P
VCA VDB
A B
C D
E F
P
q
VCE VDF
A B
C D
E F
P
q
VCE VDF
A B
C D
E F
P
q
VCE VDF
q
4) 층방정식
5) , 계산
6) 작성(+ 모멘트 정의 고려)
