함수의 최댓값과 최솟값, 평균값 정리
1. 함수의 최댓값과 최솟값
2. 함수의 증가와 감소, 극댓값과 극솟값 3. 평균값 정리
1. 함수의 최댓값과 최솟값 구하기
1.1 정의
함수 가 정의역
에 속하는 모든 에 대해 ≦ ≧
이면 는 에서 최대(최소)값을 갖는다고 한다.
Note. 함수 가 정의역
전체가 아니라 한 점 가까이의 모든 에 대해 ≦ ≧
이면 는 에서 극대(극소)값을 갖는다고 한다. 극댓값과 극솟값을 모두 극값이라 부른다.
1.2 보기 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) cos
답: max min
(2)
답: min 이고 최댓값은 없다.
(3)
답: 최댓값, 최솟값 모두 없다.
1.3 최대, 최솟값 정리
닫힌구간 에서 연속인 함수 는 항상 내의 어떤 점 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
Note. ′가 존재하지 않는 경우에도, 즉 미분가능하지 않은 점에서도 극댓값이나 극솟값이 존재할 수 있다. 예를 들어, 함수 에 대해 에서 극솟값을 갖는다.
1.4 Fermat 정리
가 에서 미분가능하고, 즉 ′ 가 존재하고 극값을 가지면 ′ 이다.
즉, 가 에서 극대나 극솟값을 가질 때 ′가 존재하지 않거나 ′가 존재하면 ′ 이다.
Note. Fermat 정리의 역은 성립하지 않는다. e. g.
1.5 정의
의 정의역 안의 점들 중에서 ′가 존재하지 않는 점 을 특이점(singular point)이라 하 고 ′ 인 을 정점(stationary point)이라 한다. 그리고 정점과 특이점을 의 임계점 (critical point, 임계수)이라고 한다.
Note. (1) 가 에서 극댓값이나 극솟값을 가지면 는 임계점이다. 따라서 임계수가 아닌 점 에서는 극댓값이나 극솟값을 가질 수 없다.
(2) 특이점으로는 곡선이 꺽인 점, 접선이 수직인 점, 불연속인 점 등이 있다.
(3) 책에 따라 구간의 끝점을 임계점으로 보는 책도 있다.
1.6 보기 의 임계점을 구하시오.
풀이: 주어진 함수의 정의역은 모든 실수 전체 집합이고 ′
이므로 임계점은
과
이다.
1.7 정리
구간
에서 정의된 함수 가 ∈
에서 최대, 최솟값을 가지면 는 임계점이거나 끝점이다.(Note. 대우가 중요하다.)
1.8 Remark (닫힌구간 에서 정의된 연속함수의 최대, 최솟값을 구하는 방법) (1) 에서 의 임계점을 모두 구하고 의 값을 구한다.
(2) 끝 점 에서의 함숫값 와 을 구한다.
이중 가장 큰(작은) 값이 최대(소)값이다.
1.9 보기 sin ≦ ≦ 의 최대, 최솟값을 구하시오.
답:
가 임계점.
1.10 연습문제 (1) 구간
에서 정의된 함수 의 최대, 최솟값을 구하시오.
(2) 구간 에서 정의된 함수
의 최대, 최솟값을 구하시오.
2. 함수의 증가와 감소, 극대와 극솟값
2.1 정리
함수 가 구간
에서 미분가능하고 모든 ∈
에 대해 ′ 이면 는
에서 (순)증가 함수이다. 구간
에서 ′ 이면 는
에서 감소함수이다.2.2 보기 의 증가구간과 감소구간을 구하시오.
풀이: ′ 이므로 에서 ′ 이다.
와 일 때 ′ 이므로 는 구간 ∞ 와 에서 감소하고,
와 일 때 ′ 이므로 는 구간 과 ∞ 에서 증가한다.
2.3 보기 ≥ 에 대해 sin ≤ 임을 보이시오.
풀이: 함수 을 sin 로 정의하자. ′ cos 이므로 모든 ∈ ∞ 에 대해
′ ≥ 이다. 따라서 는 증가함수이고 증가함수의 정의에 의해 ≤ 일 때 ≤
가 성립한다. 즉, ≤ sin 이므로 정리하면 sin ≤ 가 성립한다.
2.4 Remark 구간
에서 미분가능한 함수 에 대해 ′이 연속함수이고 한 점 ∈
에서 ′ 이면서 ∈
에 대해 ′≠ 이면 는
에서 (순)증가함수이다.2.5 정의
함수 가 가까이의 모든 에 대해
≦ ≧
이면 는 에서 극대(극소)값을 갖는다고 한다. 극댓값과 극솟값을 모두 극값이라 부른다.
Note. 함수 가 한 점 의 근방이 아니라 정의역
에 속하는 모든 에 대해 ≦ ≧
이면 는 에서 최대(최소)값을 갖는다고 한다.
2.6 정리 (극댓값과 극솟값에 대한 1계도함수 판정법)
연속 함수 의 임계점 에 대해 가 와 에서 미분가능 할 때, (1) ′의 부호가 의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌면 는 에서 극댓값을 갖는다.
(2) ′의 부호가 의 좌우에서 음에서 양으로 바뀌면 는 에서 극솟값을 갖는다.
(3) ′의 부호가 에서 바뀌지 않으면, 즉, ∈ 와 ∈ 에 대해 ′ ′ 이면,
는 극댓값이나 극솟값을 갖지 않는다.
2.7 보기 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
풀이: 주어진 는 실수 전체에서 미분가능 하므로 ′ 인 임계점을 구하면 이다. 과 의 좌우에서 ′의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로
은 극솟값이고, 의 좌우에서 ′의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로
가 극댓값이다.
2.8 보기 ≤ ≤ 에서 sin 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
풀이: 주어진 는 실수 전체에서 미분가능 하므로 에서 미분가능하고,
에서 ′ cos 을 만족하는 을 모두 구하면
가 임계점이다.
에서 ′ 이므로 가 증가하고
에서 ′ 이므로 가 감소한
다. 따라서
가 극댓값이다. 또한, 에서는 ′ 이므로 가 증
가하므로
가 극솟값이다.2.9 보기 ≤ ≤ 에서 sin sin 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
풀이: ′ cos cos cos cos cos cos 이므로 cos
일 때, 즉
∈ 에서 ′ 이다. 또한 cos ≥ 이므로 세 임계점의 좌
우에서의 ′ 의 부호를 따져보면
이 극댓값이고
이 극솟값이 다. 의 좌우에서 ′ 의 부호는 음수로써 바뀌지 않으므로 는 에서 극값을 갖지 않는다.
2.10 보기 의 극값을 구하시오.
풀이: 주어진 함수의 정의역이 실수 전체임을 먼저 파악한 다음,
로 부터 ′
이므로 세 임계점 (특이점)와 (정점)이 존재하고 이 들 세 점의 좌우에서의 도함수의 변화를 살펴보면 는 에서 극댓값 을 갖고, 과 에서 극솟값
을 가짐을 알 수 있다.
2.11 정리 (2계 도함수에 의한 극대, 극소 판정법)
′ 이고 구간
에 속하는 모든 에 대해 ″ 가 존재할 때, (1) ″ 이면 는 에서 극솟값을 갖는다.(2) ″ 이면 는 에서 극댓값을 갖는다.
Note. ″ 이거나 ″ 가 존재하지 않으면 위 판정법은 쓸 수 없다.
2.12 보기
의 극값을 2계 도함수에 의한 극대, 극소 판정법으로 구하 시오.
풀이: ′ 이므로 정점은 이고 ″ 이다. ″ 이 므로 이 극댓값이고 ″ 이므로 가 극솟값이다.
3. 평균값 정리
3.1 Rolle의 정리
함수 가 폐구간 에서 연속이고 개구간 에서 미분가능이며, 이면
′ 인 가 안에 적어도 하나는 존재한다.
3.2 보기 방정식 은 단 하나의 실근을 가짐을 보이시오.
증명: 중간값 정리에 의해 과 사이에 실근이 최소한 하나는 존재함을 알 수 있다. 따라서 실근이 유일함을 보이기 위해 두 개의 실근이 존재한다고 가정하고 이것이 모순됨을 롤의 정 리를 써서 다음처럼 설명하면 된다. 이라 하고 인 두 개의 다른 실수 와 가 존재한다고 하면 는 폐구간 에서 연속이고 개구간 미분가능하며 또 한 ′ 인데 이는 롤의 정리에 모순된다.
3.3 평균값정리 Mean Value Theorem
함수 가 폐구간 에서 연속이고, 개구간 에서 미분가능하면
′
(단, ) 인 가 안에 적어도 하나 존재한다.
증명:
로 놓으면, 함수 는 에서 연속이고,
에서 미분가능하고 이다. 따라서 롤의 정리에 의하여
′ ′
(단, ) 인 가 안에 적어도 하나 존재한다.
즉,
′ (단, ).
Note. 평균값 정리는 의 그래프에서 두 점
을 잇는 직선 에 평행한 접선 이 구간 안에 적어도 하나 존재한다는 것을 말해준다.3.4 보기
→ℝ 에서 평균값 정리를 만족하는 을 구하시오.풀이:
로부터 .
3.5 연습문제
(1) 부등식 sin sin ≤ 이 성립함을 보이시오.
(2) ℝ→ℝ 가 미분가능이고 ′ 일 때 가 1차 함수임을 보이시오.
(3) 구간
에서 정의된 두 함수 에 대해 양 끝점 에서 함숫값이 같으면 ′ ′을 만족하는 가 구간 에 존재함을 보이시오.
증명: 함수 을 정의하면 주어진 조건에 의해 이므로 롤의 정리에 의해 ′ 을 만족하는 ∈ 가 존재한다. ′ ′ ′ 이므로 ′ ′ 가 성립 한다.
