제 2 장. 도함수

제 2 장. 도함수

2.1 도함수와 변화율 2.2 함수로서의 도함수 2.3 미분 공식

2.4 삼각함수의 도함수 2.5 연쇄 법칙

2.6 음함수의 미분법 2.8 관련비율

2.9 선형근사와 미분

2.1 도함수와 변화율

방정식 y = f(x)로 주어진 곡선 C 에 대해, 두 점 P, Q 를 잇는 직선의 기울기는

직선의 기울기

그림과 같이 a+h 를 a 에 접근( h 를 0에 접근)시켜 Q가 곡선 C를 따라 P 에 접근하도록 한다. 이때 m_PQ가 수 m에 접근하면, 접선 t는 점 P를 지 나며 기울기가 m인 직선으로 정의한다.

(접선은 Q가 P에 접근할 때 할선 PQ의 극한)

h

f a h f a

m ⁰ h

( ) ( ) lim

  

x=a 에서 접선의 기울기

x a

f x f a

m x a

( ) ( ) lim

 



x=a+h 접 선

예제

점 (3, 1)에서 쌍곡선 y = 3/x의 접선의 방정식을 구하라.

f a h f a h

(  ) ( )

 변위 평균 속도

시간 평균속도

물체가 운동방정식 s = f(t)로 직선(곡선)을 따라 움직인다고 하자.

속도

h가 0에 접근한다고 하자. 시각 t = a에서의 속도(또는 순간속도) v(a)는 평균속도의 극한으로 정의.

h

f a h f a

v a ⁰ h

( ) ( ) ( ) lim



  

미분계수

다음 극한이 존재하면, 수 a에서 함수 f 의 미분계수라 하고, f'(a)로 나타낸다.

h

f a h f a

f a ⁰ h

( ) ( )

'( ) lim



  

점 (a, f(a))에서 곡선 y = f(x)의 접선의 방정식 y - f(a) = f '(a)(x - a)

x=a 에서 접선의 기울기

평균변화율

순간변화율

구간 [x₁, x₂ ]에서 x에 대한 y의 평균변화율(average rate of change) y f x f x

x x x

2 1

2 1

( ) ( )

 

  

할선 PQ의 기울기

x x x

y f x f x

x ^{2 1} x x

2 1

0 2 1

( ) ( )

lim lim

  

 

  

= 순간변화율

미분계수 f '(a)

2.2 함수로서의 도함수

h

f a h f a

f a ⁰ h

( ) ( ) '( ) lim



  

에서 a를 변수 x로 바꾸면, 다음을 얻는다.

0

( ) ( ) '( ) lim



  

h

f x h f x

f x h f 의 도함수(derivative) a에서 함수 f 의 미분계수

함수 f 를 이용해서 도함수 f ‘ 의 그래프를 그려라.

예제

x

dy df d

f x y f x Df x D f x

dx dx dx

'( )  '   ( )  ( ) ( ) 미분연산자 (differentiation operator)

'( )

 

 _{x a}  _{x a}

dy dy

f a dx dx

f '(a)가 존재하면 함수 f 는 a에서 미분가능하다고 말한다.

이 함수가 개구간 (a, b) [또는 (a, ∞), (- ∞ , a), (- ∞ , ∞) ]의 모든 수 에서 미분가능하면, 함수 f 는 개구간에서 미분가능하다.고 한다.

1계도함수

함수 f(x) = |x|는 어디에서 미분가능한가 ??

예제

f 가 a에서 미분가능하면 f 는 a에서 연속이다.

정리

역은 성립하지 않는다.

즉, 연속이지만 미분가능하지 않는 함수들이 존재한다.

예를 들어,

f(x) = |x|는 x = 0 에서 연속이지만, 이 점에서 미분가능하지 않다.

함수가 미분가능하지 않은 경우

고계도함수

dy d y y f x d

dx dx dx

2

''  ''( )        

2계 도함수 ( f ')'= f ‘’

1계 도함수 2계 도함수 1계 도함수의 도함수

s = s(t)를 직선을 따라 움직이는 물체의 위치함수라 하면, 1계도함수는 시간의 함수로서 물체의 속도를 나타낸다.

시간에 관한 속도의 순간변화율을 물체의 가속도(acceleration) a(t)라 한다. 따라서 가속도함수 a(t) = v'(t) = s’’(t)는 속도함수의 도함 수이고, 위치함수의 2계도함수이다.

( ) '( )  ds v t s t

dt

2

( ) '( )  d s2

a t v t

dt

2계도함수를 변화율의 변화율로 해석할 수 있다.

이것에 대해 가장 친근한 예는 가속도이다.

3계 도함수

d y d y y f x d

dx dx dx

2 3

2 3

''' '''( )  

    

 

n n n

n

y f x d y

dx

( )



( ) 

f ’’’= (f ‘’)‘