제 6 장 불확실성 하에서의 선택

제 6 장 불확실성 하에서의 선택

박성훈

▪ 미래의 일에 대한 불확실성에 직면하고 있는 의사결정자가 보이게 될 행태의 분석.

▪ 불확실성하의 의사 결정과정에 대한 분석은

“조건부상품”이란 개념을 매개로 하여 일반적인 소비자 이론의 틀 안에 포함.

⇒“조건부상품”은 상황이 어떻게 나타나느냐에 따라 그 크기가 달라진다.

⇒ 불확실성하의 의사 결정은

“위험에 대한 태도”에 따라 선택의 결정이 달라진다.

6.1 선택의 기본모형

▣ 불확실성과 위험부담 (불확실성 ≈ 위험성)

현실경제는 경제 주체들이 미래에 대한 불확실한 전망 하에서 경제적 결정을 내려야 하는 경우가 많다.

위험부담에 대한 태도는

근본적으로 불확실성 하에서의 선택을 하는 사람의

‘선호체계’와 끈 닿아 있다.

 동일한 기회집합에 직면하고 있는 사람들이라 할지라도

이 선호 체계의 차이에 의해서 구체적인 선택이 다르게

나타난다.

의사 결정자의 기회집합

(1)조건부 상품: 여러 가지 상황이 나타날 수 있을 때,

나타난 상황에 따라 그 크기가 달라지는 상품.

예) 10만원을 가진 사람(A)이

카드를 가지고 돈내기를 하는 사람(B)을 길거리에서 만남.

카드 세 장: 두 장-민들레, 한 장-장미

▪

: A의 지갑 속의 돈을 Cr로 표기해 하나의 상품(조건부 상품)으로 간주

▪

: A의 지갑 속의 돈을 Cd로 표기해 하나의 상품(조건부 상품)으로 간주 A의 선택은 자신의 효용을 극대화하는 Cr 과 Cd의 조합을 선택하는 것



(2)예산선

A는 내기에 전혀 돈을 걸지 않을 수도 있으며 그녀가 가진

돈(10만원)의 범위 내에서

자유로이 걸 돈을 선택할 수 있다.

F(초기의 부존)점은 A가 전혀 돈을 걸지 않았을 경우,

가질 수 있는 두 상품의 조합.

예산선: F점과 H점을 이은 선분 초기부존 (10만원) =

(1/2)Cr + (1/2)Cd

(3)등기대치선

내기에서 장미를 뽑을 확률과 민들레를 뽑을 확률은 각각 1/3, 2/3으로 주어져 있다.



□ 기대치

어떤 상황이 일어날 확률에

그 상황에서의 가치를 곱한 것을 모든 상황에서 더한 것.

기대치 = P х Cr + (1 – P) х Cd

예) A가 3만원을 이 내기에 건다면,

1/3 х 13만원 + 2/3 х 7만원 = 9만원

(3)등기대치선

처음 상태와 같은 기대치를 주도록 하려면?

10만원 = 1/3 х C^r + 2/3 х C^d



민들레가 그려진 카드의 숫자가 장미가 그려진 카드의 숫자의 두 배이므로 장미를 뽑은 경우 건 돈의 두 배를 주면 된다.

등기대치선(공정승산선):

불확실성 하의 선택 대상이 되는 조건부 상품의 조합 중에서 동일한 기대치를 주는 것들의 집합을 그림으로 나타낸 것

그러므로 공정한 내기를 하는 사람이 가지게 될 예산선은

등기대치선과 일치한다.

(4)위험성의 의미

불확실성 하에서 행하는 선택의 요체는 그 선택으로 말미암아 위험을 부담하게 된다.

여기서 위험 부담을 전혀 하지 않는다는 것은 F를 의미

그리고 “무위험선”에서 좌우로 멀어질 수록 위험의 정도는 증가한다.

(R과 K는 위험성이 극대화 된 경우)

의사 결정자의 선호체계와 선택

□ 위험 기피적인 태도

: 보험에 가입 또는 자산의 분산 등.

□ 위험 선호적인 태도

: 복권 구입 또는 카지노에서의 도박 등.

□ 위험 중립적인 태도

▪

그의 선택이 내기의 기대치와 어떤 관계를 갖고 있느냐에 있다 위험 기피자: 기대치상으로 볼 때 자신에게 유리한 경우로라도 충분히

유리하지 않다고 판단 되면 내기를 안 한다.

위험 선호자: 기대치 상으로 자기에게 불리한 경우에도 내기에 응한다.

위험 중립자: 순전히 기대치에 입각하여 선택한다.

의사 결정자의 선호체계와 선택:(1)위험 기피적인 태도

공정한 내기에 응하지 않을 것이다.

(i) 공정한 내기의 최적 선택: F

유리한 내기에서는 동일한 기대치를 주는 여러 선택 가능성 중에서 가장 위험성이 작은 것 선택.

(ii) 유리한 내기의 최적 선택: M  돈의 일부만 내기에 건다.

의사 결정자의 선호체계와 선택:(2)위험 선호적인 태도

위험 선호적인 사람의 무차별 곡선은 원점에 대해 오목한 형태를 갖게 된다.

의사 결정자의 선호체계와 선택:(3)위험 중립적인 태도

무차별 곡선이 등기대치선과 일치.

위험 중립적인 사람은 모든 공정한 내기에 무차별하다.

6.2 선택모형의 응용: 보험시장에서의 선택

▪

가정) 6억 원의 총재산

집에 불이 날 확률: 1/4

불이 났을 경우 재산 손실: 4억 원 2억 원의 총재산 : 두 조건부 상품(Wn, Wf)

A가 화재보험에 가입 안 할 경우,

A의 기대치 = (1/4) x 2 + (3/4) x 6 = 5억원 A가 화재보험에 가입할 경우:

가정) A는 보험회사(B)에게 보험료(I)를 지불하고 화재가 났을 경우 보험금(C)를 보상 받는다.

공정한 보험: B의 기대이윤은 제로이다.

즉 기대이윤 = (1/4)(I – C) + (3/4)(I) = 0

 4I = C (다시 말해 공정한 보험시장에서 1원당 4원의 보험금을 받는다)

A의 기대치 (5억 원)

= (1/4)(W^f – I + C) + (3/4)(Wⁿ – I) 그리고 공정한 보험, 4I = C, 을 고려하면 Wⁿ = (-I/3)W^f + (20/3)

A의 등기대치선(예산선)은 선분(CD).

A의 최적선택은 D점이다.

무위험선의 오른쪽은 선분(DE)는 사고 발생시 소득이 더 많아지는 영역:

보험회사는 보험판매를 하지 않는다 근거: 도덕적 해이의 문제 발생.

따라서 1억원의 보험료를 내고 가입하여 4억원 보상이 상한선이다.

니콜라스 베르누이의 ‘상트 페테르부르크’의 역설

동전을 계속 반복해서 던지는 게임.

규칙: n번 던지는 동안 최초로 앞면이 나오면 경기는 중단되고 2(n)을 얻을 수 있는 게임.

예) 첫 번째 던져서 앞면이 나오면 2원을 받음, 세 번째에 앞면이 나오면 8원을 받음

게임이 n번째에서 끝날 확률: p(n) = (1/2)(n).

기대수익=(1/2)x2 + (1/2)(2)x2(2) +…+(1/2)(n)x2(n)+… = ∞ 기대수익이 무한대일 때 합리적인 사람이 얼마를 지불하고 이 게임을 하겠는가?

무한대라면? 백 만원이라면?

많은 사람들이 이 게임에 응하지 않을 것이다.

다니엘 베르누이

사람들이 관심을 갖는 것은 기대수익이 아니라 효용이라는 것을 발견.

6.3 기대효용의 이론: 기대효용 이론의 기본 가정

앞에서 보았던 모형들에서는 두 가지만 가능한 상황, 따라서 두 개의 조건부 상품을 전제.



기대효용 이론의 기본가정:

기대효용 이론의 경우도 일반 효용이론의 경우와 같이 불확실성에 직면한 소비자의 선호체계가 만족 시켜야 할 몇 가지의 기본 가정 혹은 공리로부터 출발.

불확실성 하에서의 선택  복권에 대한 선택 예)장미카드를 뽑는 내기: L = (Cr, Cd; pr, pd)

(1) 완비성과 이행성 (2) 연속성

p의 확률로 주는 복권 L(p)이 있을때, p=1이면 A를 갖는 것보다 L을 선호 하고, p=0이면 반대일 때, L과 A에 차이를 못 느끼는 확률 p가 존재.

(3) 독립성:

A와 B라는 상(prizes)을 똑 같은 확률 p로 갖는 복권 LA(p) LB(p)가 있을 때, A와 B에 차이를 못 느끼면 LA(p)와 LB(p) 사이에도 차이를 못 느낀다.

(4) 부등확률:

똑 같은 상을 주는 두 복권이 있을 때, 의사결정자는 상을 탈 확률 높은 복권 선호.

(5) 복합 확률:

구체적인 상 A를 탈 확률만 같다면, 의사결정자는 복권에 의한 결정과정이 몇 단계를 거쳐야 되느냐에 개의치 않는다.

불확실성 하에 있는 의사결정자의 선호체계가 다섯 가지의 공리를 모두 만족 시킨다면 합리적인 의사 결정자는 기대효용을 극대화 시키려는 태도를 보인다.

두 가지 상(prizes)이 각각의 확률로 구성되어 있는 하나의 복권을 고려해 보자.

L = [w¹, w²; p, (1 – p)]

이 복권을 통한 효용은 다음과 같다

U(L) = p x U(w¹) + (1 – p) x U(w²) : 여기서 U(L)은 기대효용함수 그리고

U(w¹) 와 U(w²) 는 VNM 효용함수.

VNM 효용함수의 도출

L = [w¹, w²; p, (1 – p)]

기대치 w⁰ = p x w¹ + (1 – p) x w² 위험 기피자는 공정한 도박에

참여하지 않는다.

근거) 현재의 기대치 w⁰로부터 얻을 수 있는 효용이 공정한 도박에 참여한 후 얻을 수 있는

기대효용보다 크기 때문이다.

U(w⁰) > p x U(w¹) + (1 – p) x U(w²):

U(p x w¹ + (1 – p) x w²)

> p x U(w¹) + (1 – p) x U(w²) : 위험 기피자는 복권의 기대효용이

기대치가 주는 효용보다 작다.

w² w¹ w⁰

U(w⁰)

U(w¹) U(w²)

효용수준

이득의 수준(원)

기대효용의 성격

위험프레미엄(Risk Premium)이란 위험부담을 회피하기 위해 지불할 용의가 있는 금액

위험 중립자

(Risk neutral player)는 위험프레미엄이 제로이다.

기수성:

VNM의 효용지표는

기수성을 가진다고 할 수 있으나 기수성의 구체적인 내용을 보면 한계효용학파가 생각했던 기수성과 차이가 있다. 실질적인 의미에서 볼 때 오히려 서수적이다.

w² w¹ w⁰

U(w⁰)

U(w¹)

U(w²)

U(L)

i j

k

g h

M

위험 프레미엄 효용수준

이득의 수준(원)

6.4 위험한 자산의 선택에 관한 이론: 포트폴리오의 성격

어떤 사람이 보유하는 여러 가지 자산을 통틀어 포트폴리오 라고 한다.

왜 다양한 자산을 보유하려 하는가?

☞ 각 자산마다 수익성과 위험성이 다르기 때문.

일반적으로 수익성이 높은 자산은 위험성도 크다.

근거) 수익성이 높고 위험성이 낮은 자산이 있다고 하자.

그 자산의 수요는 증가하고 자산의 가격이 올라 수익성은 떨어지게 된다.



가정)

두 가지 자산: 무위험자산 (f) 과 위험자산(k) 무위험 자산의 수익률은 r^f

위험자산의 기대 수익률은 E[r^k] 단 r^f < E[r^k].

무위험자산의 위험성은 전혀 없다고 가정.

수익률의 표준편자 σ가 위험성의 정도를 대표.

위험자산 수익률의 위험성은 σ^k.

어떤 투자가의 전 재산: 1

a 만큼을 위험한 자산으로 보유 그리고 (1 – a)을 안전한 자산으로 보유.

포트폴리오의 기대 수익률 E[r^p] = aE[r^k] + (1 – a)r^f 포트폴리오의 위험성

Var(r^p) = a Var(r^k)



적절한 포트폴리오를 선택한다는 것은 투자가가 자신의 효용을 극대화하려는 의도에서 a의 값을 선택한다는 것.

투자가의 효용함수: U(E[r^p], σ^p)

투자가의 효용 극대화 문제 Max {a} U(E[r

], σ

)

s.t E[r

] = r

+ a(E[r

] – r

) σ

= aσ

a = σ

/σ

을 식 (7.6)’에 대입하면 E[r

] = r

+ (E[r

] – r

)σ

/σ

투자가의 효용극대화 문제는 주어진 예산 제약하에서

효용함수의 값을 극대화하는 a의 값을 구하는 것이다.

Max {a} U(E[r^p], σ^p)

s.t E[r^p] = r^f + a(E[r^k] – r^f) σ^p = aσ^k



∂U/∂a = (∂U/E[r^p])(E[r^k] – r^f) + (∂U/∂σ^p)σ^k = 0.



여기서 (∂U/E[r^p]) > 0, (∂U/∂σ^p) < 0 위험성은 비재화의 성격을 갖고 있다.

σ^p의 값이 커짐에 따라 효용수준이 낮아진다.

A점(a = 0): 투자가가 안전한

자산만을 보유하기로 선택한 것을 의미한다

B 점(a = 1): 위험한 자산만을 보유하기로 선택한 것을 뜻한다.

E[r^p] = r^f + (E[r^k] – r^f)σ^p/σ^k 에서 기울기 (E[r^k] – r^f)/σ^k는

위험성의 가격이다.

포트폴리오의 위험성 σ^p이 일정한 폭으로 커지면 기대수익률 E[r^p] 는 이 비율만큼 커지게 된다.수익성과 위험성이 그 비율로 교환될 수

있음을 뜻함.

투자가의 효용은 E점에서 극대화

된다. σ^k

위험성

σ^p

기대수익률 E[rp]

r^k

rf

E

B

A

기울기:(E[r^k] – r^f)/σ^k

참고) 불확실성 하에서의 일반균형 이영환 미시경제학 (제 2 판)

pp.530~543