제 3 장. 미분법의 응용
3.1 최댓값과 최솟값 3.2 평균값 정리
3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향 3.4 무한대에서의 극한과 수평점근선
3.7 최적화 문제 3.9 역도함수
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3.7 최적화 문제
농부가 재료 1200 m를 가지고 곧게 뻗은 강을 경계로 하는 직사각형 모양의 밭에 울타리를 치려고 한다. 강을 따라서는 울타리를 칠 필요가 없다. 최대 넓이 를 형성하는 가로와 세로의 길이를 구하라.
예제
기름 1L를 담을 원기둥 모양의 깡통을 만든다고 하자. 이 깡통을 만드 는 재료비를 최소화하는 치수를 구하라.
예제
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점 (1, 4)에 가장 가까운 포물선 y2 = 2x의 점을 구하라.
예제
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어떤 사람이 너비가 3km인 곧게 뻗은 강의 둑에 있는 지점 A에서 배를 띄워 반대편 둑에서 아래로 8km 떨어진 지점 B에 가능한 한 빨 리 도달하려고 한다(그림). 그는 지점 C까지 배를 저어 곧바로 강을 가로지른 후 지점 B로 달려갈 수 있다. 또는 지점 B로 곧바로 배를 저어 갈 수도 있으며, 또한 B와 C 사이의 어떤 지점 D까지 배로 간 다음 거기서 B까지 달려갈 수도 있다. 6km/h로 배를 젓고 8km/h 로 달린다면, 가능한 빨리 지점 B에 도달하기 위해서 그는 어디에 상륙해야 하는가? (강물의 속도는 사람이 노를 젓는 속도와 비교해 서 무시할 수 있다고 가정한다.)
예제
시간 =거리 속력
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반지름 r인 반원에 내접하는 가장 큰 직사각형의 넓이를 구하라.
예제
3.9 역도함수
I 에 속하는 모든 x에 대해 F'(x) = f(x)일 때 함수 F를 구간 I에서 f 의 역도함수(antiderivative)라고 한다.
예를 들어 f(x) = x2 정의
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함수 특수 역도함수 함수 특수 역도함수
cf(x) cF(x) cos x sin x
f(x) + g(x) F(x) + G(x) sin x - cos x xn
(n ≠ -1)
sec2x tanx secx tanx secx xn
n
1
1
n n
d x n x n
x
1 ( 1) 1
xn
F x( ) 1 C
인 모든 함수 g를 구하라.
x x
g x x
x 2 5
'( ) 4sin 예제
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도함수를 포함하는 방정식
미분방정식(differential quation)
이고, f(1) = 2인 함수 f 를 구하라.
f x'( ) x x
1계 (상)미분방정식 예제
2계 (상)미분방정식
f ‘’(x) = 12x2 +6x – 4, f(0) = 4, f(1) = 1인 함수 f 를 구하라.
예제
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어떤 입자가 직선을 따라 움직이고 있고 가속도가 a(t) = 6t + 4이다.
초기속도는 v(0) = - 6cm/s이고 초기 변위가 s(0) = 9cm일 때, 위치함 수 s(t)를 구하라.
예제
땅으로부터 140m 높이의 벼랑 끝에서 15m/s의 속도로 공을 위로 던졌 다. t초 후 공의 높이를 구하라. 최고 높이에 도달하는 때는 언제인가?
땅에 떨어지는 때는 언제인가?
예제
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적 분
넓이/거리
치환적분 정적분 부정적분
