미분적분학_ 벡터미분적분학

수학과

김태수 교수님

미분적분학_ 벡터미분적분학

[2강]

그린의 정리를 학습한다.

회전과 발산을 도입한다.

면적분을 학습한다.

학습목표

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리

그린의 정리 : 단순폐곡선 에 대한 선적분과

로 둘러싸인 평면 상에서의 중적분과의 관계

: 위의 모든 점뿐만 아니라 내부의 모든 점으로 이루어져 있다고 가정 단순폐곡선 의 양의 방향 : 를 따라 시계반대방향으로 한번 움직인 것

 가 벡터함수 로 주어지면 영역 는 항상 를 따라

움직이는 점 의 왼쪽에 위치

C

D C C

D C

C

C C

D C

b t

a

t),   (

r ) (t r

단순폐곡선 (a) 양의 방향 (b) 음의 방향

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리 그린의 정리

참고!!

: 선적분이 폐곡선 의 양의 방향으로 계산되었음을 의미 의 양의 방향의 경계곡선에 대한 또 다른 표기법 :

따라서 “그린의 정리”는 다음과 같이 표현 가능!!



D D

: 양의 방향을 갖는 평면에서 부분적으로 매끄러운 단순폐곡선, : 로 둘러 쌓인 영역.

와 : 를 포함하는 열린 영역에서 연속인 편도함수를 갖을때,



C

y dA P x

Qdy Q Pdx

D

C





D D

P Q C







 







 





D D

Qdy Pdx

y dA P x

Q

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리

참고!! 그린의 정리와 미분적분학의 기본정리의 비교

⇨ 그린의 정리 :

⇨ 미분적분학의 기본정리 :

⇨ 두 경우 모두

좌변의 경우 : 도함수 를 포함하는 적분 우변의 경우 : 영역의 경계에서의 원래 함수들 의 값

⇨ 일차원의 경우 영역은 폐구간 [a,b]로 나타나고, 경계는 단지 두 점.

) , ,

(F Q P







 







 





D D

Qdy Pdx

y dA P x

Q

) ( )

( )

(

' x dx F b F a

bF

a  



)

,

, '

( y

P x

F Q









벡터미분적분학 - 2

그린의 정리

유한개의 단순영역의 합인 의 경우까지 확대 가능!!

[예] 가 그림과 같을 때, 둘 다 단순영역이면 라고 쓸 수 있다.

의 경계 : 의 경계 :

⇨ 그린의 정리를 과 에 각각 적용

위의 두 식을 더하면, 에 따른 선적분이 상쇄

⇨

D

D

2 1, D D

2

1 D

D D  

3

1 C

C 

D1 D₂ C₂ (C₃) D1 D₂

C3 3 

C

같은 맥락으로 임의의 단순영역들의 유한개의 합에 대한 그린의 정리 가능!

y dA P x

Qdy Q Pdx

y dA P x

Qdy Q Pdx

D C

C D

C

C   

  ^{  }_^_ ^{ }_ ^_^   ^{  }_^_ ^{ }_ ^_^

2 3

2 1

3

1 , ( )

y dA P x

Qdy Q Pdx

D C

C





벡터미분적분학 - 2

그린의 정리

그린의 정리는 구멍을 가진 즉, 단순연결영역이 아닌 영역까지 적용 가능!!

[예] 영역 의 경계 는 두 개의 단순 폐곡선 로 구성

경계곡선은 방향이 있어서 를 따라 움직일 때, 영역 가 항상 왼쪽에!!

⇨ 바깥쪽 곡선 에 대해서는 반시계방향이 양의 방향, 안쪽 곡선 에 대해서는 시계방향이 양의 방향.

D

D C C₁, C₂

C C1

C2

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리

D D D D D







































 







 



 



 







 



 



 







 





 

 





C C

C

D D

D D

D

Qdy Pdx

Qdy Pdx

Qdy Pdx

Qdy Pdx

Qdy Pdx

y dA P x

dA Q y

P x

dA Q y

P x

Q

2 1

만일 를 두 영역 와 로, “그린의 정리”를 와 에 각각 적용

⇨

벡터미분적분학 - 2

회전

가 상의 벡터장, 의 편도함수가 모두 존재

연산자표기를 사용 하여 다시 표현!

벡터미분연산자 (“del”)을 다음과 같이 정의!!

이 연산자를 스칼라함수에서 작용하면 의 그래디언트.

k j

i

F  P Q  R R³ P, Q, R

k j

i k

j

i z

f y

f x

f z

f y

f x

f f



 



 



 



 



 



 



z y

x 

 



 



 

 i j k

f

정의

k j

i

F 



 







 



 



 







 



 



 







 



 

y P x

Q x

R z

P z

Q y

curl R

F ^{의 회전 :} R³상의 벡터장으로, 다음과 같이 정의!!



z y

x 

 



 



 

 i j k

f

벡터미분적분학 - 2

회전

구성요소 를 가진 벡터로서 를 생각하면

 벡터장 와 의 형식적인 외적 = 회전

z y

x 









 , , 



F k

j i

k j

i

F  curl



 







 



 



 











 



 











 











 



 y

P x

Q x

R z

P z

Q y

R R

Q P

z y x

보존적 벡터장은 를 만족하는 가 존재하므로, [정리]는 다음과 같이 쓸 수 있다.

“ 가 보존적  ”

 벡터장이 보존적이 아니라는 것을 증명하는 한 방법으로 사용!!(대우)

0 F  curl

f



F f

F

정리

f 가 연속인 2계 편도함수를 갖는 3변수의 함수일 때 curl (f )  0

F

벡터미분적분학 - 2

회전

[정리 ]의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

즉, 이 가 보존적임을 보장하지는 못한다

F 0

F 

curl F

정리

: 에서 정의된 벡터장, 성분함수가 연속인 편도함수를 갖고,

 는 보존적이다.

 0

 ) (

curl f R3

F

F

그러나 다음 정리에서 볼 수 있듯이 가 전 영역에서 정의되어 있다면, 그 역이 성립 (일반적으로, 정의역이 단순연결영역이면 역이 성립)

벡터미분적분학 - 2

발산

가 에서 벡터장이고 가 존재할 때, 의 발산의 정의 :

F

F curl

k j

i

F  P Q  R R³

z R y Q x P











 , ,

z R y

Q x

P



 



 



  F div

F div

k j

i y z

x 

 



 



 

 F

 F ^{div F  F}

는 벡터장, 는 스칼라장

그래디언트 연산자 에 의해 의 발산은

와 의 내적으로 기호화하여 쓸 수 있다.

정리

가 에서 벡터장,

이 연속인 2계 편도함수를 가지면  div curl F  0 k

j i

F  P Q  R R³ R

Q P, ,

정의

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리에 대한 벡터 형식

: 평면 영역, : 의 경계, 함수 와 가 그린의 정리의 가정을 만족

⇨ 벡터장 에 대하여,

세 번째 성분이 0 인 에서 벡터장으로 를 간주,

⇨“그린의 정리”의 벡터 형식 :

j i

F  P Q

D C P Q

y dA P x

Qdy Q Pdx

d

D C

C

 



3 F R D

dA d

D

C







 







 



 

 



 











 







 







 



 











 

y P x

Q y

P x

Q

y P x

Q y

x Q y

x P

z y

x

k k k

F

k k

j i

F

) (curl

0 ) , ( )

, ( curl

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리에 대한 벡터 형식

의 법선성분을 포함하는 비슷한 식을 유도!!

만약 가 벡터방정식 로 주어진다면,

⇨ 단위 접선벡터 :

⇨ 에 대한 외부방향의 단위법선벡터 :

그린의 정리에

F

b t

a t

y t

x

t)  ( )  ( ) ,  

( i j

r C

r j r i

T ( )

) ( )

( ) ) (

( t

t y t

t t x



 



 

C

r j r i

n ( )

) ( )

( ) ) (

( t

t x t

t t y



 



 

y dA Q x

Qdx P Pdy

dt t x t y t x Q dt t y t y t x P

dt t t

t x t y t x Q t

t y t y t x P

dt t t ds

D C

b a

b a

b a C















 







 



 



 

 



 













 



 

 





) ( )) ( ), ( ( )

( )) ( ), ( (

) ) (

(

) ( )) ( ), ( ( )

(

) ( )) ( ), ( (

) ( ) )(

(

r r r

r n F n

F

벡터미분적분학 - 2

그린의 정리에 대한 벡터 형식

식을 정리하면 

그러나 이중적분의 피적분함수는 바로 의 발산.

⇨“그린의 정리”의 두 번째 벡터형식.

⇨ 를 따라 의 법선성분을 선적분

= 로 둘러싸인 영역 에서 의 발산을 중적분.

F

dA y x ds

D

C





F

D C

C F

y dA Q x

ds P

C





벡터미분적분학 - 2

면적분

면적분과 표면적 사이의 관계 ~ 선적분과 호길이 사이의 관계 가 세 변수를 갖고 정의역이 곡면 를 포함한다고 가정.

인 경우에 있어, “면적분의 값 ~ 의 표면적” 정의!!

1 ) , ,

(x y z  f

f S

S

D v

u v

u z v

u y v

u x v

u , )  ( , )  ( , )  ( , ) , ( , )

( i j k

r D

S

u v

Rij S S_ij

곡면 의 벡터방정식 :

가정 : 정의역 가 직사각형, 길이가 와 인 소직사각형 로 분할  곡면 는 대응되는 소곡면 로 나뉘어진다.

벡터미분적분학 - 2

면적분

각각의 소곡면에 있는 한 점 에서 를 계산하고, 소곡면의 넓이 를 곱해서 리만합 :

*

Pij f Sij

 

 

m 

i n

j

ij

ij S

P f

1 1

*) (

S f

 

 



 

 ^m

i

n

j

ij n ij

S m

S P

f dS

z y x f

1 1

*

, ( )

lim )

, , (

k j

i r

k j

i

r v

z v

y v

x u

z u

y u

x

v

u 

 



 



 



 



 



  ,

Sij



v u S_ij _u  _v  

 r r

 분할을 증가시켜 그 극한을 택해서 곡면 에서의 의 면적분 :

“소곡면 의 근사값” ~ “접평면에 있는 평행사변형의 넓이”

dA v

u f

dS z y x f

D

v u

S





학습정리

그린의 정리 :

회전:

발산 :

면적분:

dA y x dA

Qdy Pdx

y dA P x

Qdy Q Pdx

D D

D D

C



















 



 







 



 

 

) , ( div )

(curl F k F

F k

j i

F  



 







 



 



 







 



 



 







 



 

y P x

Q x

R z

P z

Q y

curl R

F

F  



 



 



 

z R y

Q x

div P

dA v

u f

dS z y x f

D

v u

S



