b) 이력부재(two-force member) 에 관해 학습한다.

2-D에서 평형방정식(5.2절)

교육 목표:

a) 미지수(반력)를 풀기 위해 자유물체도를 작성하고 평형방정식을 적용한다.

b) 이력부재(two-force member) 에 관해 학습한다.

수업내용:

• 예습확인 퀴즈

• 응용 예

.

•

•

• 개념확인 퀴즈

• 집단문제 해결능력배양

• 주의환기 퀴즈

예습확인 퀴즈

1. 세 개의 스칼라 방정식 ∑ F

= ∑ F

= ∑ M

= 0는 2차원에서 ____ 평형방정식이다.

A) 틀린 B) 유일하게 맞는 C) 가장 흔히 사용되는 D) 충분하지 않는

2. 강체가 그림과 같이 힘을 받고 있다. 이 물체는 ______ 부재로 생각할 수 있다.

A) 단일 힘 B) 이력(two-forces)

C) 삼력 D) 육력

응용

응용 예 예

리프트 플랫폼에 하중이 작용할 때,

조인트 A와 링크(실린더) BC에 작용하는 힘을

어떻게 하면 구할 수

있을까?

응용

응용 예 예((계속 계속))

강재 빔이 지붕의 석 가래를 지지하기 위해 사용되고 있다.

보의 각 단에서 작용하는 지지 반력을

어떻게 하면 구할 수 있을까?

평형 방정식 (5.3절)

어떤 물체가 x-y평면상에 놓여 있는 하나의 힘 계를 받고 있다.

평형상태에 있다면, 5.1절에서 언급한 바와 같이 그 물체(강체)에 작용하는 순 힘과

순 모멘트는 0이다. 이때 2차원 조건식은 세 개의 스칼라 방정식으로 나타낼 수 있다.

∑ F = 0 ∑ F = 0 ∑ M = 0 (5-2)

x y

F

F

F

O

∑ F

= 0 ∑ F

= 0 ∑ M

= 0 (5-2) 여기서 점 O는 임의의 점이다.

이들 세 개의 방정식이 2차원 평형문제를 푸는데 가장 흔히 사용되는 것들임을 명심할 것.

또한 더물게 사용되는 다른 두 세트의 평형방정식도 있다.

F

∑ F

= 0 ∑ M

= 0 ∑ M

= 0 (5-3)

∑ M

= 0 ∑ M

= 0 ∑ M

= 0 (5-4)

2-D에서 지지부에 작용하는 반력

줄, 로프지지의 경우, 줄 방향으로

반력(장력)이 작용 (반력 1개) 롤러지지의 경우, 지면에

수직으로 반력 작용 (반력 1개)

-만약 어떤 지지부가 주어진 방향으로 물체의 이동 (translation)을 방해하면, 물체에는 그 반대방향으로 힘(반력)이 발생.

- 만약 회전(rotation)이 방해를 받으면, 반대방향의 우력 모멘트가 물체에 작용. (3-D의 경우도 마찬가지임)

핀 지지의 경우, 수평, 수직 방향으로 반력 작용 (반력 2개)

고정지지의 경우, 수평, 수직방향 힘, Z축 주위로

모멘트가 반력 작용 (반력 3개)

예제 예제 55--66

그림과 같이 하중을 받는 보에 작용하는 수직 및 수평반력을 구하라. 보의 무게는 무시한다.

자유물체도: 기지력을 먼저 표시, 600N의 하중은 x- 및 y-방향성분으로 표시.

미지 반력은 지지방식(롤러지지, 핀지지) 미지 반력은 지지방식(롤러지지, 핀지지) 에 따라서 표시

평형방정식: x-방향 및 y-방향의 합력과 반력이 많이 작용하는 B점에 관한 모멘트의 합을 구한다.

∑F_x= 0; 600 cos45 – B_x = 0 B_x= 424 N

∑M_B= 0; 100(2) + 600 sin45(5) – 600cos 45(0.2) – A_y (7) = 0 A_y= 319N

∑F_y= 0; 319 – 600sin45 – 100 – 2000 + B_y = 0 B_y= 405 N

∑M_A=0의 평형식을 사용하여 B_y를 구하여 앞의 결과를 검산할 수 있다.

예제 예제 55--77

그림과 같이 코드가 500 N의 힘을 지지하고

마찰이 없는 풀리를 싸고 있다. C점에서 장력과 핀 A에서 반력의 수직 및 수평 반력을 구하라.

자유물체도: 문제를 단순하게 하기 위해서는 풀리와 코드의 접촉부에 대한 자유물체도를 그린다. 이때 대한 자유물체도를 그린다. 이때 분포하중은 계에서 내력이 되어 FBD에서 소거된다.

평형방정식: A점에 관한 모멘트를 취함으로써, A_x와 A_y는 소거되고, ΣM_A=0; 500 (0.2) – T(0.2) = 0 T = 500 N

∑F_x= 0; -A_x + 500 sin30 = 0 A_x= 250 N

∑F_y= 0; A_y – 500 – 500 cos30 = 0 A_y= 933 N

예제 예제 55--88

그림과 같이 링크가 A점은 핀으로 연결되어 있고, B점에서는 매끄러운 지지대로 되어 있다. 핀 A에서

반력의 수직 및 수평 반력을 구하라.

자유물체도: B점에서 반력 N_B는 링크에 대하여 수직으로 작용한다.

A점은 핀지지로 수평 및 수직 A점은 핀지지로 수평 및 수직 성분을 갖는다.

평형방정식: A점에 관한 모멘트를 취함으로써, A_x와 A_y는 소거되고, ΣM_A=0; - 90 - 60 (1) + N_B(0.75) = 0 N_B = 200 N

∑F_x= 0; A_x - 200 sin30 = 0 A_x= 100 N

∑F_y= 0; A_y – 200 cos30 - 60= 0 A_y= 233 N

예제 예제 55--99

그림과 같이, 박스렌치가 A점에서 볼트를 조이기 위해 사용된다.

만일 하중이 핸들에 작용하였을 때 렌치가 회전하지 않는다면, 볼트에 작용한 토크와 볼트에 걸린 힘을 구하라.

자유물체도: 렌치에 관한 FBD을 자유물체도: 렌치에 관한 FBD을 그린다. 이때 볼트는 고정지지로 나타내어, 3개의 반력을 갖는다.

평형방정식: A점에 관한 모멘트를 취함으로써, A_x와 A_y는 소거되고, ΣM_A=0; M_A – 52(12/13) (0.3) – 30 sin60 (0.7) = 0 M_A = 32.6 Nm

∑F_x= 0; A_x – 52(5/13) + 30 cos60 = 0 A_x= 5.00 N

∑F_y= 0; A_y – 52(12/13) (0.3) – 30sin 60= 0 A_y= 74.0 N

예제 예제 55--10 10

그림과 같이, 콘크리트 타설은 트럭과 연결된 홈통을 사용하여 이루어진다.

유압실린더와 트럭의 프레임이 그림과 같은 상태에서 홈통에 가하는 힘을

구하라. 홈통과 담겨진 콘크리트는 균일한 무게 560 N/m를 갖는다.

자유물체도: 홈통의 무게가 가운데 지점 G에 작용한다고 가정한다.

지점 G에 작용한다고 가정한다.

유압실린더는 짧은 링크의 역할을 하며 홈통에는 수평력 F_BC를 가한다.

평형방정식: A점에 관한 모멘트를 취함으로써, F_BC를 바로 구할 수 있다.

ΣM_A=0; F_BC(0.5m)+2240cos30(2m)+

2240sin30(0.0625m) = 0 F_BC = 7900 N

∑F_x= 0; -A_x +7900 N = 0 A_x= 7900 N

∑F_y= 0; A_y – 2240 N= 0 A_y= 2240 N

ΣM

=0

결과를 확인할 수 있다.

예제 예제 55--11 11

그림과 같이, 매끈하고 균질한 봉이 힘과 우력모멘트를 받고 있다. A에서 매끈한 벽에 지지되고 B와 C에서는 롤러로 봉의 윗부분

이나 아랫부분이 지지되고 있다. 이때 지지대의 반력을 구하라. 봉의 무게는 무시한다.

자유물체도: 모든 지지대의 반력은 접촉면이 자유물체도: 모든 지지대의 반력은 접촉면이 매끈함으로 접촉면에 수직한 방향으로 작용.

B_y’= -1000N=-1 kN, C_y’=1346.4N=1.35 kN, A_x=173 N 평형방정식:

∑F_x= 0; Cy’sin30+By’sin30-Ax = 0 (1)

∑F_y= 0; -300N+C_y’cos30 +By’cos 30= 0 (2)

∑M_A=0; -B_y’(2m)+4000Nm-C_y’(6m)+(300cos30N)(8m)= 0 (3)

이력부재 (Two-Force Members, 5.4절)

어떤 부재가 단지 두 점(예를 들면, 점 A와 점 B)에서만 힘을 받고 평형을 이루고 있다면, 문제의 해를 구하는 것을 단순화할 수 있다.

부재의 양단이 핀지지되어 있을 때 그 부재를

이력부재 라고 한다.

만약 그런 부재에 평행방정식을 적용한다면, A 와 B에 작용하는 힘의 합력은 크기가 같고, A 와 B를 연결하는 선을 따라서

반대방향으로 작용해야 한다는 것을 알 수 있다.

이력부재의 예

위의 경우에서, 부재 AB는 만약 무게를 무시할 수 있다면 이력부재(two-force members)로 생각할 수 있다.

이 사실은 A 와 B 에서 작용하는 힘(합력)의 방향(A 와 B를 연결하는 선을 따른다)을 알기 때문에 강체들의 평형

해석을 단순하게 한다.

삼력부재

삼력부재 (Three-Force Members)

어떤 부재가 단지 세 개의 힘을 받고 있다면, 평형을 이루기 위해서는, 즉 모멘트의 합이 0이 되기 위해서, (a) 공점력 또는 (b) 평행력으로 작용해야 한다.

- 많은 기계요소는 이력 또는 삼력부재로 작용한다.

-양단이 핀지지 되어 있는 경우: 이력부재 (크기가 같고 방향이 반대인 힘이 작용선상에 작용, 즉 힘의 작용방향을 안다(따라서 미지수를 하나

줄이는 효과가 있음) - 부재 ABD는 삼력부재이다.

2-D 강체의 평형문제를 푸는 단계

1. 먼저, 적절한 x – y 좌표계를 세워라.

2. 해석하려는 물체의 자유 물체도(FBD)를 그려라.

3. 미지수를 구하기 위해, 3개의 평행 방정식을

적용하라. (2차원에서는 하나의 자유물체도에서

3개의 미지수까지 해결 가능)

중요 사항들

1. 만약 독립된 평형방정식의 수보다 많은 미지수를 갖는 경우라면, 정적으로 부정정 (不定靜: statically

indeterminate) 한 상황이 된다. 따라서 정역학만으로는 이러한 부정정 문제를 풀 수 없다.

2. 평형방정식을 적용하는 순서가 때로는 해를 간단히 2.

구하는 것에 도움이 된다. 예를 들면, 만약 2개의 미지 수직력과 한 개의 미지 수평력를 갖는 경우,

우선 ∑ F

= O의 방정식을 풀면, 수직방향 미지수를 바로 구할 수 있다.

3. 이때 미지수에 대한 답이 음수로 나오면, 미지력의

부호(방향)가 문제를 시작할 때 가정한 것의 반대 가 된다.

예제 예제 55--13 13

레버 ABC는 A점에서 핀지지되어 있고, 링크 BD에 연결되어 있다.부재의

무게를 무시할 수 있다면, A점에서 레버에 작용하는 핀의 힘을 구하라

링크 BD는 양단이 핀지지 되어 있는 이력부재임:

링크의 양 끝점에는 크기가 같고, 방향이 반대인 두, 힘이 동일선상에 작용한다.: 힘의 작용방향을 앎. 따라서 레버 ABC는 삼력부재가 되어 평형을 이루기 위해서 세 힘은 O점을 지나는 공점력이 되어야 함.

따라서 CD=0.5m, θ= tan^-1(0.7/0/4)= 60.3˚

∑F_x= 0; F_Acos60.3 – Fcos 45 + 400 = 0

∑F_y = 0; F_Asin60.3 – Fsin 45 = 0 F_A=1.07 kN, F=1.32 kN

개념

개념 확인 확인 퀴즈 퀴즈

1. 그림에 보인 보에 대하여, 얼마나 많은 지지반력이 작용하고? 이 문제는 정정문제인가?

A) (2, Yes)B) (2, No) C) (3, Yes) D) (3, No)

F F F F

2. 주어진 보의 하중에 대하여: a) 몇 개의 지지반력이 존재하며? b) 이 문제 정정인지? 그리고, c) 이 구조는 안정한가?

A) (4, Yes, No) B) (4, No, Yes) C) (5, Yes, No) D) (5, No, Yes)

Fixed

F

support

Pin joints

주의

주의 환기 환기 퀴즈 퀴즈

1. 아래의 어느 평형방정식을 적용하면 바로 F

를 구할 수 있게 하는가?

A) ∑ F

= 0 B) ∑ F

= 0 C) ∑ M

= 0 D) 세 가지 모두

A

A B

F

A

100 N

힌트^: 미지수가 많이 작용하는 점을 모멘트의 작용점으로 잡을 것^.

2. 보가 핀 지지와 롤러 지지되어 있다. 몇 개의 지지반력이

존재하고? 모든 형식의 하중에 대하여 안정한 구조인가?

A) (3, Yes) B) (3, No) C) (4, Yes) D) (4, No)

힌트^: 미지수가 많이 작용하는 점을 모멘트의 작용점으로 잡을 것^.