수학과
김태수 교수님
미분적분학_ 벡터미분적분학
[3강]
스토크스의 정리를 학습한다.
발산정리를 학습한다.
벡터미분적분학을 총정리한다.
학습목표
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
스토크스의 정리 : “그린의 정리”의 고차원 버전.
그린의 정리 : 평면영역 위에서의 중적분 ~ 그것의 평면 경계곡선 주위를 선적분
스토크스의 정리 : 곡면 위에서의 면적분 ~ (공간곡선)의 경계곡선 주위를 선적분.
[단위법선벡터 을 갖는 방향이 있는 곡면]
의 방향은 그림에서 경계곡선 의 양의 방향을 유도.
이는 만일 의 방향으로 머리를 향하고 주위를 양의 방향으로 걷는다고 한다면, 곡면은 항상 왼쪽에 놓이게 된다는 것을 의미.
D
n S S
n
S C
C
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리 스토크스의 정리
: 양의 방향을 가진 구분적으로 매끈한 단순 폐곡선 로 둘러싸인 유향의 구분적으로 매끈한 곡면.
: 성분들이 를 포함한 내에서의 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장
S
S
CF dr curl F dS
C
F S R3
[스토크스의 정리] : 의 접선 성분의 의 경계곡선 주위를 선적분
= 의 법선성분의 면적분.
유향곡면 의 양의 방향 경계곡선은 로 자주 쓰여지므로, 따라서 스토크스의 정리의 다른 표현 :
S
S S
C
CF dr F Tdr, curlF dS curl F ndS
F
F curl
S S
S S
d dS F r F
curl
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
스토크스의 정리, 그린의 정리와 미적분학의 기본정리 사이에는 유사성!!
가 의 도함수의 일종이라는 것을 상기
⇨ [식 ]의 좌변 : 도함수를 포함하는 적분이 있고,
⇨ [식 ]의 우변 : 의 경계상에서 의 값을 포함.
곡면 가 납작하고 위 방향을 가진 -평면 위에 있으며, 단위법선이 인 특별한 경우에는 면적분은 중적분이 되고,
이것은 그린의 정리의 정확히 벡터 형태.
그린의 정리 : 스토크스의 정리의 특별한 경우.
F F
curl
S F
k
S xy
S S
CF dr curl F dS curl F kdA
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
경계곡선 위에서 값을 알고 있을 때, 면적분을 간단히 구할 수 있었다
⇨ 다른 유향곡면이 같은 경계곡선 를 갖는다면, 곡면 적분에 대해 정확히 같은 값을 갖는다는 것을 의미.
일반적으로 과 가 같은 유향 경계 곡선 를 가진 유향 곡면이고, 스토크스의 정리의 가정을 모두 만족한다면,
어떤 한 곡면 위에서 적분하는 것은 어렵지만, 다른 곡면 위에서 적분하는 것이 쉬울 때, 유용!!
F
2 1
curl curl
S C
S
d d
dS F r F S
F C
C
S1 S2 C
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
: 유향 폐곡선, : 유체흐름의 속도장
C v
dS
d C
Cv r
v T
vT T vv T vT
에서, 가 단위접선벡터 방향의 의 성분
의 방향이 의 방향에 가까울수록 의 값이 커진다는 것을 의미
r
Cv d
: C둘레를 움직이는 유체의 접촉값, “C둘레의 v 의 순환”벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
: 유체에 있는 점, : 중심이 , 반지름이 인 작은 원판 가 연속이므로, 위의 모든 점 에 대하여,
스토크스의 정리에 의해 경계원 둘레의 순환으로서 근사값 가능
) , ,
( 0 0 0
0 x y z
P Sa P0 a
F
curl Sa P
) )(
(curl )
)(
(curl F P F P0 Ca
2 0
0 0
0) ( ) curl ( ) ( )
( curl
curl curl
a P
P dS
P P
dS d
d
a
a a
a
S
S S
C
n v
n v
n v S
v r
v
이 근사값은 a 0 일 때 더 근사하여 다음의 식을 얻을 수 있다.
r v n
v d
P a P
Ca
a
0 0 2
0
lim 1 )
( ) (
curl
벡터미분적분학 - 3
스토크스의 정리
가 평면영역 의 양의 방향 경계곡선일 때, 그린의 정리의 벡터버전 :
상의 벡터장까지 확장하려면, 가 입체영역 의 경계곡면,
다음과 같은 추측 가능!
적당한 가설 하에, “발산 정리”.
한 영역 위에서 한 함수의 도함수의 적분이(이 경우엔 발산 ) 영역의
경계 위에서 원래 함수 의 적분과 관계가 있다는 점에서 “그린의 정리”와
“스토크스의 정리”가 유사.
C D
dA y x dS
D
C
Fn div F( , )S E
R3
dV z
y x dS
E
S
Fn div F( , , )F F
벡터미분적분학 - 3
발산 정리 발산 정리
: 단순입체영역, : 양의(바깥쪽) 방향인 의 경계곡면.
: 성분함수들이 를 포함하는 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장
S F
E E
E
dV d
E
S
F S div F발산정리 : 주어진 조건하에서, 의 경계곡면을 통과하는 의 유량
= E 위에서 의 삼중적분
F F
div E
벡터미분적분학 - 3
총정리
미적분학의 기본정리
선적분에 대한 기본정리 :
그린의 정리 :
스토크스의 정리 :
발산 정리 :
) ( )
( )
(x F b F a
b F
a
C DQdy Pdx
y dA P x
Q
r F S
F d d
C
S
curl S F FdV d
S
E
div )) ( ( ))
(
( b f a
f d
Cf r r r
학습정리
스토크스의 정리 :
발산의 정리:
총정리:
S S
CF dr curl F dS curl F kdA dV
d
E
S
F S div F) ( ) ( )
(x F b F a
bF
a
미적분학의 기본정리
선적분에 대한 기본정리 Cf dr f(r(b)) f(r(a))
C D
Qdy Pdx
y dA P x
그린의 정리 Q
r F S
F d d
C
S
curl 스토크스의 정리
S F FdV d
S E
div
발산 정리
