미분적분학_ 벡터미분적분학

(1)

수학과

김태수 교수님

미분적분학_ 벡터미분적분학

[3강]

(2)

스토크스의 정리를 학습한다.

발산정리를 학습한다.

벡터미분적분학을 총정리한다.

학습목표

(3)

벡터미분적분학 - 3

스토크스의 정리

스토크스의 정리 : “그린의 정리”의 고차원 버전.

그린의 정리 : 평면영역 위에서의 중적분 ~ 그것의 평면 경계곡선 주위를 선적분

스토크스의 정리 : 곡면 위에서의 면적분 ~ (공간곡선)의 경계곡선 주위를 선적분.

[단위법선벡터 을 갖는 방향이 있는 곡면]

의 방향은 그림에서 경계곡선 의 양의 방향을 유도.

 이는 만일 의 방향으로 머리를 향하고 주위를 양의 방향으로 걷는다고 한다면, 곡면은 항상 왼쪽에 놓이게 된다는 것을 의미.

D

n S S

n

S C

C

(4)

벡터미분적분학 - 3

스토크스의 정리 스토크스의 정리

: 양의 방향을 가진 구분적으로 매끈한 단순 폐곡선 로 둘러싸인 유향의 구분적으로 매끈한 곡면.

: 성분들이 를 포함한 내에서의 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장



S





^ ^ ^

S

CF dr curl F dS

C

F S R³

[스토크스의 정리] : 의 접선 성분의 의 경계곡선 주위를 선적분

= 의 법선성분의 면적분.

유향곡면 의 양의 방향 경계곡선은 로 자주 쓰여지므로, 따라서 스토크스의 정리의 다른 표현 :

S





 ^ ^ ^ ^ ^ ^

S S

C

CF dr F Tdr, curlF dS curl F ndS



F

F curl

S S





   

S S

d dS F r F

curl

(5)

벡터미분적분학 - 3

스토크스의 정리, 그린의 정리와 미적분학의 기본정리 사이에는 유사성!!

가 의 도함수의 일종이라는 것을 상기

⇨ [식 ]의 좌변 : 도함수를 포함하는 적분이 있고,

⇨ [식 ]의 우변 : 의 경계상에서 의 값을 포함.

곡면 가 납작하고 위 방향을 가진 -평면 위에 있으며, 단위법선이 인 특별한 경우에는 면적분은 중적분이 되고,



이것은 그린의 정리의 정확히 벡터 형태.

 그린의 정리 : 스토크스의 정리의 특별한 경우.

F F

curl

S F

k

S xy





^ ^ ^ ^ ^

S S

CF dr curl F dS curl F kdA

(6)

벡터미분적분학 - 3

경계곡선 위에서 값을 알고 있을 때, 면적분을 간단히 구할 수 있었다

⇨ 다른 유향곡면이 같은 경계곡선 를 갖는다면, 곡면 적분에 대해 정확히 같은 값을 갖는다는 것을 의미.

일반적으로 과 가 같은 유향 경계 곡선 를 가진 유향 곡면이고, 스토크스의 정리의 가정을 모두 만족한다면,

어떤 한 곡면 위에서 적분하는 것은 어렵지만, 다른 곡면 위에서 적분하는 것이 쉬울 때, 유용!!

F







^ ^ ^ ^ ^

2 1

curl curl

S C

S

d d

dS F r F S

F C

C

S1 S₂ C

(7)

벡터미분적분학 - 3

: 유향 폐곡선, : 유체흐름의 속도장

C v

dS

d C

Cv r



v T



^ ^ ^ ^v^^T ^T ^v

v T vT

에서, 가 단위접선벡터 방향의 의 성분

 의 방향이 의 방향에 가까울수록 의 값이 커진다는 것을 의미

r

Cv d



^ ^: ^C둘레를 움직이는 유체의 접촉값, “^C둘레의 ^v 의 순환”

(8)

벡터미분적분학 - 3

: 유체에 있는 점, : 중심이 , 반지름이 인 작은 원판 가 연속이므로, 위의 모든 점 에 대하여,



 스토크스의 정리에 의해 경계원 둘레의 순환으로서 근사값 가능

) , ,

( ₀ ₀ ₀

0 x y z

P S_a P₀ a

F

curl S_a P

) )(

(curl )

)(

(curl F P  F P₀ Ca

2 0

0 0

0) ( ) curl ( ) ( )

( curl

curl curl

a P

P dS

P P

dS d

d

a

a a

a

S

S S

C



n v

n v S

v r

v























이 근사값은 a 0 일 때 더 근사하여 다음의 식을 얻을 수 있다.

r v n

v d

P a P

Ca

a



^



 0 0 2

0

lim 1 )

( ) (

curl 

(9)

벡터미분적분학 - 3

가 평면영역 의 양의 방향 경계곡선일 때, 그린의 정리의 벡터버전 :

상의 벡터장까지 확장하려면, 가 입체영역 의 경계곡면,

다음과 같은 추측 가능!

적당한 가설 하에, “발산 정리”.

한 영역 위에서 한 함수의 도함수의 적분이(이 경우엔 발산 ) 영역의

경계 위에서 원래 함수 의 적분과 관계가 있다는 점에서 “그린의 정리”와

“스토크스의 정리”가 유사.

C D

dA y x dS

D

C





^F^ⁿ ^ ^{div F}⁽ ^, ⁾

S E

R3

dV z

y x dS

E

S





^F^ⁿ ^ ^{div F}⁽ ^, ^, ⁾

F F

(10)

벡터미분적분학 - 3

발산 정리 발산 정리

: 단순입체영역, : 양의(바깥쪽) 방향인 의 경계곡면.

: 성분함수들이 를 포함하는 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장



S F

E E

E

dV d

E

S





^F^ ^S ^ ^div ^F

발산정리 : 주어진 조건하에서, 의 경계곡면을 통과하는 의 유량

= E 위에서 의 삼중적분

F F

div E

(11)

벡터미분적분학 - 3

총정리

미적분학의 기본정리

선적분에 대한 기본정리 :

그린의 정리 :

스토크스의 정리 :

발산 정리 :

) ( )

( )

(x F b F a

b F

a   





^_^ ^_ ^ ^_ ^_^ ^ C ^ D

Qdy Pdx

y dA P x

Q

r F S

F d d

C

S





^curl ^ ^ ^

S F FdV d

S

E





^div ^ ^

)) ( ( ))

(

( b f a

f d

Cf  r  r  r



(12)

학습정리

스토크스의 정리 :

발산의 정리:

총정리:





^ ^ ^ ^ ^

S S

CF dr curl F dS curl F kdA dV

d

E

S





^F^ ^S ^ ^div ^F

) ( ) ( )

(x F b F a

bF

a   

미적분학의 기본정리 

선적분에 대한 기본정리 ^C^^f ^^d^r^ ^f⁽^r⁽^b⁾⁾^ ^f⁽^r⁽^a⁾⁾



^_^^_ ^^_ ^_^ ^ C ^ D

Qdy Pdx

y dA P x

그린의 정리 Q

r F S

F d d

C

S 

^curl ^ ^ ^ 스토크스의 정리

S F FdV d

S E



^div ^ ^

발산 정리