6-7 탄성법칙 - 평면응력과 평면변형률
등방성(isotropic)인 탄성체에 있어서 응력성분(σx,y,z, τxy,yz,zx)과
변형률 성분(εx,y,z, γxy, yz, zx)과의 사이에 일반화된 후크의 법칙이 성립한다.
=
−
−
=
=
−
−
=
=
−
−
=
zx zx
y x
z z
yz yz
x z
y y
xy xy
z y
x x
G E
G E
G E
τ γ
νσ νσ
σ ε
τ γ
νσ νσ
σ ε
τ γ
νσ νσ
σ ε
), 1 1 (
), 1 1 (
), 1 1 (
) 1
(
2 + ν
= E
G
(6-29)
(6-30)
+ +
+
−
−
−
−
−
−
=
zx yz xy z y x
zx yz xy z y x
E
τ τ τ σ σ σ
ν ν
ν ν
ν
ν ν
ν ν
γ γ γ ε ε ε
) 1 ( 2 0
0 0
0 0
0 )
1 ( 2 0
0 0
0
0 0
) 1 ( 2 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
1
식(6-46)를 행렬(matrix)의 형태로 표현하면,
(6-31)
이를 간단히 표현하면,
{ } ε [ ] ν { } σ [ ] C
e{ } σ
E =
=
{ } σ = E [ ] ν
−1{ } ε = [ ] D
e{ } ε = [ ] C
e −1{ } ε
(6-32) (6-33)
[De]는 [Ce]의 역매트릭스에 해당한다.
[De]는 응력-변형률 매트릭스(stress-strain matrix)이다.
역매트릭스의 기호
1) 평면응력(plane stress)
+
−
=
=
−
=
−
=
) (
1
) 1 (
) 1 (
y x z
xy xy
x y
y
y x
x
E G E E
σ ν σ
ε
τ γ
νσ σ
ε
νσ σ
ε
z 방향의 주응력 ⌠z=0 인 경우(zx=yz=0)를 평면응력의 상태에 있다고 한다 (평면응력은 ⌠z=0 이지만 ∑z≠0 이 된다는 것에 주의할 것). 이 경우를 2축 응력상태라 하며 이 때 식(6-46)에서 ⌠z=0 를 취하면 다음과 같이 된다.
(6-34)
+
−
−
=
xy y x
xy y x
E τ
σ σ ν ν
ν γ
ε ε
) 1 ( 2 0 0
0 1
0 1
1 (6-35)
위 식을 매트릭스로 표현하면,
− −
=
xy y x
xy y
x
E
γ ε ε
ν ν
ν τ ν
σ σ
) 1 2 ( 0 1 0
0 1
0 1
1
2{ } σ = [ ] D
e{ } ε
{ } ε = [ ] C
e{ } σ
(6-36)(6-36) 앞 식을 간단하게 표현하면,
이 식을 응력으로 나타내면,
이 식을 간단하게 표현하면,
두께가 비교적 얇은 물체가 힘을 받는 경우는 해석상 평면응력으로 취급되며 지금까지 배워왔던 문제는 모두 평면응력의 문제이고, 앞으로 특별히 기술 하는 3축 응력 상태를 제외하고는 모두 이에 해당한다.
2) 평면변형률(plane strain)
z 방향의 주변형률 ∑z=0 인 경우를 평면변형률 상태에 있다고 한다(평면변형률 은 ∑z=0 이지만 ⌠z≠0 이 된다는 것에 주의할 것). 즉, 재료의 한 요소가 ∑x, ∑y 및 xy 만을 받고 있을 때를 말한다. 이 때 ∑z에서⌠z를 구해보면 다음과 같다.
(
x y)
z
ν σ σ
σ = +
( )
[
x y x y] [
x y]
x
E σ νσ ν σ σ E ν σ ν ν σ
ε = 1 − −
2+ = 1 ( 1 −
2) − ( +
2)
ν ν ν
ν ′ = −
= −
′ , 1
1
2E E
− −
= −
x yE σ
ν σ ν
ν
1 1
2(a)
(b)
(c)
xy xy
x y
y
y x
x
G E E
τ γ
σ ν σ
ε
σ ν σ
ε
1
) 1 (
) 1 (
=
− ′
= ′
− ′
= ′
E G E
E =
= +
+ −
= − + ′
′
) 1
( 2 1 1
2
1 1
) 1
(
2
2ν
ν ν ν
ν
(e)(d) 식(b)는 식(6-34)와 같은 형으로 되고, 식(d)으로 된다.
두께가 얇은 물체가 평면응력으로 취급하는데 반하여 두꺼운 물체는 평면변형률, 즉 3축 응력상태로 취급하여 해를 구한다.
< 표 6-1 평면응력과 평면변형률의 비교 >
[예제 6-10] 입방체 요소에 x, y, z축 방향으로 ⌠x, ⌠y, ⌠z 의 응력이 있을 때 체적증가률을 응력으로 표시하라.
체적팽창률은 식(1)로 된다.
체적 :
팽창된 체적 :
(1)
이 식에 식 (6-46)를 대입하면 식 (2)로 된다.
(2) 풀이 특수한 경우로서 유체압 같은 등압의 경우는 식 (3), (4)로 되고 식 (6)인
체적탄성계수(bulk modulus) k가 성립된다.
(3)
(4)
(6)
