제 5 장 1차 공정의 동특성

제 5 장 1차 공정의 동특성

ㆍ 1차 공정

수학적 model : 1차 미방

전달함수 : 분모는 s의 1차식

î í ì

) 1 ) (

( ) (

= +

= s

s K s G

X s Y

t

5.1 1차 공정의 동특성

(1) 1차 공정

) (t cx dt by

a dy + by = cx (t )

dt

a dy + =

: 출력 변수

î í ì x

y

①

b ¹ 0

) (t b x

y c dt

dy b

a + = ×

(=τ) (=K)

) (t cx dt by

a dy + =

0 )

0

( =

y

1 )

(

) ) (

( = = +

s K s

X

s s Y

G t

(=τ) (=K)

②

b = 0

0 )

0 ( ,

)

( =

×

= x t y

a c dt

dy

(=K′)

s s K

G ¢

=

)

(

(2) 교반 공정의 동특성

그림 5-1 : 액체 교반공정 T

_i

q

T q 그림 5-1 : 액체 교반공정

T dt T

T d

i ¢ - ¢

¢ =

t

1 1

) (

) ) (

( = +

¢

= ¢

s s

T

s s T

G

i t

Step change with magnitude A in

T _i ¢ (t ) :

î í ì

³ +

= <

0 ,

0 ) ,

( T A t

t t T

T

is is i

) ( )

( t A u t

T _i ¢ = ×

s s A

T _i ¢ ) ( = s s A

T _i ¢ ) ( =

) ( )

( )

( s T s G s T ¢ = _i ¢ ×

1 1

× +

= s s A

t

T ¢ ( t ) = A ( 1 - e ^{- t / t} )

1차 공정에서 계단변화 응답

) 1

( )

( t A e ^{t / t} T ¢ = - ^-

T dt T

dT

i -

t =

T

_i

T q

i) A=1, t=1 ii) A=2, t=1 iii) A=2, t=2

1차 공정에서 계단변화 응답

) 1

( )

( t A e ^{t / t} T ¢ = - ^-

T dt T

dT

i -

t =

T

_i

T

i) A=1, t=1 ii) A=2, t=1 iii) A=2, t=2

T q

iii) A=2, t=2

Matlab 전산실습

1) Define A1, tau1 & t 2) Calculate T1(t)

3) Plot t vs. T1(t)

Matlab 언어

>> A1=1; tau1=1;

>> t=[0:0.1:10];

>> T1=A1*(1-exp(-t/tau1));

>> plot (t, T1, ‘-o’);

1차 공정에서 계단변화 응답

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

시 간 , t

온도, T

step change response

1.8 2

step change response

1.8 2

step change response

시간 온도

i) A=1, t=1

ii) A=2, t=1 iii) A=2, t=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

시 간 , t

온도, T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

시 간 , t

온도, T

시간

ㆍ1차계의 특징 :

① self-regulating

②

t

A dt

t dT

t

=

=0

) (

response

) 1

( )

( t A e ^{t / t}

T = - ^-

″ The time constant, τ , of a process is a measure of the time necessary for the

process to adjust to a change in its input.″

τ , Rate of initial response

(3) 시간상수=체류시간

τ = (storage capacitance)

´ (resistance to flow)

[time]

÷ ÷ ø ö ç ç

è

× æ

= c V c q

p p

) 1

( <교반 공정>

5-2. 1차 공정의 응답형태

) 1

( = +

s s K

G t

ㆍ전달함수 :

) 1

( = +

s s K

G t

(1) 계단 응답

A t

X ( ) =

) 1

( )

( t KA e ^{t / t} Y = × - ^-

전달함수

& 역 L.T 이용

) 1

( )

( t KA e ^{t / t}

Y = × - ^-

시간 입력변수

X(t)

(2) Pulse 응답

X(t)

T t H

0

= ) (t X

î í

ì < <

otherwise T t

H 0

0

) (

)

( t H u t T u

H × - × -

=

) 1

( )

( ^Ts e ^Ts

s e H

s H s

s H

X = - × ^- = - ^-

) ( )

( )

( s G s X s

Y = ×

) 1

) ( 1 (

e TS

s s

KH _-

- + ×

= t

÷ ø ç ö

è

æ ×

- +

×

÷ - ø ç ö

è æ

- +

= ^{- TS} e ^{- TS}

e s KH s

s KH s

t

t 1 /

1 1

/ 1 1 1

= ) (t

Y ^{KH ( 1 - e - t / t ) - KH} [ ^{u ( t - T ) - e - ( t - T ) / t × u ( t - T )} ]

{f(t-a)ㆍu(t-a)}=e ^-as ㆍF(s)

-1 {e ^-as ㆍF(s)}=f(t-a)ㆍu(t-a)

Step change Pulse change

예제

크기(H)=2, 펄스시간(T)=10분, 시상수(t)=1, 이득상수(K)=1

2.5

pulse change response

Pulse input function

i) tau=1, K=1

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2

시 간 , t

온도, T

시간 온도

ii) tau=2, K=1 iii) tau=1, K=1.2

1차공정의 펄스입력에 따른 동특성

2.5 pulse change response

i) tau=1, K=1 ii) tau=2, K=1 iii) tau=1, K=1.2

2.5 pulse change response

2.5 pulse change response

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2

시 간 , t

온도, T

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2

시 간 , t

온도, T

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2

시 간 , t

온도, T

(3) unit impulse 입력 :

ç ç è æ

=

= 1 )

( )

( ( )

s X

t

X d t

) 1

( = +

s s K

Y t

t

t

) /

( K e ^t t

Y = ^{- t}

t

) /

( K e ^t t

Y = ^-

시간 입력변수

X(t)

0

(4) 1차 선형 응답

) ( )

( t At u t X = ×

) 2

( s

s A

X =

) ( )

( )

( s G s X s Y ( s ) = G ( s ) × X ( s )

Y = ×

2

2 ( 1 / )

/

1 s s

KA s

A s

K

t t t + ^{× =} ₊

=

s D s

D s

C ₁

2 2

/

1 + +

= +

t

t

t _t = ×

+

×

= Y s s _{= -} KA

C ( ) ( 1 / ) _{s 1 /}

s s

D s

D s

C × ² + ₂ × ( + 1 / t ) + ₁ × ( + 1 / t ) ×

) /

1 ( ]

) /

1 ( [

)

( + ₁ × ² + ₂ + t × ₁ + ₂ × t

= C D s D D s D

⇒

= KA / t

Þ

ï ï ï þ ï ï ï ý ü

ï ï ï î ï ï ï í ì

=

= +

= +

t t

t

KA D

D D

D C

2 2 1

1

0

0 D = ₂ KA t KA D ₁ = -

t

KA C =

Þ

ï ï ï þ ï ï ï ý ü

ï ï ï î ï ï ï í ì

=

= +

= +

t t

t

KA D

D D

D C

2 2 1

1

0 0

t t e ^t KA t KA KA

t

Y ( ) = × ^{- / t} + × -

( ^{t × t + - t} )

= KA e ^- t t

Y ( ) ^{t /}

3 3.5 4 4.5

5 pulse change response

온도

3 3.5 4 4.5

5 pulse change response

온도

1차공정에서의 1차선형응답

i) t=1, KA=1

선형입력

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

시 간 , t

온도, T

시간

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

시 간 , t

온도, T

시간

응답곡선

A t X ) (

KA t Y ) ( t

2

t

3

(t-τ)ㆍu(t- τ)

KA t Y ) (

t

3 t

0 0

(그림 5-9)

t

2

t

t

1차 공정의 응답 요약

) 1

( )

( t KA e ^{t / t} Y = × - ^-

(1) 계단 응답

(2) Pulse 응답

= ) (t

Y ^{KH ( 1 - e - t / t ) - KH} [ ^{u ( t - T ) - e - ( t - T ) / t × u ( t - T )} ]

(3) unit impulse 입력 :

(4) 1차 선형 응답

= ) (t

Y ^{KH ( 1 - e - t / t ) - KH} [ ^{u ( t - T ) - e - ( t - T ) / t × u ( t - T )} ]

( ^{t × t + - t} )

= KA e ^- t t

Y ( ) ^{t /}

블럭선도에서의 1차공정 응답

T _i (t)

+

제어기 최 종 제어요소 열교환기

센 서 전 환기

set point T

-

+ + +

연습문제 5장 과제물

주간: 1, 4, 6, 11, 21

참고사항:

모든 문제에 대하여 입력함수와 출력함수를 그래프로 그릴 것.

4. 분자량 (M), 탱크부피(V), 배출압(P

₂

21. 이공정에서 밀도 (r) 일정

(1) 유출속도는 변하지 않고 처음과 동일

(2) 유입속도가 0.02 à 0.1, 유출속도는 처음과 동일.