제 8 장. 적분의 응용

(1)

(2)

제 8 장. 적분의 응용

8.1 호의 길이

8.2 회전면의 넓이

(3)

8.1 호의 길이

a ≤ x ≤ b 에서 함수 y = f(x)로 주어지는 곡선 C의 길이(length) L

(4)

 





a^b ¹ ^{'( )} ²

L f x dx

(5)

(1) 곡선 y = f(x), a ≤ x ≤ b의 길이

 





a^b ¹ ^{'( )} ²

L f x dx

(2) 곡선 x = g(y), c ≤ y ≤ d의 길이

b a

L dy dx

dx

2

1  





   

 

d d

c c

L g y dy dx dy

dy

 

     

 

 

2

1 '( ) 2 1

(6)

두 점 (1, 1)과 (4, 8) 사이에 있는 반입방 포물선(semicubical parabola) y² = x³의 호의 길이를 구하라.

예제

(7)

점 (0, 0)에서 (1, 1)까지 포물선 y² = x의 호의 길이를 구하라.

예제

(8)

호의 길이함수

a ≤ x ≤ b에서 매끄러운 곡선 C의 방정식이 y = f(x)일 때, 시점 P₀(a, f(a))에서 점 Q(x, f(x))까지 C를 따라 측정한 거리를 s(x)라 하 면, s를 호의 길이함수(arc length function)라 한다.

 





 ²

( ) ^x 1 '( ) s x a f t dt

 

^dy

ds f x

dx dx

2 2

1 '( ) 1  

     

 

ds dy dx

dx

2

1  

   

  ( )ds ² ( )dx ² ( )dy ²

(9)

P₀(1, 1)을 시점으로 택해서 곡선 y = x² - (ln x)/8에 대한 호의 길이 함수를 구하라.

예제

(10)

8.2 회전면의 넓이

(11)

곡선 y = f(x), a ≤ x ≤ b 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 곡면 넓이

 





a^b² ^{( ) 1} ^{'( )} ²

S  f x f x dx ^S ^ _a^b ^^y   ^^dy_dx^ ^dx

 



² ¹ ² ^S ^



²^^yds

(12)

곡선 x = g(y), c ≤ y ≤ d y축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 곡면 넓이





²

S xds

(13)

곡선 , -1 ≤ x ≤ 1은 원 x² + y² = 4의 호이다. 이 호를 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면 넓이를 구하라.

 4 ²

y x

예제

(14)

(1, 1)에서 (2, 4)까지 y = x²의 호를 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면 넓이를 구하라.

예제

(15)

곡선 y = e^x, 0 ≤ x ≤ 1을 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면 넓이를 구하라.

제 8 장. 적분의 응용