생산자이론의 확장과 응용 제 6 장

(1)

제6장

생산자이론의 확장과 응용

최 정 표 (미시경제론)

(2)

 동차적 생산함수

 Q = F(K, L)

 λ^rQ = F(λK, λL)



r차 동차함수



동차생산함수의 MRTS

 λ^rF(K, L) = F(λK, λL)

 양변을 K로 편미분 →λ^rF1(K, L) = F1 λ(λK, λL)

λ^r-1F1(K, L) = F1(λK, λL) --- (1a) MPK(=F₁(K,L))은 (r-1)차 동차

 양변을 L로 편미분 → λ^rF₂(K, L) = F₂λ(λK, λL)

λ^r-1F2(K, L) = F2 (λK, λL) --- (1b)

MP_L(=F₂(K,L))도 (r-1)차 동차

(3)



K=K_0,L=L₀을 대입후 (1b)÷(1a)

 ( = ) 가 일정한 한 MRTS는 불변

 MRTS^a= MRTS^b, 확장선은 직선

K L

K0

L0

 = ^F²^(K^o^,L^o⁾ = = MRTS

F1 (Ko,Lo)

MPL MPK F2 (λK0, λL0)

F1 (λK0, λL0)

(4)

 (α+β)차 동차함수

 (λK)^α(λL)^β= λ^(α+β)K^αL^{β =}λ^(α+β)Q



Q=K^αL^β

 MPK = = αK^∂Q ^α-1L^β

∂K

 MPL = = βK^∂Q_∂L ^αL^β-1

 MPK와 MPL은 (α+β-1)차 동차함수

 MRTS = = · ^MP^L

MPK

β α

K L

 ( )가 변하지 않으면 MRTS도 불변

 요소사용비율 ( )이 중요

K L

(5)

 r > 1 : IRTS, Economies of scale

 r = 1 : CRTS, 선형동차

 r < 1 : DRTS, Diseconomies of scale



규모의 경제와 규모의 비경제

(6)

 Q =F(K, L)이 t차 동차함수이면 K·F1 + L·F2 = t·Q



오일러정리

F(λK, λL) = λ^tF(K, L), 양변을 λ로 편미분 K·F1 (λK, λL) + L·F2 (λK, λL) = tλ^t-1F(K, L)

λ =1이면 K·F1 (K, L) + L·F2 (K, L) = t·F(K, L) = t · Q

< 증명 >

(7)

 K·F1 + L·F2 = Q ( F1 = MPK, F2 = MPL)

 K·MPK + L·MPL = Q

 P·MPK·K + P·MPL·L = PQ ( r = P·MPK , w = P·MPL )

 r·K + w·L = PQ

 r = P·MPK = VMPK

w = P·MPL = VMPL



1차 동차생산함수와 분배

(8)

 요소간의 대체와 요소사용비율



대체탄력성 (elasticity of substitution)

 σ = = ·

MRTS

∆MRTS

∆(K/L)

K/L ∆(K/L)

∆MRTS

MRTS K/L

∆(K/L)

∆(w/r)

∆(K/L) K/L

∆(w/r) w/r

= = · ^w/r

K/L

(9)



 노동집약적 생산(a)에서 자본집약적 생산(b)으로; L을 K로 대체

(10)



 σ= 0

(11)



 σ= ∞

(12)



기술진보와 요소사용비율의 변화

 기술진보의 개념

 Hicks 중립적 기술진보, a → b

(13)



 노동절약적(자본사용적) 기술진보, a → b

(14)



 자본절약적(노동사용적) 기술진보, a → b

(15)

 콥-더글러스 생산함수와 CES 생산함수



Cobb-Douglas 생산함수

 Q = AK^αL^β ( A, α, β > 0)

 ( α + β )차 동차생산함수

 A(λK)^α(λL)^β= AK^αL^βλ^(α+β)= λ ^(α+β)Q

 α+β > 1 : IRTS, Economies of scale

 α+β = 1 : CRTS

 α+β < 1 : DRTS, Diseconomies of scale

(16)



σ= 1

 p. 200 footnote 1.



분배몫

 α는 자본의 분배몫

 β는 노동의 분배몫

 α=0.4, β=0.6이면 자본가는 40% 노동자는 60%

 = = = ^{w · L}

r · K

MPL · L MPK · K

βAK^αL^β-1 · L αAK^α-1L^β · K

β α

(17)



CES 생산함수

 Q = A[αK^-ρ+(1-α)L^-ρ]^-1/ρ

( -1<ρ< ∞, ρ≠0, 0<α<1, A>0)

 A : 효율성상수

 ρ : 대체성상수

 α : 분배상수



1차 동차생산함수

 A[α(λK)^-ρ+(1-α)(λL)^-ρ]^-1/ρ

= A[αK^-ρ+(1-α)L^-ρ]^-1/ρ· λ= λQ

(18)

 ρ가 커지면 대체탄력성(σ)은 작아진다



σ= ¹

1 + ρ

(19)



σ= ¹

1 + ρ

(20)



자본과 노동의 분배몫

 ρ = 0 이면 자본과 노동사이의 분배비율은 α : (1-α)

L

 = = ( ) ^{r · K} K ^ρ w · L

MPK · K MPL · L

α 1-α