수학영역(A형)
1. ④ 2. ① 3. ⑤ 4. ① 5. ②
6. ③ 7. ③ 8. ④ 9. ① 10. ①
11.③ 12. ④ 13. ② 14. ② 15. ②
16. ⑤ 17. ③ 18. ④ 19. ⑤ 20. ⑤
21. ② 22.52 23.10 24.45 25.14
26. 33 27. 24 28. 29 29. 230 30. 13
1. 지수함수와 로그함수 정답 ④ log × log log
× log
log × log
log × log
2. 행렬과 그래프 정답 ①
구하는 행렬 의 모든 성분의 합은
3. 다항함수의 적분법 정답 ⑤
×
× ×
두 함수 , 라 하자.
함수 의 그래프가 점 A 을 지 나므로 × ×
……㉠
와 가 점 A 에서 공통인 접선을 가지므 로 ′ ′이다.
′ , ′ 이므로
∴
㉠에 를 대입하면
∴
5. 함수의 극한과 연속 정답 ②
lim
→ 에서 로 놓으면 → 일 때, → 이므로
lim
→
lim
→
lim
→ 에서 로 놓으면 → 일 때,
→ 이므로
lim
→
lim
→
∴
lim
→
lim
→
6. 다항함수의 미분법 정답 ③
lim
→
에서 이므로
lim
→
lim
→
lim
→
′
lim
→
에서 이므로
lim
→
lim
→
′ 이때, 라 하면
lim
→
lim
→
′
′ ′ ′ 이므로
′ ′ ′
× ×
∴
lim
→
2 수학 영역(A형) 세 공장 ,, 에서 생산된 제품 중 임의로 선택한 한 개
의 제품이 불량품일 사건을, 그 제품이공장에서 생산 된 제품일 사건을라 하면 확률은 P 이다.
P
P P ∩
×
×
×
×
,
∴
8. 지수함수와 로그함수 정답 ④
log log log
log
×
이때,
×
≥ ≤
×
따라서 시정거리가 m 이상이 되기 위한 먼지농도 의 최댓값 이다.
9. 다항함수의 적분법 정답 ①
∴
⋯
10. 수열 정답 ①
(가)에서 이 아닌 세 실수 , , 가 등비수열을 이루므로
, ( ≠ 인 실수) (나)에서 이므로
× ,
와 은 이 아닌 실수이므로 따라서 , 이다.
(다)에서
, 이므로
∴
11. 다항함수의 미분법 정답 ③
이라 놓으면 ′ 이므로
점 P 에서 곡선 에 접하는 접선의 기울기 는 이다. 또, 원의 중심과 점 P을 지나는 직선은 점 P에서의 접선과 수직이다. 따라서 점 P 을 지나 고 접선에 수직인 직선의 방정식은
……㉠
원 의 중심은 ㉠의 절편이므로
,
따라서 원 의 중심의 좌표는 이므로 원 의 중심의 좌표는 이다.
12. 수열의 극한 정답 ④ 원 의 중심의 좌표가 , 점 P의 좌표가 P 이므로 반지름의 길이를 라 하면
이므로
∴
lim
→ ∞
lim
→ ∞
13. 행렬과 그래프 정답 ②
(ⅰ) 행렬 의 역행렬이 존재하는 경우
즉, ≠ , ≠ 일 때 집합 의 원소의 개수는 이다. 이때∩≠ ,∩≠ 을 만족 시키려면 집합 의 원소는 집합 ∩의 원소이어 야 한다. 그런데 과 을 동 시에 만족시키는 실수해는 존재하지 않으므로 성립하 지 않는다.
(ⅱ) 행렬
의 역행렬이 존재하지 않는 경우
즉, ,
에서 일 때 집합≠ 이다.(ⅰ), (ⅱ)에서 ,
∴
14. 통계 정답 ②
주사위 개를 던질 때 의 배수가 나올 확률이
이므로
의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수라 하면 는 이 항분포 B
을 따른다.E ×
, V ×
×
이때, 는 충분히 큰 수이므로 확률변수는 근사적 으로 정규분포 N
를 따른다.이때, × 이므로 P ≥ P ≥
P ≥ P
≥
P ≥
P ≤≤
15. 함수의 극한과 연속 정답 ②
, 이고,
lim
→ ,
lim
→
이므로 ㄱ. (참)
lim
→
∴
lim
→
따라서 함수 는 에서 연속
lim
→
×
∴
lim
→
×
따라서 함수 는 에서 연속 ㄷ. (거짓) 함수
가 에서 연속이면
lim
→
∴
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
16. 행렬과 그래프 정답 ⑤ ㄱ. (참) 이므로
ㄴ. (참) 명제 ‘≠이면 의 역행렬을 존재하지 않는 다.’의 대우 명제인 ‘의 역행렬이 존재하면 이 다’는 을 의 양변에 곱하면
, 이므로 참이다. 대우 명제가 참이 므로 주어진 명제는 참이다.
ㄷ. (참) 이므로
∴
이때, 이므로 행렬의 역행렬 이 존재한다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
17. 수열 정답 ③
첫째항이 인 수열
에 대하여
≥ ……㉠
주어진 식에 의하여
≥ ……㉡
4 수학 영역(A형)
이므로
이다. 양변을 로 나누면
이다.
이라 하면
≥
이고, 이므로
∴ ≥
∴ , ,
∴
18. 수열의 극한 정답 ④
∆AAO에서 OA AA , ∠OAA °이므로 코사인법칙에 의해
O A × × × cos°
따라서
× × sin° ×
두 정육각형 ABCDEF,
A B C D E F 의 넓이를 각각 ,
이라 하면
, 따라서 수열
은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이다.∴
∞
19. 다항함수의 미분법 정답 ⑤ 두 곡선 과 의 교점을 구하면
,
∴ 또는 또는 따라서 A 이다.
이때, B , C 에서 BC 이므로
ACO B ∆ACB ∆CO B
× ×
× ×
라 하면
′ 에서
의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯
⋯
′
↗ 극대 ↘
따라서 함수 는
에서 극대이면서 최대이다.
20. 수열 정답 ⑤
에서 은 정수이므로
∴
……㉠
정수 에 대하여 ≤ 일 때,
≤ log 이므로 log 이때, 의 개수는 이므로
log
× × × ⋯ ×
× × ⋯ × ……㉡
× ⋯ × × ……㉢
라 할 때, ㉡ ㉢을 하면
× ⋯ ×
× ×
∴
따라서
log
……㉣
㉠, ㉣에 의해
log
×
21. 수열의 극한 정답 ②
∪∪, ∩ 을 만족하도록 벤다이어 그램을 그려보면 원소가 존재할 수 있는 영역이 군데이므 로 세 집합 , , 를 정하는 방법의 수 이다.
∴
∞
∞
22. 행렬과 그래프 정답 52 꼭짓점의 개수가 개이므로 각 꼭짓점 사이의 연결 관계 를 나타내는 행렬의 성분들의 총 개수는
× (개)이다. 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타낸 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개 수의 2배와 같으므로 행렬 의 성분 중에 의 개수는
× 이다.
∴ ,
23. 지수함수와 로그함수 정답 10 log log
log log
,
∴
또는
진수조건에서 , 이므로
, ←
또는 이고,
∴
∴ ,
∴
24. 확률 정답 45 방정식 에서 (는 자연수)로 놓으면 ,
∴
음이 아닌 정수 , , 에 대하여
, , 라 하면,
,
따라서 방정식 의 자연수 의 순 서쌍 의 개수는 방정식 의 음이 아 닌 정수해의 순서쌍 의 개수와 같고, 이는 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
CCC
×
×
25. 다항함수의 적분법 정답 14
에서
∴
,
,
6 수학 영역(A형) 26. 함수의 극한과 연속 정답 33
에 대하여
lim
→ ∞
⋯
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
×
27. 통계 정답 24
개의 동전 중 개는 앞면, 개는 뒷면일 때, 앞면 개 중
개를 뒷면 개 중 개를 뒤집어 놓았다고 하면 의 값 에 따른 확률변수 에 대한 확률을 나타내면 다음 표와 같 다.
P
C
C×C
C
C×C
C
C×C
C
C×C
이때, E ×
×
×
×
∴ E E ×
28. 다항함수의 적분법 정답 29 (가)와 (나)에서
(나)와 (다)에서 의 그래프는 축 대칭이고 주기 가 인 함수이므로
따라서 수열
에 대하여 ⋯
위의 식에 과 을 각각 대입하면
⋯
……㉠
⋯
……㉡
㉡ ㉠을 하면
∴
∴ , ,
29. 수열 정답 230 첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열
은 ×
⋯
수열
은 ⋯ ⋯이므로
(ⅰ)
⋯
∴
(ⅱ)
⋯
×
∴
(i), (ii)에서
×
30. 지수함수와 로그함수 정답 13 log ( ≥ 인 정수, ≤ )
라 하면 P
연립부등식
≥
≤ ≤
에서 ≤ ≤
는 이상인 정수이므로 (ⅰ) 일 때,
≤ ≤
, ≤ ≤
따라서 log 이므로
≤ log ≤
log ≤ log log
∴ ≤
그러므로 은 인 개이다.
(ⅱ) 일 때,
≤ ≤
,
≤ ≤
따라서 log 이므로
≤ log ≤
log log log
log log log
log log log
∴
그러므로 은 ⋯ 인 개이다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 의 개수는 개이다.
