1. 수열의 극한 Ⅰ 수열의 극한
1 수열의 극한
수열의 극한에 대한 기본 성질 01
1.1.lim
→ ∞
일 때, 상수 의 값은?[3점][2016(나) 6월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
2.2.두 수열 , 에 대하여 lim
→ ∞
, lim
→ ∞
일 때,
→ ∞lim
의 값을 구하시오.
[3점][2004(나) 4월/교육청 24]
∞∞ 꼴의 극한 02
3.3.lim
→ ∞
의 값은?
[2점][2008(나) 수능(홀) 3]
① ②
③
④
⑤
미정계수의 결정(수열) 03
4.4.lim
→ ∞
가 성립하도록 하는 상수 , 에 대하여
의 값을 구하시오.
[2점][2009(나) 4월/교육청 18]
∞∞ 꼴의 극한의 활용 04
5.5.자연수 에 대하여 이차방정식
의 두 근을 , 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오.[3점][2006(가) 9월/평가원(고2) 28]
6.6.수열 은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이다. 수열
의 일반항이
일 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2004(나) 9월/평가원 3]
①
②
③
④ ⑤
미적분Ⅰ 1. 수열의 극한
7.7.수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 이 일 때,
→ ∞lim
의 값은?
[3점][2005(나) 6월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
8.8.자연수 에 대하여 ⋯
⋯ 일 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2011(나) 4월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
치환을 이용한 수열의 극한 05
9.9.수열 과 이 lim
→ ∞
, lim
→ ∞
을 만족시킬 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오. (단, ≠ ) [3점][2011(나) 9월/평가원 25]
10.10.수렴하는 수열 에 대하여 lim
→ ∞
일 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[3점][2005(나) 10월/교육청 19]
11.11.수렴하는 수열 에 대하여 lim
→ ∞
일 때,
→ ∞lim
의 값은?[2점][2005(나) 4월/교육청 3]
① ②
③
④ ⑤
1. 수열의 극한 Ⅰ 수열의 극한
∞ ∞ 꼴의 극한 06
12.12.lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[2점][2011(나) 4월/교육청 22]
13.13.lim
→ ∞
의 값은?
[2점][2005(나) 6월/평가원 3]
① ②
③
④ ⑤
14.14.lim
→ ∞
의 값은?
[2점][2009(나) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
15.15.lim
→ ∞
의 값은?[3점][2005(나) 수능(홀) 4]
①
②
③
④ ⑤
∞ ∞ 꼴의 극한의 미정계수 결정 07
16.16.lim
→ ∞
를 만족하는 두 실수 ,에 대하여 의 값은?
[3점][2008(나) 4월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
17.17.실수 에 대하여 lim
→ ∞
일 때, 의 값을 구하시오.[3점][2014(A) 3월/교육청 24]
18.18.양수 와 실수 에 대하여 lim
→ ∞
일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2015(A) 9월/평가원 27]
미적분Ⅰ 1. 수열의 극한 소수부분의 극한값 계산
08
수열의 극한의 대소 관계 09
19.19.수열 이 모든 자연수 에 대하여 를 만족시킬 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 4월/교육청 18]
20.20.수열 에 대하여 곡선 은 축과 만나고, 곡선 은 축과 만나지 않는다. lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2016(A) /수능 10]
①
②
③
④
⑤
21.21.수열 이 모든 자연수 에 대하여 을 만족시 킬 때, lim
→ ∞
의 값은?[3점][2012(나) 3월/교육청 12]
①
② ③
④ ⑤
수열의 극한의 진위 판단 10
수열의 극한의 활용 11
22.22.좌표평면에서 자연수 에 대하여 원 과 직선
가 제 사분면에서 만나는 점을 중심으로 하고 축에 접하는
원의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2015(B) 3월/교육청 10]
①
②
③
④ ⑤
23.23.자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 P 라 하고, 함수
의 그래프 위의 점 중 좌표가 이고 제 사분면에 있는 점을 Q 라 하자. 점 R 에 대하여 삼각형 P RQ 의 넓이를 , 선 분 P Q 의 길이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2016(A) /수능 14]
①
②
③
④
⑤
1. 수열의 극한 Ⅰ 수열의 극한
24.24.그림과 같이 자연수 에 대하여 곡선 위의 점 A 을 지나고 기울기가
인 직선이 축과 만나는 점을 B이라 할 때, lim → ∞O A
O B
의 값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2016(나) 4월/교육청 15]
O
A
B
①
②
③
④
⑤
25.25.그림은 두 곡선 ,
과 꼭짓점의 좌표가 O ,
A , B , C 인 직사각형 O ABC 를 나타낸 것이다.
자연수 에 대하여, 좌표와 좌표가 모두 정수인 점 중에서 직사각 형 O ABC 또는 그 내부에 있고 부등식 ≥ 을 만족시키는 모든 점 의 개수를 이라 하자. lim
→ ∞
의 값은? (단, 은 자연수이다.) [4점][2013(A) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
26.26.한 변의 길이가 인 정사각형과 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 가 있다. [그림 ]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 ABC 를 회전시킨다. 정삼각형 ABC 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 바퀴 도는 동안, 변 BC 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 이라 하자.
예를 들어 일 때, [그림 ]와 같이 변 BC 가 회 놓이므로
이다. 이때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2007(가) 6월/평가원 17]
미적분Ⅰ 1. 수열의 극한
2 등비수열의 극한
등비수열
의 수렴과 발산 01
27.27.lim
→ ∞
의 값은?
[2점][2006(나) 6월/평가원 3]
①
②
③
④ ⑤
28.28.lim
→ ∞
⋅
의 값을 구하시오.
[3점][2006(나) 수능(홀) 18]
29.29.수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 이 일
때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2007(나) 9월/평가원 9]
①
②
③
④
⑤
30.30.lim
→ ∞
⋅ ⋅
의 값은?
[3점][2007(나) 3월/교육청 26]
① ② ③
④ ⑤
31.31.수열 에 대하여 lim
→ ∞
이 이 아닌 상수일 때,
lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2009(나) 6월/평가원 28]
①
②
③
④
⑤
32.32.수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 이
일
때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2005(나) 수능(홀) 7]
① ② ③
④
⑤
1. 수열의 극한 Ⅰ 수열의 극한
을 포함한 식의 극한 02
lim
을 포함한 식의 극한 03
33.33.실수 에 대하여 행렬
의 역행렬이 존재하 지 않을 때, 좌표평면 위에서 점 가 나타내는 그래프의 개형은?[4점][2008(나) 3월/교육청 14]
① ②
③ ④
⑤
등비수열의 극한의 활용 04
34.34.좌표평면에서 자연수 에 대하여 기울기가 이고 절편이 양수인 직선이 원 에 접할 때, 이 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 P, Q이라 하자. PQ이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2010(나) 9월/평가원 9]
①
②
③
④
⑤
미적분Ⅰ 2. 급 수
1 급 수
lim
과 lim
의 관계 01
35.35.수열 에 대하여
∞
일 때, → ∞lim의 값은?[3점][2016(나) 4월/교육청 11]
①
②
③
④
⑤
36.36.수열 에 대하여
∞ 일 때, lim → ∞
의 값을 구 하시오.
[3점][2014(A) 7월/교육청 22]
37.37.수열 에 대하여
∞
이 수렴할 때, lim → ∞의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 11월/교육청(고2) 26]
38.38.두 수열 , 에 대하여 급수
∞
과
∞
이 모두 수렴할 때, lim
→ ∞
의 값은? (단, ≠ ) [3점][2010(나) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
39.39.수열 에 대하여 급수
∞
⋅
이 수렴할때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 12]
① ② ③
④ ⑤
40.40.수열 에 대하여
∞ 일 때, → ∞lim 의 값을구하시오.
[3점][2013(A) 10월/교육청 24]
2. 급 수 Ⅰ 수열의 극한
41.41.수열 에 대하여 급수
∞
이 수렴할 때,lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2015(A) 3월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
42.42.모든 항이 양수인 수열 에 대하여
∞
일 때,lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 8]
① ②
③
④
⑤
43.43.
∞
일 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2012(나) 3월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
44.44.두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2013(A) 4월/교육청 10]
(가)
⋯
⋯
(나)
∞ ① ② ③
④ ⑤
45.45.수열 에 대하여 급수
∞ 이 수렴할 때,→ ∞lim
의 값은?
[3점][2013(A) 3월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
46.46.수열 에 대하여
∞
⋅
일 때,→ ∞lim
의 값은?[4점][2013(나) /수능 19]
①
② ③
④
⑤
미적분Ⅰ 2. 급 수 급수와 수열의 진위 판단
02
수렴하는 급수의 여러 공식 03
47.47.수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 이 일 때, 급수
∞ 의 값은?[3점][2010(나) 10월/교육청 26]
①
②
③
④
⑤
48.48.자연수 에 대하여 ⋅ 의 모든 양의 약수의 개수를 이 라 할 때,
∞
의 값은?
[3점][2014(A) 9월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
49.49.급수
∞ 의 합은?[3점][2005(나) 10월/교육청 27]
① ② ③
④ ⑤
50.50.
∞ 의 값을 구하시오.
[3점][2015(A) 7월/교육청 25]
51.51.모든 자연수 에 대하여 수열 은 다음 두 조건을 만족시킨다.
이때
∞
의 값은?
[3점][2013(A) 7월/교육청 10]
(가) ≠
(나) 에 대한 다항식 를 으로 나눈 나머 지가 이다.
① ② ③
④ ⑤
2. 급 수 Ⅰ 수열의 극한
2 등비급수
등비수열(급수)의 수렴과 발산 01
등비급수의 계산(1) 02
52.52.첫째항이 , 공비가
인 등비수열 에 대하여
∞ 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 9월/평가원 19]
53.53.공비가
인 등비수열 에 대하여
∞
일 때, 첫째항
의 값을 구하시오.
[3점][2008(나) 6월/평가원 18]
54.54.수열 이 이고 ( ≥ )을 만족시킬 때, 급수
∞
의 값은?
[3점][2014(A) 3월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
55.55.급수
∞
의 합은?
[3점][2013(A) 3월/교육청 6]
①
②
③
④
⑤
56.56.등비수열 이 을 만족시킬 때,
∞ 의 값을구하시오.
[3점][2009(나) 9월/평가원 21]
57.57.등비수열 에 대하여 ,
일 때,
∞
의 값을 구하시오.
[3점][2009(나) 10월/교육청 19]
58.58.모든 항이 양의 실수인 수열 이
, ( ≥ )
을 만족시키고
∞ 일 때, 실수 의 값은? (단, ) [3점][2015(A) 3월/교육청 12]①
②
③
④
⑤
미적분Ⅰ 2. 급 수 등비급수의 계산(2)
03
59.59.
를 순환소수로 나타낼 때, 소수점 아래 째 자리의 수를 이
라 하자. 예를 들면 이다. 이때,
∞ 의 값은?[3점][2004(나) 10월/교육청 7]
①
②
③
④ ⑤
60.60.수열 에서 이고, 자연수 에 대하여
이다.
∞
의 값은?
[4점][2009(나) 6월/평가원 13]
①
②
③
④
⑤
등비급수의 계산(3) 04
61.61.모든 항이 양수인 수열 이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건 을 만족시킨다.
(가) log 의 가수와 log 의 가수는 서로 같다.
(나)
∞
일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 6월/평가원 26]
62.62.첫째항이 이고 공비가
인 등비수열 에 대하여 대각선의 길
이가 인 정사각형의 넓이를 이라 하자.
∞ 라 할 때, 의 값은? (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(나) 4월/교육청 13]
① ② ③
④ ⑤
2. 급 수 Ⅰ 수열의 극한
3 등비급수의 활용
등비급수의 도형에서의 활용 - 길이 01
63.63.그림과 같이 직각이등변삼각형 ABC 에서 꼭짓점 A 를 중심, AB 를 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, AC 와 만나는 점을 A,
AC ⊥ AB이면서 BC 위에 있는 점을 B, 다시 꼭짓점 B을 중심,
AB을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, CB과 만나는 점을 B,
CB⊥ AB이면서 AC 위에 있는 점을 A라고 정하기로 한다.
B B A
B
B A
A C
A
․․․
위와 같은 과정을 계속 반복해 나갈 때,
AB AB AB ⋯ 의 값은? (단, AB )
[4점][2004(나) 4월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
등비급수의 도형에서의 활용 - 넓이 02
64.64.그림과 같이 길이가 인 선분 AB을 지름으로 하는 반원 을 그리고, 반원 위에 ∠CAB °가 되도록 점 C을 정한다. 이 때 삼각형 ABC의 넓이를 이라 하자.
선분 AC의 중점을 A라 하고, 호 AB와 호 CB의 길이가 같도 록 점 B를 정한다. 선분 AB를 지름으로 하는 반원 를 그리고, 반원 위에 ∠CAB °가 되도록 점 C를 정한다. 이때 삼각형 ABC의 넓이를 라 하자.
선분 AC의 중점을 A이라 하고, 호 AB과 호 CB의 길이가 같 도록 점 B을 정한다. 선분 AB을 지름으로 하는 반원 을 그리고, 반원 위에 ∠CAB °가 되도록 점 C을 정한다. 이때 삼각형 ABC의 넓이를 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 ABC의 넓이를 이라 할 때,
∞ 의 값은?[4점][2013(A) 3월/교육청 16]
①
②
③
④
⑤
미적분Ⅰ 2. 급 수
65.65.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 네 변 AB, BC, CD, DA을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각 형 ABCD의 외부에 그려 만들어진 개의 호로 둘러싸인 모양 의 도형을 이라 하자. 네 변 DA, AB, BC, CD의 중점 P, Q, R, S을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형을 이라 하자.
도형 의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을
이라 하자. 그림 에 네 변 PQ, QR, RS, SP의 중점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하 자. 네 변 DA, AB, BC, CD의 중점 P, Q, R, S를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으 로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하자. 그림 에 도형
의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부 분의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2016(나) 7월/교육청 15]
A D
C B
P
R Q S
A D
C B
A D
C B
⋯
⋯
①
②
③
④
⑤
66.66.좌표평면에서 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 이라 하고, 축을 직선 이라 하자.
직선 을 원점을 중심으로 하여 ° 만큼 회전시킨 직선을 라 하고, 직선 와 원 의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 라 할 때, 두 원 , 의 공통부분의 넓이를 이라 하자.
직선 를 원점을 중심으로 하여 ° 만큼 회전시킨 직선을 이라 하고, 직선 과 원 의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을
이라 할 때, 두 원 , 의 공통부분의 넓이를 라 하자.
직선 을 원점을 중심으로 하여 ° 만큼 회전시킨 직선을 라 하고, 직선 와 원 의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 라 할 때, 두 원 , 의 공통부분의 넓이를 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 부분의 넓이를 이라 할 때,
∞
의 값은?
[4점][2010(가) 3월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
2. 급 수 Ⅰ 수열의 극한
67.67.AB , BC 인 직사각형 ABCD이 있다. 그림과 같이 선분 BC의 중점을 M이라 하고, 선분 AD 위에
∠AMB ∠CMD , ∠BMC 가 되도록 두 점 B, C를 정한다. 삼각형 AMB의 넓이와 삼각형 CMD의 넓이의 합을 이라 하자. 사각형 ABCD가 BC AB인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점 A, D를 정한다.
선분 BC의 중점을 M라 하고, 선분 AD 위에
∠AMB ∠CMD , ∠BMC 가 되도록 두 점 B, C을 정한다. 삼각형 AMB의 넓이와 삼각형 CMD의 넓이의 합을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 에 대하여
의 값은?
[4점][2011(나) /수능 10]
①
②
③
④
⑤
68.68.한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다. 그림과 같이 선분 BC 를 으로 내분하는 점을 E , 선분 D A 를 으로 내분하는 점을 F 라 하고 평행사변형 BED F 를 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에서 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
그림 에서 새로 그려진 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하 는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림
을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을
이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 모 든 평행사변형의 넓이의 합을 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2016(나) 10월/교육청 19]
…
…
①
②
③
④
⑤
미적분Ⅰ 2. 급 수
69.69.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 안에 꼭짓 점 A C을 중심으로 하고 선분 AB CD을 반지름으로 하는 사 분원을 각각 그린다. 선분 AC이 두 사분원과 만나는 점 중 A과 가 까운 점을 A 점 C과 가까운 점을 C라 하자.
선분 AD에 평행하고 점 A를 지나는 직선이 선분 AB과 만나는 점을 E, 선분 BC에 평행하고 점 C를 지나는 직선이 선분 CD과 만나는 점을 F이라 하자.
삼각형 AEA와 삼각형 CFC를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하 는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에 선분 AC를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그 려진 정사각형 안에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사분 원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠 하여 얻은 그림을 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분 의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2016(나) 9월/평가원 16]
①
②
③
④
⑤
개수가 일정하게 증가하는 등비급수의 넓이 03
70.70.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 대각선 BD 의 등분점을 점 B 에서 가까운 순서대로 각각 P, P, P, P라 하 고, 선분 BP, PP, PD 를 각각 대각선으로 하는 정사각형과 선분 PP, PP를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후, 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에서 선분 PP을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 A 와 가장 가까운 점을 Q, 점 C 와 가장 가까운 점을 Q라 하자. 선 분 AQ을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 CQ를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 개의 정사각형 안에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그 림을 라 하자.
그림 에서 선분 AQ을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 CQ를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 에서 그림 를 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 이 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분 의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞의 값은?
[4점][2016(A) /수능 15]
①
②
③
④
⑤
2. 급 수 Ⅰ 수열의 극한
71.71.그림과 같이 AD , AB 인 직사각형 ABCD에서 선분 AD의 중점을 M이라 하자. 중심이 A, 반지름의 길이가
AB이고 중심각의 크기가
인 부채꼴 ABM을 그리고, 부채꼴
ABM에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 부채꼴 ABM의 호 BM이 선분 AC과 만나는 점을 A라 하고, 중심이 A, 반지름의 길이가 AD인 원이 선분 AC과 만나는 점을 C라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 이고 가로가 선분 AD과 평행 한 직사각형 ABCD를 그리고, 직사각형 ABCD에서 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림 을 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분 의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2014(A) 6월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
72.72.그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 가 있다.
원의 중심을 C 라 하고, 선분 AC 의 중점과 선분 BC 의 중점을 각각 D , P 라 하자. 선분 AC 의 수직이등분선과 선분 BC 의 수직이등분선이 원 의 위쪽 반원과 만나는 점을 각각 E , Q 라 하자. 선분 D E 를 한 변으로 하고 원 와 점 A 에서 만나며 선분 D F 가 대각선인 정사각형 D EFG 를 그리고, 선분 P Q 를 한 변으로 하고 원 와 점 B 에서 만나 며 선분 P R 가 대각선인 정사각형 P Q RS를 그린다. 원 의 내부와 정사각형 D EFG 의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 의 내부 와 정사각형 P Q RS의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에서 점 F 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 D E 인 원 ,
점 R 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 P Q 인 원 를 그린다. 두 원 , 에 각각 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형과 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분 의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2017(나) 수능 17]
①
②
③
미적분Ⅰ 2. 급 수
73.73.그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 , 인 마름모 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의
을 지름으로
하는 원을 그려서 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에 있는 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마 름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모 를 개 그린다.
새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대 각선의 길이의
을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 라 하 자.
그림 에 있는 작은 두 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대 각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 개 그린다.
새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대 각선의 길이의
을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 이라 하자.
이와 같은 방법으로 번째 얻은 그림 에 있는 모든 원의 넓이의 합 을 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2011(나) 9월/평가원 9]
①
②
③
④
⑤
74.74.반지름의 길이가 인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로 의 길이의 비가 인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그린다. 새로 그 려진 각 원에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
그림 에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그 린다. 새로 그려진 각 원에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 직사 각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에서 색칠된 부분의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞의 값은?
[4점][2012(나) /수능 14]
①
②
③
④
⑤
1. 함수의 극한 Ⅱ 함수의 극한과 연속
1 함수의 극한
그래프에서 함수의 극한값 01
75.75.함수 의 그래프가 그림과 같다.
→ lim
lim
→
의 값은?
[3점][2014(A) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
76.76.그림은 열린구간 에서 정의된 두 함수 ,
의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. lim
→
ㄴ. lim
→
ㄷ. lim
→
< 보 기 >
[4점][2011(나) 10월/교육청 14]
77.77.닫힌구간 에서 정의된 함수 의 그래프가 그림과 같다.
lim
→
lim
→
의 값은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 10]
① ② ③
④ ⑤
78.78.정의역이 ≤ ≤ 인 함수 의 그래프가 그림 과 같을 때, lim
→
lim
→
의 값은?
[3점][2011(나) 6월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
미적분Ⅰ 1. 함수의 극한
79.79.정의역이 ≤ ≤ 인 함수 의 그래프가 그림 과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2004(가) 6월/평가원 5]
ㄱ. lim
→
가 존재한다.
ㄴ. lim
→
가 존재한다.
ㄷ. ＜ ＜ 인 실수 에 대하여lim
→
가 존재한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
그래프에서 우극한과 좌극한 활용 02
80.80.함수 의 그래프가 그림과 같다.
O
lim
→
일 때, lim
→
의 값은?
[3점][2015(A) 4월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
81.81.정의역이 ≤ ≤ 인 함수 의 그래프가 구간
에서 그림과 같고, 정의역에 속하는 모든 실수 에 대하여
이다. lim
→
lim
→
의 값은?
[4점][2013(A) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
1. 함수의 극한 Ⅱ 함수의 극한과 연속
82.82.함수 의 그래프가 그림과 같다. lim
→
의 값 은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 14]
O
① ② ③
④ ⑤
83.83.정의역이 ≤ ≤ 인 함수 의 그래프는 그림과 같다.
이때, lim
→
lim
→
의 값은?
[3점][2013(A) 4월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
합성함수의 극한값 03
가우스 기호를 포함한 함수의 극한 04
84.84.함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
[4점][2005(가) 4월/교육청 10]
ㄱ. lim
→
ㄴ. lim
→
ㄷ. lim
→
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
미적분Ⅰ 1. 함수의 극한
2 함수의 극한값의 계산
함수의 극한에 대한 기본성질 01
85.85.함수 에 대하여 lim
→
일 때, lim
→
의 값은?
[3점][2012(나) 6월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
86.86.lim
→
일 때, 상수 의 값을 구하시오.
[3점][2011(나) 6월/평가원 22]
87.87.이차함수 와 다항함수 가 lim
→ ∞
를 만
족시킬 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2012(나) 4월/교육청 13]
①
② ③
④ ⑤
꼴 극한값 02
88.88. 일 때, lim
→
∣ ∣
의 값은?
[3점][2005(가) 7월/교육청 5]
① ②
③
④ ⑤
89.89.lim
→
의 값을 구하시오.
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 24]
90.90.lim
→
의 값은?
[2점][2007(가) 수능(홀) 3]
① ② ③
④ ⑤
91.91.lim
→
의 값을 구하시오.
[3점][2009(가) 7월/교육청 18]
