(5) Magnetic Circuit

A. 자기회로 VS 전기회로

(Magnetomotive Circuit) vs (Electromotive Circuit)

B. 자기회로의 계산

(Calculation of Magnetic Circuit)

C. 공극의 영향

(Effect of air gap)

D. 영구자석을 포함한 자기회로

(Magnetic Circuit including a permanent magnet)

(5) Magnetic Circuit

Fig.1 자기회로 Fig.2 전기회로

A. 자기회로 (Magnetic circuit) VS 전기회로 (Electric circuit)

i : 전류, current n : 코일을 감은 수, # turns of coil

Ф : 자속, magnetic flux R : 저항, resistance

V_m : 기자력,

magnetomotive force V : 기전력(전압)

electromotive force

(5) Magnetic Circuit

Since magnetic flux Ф is a cross-section integral of magnetic flux density B,



 ΒdΑ

Φ

If B is the same within the cross-section A,

ΒΑ

Φ 

Ф is equivalent to in the electric circuit.

If i is the current, and j is then current density,

(if is constant)

i   jdA, i  jA j

(5) Magnetic Circuit

Electric vs Magnetic Circuits

Electric circuit Magnetic circuit

Electromotive force 기전력 V Magnetomotive force 기자력 V_m = ni

Current 전류 i (= jA) Magnetic flux 자속 Ф (= BA)

Current density 전류밀도 j Magnetic flux density 자속밀도 B

Resistance 저항 R Magnetic resistance 자기저항 R_m

Conductivity 전도도 σ Permeability 투자율 μ

Conductance 컨덕턴스 G Permeance 퍼미언스 P

(5) Magnetic Circuit

Electric circuit Magnetic circuit

A R l

  G R 1



μA R

 l

R

P 1



Ri

V  V

 R

Φ

H

B   ^H

magnetic field





 

^μ

: permeability in a free space μ : relative permeability

(5) Magnetic Circuit

저항은 전기회로에서 다음과 같이 나타낸다.



 σA

R dl

각 부분에서 전도율이 일정할 때, 도선의 길이를 l 이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A R l

 

이것을 자기회로에 대응시키면 자기회로에서 자기저항 R_m은 다음과 같이 나타낼수 있으며,

μA , R l

μA

R

  dl



여러 개의 저항이 회로 내에서 직렬로 연결되어 있으면 저항의 합은 다음 과 같이 나타낸다.





m

A

R l



(5) Magnetic Circuit

전기회로에서 기전력이 전류를 흐르게 하듯이 자기회로에서는 기자력이 자속을 흐르게 한다.

전기회로에서는 기전력 V 를 다음과 같이 정의한다.

V dl

E 



자기회로에서는 기자력 V

을 암페어의 회로법칙에 따라 다음과 같이 정의한다.

ni dl

H 



^회로법칙

V

ni dl

H  



(5) Magnetic Circuit

(a) 링 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)없음

식 (9)를 이용하면,

ni l

H ni

V dl

H 





 ^,

H l B

B ni l

H

 ni    

 , 

Fig.3

B. 자기회로의 계산

(5) Magnetic Circuit

ni Hdl

Hdl

yoke

 

 

ni l

H l

H





자속이 요크시료와 공극 이외에는 흐르지 않는다 고 가정하면,

m m m

m

A H A

Φ  B  

g g o g

g

A H A

Φ  B  

요크 내부의 자속 공극 내의 자속

(10)

Fig.4

(b) 요크 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)있음

식 (9)를 이용하면,

(5) Magnetic Circuit

m g g

m

A

A H H







여기서 A_m=A_g, 즉 전체를 통해서 단면적이 일정한 경우에는 다음과 같이 된다.

g r

m

H

H 

 1

식 (12)를 식 (10)에 넣으면,

l ni l l

H

g r g

g

  





 



 



1 1

(5) Magnetic Circuit

만약에 요크시료의 비투자율이 커서 μ_r >> 1 라면,

g g

g

g

l

μ ni , B

l

H  ni 

와 같이 근사할 수 있다.

이 모델은 fig. 5 와 같은 전자석의 회로에 적용할 수 있다.

Fig. 5

(14)

(5) Magnetic Circuit

Fig. 6

Fig. 6 은 ni와 H_g와의 관계를 실제로 측정한 것이다.

직선은 식 (14) 를 통해 예측 가능한 것으로 전자석의 다양한 공극에 대한 실례는 직선에 잘 맞고 있다.

자기장이 큰 곳에서 직선에서 빗나가 는 것은 시료가 포화하기 때문이다.

(5) Magnetic Circuit

(c) 요크 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)있음 – 시료가 포화할 때

Fig.4

시료가 포화자화하면 μ_r 이 작아져 식 (14) 의 근 사가 나빠지므로 식 (10) 을 이용하여,

ni l

H l

H





g m

g

ni H l l

H  (  )

g m

g

ni H l l

B  

(  )

(15) (10)

와 같이 된다.

(5) Magnetic Circuit

Example 1.

전자석의 공극 l_g=3cm에 대하여 B_g=2.0T에 대응하는 H_m을 읽어내면, H_m=2.4ⅹ10⁴A/m가 된다. 이 값을 식 (15) 에 대입하면 ,

  ^A

10 25

. 10 9

4

) 10 3

( 87 2

. 1 ) 10 4

. 2

(

2

4

 





 















g g m

l l B

H ni

Fig.7

(5) Magnetic Circuit

C. 공극의 영향

Fig. 4 에 나타낸 자기회로의 자기저항은 식 (7) 에 의해 다음과 같이 나타낼수 있다.

A l A

R

l



 ^



A l R l

app g

m



 

외관의 투자율을 μ_app(=μ₀μ_e),로 정의 하면

Fig.4 와 같이 나타낼 수 있다.

(5) Magnetic Circuit

식 (16), (17) 를 정리하면,







g app

g

l l

l

l   

g g g

app

l l

l l

l l

 

 









일반적으로 공극은 작기 때문에, l >>l_g, l/(l + l_g) ≈ 1, l_g /( l + l_g) ≈ l_g /l = k.

k

r e





   1

1

) 1

(

k

r

e

 

  

μ_e 는 실효비투자율이다.

(5) Magnetic Circuit

'' j

' ''

j

'

r

r

    

   ,  

와 같이 복소수로 표현하고 식 (18)에 대입하면 다음과 같고,

'' k j

' ''

j

'

e

 

    



1 1

'' k '

'' j '

'' '

'' j '

r r

r r

e e

e

e





 





2 2

2

2

 













μ_e′>> μ_e″, μ_r′>> μ_r″ 을 고려하면 다음과 같이 된다.

' k j ''

' '

j '' '

e

 





1

1













손실계수에 대한 공극의 영향을 살펴보자.

이를 유리화 하면 다음과 같이 된다.

(5) Magnetic Circuit

식 (21)에서 허수부는,

2

2

'

'' '

''

r r e

e







 _

실수부는,

' k

'

e



 



1 1

이 되고, 이것은 식 (18)과 같다.

(5) Magnetic Circuit

' ''

'

''

e

e

    

 )  , tan 

(tan

'

'

e

e







 ) tan

(tan 

'Q 'Q

e



 

) 1

( 'k

Q '

' Q

Q

 



  

(24)

(25) 이므로, 다음과 같이 되고,

역수를 취하면,

가 된다.

공극에 의해서, 비투자율은 μ_r′ 은 μ_e′로 작아지지만 Q가 Q_e로 커지므로 두 개의 곱 μ_r′Q 혹은 tanδ/μ_r′은 일정하다.

(5) Magnetic Circuit

dT d dT

d

r e

e









1

1 

dT d

r r





  ¹

공극에 의한 투자율의 온도 계수에의 영향을 나타내보자.

μ 는 온도 T의 함수이기 때문에 식 (18) 을 T로 미분하면,

는 항상 일정한 것을 알 수 있다. 그러므로 온도 특성을 나타낼 때에는

의 값을 이용한다.

(5) Magnetic Circuit

 ^k  ^{d d T}

T d d T

d

d

r r

r e

e













2 2

1 K. 1

T.   



 



 



 

 



 

T d d

r e





 ¹

K.

T.

그리고 온도계수 T.K. 는 정의에 의해 다음과 같이 주어진다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 도 있으며,

식 (29)는 식 (27) 에 μ_e² 을 곱한 것과 같다.

(5) Magnetic Circuit

D. 영구자석을 포함한 자기회로

Fig.5

지금까지 다뤄왔던 코일 대신에 영구자석을 넣었을 경우를 생각하면, i = 0 이기 때문에 , 식 (9)에 의해 다음과 같이 된다.

 ^{Hdl  0}

  0





^H

^{dl }

^H

^{dl }

^{Hdl }

^H

^{dl }

 0





 H l Δ H L l

H

그리고 각 부분으로 나누고,

공극의 크기를 l_g, 요크의 길이를 l, 영구자석의 길이 를 L로 하면 다음과 같이 된다.

(5) Magnetic Circuit

, L H f

l

H



Δ' f

l l

g r

 







 



  



1 1

L Δ' H

l l l

H

g r g

g

  





 



  

 1 1

여기서, 접착부분의 값은 잘 모르기 때문에 ∆ 로 두었다. 또한 영구자 석의 내부의 자계는 반자계 H_d뿐이고, 그 방향은 외부의 자계와 반대 니까 ‘-’ 기호를 붙였다. 이 식을 정리하면 다음과 같이 된다.

괄호안의 값은 1에 가깝지만, 부가항이 있으므로 f 로 두어 다음과 같 이 표현한다.

이 f 는 자기저항 계수로, 대부분 1.2~1.5 정도의 값을 갖는다.

(5) Magnetic Circuit

m d g

g

Α F Β Α

Β 

g m

g d

d

r

f A l

L FA H

p  B 



영구자석의 단면적 A_m으로부터 나오는 자속의 크기 Φ = B_d A_m 와 공극 에 흐르는 자속의 크기 Φ = B_g A_g 이다. 자속의 누설이 없으면 두 식의 값이 동일하지만, 일반적으로는 누설이 있으므로 다음과 같이 표현한

다. (32)

F 는 누설계수로써 자속의 누락이 없으면 1이지만, 누락이 심하면 10 정도의 큰 값을 가진다.

(33)

식 (33)은 식 (31)과 (32)의 비로서 퍼미언스 계수로 불리고 형상에 의해서 정해지는 양으로, 설계에 이용된다.

(5) Magnetic Circuit

Fig.6

Fig. 6 에서는 알-니코의 감자곡선과 p_r 의 값을 나타낸것이다. 영구자석 재료 의 종류에 의해서 감자곡선의 형태가 다르기 때문에 가장 유효한 p_r 의 값을 선택하는 것이 설계의 요령이다.

(5) Magnetic Circuit

Example 2.

공극이 있을때의 자속밀도 계산.

우선, 경험적인 값으로 해서 f=1.2, F=2.5로 가정한다. 이 값을 식 (33)에 넣으 면, 다음과 같이 된다.

Fig.6 Fig.7

(5) Magnetic Circuit

) 22 19

5 . 0 ( ) 10 7

. 19 ( 2 . 1

) 10 7

( ) 10 15

( 5 . 2

2 4

2 4

0

 













 





g m

g d

d

r

f A l

L FA H

p B



  ^T

57 . ) 0

10 15

( 5 . 2

) 10 7

. 19 ( 08 . 1

4

4









 



g m d

g

FA

Α Β Β

Fig. 6 에서 p_r=22에 대응하는 B_d, H_d는 다음과 같고,

 ^A/m 

10 9

. 3

, T 08 .

1  



d

H

Β

이것을 식 (32)에 대입하면 자속밀도를 구할 수 있다.

(5) Magnetic Circuit

Example 3.

영구자석 치수의 결정

전의 예제의 회로로, 공극의 자속밀도를 0.3T로 하기 위한 알-니코 5 자석의 적합치수를 구한다. 다만, A_g=2 ⅹ2 = 4[cm²]으로 한다.

전의 예제와 반대로, 자석의 치수가 미지의 경우이다. 가장 큰 B_d, H_d 를 얻을 수 있는 것은 fig. 6에 나타난 감자곡선의 제일 부푼 점으로 H_d = 4.4ⅹ10⁴A/m, B_d, = 1.0T 의 값을 가진다. 전제와 같이 f=1.2, F=2.5의 가정하에서 식 (31)에 의 해 자석의 길이는 다음과 같이 얻을 수 있다.

  ^m

10 27

. 10 3

4 . 4

10 5

3 . 2 0

.

1

3

0

 



 

 









g

l H f H L

(5) Magnetic Circuit

 

4 4

) 3 . 0 10 m 10

4 0 (

. 1

3 . 5 0

.

2   

 





d g

m

A

B F B A

또한 식 (32)를 이용하여 자석의 면적 A_m은 따라서 직경은 1.95cm ~ 2cm가 된 다. 그러므로, 길이 3.3cm, 직경 2cm의 원주형 자석을 집어 넣으면 좋다.

(5) Magnetic Circuit