 3. 기대 효용

제 4장 혼합전략 내쉬균형

2011년 2학기

충남대학교 경제학과 교수 노응원

목차

 1. 조사게임

 2. 혼합전략의 개념

 3. 기대 효용

 4. (혼합전략) 최적 대응

 5. 혼합전략 내쉬균형

 6. 혼합전략 내쉬균형 간편 계산법

 7. 혼합전략 내쉬균형 예

 1) 남녀대결 게임

 2) 투수-타자 게임

 3) 가위-바위-보 게임

 4) Liar’s Poker Game: Nature(운)의 도입

 5) 백화점 세일 게임

1. 조사게임

1) 스토리

근로자인 갑의 생산물의 가치는 성실히 일하면 150 원이지만 태만하면 0이다. 그의 노동의 비효용은 성 실할 경우 30원에 해당하나 태만할 경우 0이다.

사장인 을이 비용 20원을 들여 갑의 작업태도를 조사

하면 태만여부를 바로 알 수 있고, 태만하지 않을 경우

갑에게 100원의 임금을 지불하지만, 태만한 것으로 밝

혀지면 임금을 지급하지 않는다. 이 경우 ,

2) 전략형

을 갑

조사 비조사

태만 (0, -20) (100, -100)

성실 (70, 30) (70, 50)

순수전략 내쉬균형은 없다

^.

 순수전략 내쉬균형이 없는 게임에서는 다음

과 같은 “혼합전략”을 도입하여 분석하기도

한다.

2. 혼합전략

(1) 순수전략과 혼합전략

갑이 “s

=태만”을 선택할 확률을 “p

”, “s

=성실”을 선택할 확률을 “p

”

라 하자. 이 때 각 전략을 취할 확률을 모아놓은 벡터(또 는 확률분포)

σ

=( p

, p

)

를 갑의 혼합전략(mixed strategy)이라 한다.

그런데 p

+p

=1이므로, 경기자 1의 혼합전략은 σ

= ( p

, 1-p

)

으로 표현할 수도 있다.

(2) 예시

a) σ

=(0.5, 0.5)

b) σ

=(0.1, 0.9)

c) σ

=(1, 0) = 순수전략 “s

=태만”과 동일 d) σ

=(0, 1) = 순수전략 “s

=성실”과 동일

이처럼 이제 갑이 선택하는 것은 “태만과 성실”

에 대한 확률분포 σ

=( p

, p

)이다.

(3) 혼합전략 구현방법 (randomization)

 갑이 σ

=(0.75, 0.25)를 선택한다고 함은

아래와 같이 3:1로 구획한 원판을 돌린 후 화 살을 쏘아 붉은 영역에 맞으면

“태만”을 선택 ¼

3/4

(4) 혼합전략 집합

p₂ 1

Σ₁

0 1 p₁

경기자 1(갑)의 혼합전략 집합(Σ ₁ )

= { ( p ₁ , p ₂ ): 0≤p ₁ ≤1, 0≤p ₂ ≤1, p ₁ +p ₂ =1 }

(5) 을의 혼합전략

을이 “s ₂₁ =조사”을 선택할 확률을 “q ₁ ”, “s ₂₂ =비조사”을 선택할 확률을 “q ₂ ” 라 하면, 벡터(또는 확률분포)

σ ₂ =( q ₁ , q ₂ )

를 을의 혼합전략(mixed strategy)이라 한다.

q ₁ +q ₂ =1이므로, 경기자 1의 혼합전략은 σ ₂ = ( q ₁ , 1-q ₁ )

으로 표현할 수도 있다.

경기자 2(을)의 혼합전략 집합(Σ ₂ )

= { ( q ₁ , q ₂ ): 0≤q ₁ ≤1, 0≤q ₂ ≤1, q ₁ +q ₂ =1 } 도시

q₂

1 Σ₂

0 1 q₁

3. 기대 효용

1) 새로운 기준

갑은 자신의 두 혼합전략 σ

=(0.1, 0.9)와

σ

=(0.8, 0.2) 중 어느 것을 더 좋아할까? 이 둘 을 비교하는 기준은?

이러한 대상들(확률분포로 주어짐)을 평가하

는 방법으로서 “기대 효용”(expected utility) 개

념을 적용한다

2) 표기

 갑의 이득은 을의 혼합전략에도 의존하므로,

“갑이 σ

=(0.1, 0.9)를 택하고 을이 σ

=(0.6, 0.4) 를 선택할 경우의 갑의 기대효용” 등을 다루게 되며 다음과 같이 표기한다:

u

= u

(σ

, σ

) = u

((0.1, 0.9), (0.6, 0.4))

태만 성실 조사 비조사

 계산법은? 2가지

“갑-태만, 을-조사”시의 갑의 이득 “0”은 p₁ⅹq₁=0.1ⅹ0.6 = 0.06

의 확률로 발생. 나머지 100, 70 등의 이득도 마찬가지.

따라서, u₁((0.1, 0.9), (0.6, 0.4))

= p₁ⅹq₁ⅹ(0) + p₁ⅹq₂ⅹ(100) + p₂ⅹq₁ⅹ(70) + p₂ⅹq₂ⅹ(70) = 0.04ⅹ(100) + 0.54ⅹ(70) + 0.36ⅹ(70) = 67

을 갑

조사 q₁=0.6

비조사 q₂=0.4 태만

p₁=0.1

(0, -20)

p

ⅹ q

=0.06

(100, -100)

p

ⅹ q

= 0.04

p₂=0.9

(70, 30)

p

ⅹ q

=0.54

(70, 50)

p

ⅹ q

=0.36

3) 기대효용 계산법 1(예시)

4) 기대 효용 계산법 2: 예시

을 갑

조사 q₁=0.6

비조사 q₂=0.4 태만

p

=0.1

(0, -20) (100, -100)

성실 p₂=0.9

(70, 30) (70, 50)

a) 을의 전략이 σ ₂ =(0.6, 0.4)일 때, 갑의 “태만”

의 기대 효용:

u ₁ (태만, σ ₂ ) = q ₁ ⅹ (0) + (1-q ₁ )ⅹ(100)

=0.6ⅹ0 + 0.4ⅹ100 = 40

4) 기대 효용 계산법 2

을 갑

조사 q₁=0.6

비조사 q₂=0.4 태만

p₁=0.1

(0, -20) (100, -100)

성실

p

=0.9

(70, 30) (70, 50)

b) 을의 전략이 σ ₂ =(0.6, 0.4)일 때, 갑의 “성실”의 기대 효용:

u ₁ (성실, σ ₂ ) = q ₁ ⅹ (70) + (1-q ₁ )ⅹ(70)

=0.6ⅹ70 + 0.4ⅹ70 = 70

c) 위 a)는 p

=0.1의 확률로, b)는 1-p

=0.9의 확률로 취하 므로, 양자의 기대 효용은

u

((0.1, 0.9), σ

)

=0.1ⅹu

(태만, σ

) + 0.9ⅹu

(성실, σ

)

= 0.1ⅹ40+ 0.9ⅹ70 = 67

을 갑

조사 q₁

비조사 q₂ 태만

p₁

(0, -20) (100, -100)

성실 p₂

(70, 30) (70, 50)

5) 일반적인 기대효용 계산

(1) 갑의 기대효용

u ₁ = u ₁ (σ ₁ , σ ₂ ) = p ₁ ⅹ [ q ₁ ⅹ (0) + (1-q ₁ )ⅹ(100) ] +(1-p ₁ )ⅹ[ q ₁ ⅹ (70) + (1-q ₁ )ⅹ(70)]

=(30-100q ₁ )p ₁ + 70

을 갑

조사 q₁

비조사 q₂ 태만

p₁

(0, -20) (100, -100)

성실 p₂

(70, 30) (70, 50)

(2) 을의 기대효용

u ₂ = u ₂ (σ ₁ , σ ₂ ) = q ₁ ⅹ [ p ₁ ⅹ (-20) + (1-p ₁ )ⅹ(30) ] +(1-q ₁ )ⅹ[ p ₁ ⅹ (-100) + (1-p ₁ )ⅹ(50)]

=(100p ₁ -20)q ₁ + 50-150p ₁

4. (혼합전략) 최적 대응

(1) 갑의 기대효용

u

= u

(σ

, σ

) =(30-100q

)p

+ 70

주어진 을의 전략 σ

=(q

,1-q

)에 대해 이 기대효 용을 극대화하는 갑의 전략 σ

=(p

,1-p

)은?

그런데, 0≤p

≤1, 0≤q

≤1이므로, u

함수를 그냥

미분해서는 구하기 어렵다.

갑의 기대효용 그래프

u

= u

(σ

, σ

) =(30-100q

)p

+ 70

갑의 기대효용 그래프

u ₁ = u ₁ (σ ₁ , σ ₂ ) =(30-100q ₁ )p ₁ + 70

a) 0≤q₁<0.3일 때 갑의 기대효용 그래프

u₁

70

0≤p₁≤1

0 ^{선택가능범위} 1 p₁

∴ p₁=1일 때 갑의 기대효용이 극대화된다.

갑의 기대효용 그래프

u ₁ = u ₁ (σ ₁ , σ ₂ ) =(30-100q ₁ )p ₁ + 70

b) q₁=0.3일 때 갑의 기대효용그래프와 갑의 최적 대응

도출

u₁

70

0 1 p₁

∴ all p₁∈[0,1]에서 갑의 기대효용이 극대화된다

갑의 기대효용 그래프

u ₁ = u ₁ (σ ₁ , σ ₂ ) =(30-100q ₁ )p ₁ + 70

c) 1≥q₁>0.3일 때 갑의 기대효용 그래프와 갑의 최적 대응

도출

u₁

70

0 1 p₁

∴ p₁=0일 때 갑의 기대효용이 극대화된다

갑의 기대효용 그래프

u ₁ = u ₁ (σ ₁ , σ ₂ ) =(30-100q ₁ )p ₁ + 70

d) 종합: q₁별 u₁의 그래프와 갑의 최적 대응 도출

u₁

0≤q₁<0.3  p₁=1

70 q₁=0.3  all p₁∈[0,1]

1≥q₁>0.3  p₁=0

0 1 p₁

(2) 갑의 최적대응 도출

q₁별 u₁의 그래프와 갑의 최적 대응

u₁

0≤q₁<0.3  p₁=1

70 q₁=0.3  all p₁∈[0,1]

1≥q₁>0.3  p₁=0

0 1 p₁

갑의 최적대응

1, 0≤q₁<0.3일 때 p₁= [0,1], q₁=0.3 일 때

0, 0.3<q₁≤ 1일 때

q₁ 읽는 방향

1

0.3

0 1 p₁

(3) 을의 최적대응

을의 기대효용

u

= u

(σ

, σ

) =(100p

-20)q

+ 50-150p

을의 기대효용 그래프

u ₂ = u ₂ (σ ₁ , σ ₂ ) =(100p ₁ -20)q ₁ + 50-150p ₁

a) 1≥p₁>0.2일 때 을의 기대효용 그래프

u₂

20

0 0≤q₁≤1

50-150p₁ ^{선택가능범위} 1 q₁

∴ q₁=1일 때 갑의 기대효용이 극대화된다.

을의 기대효용 그래프

u ₂ = u ₂ (σ ₁ , σ ₂ ) =(100p ₁ -20)q ₁ + 50-150p ₁

b) p₁=0.2일 때 을의 기대효용 그래프

u₂

20

0 0≤q₁≤1

^{선택가능범위} 1 q₁

∴ all q₁∈[0,1]에서 을의 기대효용이 극대화된다.

을의 기대효용 그래프

u ₂ = u ₂ (σ ₁ , σ ₂ ) =(100p ₁ -20)q ₁ + 50-150p ₁

c) p₁<0.2일 때 을의 기대효용 그래프

u₂

20

0 0≤q₁≤1

^{선택가능범위} 1 q₁

∴ q₁=0일 때 을의 기대효용이 극대화된다.

p₁별 u₂의 그래프와 을의 최적 대응 도출

u₂

0.2≤p₁<1  q₁=1

20 p₁=0.2  all q₁∈[0,1]

0≤p₁<0.2  q₁=0 0 1 q₁

을의 기대효용 그래프

u ₂ = u ₂ (σ ₁ , σ ₂ ) =(100p ₁ -20)q ₁ + 50-150p ₁

을의 최적대응

0, 0≤p₁<0.2일 때 q₁= [0,1], p₁=0.2 일 때

1, 0.2<p₁≤ 1일 때

q₁ 읽는 방향

1

0.3

0 0.2 1 p₁

5. 혼합전략 내쉬균형

 갑과 을의 두 최적대응이 합치되는 전략 조 합

1, 0≤q₁<0.3일 때 BR₁=p₁= [0,1], q₁=0.3 일 때

0, 0.3<q₁≤ 1일 때

0, 0≤p₁<0.2일 때 BR₂=q₁= [0,1], p₁=0.2 일 때

1, 0.2<p₁≤ 1일 때

도시

두 최적대응의 합치점(혼합전략 내쉬균형)은 (p₁ =0.2, q₁=0.3) 또는

σ₁=( p₁, p₂) = (0.2, 0.8), σ₂=( q₁, q₂) = (0.3, 0.7) q₁

1

을(BR₂)

0.3 갑(BR₁)

0 0.2 1 p₁

6. 혼합전략 간편 계산법

혼합전략 내쉬균형 (p ₁ ^* , q ₁ ^* )=(x,y)가 존재한다면, 다음이 성립한다:

(1) q ₁ ^* =y값에서 갑의 최적대응은 모든 0≤p ₁ ≤1이

되므로 이에 속하는 자신의 두 순수전략(p ₁ =0과

p ₁ =1)도 최적대응이며 또한 무차별하다. 즉, 무차

별함은 성실(p ₁ =0)을 택하든 태만(p ₁ =1)을 택하든

기대 효용이 동일함을 의미한다.

(1)의 의미: 갑에게 p ₁ =0과 p ₁ =1의 무차별

1

q₁^*=y 갑(BR₁)

0 1 p₁

을의 전략이 σ ₂ ^* =(y, 1-y)일 때, 갑의 “성실”의 기대 효용:

u ₁ (성실, σ ₂ ^* ) = y (70) + (1-y)(70) =70 갑의 “태만”의 기대 효용:

u ₁ (태만, σ ₂ ^* ) = y(0) + (1-y)(100) = 100-100y 양자가 동일하려면

70= 100-100y

∴ y=q ₁ ^* = 0.3

<참고>

을의 전략이 σ ₂ ^* =(y, 1-y)일 때,

갑이 “성실”과 “태만” 간에 무차별할 조건은 갑의 혼 합전략 내쉬균형값(p ₁ ^* )을 결정하는 것이 아니라 을의 그것

y=q ₁ ^* = 0.3

을 결정함에 유의할 것.

혼합전략 내쉬균형 (p ₁ ^* , q ₁ ^* )=(x,y)가 존재한다면, 다음 역시 성립한다:

(2) p ₁ ^* =x값에서 을의 최적대응은 모든 0≤q ₁ ≤1이 되므로 이에 속하는 자신의 두 순수전략(q ₁ =0과 q ₁ =1)도 최적대응이며 또한 무차별하다. 즉, 무차 별함은 조사(q ₁ =1)을 택하든 비조사(q ₁ =0)을 택하

든 을의 기대 효용이 동일함을 의미한다.

(2)의 의미: 을에게 q ₁ =0과 q ₁ =1의 무차별

q₁

1

을(BR₂)

0 x 1 p₁

갑의 전략이 σ ₁ ^* =(x, 1-x)일 때, 을의 “조사”의 기대 효용:

u ₂ (σ ₁ ^* , 조사) = x(-20) + (1-x)(30)=30-50x 을의 “비조사”의 기대 효용:

u ₂ (σ ₁ ^* , 비조사) = x(-100) + (1-x)(50)=50-150x 양자가 동일하려면

30-50x= 50-150x  100x=20 ∴ x=p ₁ ^* = 0.2

7. 혼합전략 내쉬균형 예

1) 남녀 대결 게임의 내쉬균형

을 갑

영화 y

야구 1-y 영화 x (1, 2) (0, 0) 야구1-x (0, 0) (2, 1)

순수전략 내쉬균형은 2개 존재: (영화, 영화) 와 (야구, 야구)

^.

(1) 혼합전략 내쉬균형 간편 계산법

을 갑

영화 y

야구 1-y 영화 x (1, 2) (0, 0) 야구1-x (0, 0) (2, 1)

갑의 무차별 조건:

1y +0(1-y) = 0y+2(1-y)  y=2-2y  y=2/3

을 갑

영화 y

야구 1-y

영화 x

(1, 2) (0, 0)

야구1-x (0, 0) (2, 1)

을의 무차별 조건:

2x+0(1-x) = 0x+1(1-x)  2x=1-x  x=1/3

따라서, 혼합전략 내쉬균형 (p₁^*, q₁^*)=(1/3, 2/3) 여기서 각자의 기대효용은 2/3로서 동일함.

(2) 최적대응을 통한 내쉬균형 계산

 u ₁ (σ ₁ , σ ₂ )  u ₁ (x,y) = x[y]+(1-x)[(1-y)2]

=[y-2(1-y)]x+2(1-y) = (3y-2)x + 2(1-y)

0, 0≤y<2/3일 때 BR₁=x= [0,1], y=2/3 일 때

1, 2/3<y≤ 1일 때 y

x

 u ₂ (σ ₁ , σ ₂ )  u ₂ (x,y) = y[2x]+(1-y)[(1-x)]

=[2x-(1-x)]y+(1-x) = (3x-1)y + 2(1-y)

0, 0≤x<1/3일 때 BR₂=y= [0,1], x=1/3 일 때

1, 1/3<x≤ 1일 때 Y NE2

2/3 모든 내쉬균형이 모두 NE3 발견된다.

NE1

1/3 x

2) 투수-타자 게임

(1) 스토리

야구경기에서 2-스트라이크 3-볼 상태라 하자. 을(투수)은 직구나 변화구를 던지며 갑(타자)는 방망이를 일찍 또는 느리게 휘두르는 타격을 구사한다. 갑(타자)이 방망이를 일찍 휘두르면 직구일 경우 홈런을 쳐서 10점의 이득을 얻으나 변화구일 경우 놓쳐서 -5점을 얻는다. 대신, 느리 게 치면 직구는 놓쳐 -5점을 얻고 변화구는 안타를 쳐서 3 점을 얻는다고 하자. 이득은 갑의 이득과 반대부호를 갖 는 값이다(영합게임).(McCain의 『게임이론』, pp145-149)

(2) 전략형

을 갑

직구 y

변화구 1-y 일찍 x (10, -10) (-5, 5) 느리게

1-x

(-5, 5) (3, -3)

순수전략 내쉬균형은 없다!

(3) 혼합전략 내쉬균형

을 갑

직구 y

변화구 1-y 일찍 x (10, -10) (-5, 5) 느리게

1-x

(-5, 5) (3, -3)

갑의 무차별 조건:

10y -5(1-y) = -5y+3(1-y)  y=8/23

을 갑

직구 y

변화구 1-y 일찍 x (10, -10) (-5, 5) 느리게

1-x

(-5, 5) (3, -3)

을의 무차별 조건:

-10x +5(1-x) = 5x-3(1-x)  x=8/23

혼합전략 내쉬균형 (x,y) = (8/23, 8/23)

3) 가위-바위-보 게임

4) Liar’s Poker Game

(1) Simple Version 게임 규칙

(Gardner, Games for Business and Economics, Wiley, 1995, pp.74-78 참조)

① 두 경기자가 2개의 카드(Ace 1매, King 1매)로 게임 을 함. 각자 $1를 내놓는다.

② 경기 진행자가 두 카드를 잘 섞은 후, 경기자 1에게 만 1장을 엎어서 준다.

③ 경기자 1은 그 카드 앞면을 본 후, 그것이 Ace 또는 King이라고 경기자 2에게 공언(말)한다(물론, 거짓으 로 말할 수 있다).

④ 경기자 2는 그 말을 듣고서, Call(패를 요구함. 카드 앞면을 보고 확인함)하거나 Fold(접어넣음:포기)한다.

Diamond Ace card와 King card

카드 그림 출처: http://en.wikipedia.org/wiki/Playing_card

⑤ 승패 및 이득 결정

a) 높은 카드(여기서는 Ace card)를 갖고 있다고 허위로 공언했다 가 경기자 2의 call에 걸려 발각되면 패한다.(판돈은 승자 2가 갖게 됨: 결국 패자 1이 승자 2에게 $1를 주는 것과 동일).

b) 높은 카드(여기서는 Ace card)를 갖고 있다고 사실대로 공언했 다가 경기자 2의 call에 걸려 확인한 결과 사실로 드러나면, call 한 경기자 2가 패한다.

c) 높은 카드(여기서는 Ace card)를 갖고 있다고 사실대로 공언했 지만 경기자 2가 Fold하면, 경기자 1이 $1.5를 갖고 경기자 2는

$0.5를 갖는다(결국, 경기자 2가 1에게 $0.5를 줌)

d) 가장 낮은 카드(여기서는 King card)를 갖고 있다고 공언하면, 거짓말 할 사유가 없으므로 카드를 확인해볼 필요도 없이 게임 을 종료하며 서로 비긴 것으로 한다.(각자 $1씩 도로 가져감)

(2) 전개형

 게임의 출발점은 Nature(자연, 하늘) 또는 Chance(운)가 움직이는 것으로 표시함. 동 전을 던지듯 ½의 확률로 Ace or King Card를 준다.

 경기자 2는 경기자 1이 “Ace”라 공언할 때 실

제로 Ace를 갖고 있는지 “King”을 갖고 있는

지 알지 못하므로, r점과 s점은 하나의 정보

집합으로 묶인다.

(3) 전략형

1) 경기자 1의 전략집합

경기자 1의 정보집합은 x점과 y점의 2개이다. 그런데, x 점에서 행위전략은 “Ace라 말함”뿐이며, y점에서 행 위전략은 “Ace라 말함”과 “King이라 말함”의 2가지 이다. 따라서, 다음 2가지 전략을 갖는다:

① 카드가 Ace일 때 “Ace라 말하고” 카드가 King일 때 도 “Ace라 말함” (즉, 항상 “Ace"라 말함. 이를 AA로 표기하자.)

② 카드가 Ace일 때 “Ace라 말하고” 카드가 King일 때

“King이라 말함”(즉, 항상 진실대로 말함. 이를 AK로 표시하자.)

따라서, 경기자 1의 전략집합은 S₁ = { AA, AK }

(3) 전략형

2) 경지자 2의 전략집합

 경기자 2는 r점과 s점이 한 데 묶인 정보집합 1개를 갖고 있다. 따라서, 그의 전략집합은

 S

= { Call, Fold }

3) 전략조합별 기대보수 계산

u ₁ (AA,Call) = 0.5(1) + 0.5(-1) = 0

u ₂ (AA,Call) = 0.5(-1) + 0.5(1) = 0

 u ₁ (AK, Call) = 0.5(1) + 0.5(0) = 0.5

 u ₂ (AK, Call) = 0.5(-1) + 0 = -0.5

 u ₁ (AK, Fold) = 0.5(0.5) + 0 = 1/4

 u ₂ (AK, Fold) = 0.5(-0.5) + 0 = -1/4

을 갑

Call Y

Fold 1-y AA

x

(0, 0) (0.5, -0.5)

AK 1-x

(0.5, -0.5) (1/4, -1/4)

 순수전략 내쉬균형은 부재

 혼합전략 내쉬균형 x* = y* = 1/3

여기서, 경기자 1은 허위공언을 내포한 AA전

략을 1/3의 확률로 선택해야 한다.

5) 백화점 세일 게임

출처: “Everyday low prices” Game

(Gardner, Games for Business and Economics, Wiley, 1995, pp.81-84 참조)

(1) Background

1989년 봄 미국 백화점 Sears는 “매일 낮은 가격으로 모 십니다”라는 새로운 가격 정책을 표방하며 당시 경쟁자인 Wal-Mart나 K-Mart를 치고 나왔다. Sears는 이전에는 너 무 할인판매(sales)를 많이 하여 수입을 제대로 올릴 수 없 었다고 비판하며, 이 이후에는 이전의 할인가격만큼 낮지 는 않으나 여전히 낮은 가격으로 항상 판매한다는 정책을 내놓게 된 것이다. 그러나 이 정책으로 Sears의 매출은 더 욱 하락하여 결국 이 정책을 파기하지 않으면 안 되었다.

이 사건을 해명하려는 시도로 이 게임모형을 분석하게 되 었다.

당시 시장은 서너 개의 대형 소매백화점들이 경쟁하는 이질적 과점 시장으로 가격경쟁을 하고 있는 것으로 파악 된다.

(2) Story

a) 기업(i=1,2)의 전략:

정상가격(NP=$600) 과 할인가격(SP=$500).

단, 원가=$450 b) 고객 유형

uninformed buyer(무심한 고객: 100명): p ≦NP이면 방문한 첫 가게에서 구매함. 반씩 두 가게로 감.

informed buyer(꼼꼼한 고객: n=120명): SP에서만 구 매.

동일한 조건이면 고객은 1/2씩 두 가게로 나누어짐.

3) 전략형

2 1

NP y

SP 1-y NP

x

(7500, 7500) (7500, 8500)

SP 1-x

(8500, 7500) (5500, 5500)

4) 내쉬균형

a) 순수전략 NE:

NE1 = (NP1, SP2), NE2 = (SP1, NP2) b) 혼합전략 NE: (x* =2/3, y* = 2/3)

경기자 1의 기대이득 = (2/3) [ (2/3) 7500 + (1/3) 7500 ] +(1/3) [ (2/3) 8500 + (1/3) 5500 ] = 7500 경기자 2의 기대이득 = (2/3) [ (2/3) 7500 + (1/3)

7500 ] +(1/3) [ (2/3) 8500 + (1/3) 5500 ] = 7500.

NE1에서와 동일한 이득임.

5) 내쉬균형의 정련

대칭적인 혼합전략 NE.

6) 해석

이 혼합저략 내쉬균형은 “언제나 SP"할 것이 아

니라, 오직 1/3의 확률로만 SP를 내세울 것을 요구

한다. 한 기업이 1/3의 기간동안만 할인가격정책을

편다면, 그 기업은 다른 경쟁 기업에 대해 자신의

이득을 보장할 수 있다. 왜냐하면 그 기업의 할인판

매가 일종의 ”예상치 못한 반짝 행사(surprise)"처

럼 치러지기 때문이다.

 그런데, 이 내쉬균형이 요구하는 올바른 확률 로 할인판매함은 상술한 바와 같이 정상가격 판매시와 동일한 기대이득을 낳는다.

 할인판매는 “Liar's Poker Game"에서 "거짓행

세(bluffing)”와 비슷하다: 훌륭한 경기자는 가

끔 bluffing을 하지만 필요 이상으로 많이 하지

는 않는다. 혼합전략 내쉬균형은 이러한 “예

상치 못함(surprise)"이 얼마나 필요한가를 정

확히 말해준다.

 Sears의 실패는 이 균형이 요구하는 바와는

달리 ”언제나(즉, 확률 1로) 할인가격“을 내거

는 전략을 추구한 때문이다. 다시 말해서 ”예

상치 못함(surprise)"을 아주 없애버렸기 때문

에, Sears가 얻은 결과는 할인가격에서 간신

히 버는 저이윤이었다.