2. 확률과 우연
1) 확률의 개념
지금 당신의 주머니에서 동전을 꺼내
던졌다 가정합시다. 어떤 면이 나올까요?
앞면? 뒷면?
앞면이 나올 확률은 얼마일까요?
뒷면이 나올 확률은 또 얼마일까요?
정답 은 다음과 같습니다
잠깐 ! 실제로 동전을 던졌던 사람들
프랑스의 박물학자 Count Buffon (1707-1788)은 동전을 4040회 던졌 다.
그 결과, 앞면이 2048번이 나왔으며 그 비율은 2048/4040=0.5069 였다.
1900년경, 영국의 통계학자 Karl Pearson 24,000회를 초인적으로 던졌다.
그 결과, 12,012번 앞면이 나왔으며 그 비율은 0.5005였다.
1) 확률의 개념
즉, 우연의 성질은
작은 실행에서는 예측하기 어려우나
여러 번 반복 실행 하면
정규적이고 예측 가능한 패턴을 갖게 됩니다
이것이 확률의 기본 개념입니다
1) 확률의 개념
임의(random)현상 이란?
개체의 출현이 불명확함에도 불구하고
여러 번 반복 시행함으로써 나타난 결과들이 정규적인 분포를 보임
임의 현상의 어떤 결과에 대한 확률은 0과 1 사이의 수인데, 수학적 확률은
무한정 길게 연속된 시행에서 일어나는 것에 대한 추측을 근거로 한 이상화(idealization)
임의적으로 보이는 것은 무엇인가?
[실험]
① 동전을 6번 던진다
② 앞면은 ‘앞’로 뒷면은 ‘뒤’로 기록한다
③ 이 실험을 반복한다
[질문]
아래 결과들 중 어느 것이 더 자주 일어날 것 같습니까?
앞뒤앞뒤뒤앞 / 뒤뒤뒤앞앞앞
임의적으로 보이는 것은 무엇인가?
뒤뒤뒤앞앞앞
은 “임의적으로 보이지 않는다”는 이유로 사람들은 대부분앞뒤앞뒤뒤앞
가더 자주 나올 것 같다고 합니다.
하지만 실제로 일어날 가능성은 둘 다 같습니다.
뒤뒤뒤앞앞앞
이 유별나 보이긴 하지만무엇이 나왔었는지 동전은 기억력이 없기 때문에 임의적이라고 할 수 있습니다.
1) 확률의 개념
평균의 법칙이란 무엇인가?
동전을 던진다고 생각하면 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수가 같아야 한다는 것
물론, 10000번 정도 시행한다면 확률이 비슷해질 수 있지만 실생활에서는 평균의 법칙이 가능하지 않는 경우가 많다.
왜냐하면 동전이나 그 어떤 것에는 기억력이 없기 때문이다.
평균의 법칙을 믿는 경우,
ex) 동전을 여섯 번 던져 뒤뒤뒤뒤뒤뒤가 나왔다면, 다음 번 시행에서는 앞면이 반드시 많이 나올 것이다.
ex) 7명의 딸을 가진 부인이 임신을 했을 때 8번째는 반드시 아들이 나올 것이다.
1) 확률의 개념
앞에서 말한“얼마나 가능한가에 대한 개인적 판단”과
“많은 반복에서 일어난 결과”는 서로 다른 개념
그러므로 단 한번 시행에서 얻은 결과에 대한 믿음의 정도가 여러 번 시행에서 얻은 결과와 반드시 같아야 한다는 법은 없음
• 어떤 과정이 수없이 많이 즉 n회 반복되고 이에 따라 특성 E를 나타내는 사상이 m번 나타난다면 E가 일어날 상대도수는 E의 확률과 거의 동일
• 요약 표시 해보면 P(E)=m/n
확률의 정의
확률의 기본적 특성
확률변수
• 이산확률변수 : X가 셀수 있는 만큼 만의 가능한 값을 가짐
예) 학급당 학생수, 실험시행 횟수 등
• 연속확률변수 : X가 어떤 범위내의 모든 값을 취 할 수 있음
예) 키, 시간 등
확률분포
• 하나의 동전을 2번 던지는 시행에서 앞면이 나오 는 횟수를 x라 하자. 이때 x가 취할수 있는 값들 은 다음과 같다.
<동전을 2번 던질 때의 시행결과와 확률변수>
시행결과 대응되는 x값(확률변수) 확률 P(x)
HH 2 1/4
HT 1 1/4
TH 1 1/4
TT 0 1/4
이산확률분포
• 두개의 동전을 던져 앞면이 나오는 확률 변수 X 의 확률분포
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
1 2 3
f(x)
x
이산확률분포
• 확률변수 x가 취할 확률을 P(x)=f(x)로 나타내면 f(x)가 확률을 대표하게 되며 이 확률을 확률밀도 (probability density)라 한다.
• 확률변수값 하나하나에 특정한 확률을 대응시켜 주는 어떤 수식을 확률밀도함수(probability density function)라 한다.
