1. 확 률

- Contents -

1. 확 률

1.2. 확률(probability), 확률변수(random variable) 1.3. 조건부확률과 베이즈의 정리

1.4. 수학적 확률과 기하학적 확률

2. 확률분포

2.1. 확률분포함수

2.2. 기대값(expectation value), 분산(variation) 2.3. 쳬비셰프(Chebyshev)의 부등식과

3. 2변수확률분포

3.1. 결합확률분포함수(Combined distribution function) 3.2. 주변(한계)확률밀도함수(marginal p. d. f.)

3.3. 조건부 확률밀도함수(conditional p. d. f.) 3.4. 공분산(Covariance), 상관계수와 독립성

4. 확률분포의 예

4.1. 이항분포(Binomial distribution) 4.2. 포아송분포(Poisson distribution)

4.3. 초기하분포(Hypergeometric distribution) 4.4. 정규분포(Normal distribution)

4.5. 연속균등분포(Continuous Uniform distribution) 4.6. 지수분포(Exponential distribution)

5. 추정과 가설검정

5.2. 정규분포에 따르는 가설검정의 순서 5.3. 유의수준의 의미

Ⅰ.기출문제

1996년시행기출

확률변수 X의 확률밀도함수 f( x)가 f( x) =

{

일 때 k의 값을 결정하고, X의 기대값 E( X)를 구하여라.(5점)

1997년시행기출

평균이 m, 분산이 4인 정규분포를 따르는 모집단에서 n인 임의표본을 추출 하여 그 표본에서 얻은 평균을 X라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) n = 100, X = 10일 때, 신뢰도 95%로 m의 신뢰구간을 구하시오.(2점) (2) | X - m|≤ 1

2 인 확률이 95%이상이 되게 하려면 n의 크기를 얼마로 하 면 되는지 구하시오.(3점) [총 5점]

1998년시행기출

다음 조건을 만족하는 정수해 ( x, y, z)는 모두 몇 개인가?(4점)

{

1998년시행추가임용기출

인구가 10만인 도시에서 시정(市政)에 대한 여론을 조사하였더니 남자 성인의 80% 와 여자 성인의 90% 가 시정(市政)을 지지하였다. 이 도시에서 남자 성 인 400명과 여자 성인 400명을 임의로 뽑았을 때, 다음의 확률을 구하시오.

[총 5점]

(1)적어도 700명이 시정(市政)에 대하여 지지할 확률(3점)

(2)시정(市政)에 대한 지지자 중 여자가 남자보다 25명 더 많을 확률(2점)

1999년시행기출

어떤 반에서 방학 후 여행에 대한 설문조사를 하였다. 강원도를 다녀 온학생이 전체의 2

5 , 제주도를 다녀온 학생이 전체의 1

4 이었다. 강원도를 다녀오지 않 은 학생을 임의로 뽑았을 때, 이 학생이 제주도를 다녀오지 않았을 조건부확률 을 구하시오.(단, 강원도를 다녀 올 사건과 제주도를 다녀 올 사건은 서로 독립 이다.) (5점)

2000년시행기출

400명이 모집 정원인 공무원 임용 시험에 5, 000명이 응시하였다. 응시자 전 체의 성적분포는 100점 만점에 평균이 55점, 표준편차가 8점인 정규분포를 이루었다. 이 시험에서 모집정원의 120%를 1차 합격자로 선발하고자 할 때,

1차 합격자의 최저 점수를 구하시오.(4점) (단, P( 0 ≤ Z ≤ 1.3) = 0.4040)

2001년시행기출(결합확률분포, 공분산, 독립성)

동전 2개를 던질 때 앞면이 나오는 개수를 확률 변수 X라 하고, 확률변수 Y를

Y =

{

X의 확률분포 Y의 확률분포 X와 Y의 결합 확률분포

X P( X) 0

1 2

합 1

Y P( Y)

0

1

합 1

김 현 웅 전공수학

http://cafe.daum.net/hwmath

2006학년도 중등교원임용시험대비 문제풀이반

핵심내용정리(일반통계학) 구평회 임용고시학원 예비교사닷컴

구평회임용고시학원․서울(노량진) 02-812-5700․대구(동성로) 053-426-0078․부산(서면) 051-808-0565

X Y 0 1 합 0

1 2

합 1

(2) X와 Y의 공분산(covariance) σXY를 구하여라. (1점) (3) X와 Y의 독립성 여부를 판별하시오. (1점)

2002년시행기출(조건부 확률, 베이즈의 정리)

어떤 회사에서는 세 대의 기계 a, b, c 로 같은 종류의 빵을 만들고 있 다. 세 대의 기계는 각각 총생산량의 20%, 30%, 50% 를 생산하고 있 으며, 생산품의 불량률은 각각 0.5%, 1%, 2%이다. 생산된 빵을 임의 로 한 개 택하여 검사했을 때, 그것이 불량품이었다고 하자. 이 불량품 이 기계 a 또는 b 에서 생산되었을 확률을 구하시오. (5점)

2003년시행기출(조건부 확률, 베이즈의 정리)

2003 년도 전국학력평가에 응시한 수험생 중에서 자연계 수험생 64 명, 인문계 수험생 9 명을 임의로 선택하여 수리 영역의 점수를 조사하였다.

그 결과 자연계 수험생은 평균이 48 점, 표준편차가 5.6 점이었고, 인문 계 수험생은 평균이 42 점, 표준편차가 7.5 점이었다. 자연계와 인문계 에 응시한 수험생 전체의 수리 영역 점수가 각각 정규분포를 이룬다고 가정하고 두 집단의 평균점수를 추정하려 한다.

다음 물음에 답하시오. [총 5점]

(1) 아래의 표준정규분포표를 이용하여 자연계 수험생 전체의 수리 영역 평균점수를 신뢰도 95 % 의 신뢰구간으로 추정하시오. (2점)

표준정규분포표( P ( 0 ≦ Z ≦ z ) )

z .06 .06

1.6 1.7 1.8 1.9

.4505 .4599 .4678 .4744

.4515 .4608 .4686 .4750

(2) 아래의 t - 분포표를 이용하여 인문계 수험생 전체의 수리 영역 평 균점수를 신뢰도 95 % 의 신뢰구간으로 추정하시오. (3점)

t - 분포표( P ( t ≧ t_α) = α )

자유도 α 0.05 0.025

7 8 9 10

1.895 1.860 1.833 1.812

2.365 2.306 2.262 2.228

2004년시행기출 (확률밀도함수)

확률변수 X가 구간 [ 1, 5]에서 균등분포(uniform distribution)를 이 룰 때, X의 확률밀도함수, 평균, 분산을 각각 구하시오. [3점]

Ⅱ.내용정리

※괄호안에 적당한 말을 연필로 쓰고 아래의 해답을 확인하세요.

1. 확 률

1.1. 용어

정 의 1

(1)실험 : 측정절차 또는 결과에 대한 관찰

(2)표본공간 : 실험에 의한 관찰가능한 모든 결과(outcome)들의 집합 (3)사건 : 표본공간의 부분집합

(단, 엄밀하게는 확률가측인 부분집합을 사건이라 함) (4)근원사건 : 표본공간의 한 원소로 이루어진 사건

(5)배반사건 : 두 사건집합이 서로소 (A ∩ B = ∅)일 때 배반사건이라 한 다.

(6)여사건 : 사건집합의 여집합을 여사건이라 한다.

1.2. 확률(probability), 확률변수(random variable)

정 의 2

표본공간 S의 임의의 부분집합의 모임을 2^S라 할 때 P : 2^S → ℝ s.t. (ⅰ)(¹⁾ ) (ⅱ)(²⁾ )

(ⅲ) {A_i}( ⊂ P( S))는 서로소인 가산모임 ⇒ P( ∪^∞i = 1A_i) =(³⁾ )

⇔ P : S에서의 확률(probability)(혹은 확률함수(probability function))

NOTE

(1) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) - P(A ∩ B) (2) P( A^c) = 1 - P( A)

(3) A ⊂ B ⇒ P( A) ≤ P( B)

(4)확률함수는 전체 공간 S의 크기가 1인 측도(measure)이다.

1.3. 조건부확률과 베이즈의 정리

정 의 3

(1) Pr (B | A)≡(⁴⁾ )

: A 사건하에 B 사건이 발생할 조건부확률 (2) A, B : 독립사건 ⇔ P( A ∩ B) = Pr ( A)⋅ Pr (B) ⇔ P ( A | B) = P ( A)

⇔ P ( B | A) = P ( B)

정 리 1 베이즈(Bayes)의 정리

(1)표본공간 S가 n개의 사건 A_i 들로 분할될 때, (즉 ∪ⁿ_{i = 1}A_i= S, A_i∩ A_j= φ( ∀i /= j))

Pr (B) = ∑

n

i = 1Pr(B ∩ A_i)

=(⁵⁾ )

1) 0 ≤ P( A) 2) P( S) = 1 3) ∑

∞

i = 1P ( A_i) 4) Pr ( B ∩ A)

Pr ( A)

(2)표본공간 S의 사건 Ai로 부터 사건 B가 발생할 때, 사건 B가 발생한 후 그 원인이 A_i사건일 확률은

Pr ( A_i |B) =(⁶⁾ )

1.4 수학적 확률과 기하학적 확률

정 의 4

(1)표본공간의 각 근원사건이 일어날 확률이 같을 때,

Pr (A) =(⁷⁾ ) : A의 수학적 확률(혹은 선험적 확률) (2)표본공간 S의 사건 A가 기하학적 영역으로 나타날 때

Pr (A) =(⁸⁾ )(혹은 Vol( A)

Vol( S) , Length ( A) Length ( S) ) : A의 기하학적 확률

(3)실험을 n회 시행할 때 사건 A가 발생하는 회수를 m이라 할 때 Pr (A) =(⁹⁾ ) : A의 통계적 확률(혹은 경험적 확률) (4) 1회의 시행에서 사건 A가 발생할 확률( = Pr ( A))이 p로서 일정한 반 복시행에서 서로 독립이면 (즉, 베르누이 시행을 n회 반복할 때)사건 A 가 발생한 회수를 확률변수 X로 정의하면

Pr (X = m) =(¹⁰⁾ ) : 베르누이 시행의 확률

2. 확률분포

2.1. 확률분포함수

정 의 5

표본공간 S에 대하여

(1) X : 확률변수(random varable) ⇔ X : S → ℝ (2) X ≤ c ≡ {s∈S | X( s) ≤ c }( ⊂S),

(3) F(x) ≡ Pr (X ≤ x)

= Pr ( {s∈S | X( s) ≤ x }) : 누적분포함수(c.d.f) (4) 두 확률변수 X, Y : S → ℝ에 대하여

X, Y : 독립(혹은 독립확률변수)

⇔ Pr (X ≤ x, Y ≤ y) = P ( X ≤ x)⋅P ( Y ≤ y)( ∀x, y∈ℝ)

정 의 6

확률변수 X의 x ∈ℝ에 대하여

F : ℝ → [ 0, 1], F( x) = Pr ( X ≤ x) 를 X의 누적분포함수(cumulative probability function)라 한다.

NOTE

누적분포함수 F(x)는 단조증가함수이며 lim

x→∞F(x) = 1이다.

5) ∑ⁿ

i = 1Pr(B | A_i) Pr ( A_i) 6) Pr ( B |A_i) Pr (A_i)

∑ⁿ

k = 1Pr(B |A_k) Pr (A_k) 7) |A |

|S | 8) Area( A)

Area( S) 9) lim

n→∞

m n

10)

( )

정 의 7

(1)확률변수 X가 취하는 값이 이산일 때

f : ℤ → [ 0, 1], f( x) = Pr (X = x)를 이산확률변수 X의 확률밀도함 수라 한다.

이 때 f( x) ≥ 0, ∑

x ∈ X( S)f(x) = 1, Pr (A) = ∑

x∈X( A)f(x) (2)확률변수 X가 취하는 값이 연속일 때

누적분포함수의 도함수 f(x) = F '(x)를 연속확률변수 X의 확률밀도함수 라 한다.

이 때 f(x) ≥ 0, ⌠⌡_{X ( S )} f(x)dx = 1, Pr (A) = ⌠⌡_{X( A)}f(x)dx

2.2. 기대값(expectation value), 분산(variation)

정 의 8 (기댓값(평균))

(1)확률변수 X가 취하는 값이 이산이고 f(x)가 X의 확률밀도함수일 때 E(X) ≡ ∑

x∈X( S)x f( x) : X의 기대값 E(Y) ≡ ∑

x∈X( S)u( x) f( x) : Y = u( X)의 기대값

(2)확률변수 X가 취하는 값이 연속이고 f(x)가 X의 확률밀도함수일 때 E(X) ≡⌠⌡X( S)x f(x)dx : X의 기대값

E(Y) ≡⌠⌡_{X( S)}u(x)f(x)dx : Y = u( X)의 기대값 (3) m = E( X)일 때

Var(X) ≡E( (X-m)²) : X의 분산(Variance)

σ(X) ≡ Var(X) : X의 표준편차(Standard deviation)

정 리 2

두 확률변수 X, Y와 상수 a, b에 대하여

(1) E(X+Y) = E(X)+E(Y), E(aX) = aE(X) E( aX+b) = aE( X)+b

(2) Var(aX+b) = a²Var(X)

Var(X) = E( X²) - m² (단 m = E( X))

2.3. 쳬비셰프(Chebyshev)의 부등식과

대수(large number)의 법칙

정 리 3

(1)확률변수 X, u : ℝ → ℝ⁺, c ≥ 0에 대하여 E(u( X)) ≥ c Pr ( u( X) ≥ c) (2)체비셰프의 부등식

확률변수 X의 평균과 분산 m, σ², k ≥ 0에 대하여 Pr ( |X - m | ≥ k σ) ≤ 1

k² 혹은 Pr (|X-m | ≤ k σ) ≥ 1 - 1 k² (3)대수의 법칙

성공확률이 p인 베르누이시행을 n회 시행하여 성공한 회수를 X라 하면 X는 이항분포 B( n, p)에 따르는 확률변수이다.

이 때 상수 c > 0에 대하여

n→∞limPr

( |

|

)

( |

|

)

3. 2변수확률분포

3.1. 결합확률분포함수

정 의 9

표본공간 S와 두 확률변수 X, Y : S → ℝ에 대하여 (1) 순서쌍 ( X, Y)을 2차원확률변수라 하고

(2) F : ℝ×ℝ → [ 0, 1], F(x, y) = Pr ( X ≤ x, Y ≤ y)를 ( X , Y) 의 결합누적분포함수라 한다.

정 의 10

(1)두 확률변수 X, Y가 이산형일 때

f : ℤ×ℤ → [ 0, 1], f( x, y) = Pr ( X = x, Y = y) 를 확률변수 ( X,Y)의 결합확률밀도함수라 한다.

(2)두 확률변수 X, Y가 연속형일 때

확률변수 ( X, Y)와 누적분포함수 F에 대하여 f( x, y) = ∂²F(x, y)

∂x ∂y

를 2차원 확률변수 ( X,Y)의 결합확률밀도함수라 한다.

NOTE

위의 (1)의 경우, f(x, y) ≥ 0, ∑

X( S) ∑

Y( S)f(x, y) = 1, Pr (A) = ∑

( x, y ) ∈ ( X ×Y)( A)f(x, y) : 사건 A의 확률, E( g( X, Y)) =∑

x∑

y g( x, y) f( x, y) : g의 기대값 위의 (2)의 경우, f(x, y) ≥ 0, ⌠⌡⌠

⌡( X ×Y )( S)f(x, y)dx dy = 1 Pr (A) = ⌠⌡⌠

⌡( X ×Y)( A)f(x, y)dxdy : 사건 A의 확률, E( g( X, Y)) = ⌠⌡⌠

⌡_Sg(x, y)f( x, y)dxdy : g의 기대값

3.2. 주변(한계)확률밀도함수(marginal p. d. f.)

정 의 11

(1)두 확률변수 X, Y가 이산형일 때

2차원확률변수 ( X, Y)의 결합확률밀도함수 f( x, y)에 대하여 f₁(x) =(¹¹⁾ )

f₂(y) =(¹²⁾ )

는 각각 확률변수 X, Y의 확률밀도함수가 되며 이를 주변확률밀도함수라 한다.

(2)두 확률변수 X, Y가 연속형일 때

2차원확률변수 ( X,Y)의 결합확률밀도함수 f( x,y)에 대하여 f₁(x ) =(¹³⁾ ) f2(y) =(¹⁴⁾ )

는 각각 확률변수 X, Y의 확률밀도함수가 되며 이를 주변확률밀도함수라 한다.

11) ∑

y∈Y( S)f(x, y) 12) ∑

x∈X ( S)f(x, y) 13) ⌠⌡_{Y ( S )}f(x, y)dy 14) ⌠

⌡_{X ( S )}f(x, y)dx

3.3. 조건부 확률밀도함수(conditional p. d. f.)

정 의 12

두 확률변수 X, Y에 대하여

(1) f( x | Y = y)(혹은 f( x | y)≡(¹⁵⁾ )

: Y = y 조건하의 확률변수 X의 조건확률밀도함수

(2) Pr (a ≤ X ≤ b | Y = y) ≡

{

⌠⌡

b

af(x | Y = y)dx, X : 연속형 : Y = y 조건하의 확률변수 X의 조건부확률

(3) E( X | Y = y) ≡

{

⌠⌡X ( S )x f( x | Y = y)dx, X : 연속형 : Y = y 조건하의 확률변수 X의 조건부기대값

3.4. 공분산(Covariance), 상관계수와 독립성

정 의 13

2차원 확률변수 ( X,Y), m_X= E( X), m_Y= E( Y)에 대하여 (1) Cov(X, Y) ≡E( ( X-mX)( Y - m_Y))

=(¹⁶⁾ ) : ( X,Y)의 공분산

(2) ρ_XY≡ (¹⁷⁾ ) : (X,Y)의 상관계수

정 리 4

2차원 확률변수 ( X,Y)에 대하여

(1) ( X , Y) : 서로 독립 ⇔ f( x, y) =(¹⁸⁾ ) (단 f( x, y) : 결합확률밀도함수, f1(x), f₂(y) : 주변확률밀도함수) (2) 2차원 확률변수 ( X,Y)가 서로독립일 때

(ⅰ) 주변 확률밀도함수 =(¹⁹⁾ ) 확률밀도함수 (즉 f1(x) = f( x | Y = y), f₂(y) = f( y | X = x)) (ⅱ) E( XY) =(²⁰⁾ )

(ⅲ) Cov( X, Y) = ρ XY= (²¹⁾ )

4. 확률분포의 예

4.1. 이항분포(Binomial distribution)

정 의 14

확률밀도함수 f( x) =(²²⁾ )에 따르는 이산확률분포를 이항 분포라 한다.

이 때, 확률변수 X가 취할 수 있는 값은 X = 0, 1, 2, …, n이고 X ∼ B( n, p)

15) f( x, y) f₂(y)

16) E( XY) - E( X)E( Y) 17) Cov( X, Y)

σ( X) σ( Y) 18) f1(x) f₂(y) 19) 조건

20) E( X)E( Y) 21) 0

22)

( )

정 리 5

X ∼ B( n, p) 일 때

E( X) = np, Var( X) = np( 1 - p)

4.2. 포아송분포(Poisson distribution)

정 의 15

확률밀도함수 f( x) =(²³⁾ )에 따르는 이산확률분포를 포아송분포 라 한다. 이 때 확률변수 X가 취할 수 있는 값은 X =0, 1, 2, 3, …이다.

확률변수 X가 포아송분포에 따를 때 X ∼ P( m)로 쓴다.

정 리 6 (평균과 분산)

X ∼ P( m)일 때, E( X) =(²⁴⁾ ), Var( X) =(²⁵⁾ )

NOTE

(1) 이항분포는 독립시행의 확률분포이다. 즉, 베르누이시행의 확률변수들 을 합한 확률변수의 분포이다. 이항분포 B( n,p)은 np = m이 일정한 조건 에서 n → ∞이면 포아송분포 P(m)에 근사한다.

(2) 단위 시간 혹은 단위영역에서 성공의 출현회수 X를 확률변수라 하면 X는 포아송분포를 따른다.예를 들어 주어진 시간대에 걸려 오는 전화의 수, 어떤 지역에서의 1일 교통사고 건수, 인쇄된 책자의 페이지당 오자의 수 등.

4.3. 초기하분포(Hypergeometric distribution)

정 의 16

확률밀도함수 f( x) =(²⁶⁾ )에 따르는 이산확률분포를 초기하분포라 한다. 이 때, 확률변수 X가 취할 수 있는 값은 X

= 0, 1, …, min ( n , M)이다. 확률변수 X가 초기하분포에 따를 때 X ∼ H( N, n, M)로 쓴다

정 리 7

X ∼ H(N, n, M)일 때 E( X) = nM

N , Var( X) = N - n

N - 1 M

N

(

)

NOTE

표본의 비복원추출모형에 관한 확률분포이다.

모집단이 충분히 크면( N → ∞) 초기하분포 H( N, n, M)는 이항분포 B

(

)

23) e^{- m}m^x x!

24) m 25) m

26)

( )

(

) ( )

4.4. 정규분포(Normal distribution)

정 의 17

확률밀도함수 f( x) = 1

σ 2π exp

(

)

확률변수 X가 정규분포에 따를 때 X∼N(m, σ²)라 쓴다.

정 리 8

X∼N( m, σ²) 일 때 E( X) = m, Var(X)= σ²

정 리 9 (중심극한정리)

표본크기 n이 증가함에 따라 표본평균의 분포는 모집단의 분포에 관계없이 정규분포에 접근한다. 따라서, 중심극한정리에 의하여 정규분포는 표본평균 의 근사 확률분포이다.

4.5. 연속균등분포(Continuous Uniform distribution)

정 의 18

확률밀도함수 f( x) =

{

0 , 그렇지 않으면 에 따르는 연속확률 분포를 균등분포라 한다.

확률변수 X가 균등분포에 따를 때 X ∼ U( a, b)라 쓴다.

정 리 10

확률변수 X ∼ U( a, b)일 때 E( X) =(²⁷⁾ ) Var( X) =(²⁸⁾ )

NOTE

임의의 연속확률분포에 따르는 확률변수 X의 c,d,f가 F(x)일 때, 새로운 확률변수 U = F( X)의 확률분포는 균등분포 U(0, 1)에 따른다.

4.6. 지수분포(Exponential distribution)

정 의 19

확률밀도함수 f( x) =

{

정 리 11

확률변수 X ∼ E( λ)일 때 E( X) =(²⁹⁾ ) Var( X) =(³⁰⁾ )

27) a + b 2 28) ( b - a)²

12 29) 1

λ 30) 1

λ²

NOTE

지수분포의 인수 λ는 ‘단위시간내의 사건의 발생수’를 뜻하며 지수분포에 따르는 확률변수는 하나의 사건이 발생하기까지의 대기시간을 나타낸다.

5. 추정과 가설검정

5.1. 구간추정

정 리 12 (모평균의 구간추정)

모집단의 분포가 정규분포이고 모분산을 알거나 표본의 크기가 큰 경우에 는 표본평균의 분포는 정규분포에 따른다고 간주하여 다음과 같이 모 평균

μ를 구간추정할 수 있다.

(1) 모집단의 분포가 정규분포이고 모분산 σ²을 아는 경우,

100( 1 - α)% 신뢰수준에서 표본의 크기가 n, 표본평균이 X일 때 (³¹⁾ ) ≤ μ ≤ (³²⁾ )

1 -α = Pr ( - z ≤ Z ≤ z) (2) 표본의 크기가 충분히 큰 경우,

100( 1 - α)% 신뢰수준에서 표본의 크기가 n, 표본평균이 X, 표본분산 이 S²일 때

(³³⁾ ) ≤ μ ≤ (³⁴⁾ ) 1 - α = Pr ( - z ≤ Z ≤ z)

정 리 13 (모비율의 구간추정)

(1)모비율이 p인 모집단에서 크기 n인 표본의 표본비율 p의 분포는 n이 충분히 클 때 정규분포에 근사하게 되므로 정규분포에 따라 모비율을 구간 추정할 수 있다.

100( 1 -α)% 신뢰수준에서 표본의 크기가 n, 표본비율이 p일 때 (³⁵⁾ ) ≤ p ≤ (³⁶⁾ )

1 -α = Pr ( - z ≤ Z ≤ z) (2) 신뢰구간 : 95%일 때 z =1.96, 99%일 때 z =2.58 (3) 표본크기의 결정

100( 1 - α)% 신뢰수준에서 오차의 허용한계를 e, 표준편차를 σ라 하면, 조사할 표본의 크기는 n =(³⁷⁾ )이다.

1 -α = Pr ( - z ≤ Z ≤ z) , 100( 1 -α)%신뢰수준에서 비율문제의 경우 n =(³⁸⁾ )이다.

31) X - z σ n 32) X + z σ

n 33) X - z S

n 34) X + z S

n

35) p - z p( 1 - p) n 36) p + z p( 1 - p)

n 37) z²σ²

e²

38) z²p( 1 - p ) e²

5.2. 정규분포에 따르는 가설검정의 순서

(1)가설(귀무가설 H₀, 대립가설 H₁)의 설정 문제의 성격에 따라

H₀: m = m₀, H1 : m /= m₀ H₀: m₀≤ m, H₁ : m < m₀

H₀: m ≤ m₀, H1 : m0< m 의 가설을 세운다.

(2)유의수준과 임계값의 결정

⋅가설이 H₀: m = m₀일 때

유의수준이 100α %이면 임계값은 1-α = Pr ( - z ≤ Z ≤ z)을 만족 하 는 z가 된다.

⋅가설이 H₀: m₀≤ m일 때

유의수준이 100α %이면 임계값은 1 -α = Pr ( - z ≤ Z)을 만족하는 z 가 된다.

⋅가설이 H₀: m ≤ m₀일 때

유의수준이 100α %이면 임계값은 1 -α = Pr (Z ≤ z)을 만족하는 z가 된다.

(3)귀무가설 (H0)의 채택영역의 결정

⋅가설이 H₀: m = m₀일 때 채택영역은 (³⁹⁾ )가 된다.

⋅가설이 H₀: m₀≤ m일 때 채택영역은 (⁴⁰⁾ )가 된다.

⋅가설이 H₀: m ≤ m₀일 때 채택영역은 (⁴¹⁾ )가 된다.

(4)통계량의 계산

⋅모평균의 가설검정인 경우 Z =(⁴²⁾ )

⋅모비율이 가설검정인 경우 Z =(⁴³⁾ ) (5)비교결정

계산된 통계량 Z의 값이 채택영역내에 있으면 귀무가설을 채택하고 그렇 지 않으면 귀무가설을 기각한다.

5.3. 유의수준의 의미

가설검정에서 유의수준 α란 가설검정의 제 1종 오류, 즉, 귀무가설 H0가 참일 때 H0를 기각할 확률의 최대값이다. 다시말해서 Pr(H0기각 |H0참)

≤ α이다. 특히, 귀무가설 H₀가 거짓일 때, H₀를 기각할 확률을 검정력 (power) 이라 한다.

39) -z ≤ Z ≤ z 40) -z ≤ Z 41) Z ≤ z 42) X - m₀

σ/ n 43) p - p₀

p₀(1- p₀) n