평면의 방정식

평면의 방정식

< a, b, c > ∙ < x – x₀, y - y₀, z - z₀ > = 0

점 P₀(x₀, y₀, z₀)을 지나고, 벡터 n = < a, b, c >에 수직인 평면

n = < a , b, c >

r = <x, y, z>, r₀ = <x₀, y₀, z₀> ,

 

  ₀ 0

n r r

n r n r

평면의 벡터방정식 (vector equation of the plane)

공간에서 평면은 평면 안의 한 점 P₀(x₀, y₀, z₀)과 이 평면에 수직인 벡터 n으로 결정.

 

ax by cz d d   ,   ax₀ by₀ cz₀

평면의 스칼라방정식 (scalar equation of the plane) x, y, z 에 관한 선형방정식(linear equation)이라 한다.

a(x – x₀ ) + b(y - y₀) + c(z - z₀)= 0

< a, b, c > ∙ < x – x₀, y - y₀, z - z₀ > = 0

n = < a , b, c >을 평면의 법선벡터(normal vector)

2

점 (2, 4, -1)을 지나고 법선벡터가 n = < 2, 3, 4 >인 평면의 방정식을 구하라.

예제

점 P(1, 3, 2), Q(3, -1, 6), R(5, 2, 0)을 지나는 평면의 방정식을 구하라.

예제

4

두 평면 사이의 각

법선벡터가 평행일 때 두 평면은 평행이다

두 평면이 평행이 아니면 한 직선에서 만나고, 두 평면 사이의 각은 법선벡터 사이의 예각으로 정의된다.

두 벡터 a 와 b 사이의 각을 q 라 하면

 a b

cos

q

a b a b cos _{ } q

(a) 평면 x + y + z = 1 과 x -2y + 3z = 1 사이의 각을 구하라.

(b) 이 두 평면의 교선 L의 대칭방정식을 구하라.

예제

6

점 P₁ (x₁, y₁, z₁)에서 평면 ax + by + cz + d = 0 까지의 거리 D

P₀ (x₀, y₀, z₀)

b = <x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀ >

거리 D는 법선벡터 n = < a, b, c> 위로 b의 스칼라 사영의 절댓값 a x x b y y c z z

D a b c

ax by cz ax by cz

    

   

 

    

1 0 1 0 1 0

2 2 2

( ) ( ) ( )

comp

( ) ( )

n

b n b n

a 위로 b의 스칼라 사영

 

a

b a b comp a

평행인 두 평면 10x + 2y - 2z = 5 와 5x + y -z = 1 사이의 거리를 구하라.

예제

10x + 2y - 2z = 5

(1/2, 0, 0)

5x + y -z = 1

8

꼬인 위치의 직선

L₁ : x = 1 + t, y = -2 + 3t, z = 4 – t , L₂ : x = 2s, y = 3 + s, z = -3 + 4s 사이의 거리를 구하라.

예제