1.
1) 와 에 접하는 원의 반지름의 길이 는?[1999년 경찰대]
2.
2) 두 점 에 대하여 선분 를 으 로 내분한 점이 제 사분면에 위치할 때,
의 범위는?
[2000년 경찰대]
3.
3)
가 다음 도형의 어두운 부분을 이등분할 때, 의 값은? (단, 은 서로소인 자연수)
[2001년 경찰대]
4.
4 ) 두 집합 ≦
≧ ≦ 에 대하여 ∪의 넓이를 구하면?
[2001년 경찰대]
5.
5 ) 점 가 원 위를 움직일 때, 점 와 직선 의 최대거리는?[2001년 경찰대]
6.
6 ) 에 대하여 ∠ 를 이등분하는 선분에 대하여 점의 좌표는?[2002년 경찰대]
단원 : 수Ⅰ-도형의 방정식
7.
7) 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원과 두 직선
,
와의 제 1사분면 위에서의 교점을 각각 P, Q라 하자. 이 때, 점P를 중심으로 하고 반지름의 길 이가 인 원과 점Q를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 을 그렸을 때, 점P와 점Q를 중심으로 하는 두 원의 교점을 지 나는 직선의 방정식을 구하면?
[4점][2002년 사관학교]
Q
P
① ② ③
④ ⑤
8.
8) 월드컵 조직위원회에서는 통역이 가 능한 남녀 자원봉사자들을 와 두 종류의 조로 편성하여 축구 경기장 주 변의 각 안내소에 한 조씩을 배치하려 고 한다. 한 조를 편성하는 데 필요한 남자와 자의 수가 각각 오른쪽 표와같고, 조직위원회에서 확보할 수 있는 통역이 가능한 남자 자원 봉사자는 최대 명이고, 여자 자원봉사자는 최대 명이다.
이 경우에 조직위원회에서 편성할 수 있는 조의 개수의 최댓값 을 구하시오.
[4점][2002년 사관학교]
9.
9 ) 두 다항식 에 대하여 와 가 모두 로 나누어 떨어진다.
ㄱ. 와 중 하나는 로 나누어 떨어지고, 다른 하나는 로 나누어 떨어지지 않는다.
ㄴ. 는 으로 나누어 떨어진다.
ㄷ. 는 로 나누어 떨어진다.
위의 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2003년 사관학교]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
10.
10)가로, 세로의 길이가 각각 인 직사각형 모양인 당구대의 모퉁이에서 변과 〫의 각도로 당구공을 칠 때, 처음으로 어느 모퉁이에 도달할 때까지 당구공이 움직인 거리는? (단, 당구공 이 변과 부딪쳐 튕겨 나갈 때, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) [4점][2003년 사관학교]입사각 반사각
°
① ② ③ ④ ⑤
성별
조 남자 여자
4 명 3 명
3 명 5 명
11.
11) 모눈종이 위의 한 점 을 접었더니 와 일치하였 다. 같은 방법으로 접을 때 이 대응되는 점의 좌표는?[2003년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
12.
12) 원 밖의 한 점 에서 원 에 그은 두 접선이 수직일 때, 반지름의 길이는?[2003년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
13.
13) 좌표평면 위의 두 점 와 가 있다. 점 가 축 위를 움직일 때,
의 최댓값을 구하시오.[4점][2003년 사관학교]
14.
주어진 두 점 에 대하여 인∆의 최대넓이는?14)
[2004년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
15.
15) 좌표평면 위에 두 정점 P Q 가 있다. 길이가인 선분RS가 반직선 ≧ 위에서 움직일 때, 사각형PQRS의 둘레의 길이의 최솟값은?
[4점][2004년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
16.
16) 아래 그림과 같이 직선이 삼각형ABC의 두 변 AB, AC 와 각각 D F에서 만나고, 변BC의 연장선과 직선이 점E에 서 만난다.
이 때,
가
AD
⋅CE
BE
⋅AF
CF
임을 보이는 다음의 [증명]과정에 서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
[3점][2004년 사관학교]
[증 명]
점A B C에서 직선에 내린 수선의 발을 각각 L M N 이라고 하자.
나 ∝∆
∆∝∆
∆∝∆
이므로
가
,
다 ,
이고, 이를 정리하면
가
AD
⋅CE
BE
⋅AF
CF
을 얻을 수 있다.
① BM △CEN BE ② BM △CEN BM
③ BD △ADL BM ④ BD △ADL BE
⑤ CN △CEN BE
17.
17) 철수가 자기집 정원을 완전하게 소독하려면 세 가지 화합물가 각각 ㎎ ㎎ ㎎이 최소한 필요하다. 의 화합물이 각각 ㎎ ㎎ ㎎이 혼합된 제품은 한 병에 만 원이고, ㎎ ㎎ ㎎이 혼합된 제품은 한 병에 만원이라면, 두 제품을 이용하여 정원을 완전하게 소독하는데 드는 최소비용 은 만원이다. 이 때, 안의 알맞은 값을 구하시 오.
[4점][2004년 사관학교]
18.
집합 ≦ ≦ ≧ ≧ 와 집합 (단, ⋯) 에 대하여∩≠ ∅인 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합은? 18)
[2006년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
19.
좌표평면 위의 원점에서 반직선 와 반직선 가 이 루는 각은 ∠ 이다. 두 반직선 사이에서 두 반직선에 접하고 넓이가 인 원의 중심을 이라 하고, 반직선의 방향을 축의 양의 방향으로 하자. 원 이 반직선 와 접하는 점의 좌표를 , 원 이 반직선 와 접하는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값은? 19)
[2006년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
20.
한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 종이ABCD에서 점 A가 변 CD위에 오도록 한번 접는다. 이 때, 점 A와 점 B가 옮겨진 점을 각각 점 E와 점 F, 접히는 선을 선분 GH라고 한다. 사다리꼴 EHGF의 넓이의 최솟값은? 20)[2007년 경찰대]
⇨
A B
D C
A B
D E C
F G H
①
②
③
④
⑤
21.
두 점 A B를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위에∠CAB ° ∠DAB ° 인 두 점 C D 가 있다.
∆CAD의 넓이
∆CBD의 넓이
의 값은? (단, C D는 지름AB에 대하여 서로 맞은편에 있다.) 21)
[2007년 경찰대]
A B
C
D
① ② ③ ④ ⑤
22.
세 점 O A B 가 꼭짓점인 삼각형 OAB의 넓이를 직선 가 이등분할 때, 상수 의 값은? 22 )[2007년 경찰대]
①
②
③ ④
⑤
23.
씨는 오른쪽 그림과 같이 한 변 의 길이가 씨의 걸음으로 보인 정사각형 모양의 분수 광장을 쪽으 로 들어가 쪽으로 나오는 길로 매 일 출근을 한다. 분수대를 비켜 광장 을 통과하는 사이의 최단거리 는 씨의 걸음으로 약 몇 보인가?(단, 분수대는 원 모양이고 그 중심
은 광장의 두 대각선의 교점과 일치하며 반지름의 길이는 씨 의 걸음으로 약 보[ 보]이다.) 23)
[2006년 경찰대]
① 약
보② 약
보③ 약
보④ 약 보
⑤ 약 보
24.
세 점 O A B 가 꼭짓점인 삼각형OAB의 외심이 C 일 때, 의 값은? 2 4)[2008년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
25.
다음은 중국 남송시대 진구소의 책 <수서구장(數書九章)>측망류에 있는 문제 요도원성(遙度圓城)이다.
둥근 성이 있는데, 그 둘레와 지름을 알지 못한다. 네 문 가 운데 북문 밖으로 3리 되는 곳에 높이 솟은 나무가 있다.
남문을 나오자마자 방향을 꺾 어 동쪽으로 9리를 가면 그 나무가 보인다. 성의 둘레와 지름이 각각 얼마인지 알고자 한다.
위의 문제 상황을 오른쪽 그림과 같이 성을 원, 북문을 N, 나무를 T, 남문을 S, 나무가 보이는 위 치를 P, N과 T 사이의 거리를
, S와 P 사이의 거리를
로 나타내자. 이때, 성의 지 름 NS를 구하는 올바른 방 정식은? 25)
[2009년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
26.
오른쪽 그림과 같이 점 B 가 제1사분면에 있는 사분 원 위에서 움직 일 때, 삼각형 OAB의 무게 중심이 움직여서 그리는 도 형의 길이는? 2 6)[2009년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
27.
두 원 과 이 있다. (단, ) 다음 조건에 따라 위의 점 P를 차례로 잡자. ⋯[2009년 경찰대]
(i) P P
(ii) 점 P 은 점 P에서 에 그은 접선이 와 만나는 점이다.
(iii) 선분 PP는 제1사분면을 지난다.
(iv) 선분 P P 와 선분 PP 은 다른 선분이다.
P2
P3
P1
이때, 보기에서 참인 명제를 모두 고른 것은? 27)
<보기>
ㄱ. 이면 ∠PPP 이다.
ㄴ.
이면 P의 좌표는 P
이다.ㄷ. ∠PPP 이면 P P이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
T N
P S
B
A(1,0 ) O
28.
다음 연립부등식의 영역에 속한 점 에 대하여 의 최솟값은? 28)
≦ ≧
[2009년 경찰대]
①
② ③
④
⑤
29.
29) 그림과 같이 A지점에서 직선 에 내린 수선의 발을 A′, B 지점에서 내린 수선의 발을 B′라 하자. AA′ km,BB′ km, A′B′ km이고 직선 위에 있는 P는
AP PB의 값이 최소가 되는 점이다. 갑과 을은 동시에 출발하 여 갑은 A에서 P를 거쳐 B에, 을은 B에서 P를 거쳐 A에 도 착하였다. 두 사람이 만난 순간부터 각각 갑은 시간 후에 B에 도착하였고, 을은 시간 후에 A에 도착하였다. 을이 B에서 출 발하여 갑과 만났을 때까지 이동한 거리를 km라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 갑과 을은 각각 일정한 속력으로 직선 방향 으로 이동한다.)
[3점][2009년 사관학교]
A
B
km
km P
A′ B′
km
30.
실수 가 을 만족시킬 때, 의 최댓값은? 30 )
[2010년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
31.
범죄가 발생한 지점을 중심으로 하여 정사각형 모양이 되도 록 네 꼭짓점 A B C D를 설정한 후, 다음과 같은 방법으로 수 사망을 좁혀서 범인을 검거하려고 한다.(가) 정사각형 ABCD의 대각선의 교점이 범죄가 발생한 지점이다.
(나) 각 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃하지 않는 두 변의 중점을 각각 선분으로 연결한다.
(다) 각 꼭짓점과 변의 중점을 연결한 선분에 의해 둘러 싸인 영역을 새로운 수사망으로 한다.
D
B C A
정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 km일 때, 새로운 수사망 의 넓이는? (단, 단위는 km이다.) 31)
[2010년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
32.
32) 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서 그림과 같이 변 AB를 로 내분하는 점을 E, 변 CD를 로 내분하는 점을 F라 하자. 변 BC 위의 양 끝점이 아닌 점 P에 대하여 두 직각삼각형 EBP, PCF의 둘레의 길이의 합이 일 때, BP의 값은?
[3점][2010년 사관학교]
A
B C
D
E
P F
① ② ③ ④ ⑤
33.
좌표평면에서 부등식 의 영역을라 하고, 이라 하자. ∩가 나타내 는 도형의 길이가 가 되도록 하는 상수 의 최댓값은?33)
[2011년 경찰대]
① ②
③ ④
⑤
34.
34) 삼각형ABC의 넓이는 이고, 이 삼각형의 외접원의 넓이는이다. 이 외접원의 중심을 O라고 할 때, 다음 식의 값은?
sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA
[2013년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
35.
35) 세 점 P , Q , R 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 외심에서 직선 까지의 거리는?[2013년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
36.
36) 를 만족시키는 실수 에 대하여 다음 식의 최 솟값은?
[5점][2014년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
37.
37) 두 집합 ≤ , ≥ 에 대 하여 가 ∩의 원소일 때, 의 최댓값과 최솟값이 각각 , 이다. 의 값은?[4점][2015년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
38.
38) 자연수 에 대하여 연립일차방정식
의 해가 존재하지 않을 때, 실수 , 의 순서쌍 전체의 집 합을 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. ∉
ㄴ. ∈이면
이다.ㄷ. 서로 다른 두 자연수 , 에 대하여 ∩ ∅이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
39.
39) 정삼각형ABC 내부의 점P로부터 각 꼭짓점까지의 거리가 각각 , , 일 때, 삼각형 ABC의 한 변의 길이는?[5점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
40.
40) 두 수 가 를 만족시킬 때, 한 꼭짓점이 이고, 다른 두 꼭짓점이 각각 축과 직선 에 놓여 있는 삼각형의 둘레의 길이의 최솟값은?
[5점][2016년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
41.
41) 좌표평면에 세 점 O A B 과 선분AB위의 점P에 대하여 삼각형OAP의 무게중심을 G라 하자.∆OAG
∆OAB일 때, 점P의 좌표는?
[3점][2017년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
42.
42) 실수 에 대하여 다음 식의 최솟값은?[5점][2017년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
43.
43) 좌표평면에서 직선 를 따라 거울 , 축을 따라 거울 이 놓여 있다. 점A 에서 거울 을 향해 쏜 빛은 과 에 차례로 반사되어 점A로 되돌아 왔다. 빛이 이 동한 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2017년 경찰대]
44.
44) 양수 에 대하여 두 집합 A B가 다음과 같을 때, A∪B B를 만족시키는 의 최솟값은?[4점][2017년 경찰대]
A ≥ ≥ ≤ , B ≤
① ② ③
④ ⑤
1)
원이 평행한 두 직선에 접하는 경우 두 직선사이의 거리가 지름과 같다.
두 직선사이의 거리는 직선위의 한 점에서 다른 직선까지의 거리로 구할 수 있다. 직선 위에 있는 점 로부터 직선
까지의 거리 는
따라서, 원의 반지름은
이다.
2)
두 점 , 를 으로 내분한 점은
이므로내분점이 사분면에 있기 위한 조건은
을 축으로 하는 좌표평면에서 부등식의 영역을 고려하고
라 하면
이므로
∴
3) 3
′
′
빗금 친 부분의 면적은 이므로
와 두 직선 와의 교점을 라 하고, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 ′′이라 하면
∆′∆′의 면적은
⋅⋅
⋅⋅
,
은 서로소이므로
부분이다. 직선 이 축의 양의 방향과 이루는 각도를 라 하면
tan 기울기
의 관계로부터 임을 알 수 있다. 따라서 빗금 친 면적은 삼각형과 중심각이 인 부채꼴 면적의 합이다.
⋅⋅
⋅⋅
5) 3
⋅
⋅
원주위의 점 로부터 직선에 이르는 최대거리 은 원의 중심에서 직선까지의 거리 에 반지름을 더한 것이다.
이므로
6)
∠을 이등분하므로
따라서, 점 는 선분 를 로 내분하는 점이다.
좌표
⋅ ⋅
,
좌표
⋅ ⋅
∴
7) ①
원 에 대하여
ⅰ)
와의 1사분면위의 교점을 구하면
ⅱ)
와의 1사분면위의 교점을 구하면
구하는 직선은 직선 와 수직이고 원점을 지나므로
9) ②
와 가 모두 로 나누어 떨어지므로 인수정리에 의해서
이고 이므로
이고 이다. 그러므로 와 는 모두 로 나누어 떨어진다.
즉, 라 두면 보기 중 맞는 것은 ㄴ 밖에 없다.
10) ④
5 2 3 4
1 6 4 3
2 5
윗 그림에서 굵은 선이 한 모퉁이에 처음 도착하게 되는 당구공이 움직인 거리이다. 가로선은 가로변이고 세로선은 세로변이다.
∴ 11) ①
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
점 의 대칭점이 점 이므로 두 점은 직선 즉, 에 대하여 대칭이다. 점 을 지나고 직선 에 수직한 직선
는
이다. 두 직선 의 교점이 이므로 축으로 같은 크기만큼 평행이동한 점 이 대칭후의 위치가 된다.
12) ⑤
14) ③
⋅
⋅
⋅
⋅
점 의 자취방정식을 구하면 이므로
양 변을 제곱하여 정리하면
점 의 자취는 중심이 , 반지름이 인 원이 된다.
점 에서 직선 까지의 수직거리가 최대일 때 ∆의 면적은 최대이다. 직선 가 원의 중심을 지나므로 수직거리의 최댓값은 원의 반지름과 같다. 따라서, 면적의 최댓값은
∆
⋅ ⋅
15) ⑤
Q
P
R S O
≧
○
○
‗
‗
U
T
○
사각형 PQRS의 둘레의 길이의 최솟값은
PQ RS 로 일정하므로 PS QR이 최소이면 된다.
그림처럼 점 P 의 에 대한 대칭점 T 를 잡고 점T를 지나고 기울기가 -인 직선 위에
RS TU되도록 U 을 잡으면 RS가 직선 위를 움직이더라도 PS ST RU이므로 PS QR RU QR이다.
그러므로 QR RU의 최솟값은
∴ PS QR QR RU≧ QU
∴ PQRS의 둘레의 길이≥
BD
AD
BM
AL
CE
BE
CN
BM
AF
CF
AL
CN
이고, 이를 정리하면 BD
AD
⋅CE
BE
⋅AF
CF
을 얻을 수 있다.
17) (만원)
의 화합물이 각각 ㎎ ㎎ ㎎이 혼합된 제품을 병, 각각 ㎎ ㎎ ㎎이 혼합된 제품을 병이 필요하다면
ⅰ)
≧ ≧
≧
≧
≧
ⅱ) 위의 영역을 도시하면
ⅲ) (만원)라 두면
이므로 기울기가
인 직선이다.
위의 점선 그래프 즉, 를 지날 때, 최소이다.
∴ 만원 18) ④
집합 의 영역을 좌표평면에 표시하면 아래 그림과 같다.
따라서, 조건 ∩≠ ∅을 만족하기 위해서 직선 는 빗금 친 영역을 지나야 한다. 직선 가 점 와 원점을 지날 때 의 값은 각각 최댓값과 최솟값이다.
1) 점 을 지날 때 :
∴
2) 원점을 지날 때 :
∴ 따라서, 최대, 최소일 때의 값의 합은
∠ 이므로 ⋅sin
점 와 점 는 축에 대하여 대칭이므로 는 부호가 반대이다.
따라서,
⋅
20) ②
좌표평면에서 A의 위치를 원점으로 잡고 B C , D 라 하자. 점 G H의 위치를 각각 라 놓으면 평행사변형 EFGH의 면적 S는 두 삼각형 ABH BGH 면적의 합과 같으므로
S
⋯ (1)
점 E의 위치를 이라 하면 직각 삼각형 ADE로부터
,
또한, 직각 삼각형 ECG와 EFG에서
,
이들 관계를 식 (1)에 대입하면
S
이다. 따라서 면적의 최솟값은
일 때
이다.
21) ②
AB 라 하면
AC BC
AD
BD
이다. 따라서 ∆CAD와 ∆CBD의 면적을 구하면
∆CAD AD ⋅AC⋅sin
⋅⋅sin
∆CBD
⋅BD ⋅BC⋅sin
⋅⋅sin
따라서 ∆CAB
∆CBD
22) ③
O
A
B
C D
∆OAB의 면적은 ∆OAB
× ×
와 OB, AB와의 교점을 각각 C D라 하면 점 C는 와
23) ③
⋅
최단경로를 그림에 표시하면 그림과 같다. 정사각형의 한 변의 길이가
보이므로
또한, 원의 반지름이 이므로 cos
∠ ∠
∴ 따라서, 최단거리는
⋅
24) ②
∆OAB의 외심은 선분 OA와 선분 OB의 수직이등분선의 교점이다.
선분 OA의 기울기가 이고 중점이 이므로 수직이등분선은 ⋯ (1)
마찬가지로 선분 OB의 수직이등분선은
⋯ (2) 따라서 직선 (1)과 (2)의 교점의 좌표는
이다. 따라서
×
25) ①
원의 중심을 O, PT와 원 O의 접점을 H라 하면
∆THO∆TSP이므로
TH TS OH PS
∴ ∵
❰다른 풀이❱
PH PS , OS 이므로
TH TO OH
∴ TH
∆PST∆OSP∆OHP∆OHT
×
× ×
×
×
∴ 26) ①
O A B 라 하면,
∆OAB의 무게중심의 좌표는 G
로 두면,
B 는 제 사분면에 있는 사분원 위에서 움직이는 점이므로
∴
단
따라서 ∆OAB의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이
인 원주의
이므로
×
[다른풀이]
O A Bcos sin라 하면,
∆OAB의 무게중심의 좌표는 G
cos sin
cos sin
cos sin 이므로
단
따라서 ∆OAB의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이
인 원주의
이므로
×
27) ④
ㄱ. 이면 sin 이므로
∴ ∠PPP (참) ㄴ.
이면 sin
에서 이므로
∠OPP ∠PP P 이다.
따라서
이면 한 내각의 크기가 이므로 정육각형이 된다.
그러므로 그림에서와 같이 P의 좌표는 P의 좌표의 원점 대칭이다.
P
cos
sin
∴ P
(거짓)ㄷ. ∠PPP 이면, ∠POP 이다.
따라서 × × 인 최소의 양의 정수 은 각각
이다.
그러므로 P P이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
28) ⑤
≧ 에서
ⅰ) ≧ ≧ 일 때 ≧
≦
ⅱ) ≦ ≦ 일 때 ≦
≧
이므로 연립부등식
≦ ≧
가 나타내는 영역은 아래 그림의 어두운 부분과 같다.
∴
29)
B A
A″ C
A점에 대한 직선 의 대칭점을 A″라 두면 AP BP ≧ A″B가 된다.
그림에서 ∆A″BC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 활용하면
A″B 이다.
이 때, 움직이는 양상은 직선상에서의 움직임과 동일하므로 직선상의 움직임으로 봐도 무방하다.
갑과 을이 만나는 지점을 P′, BP′ 라 두면 주어진 조건은 다음과 같이 단순화 할 수 있다.
갑의 속력을 시, 을의 속력을 시 라 하자.
이 때, P′까지 걸린 시간이 같으므로
……①
만난 후 갑은 B까지 1시간 걸렸으므로
⇒ ……② 만난 후 을은 A까지 9시간이 걸렸으므로
⇒
……③
②, ③식을 ①식에 대입하면 이므로
or
∴ or 인데, 이므로
30) ①
의 그래프를 그려 보자.
(ⅰ) ≥ , ≥ 일 때, ∴
(ⅱ) ≥ , 일 때, ∴
(ⅲ) , ≥ 일 때, ∴ (ⅳ) , 일 때, ∴
좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형이다.
라 하면
…… ㉠
㉠은 중심이 점 이고 반지름의 길이가 인 원이고, 이 원이
, 을 ㉠에 대입하면
∴
31) ②
사각형 ABCD의 넓이에서 삼각형들의 넓이를 빼서 수사망의 넓이를 구하자.
(ⅰ) 삼각형 CEI와 삼각형 BHO, 삼각형 AGM, 삼각형 DFK는 모두 합동이고, 삼각형 CEI의 밑변 CE의 길이가 , 높이가 이므로
∆CEI ∆BHO ∆AGM ∆DFK ×
× ×
(ⅱ) 삼각형 BDC에서 삼각형 BDC의 무게중심이 P이므로 삼각형 BEP의 넓이는 삼각형 BCD의 넓이의
이다.
∴ ∆BEP
×∆BCD
×
× ×
이때, 삼각형 BEP와 삼각형 CFJ, 삼각형 DGL, 삼각형 AHN은 모두 합동이므로
∆BEP ∆CFJ ∆DGL ∆AHN ×
따라서 새로운 수사망의 넓이는
(팔각형 IJKLMNOP의 넓이) ×
32) ②
로 두면
,
이다.∴둘레의 길이 합
∴
33) ③
집합 가 나타내는 도형은 원점을 지나며 기울기가 인 직선이다.
∩가 나타내는 도형의 길이가 가 되기 위해서는 그림과 같이 가 직선 이 에 접할 때의 값(양수)보다 같거나 작고
보다 커야 한다.
가 직선 이 에 접할 때
방정식 은 중근을 가지므로 이어야 한다.
(∵ )
따라서 의 최댓값은 34) ③
외접원의 반지름의 길이를 이라 하면
이므로
∴ OA OB OC
(△ABC의 넓이)
(△AOB의 넓이)(△BOC의 넓이)(△COA의 넓이)
OA⋅OB sin ∠AOB OB⋅OC sin ∠BOC
OC⋅OA sin ∠COA
sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA
∴ sin ∠AOB sin ∠BOC sin ∠COA ×
35) ④
삼각형의 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이다.
변 PQ의 수직이등분선의 방정식은
변 PQ의 중점이 이고 변 PQ의 기울기가 이므로
⋯⋯ ㉠ 변 QR의 수직이등분선의 방정식은 변 QR의 중점이
이고 선분 QR의 기울기가 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
따라서 △PQR의 외심의 좌표는 이다.
따라서 구하는 거리는
⋅ ⋅
36) ②
은 두 점 과 의 거리이다.
은 두 점 과 의 거리이다.P , A , B 라 하고
점 B를 직선 에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 할 때,
PA PB PA PB′≥ AB′선분 BB′의 중점은 직선 위에 있고 직선 BB′의 기울기는
이다.
⋅
에서 ⋯⋯ ㉠
에서 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
∴ B′
따라서 구하는 최솟값은
37) ①집합 ∩가 나타내는 영역은 다음 그림의 어두운 부분이다.
⋯⋯ ㉠ 이라 하면
직선 ㉠이 그림의 어두운 부분을 지나야하므로 는
직선 ㉠이 원 와 제사분면에서 접할 때 최대가 되고
㉠이 곡선 과 접할 때, 최소가 된다.
ⅰ) ㉠이 원 와 제사분면에서 접할 때 원의 중심 에서 직선 ㉠에 이르는 거리가 이므로
∴
ⅱ) ㉠이 곡선 과 접할 때
방정식 은 중근을 가지므로
∴
따라서 집합 은 점 , , 을 제외한 원
위의 모든 점이다.
ㄱ. 그림에서 ∉ (참)
ㄴ. 원 위의 점 에서 원점 O에 이르는 거리는
보다 작거나 같다.
∴ ≤ (거짓)
ㄷ. 아래 그림에서 ∩ ∅ (참)|
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
39) ②
B
A
C P
Q
4 2
4
∆를 가 에 대응되도록 회전이동시키면
∠ 이므로 ∆는 정삼각형,
∆에서 ∠ 이다.
그러므로 ∠ 이고
이다.
40) ①
다음 그림과 같이 삼각형의 둘레의 길이의 최솟값은 점 를 과
에 대칭시켜 얻은 두 점의 이은 파란 선분의 길이와 같다.
이며,
와 사이의 거리를 구하면,
이다.41) ③
∆OAG
∆OAB이고 두 삼각형 모두 를 변으로 하므로 의
좌표와 의 좌표의 비가 인 것을 알 수 있다.
따라서 의 좌표는
이며, 의 의 좌표가
인걸 알 수 있다.
따라서 의 의 좌표는
이다.
42) ④
을 의 두 점 사이의 거리
을 의 두 점 사이의 거리
을 사이의 거리라 생각하면 세 선분이 직선일 경우가 최단거리 이므로
의 거리인 이 답이다.
43)
반사되는 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
이다. 이를 연립하여 풀면
이다.
이 때 의 중점이 직선 위에 있으므로
이다. 따라서 이다.
44) ②
영역을 그림으로 나타내면,
이 때 점이 원 내부와 경계에 존재하려면, 원의 중심과 교점사이의 거리가 원의 반지름보다 작거나 같아야한다.
≤ 정리하면
≤
∴ ≤ ∵
