1.
좌표평면 위에 원 과 원 밖의 점 가 있다. 점 에서 원에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 반지 름의 길이 의 값은?1)
[1994학년도 수능 1차]
① ② ③ ④ ⑤
2.
좌표평면에서 세 부등식 ＜ ＞ ＞
을 동시에 만족시키는 영역에 속하는 점 중에서 이 영역의 경계 를 이루는 세 선분과의 거리가 모두 자연수인 점의 개수는?2)
[1994학년도 수능 1차]
① ② ③ ④ ⑤
3.
완전 자동화된 선반 제작 공장에서 두 종류의 선반 ‘갑’과 ‘을’을 생산한다. 이들 선반의 생산을 위하여 두 종류의 기계 A와 B가 사용된다. 기계의 관리상 기계 A는 하루에 총 시간, 기 계 B는 하루에 총 시간을 초과하여 가동하지 못한다. 또한 선 반 ‘갑’을 대 생산하려면 기계 A를 시간, 기계 B를 시간 사 용해야 하고, 선반 ‘을’을 대 생산하려면 기계 A를 시간, 기계 B를 시간 사용해야 한다. 선반의 대당 판매 가격은 ‘갑’이
만원, ‘을’이 만원이다. 생산된 선반은 즉시 팔린다고 할 때, 하루 동안의 최대 매출액은?3)
[2점][1995학년도 수능]
선반 ‘갑’ 선반 ‘을’ 기계의 가동 제한시간
기계 A 시간 시간 시간
기계 B 시간 시간 시간
4.
와 는 ≠ 인 실수이고,
가 성립할 때, 점 가 존재하는 영역을 좌표평면 위에 검게 나 타내면?4) (단, 점선은 제외)
[1점][1995학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
5.
좌표평면 위의 세 점 A , B 으로 이루어지는△AB C의 내부 또는 변 위의 점 P 에서 변 AB BC CA까지의 거리를 각각 라 하자. 일 때, 점 P의 자취는?5)
[2점][1996학년도 수능]
① 한 점 ② 축에 평행인 선분
③ 축에 평행인 선분 ④ 포물선의 일부인 곡선
단원 : 도형의 방정식
6.
부등식 ≦ 의 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면?6) (단, 검은 부분의 경계선은 포함한다.)[1점][1996학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
7.
가로의 길이가 , 세로의 길이가 인 아래 그림과 같은 직사 각형의 내부에서 반지름의 길이가 인 원이 지나간 자리에는 형 광 페인트가 칠해진다고 한다. 원의 중심이 그림과 같이 A부터 B까지 화살표 방향의 경로를 따라 움직일 때, 직사각형의 영역 중 형광 페인트가 칠해지지 않는 부분의 넓이는?7)(단, 경로를 구성하는 모든 선분은 직사각형의 변에 평행하거나 수직이다.)
[2점][1996학년도 수능]
① ②
③
8.
아래 그림은 어느 도시의 도로망을 나타낸 것이다. 정사각형 모양을 이루는 간선도로는 교차로간의 거리가 모두 로 일정하 고, 도시 순환로는 O를 중심으로 하는 원의 일부로 되어 있다.네 개의 대리점 A B C D를 소유하고 있는 한 유통회사에서 순환도로 위의 가, 나, 다, 라, 마 중 한 곳에 물품창고를 세우려 고 한다. 이 때 물품창고에서 도로를 따라 대리점 A B C D에 이르는 최단거리를 각각 라 하자. 가 최소가 되는 물품창고의 위치는?8 )
[2점][1996학년도 수능]
① 가 ② 나 ③ 다
④ 라 ⑤ 마
9.
어느 공장에서 제품 A, B를 각각 1개씩 만드는 데 필요한 원료kg와 전력량kw·h은 오른쪽 표와 같 다. 사용할 수 있는 원료의 양은
kg이고, 전력량은 kw·h를 초과
하여 쓸 수 없다. 제품 A B를 개씩 만들어 팔 때의 이익은 각 각 만원, 만원이다. 이 공장에서 제품 A B를 여러 개 만들어 이를 팔아 얻을 수 있는 최대이익은?9 ) (단, 완제품만 판매한다.)
[4점][1997학년도 수능]
① 만원 ② 만원 ③ 만원
④ 만원 ⑤ 만원
제품 원료
kg
전력량
kw·h
A
B
10.
좌표평면에서 각 좌표축에 평행하 지 않은 직선 이 있다. 밖의 한 점 P 에서 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 PH의 길이 를 구하는 과정은 다음과 같다.직선 의 방정식을 ⋯⋯ 이라 하면 가정에서 ≠ 이고 ≠ 이다.
의 기울기가
이므로 직선 PH의 방정식은
㈎ ⋯⋯ 이다.
(1)과 (2)를 이용하면
이다.
따라서 구하는 선분 PH의 길이는
PH ㈏
∣ ∣
이다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?10)
[3점][1998학년도 수능]
①
∣ ∣∣ ∣
②
③
④
⑤
∣ ∣∣ ∣
11.
좌표평면에서 점 가 부등식 ≤ ≤ 의 영역을 움직일 때, 의 최댓값은?11)[3점][1999학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
12.
원 위의 점 에서의 접선의 방정식은?12) [2점][1999학년도 수능]① ② ③
④ ⑤
13.
반지름의 길이가 인 원 O의 내부 에 한 점 P가 있다. 점 P를 지나고 직 선 OP에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점을 A B에서의 두 접선의 교점을 Q라 하자. OP 일 때, 선분 PQ의 길 이를 구하시오.13)[2점][2000학년도 수능]
14.
좌표평면 위의 네 점 , , , 에 있 는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점
에 고정시키려 한다. 로봇팔을 점 를 중심으로 회전 가능 하고, 점 로부터의 거리가 로봇 팔의 길이 이하인 모든 곳의 나
사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 의 좌표는?14)
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
15.
그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루어진 태극문 양이 있다. 태극문양과 직선 이 서로 다른 다섯 점에 서 만나게 되는 의 범위는?15)[3점][2002학년도 수능]
① ＜＜
② ＜＜
③ ＜＜
④ ＜＜
⑤ ＜＜
16.
다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 에 대한 설명이다.(가) 점 와 점 는 축 위에 있다.
(나) 점 와 좌표는 점 의 좌표보다 크다.
(다)
점 의 좌표를 각각 라 할 때, 옳은 것 은?16)
[3점][2001학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
17.
원 위에 두 점 A , B 가 있다. ∆PAB의 넓이가 최대가 되도록 하는 원 위의 한 점 P와 원의 중심을 지나는 직선의 방정식을 라고 할 때
의 값은?17)
[3점][2002학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
18.
연립부등식 , ≥ , ≤ 이 나타내는 좌표평 면 위의 영역을 D라 하자. D에 속하는 두 점 P , Q 에 대하여
의 최댓값과 최솟값의 차는?18 )
[3점][2002학년도 수능]
①
②
③ ④ ⑤
19.
다음은 어떤 상품의 수요와 공급에 관한 시장균형모형을 설 명한 것이다.이 상품의 가격 의 변화 에 따른 수요량을 , 공급량을 라고 하면 아래와 같이 이들을 각각 에 대한 일차함수로 나타낼 수 있다.
, 여기서 는 양수이다.
두 함수 과 의 그래프의 교점 A가 제사분면에 있 을 때 시장균형가격이 결정된다.
위의 모형에서 시장균형가격이 결정되기 위한 사이의 관계로 알맞은 것은?19)
[3점][2003학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
20.
좌표평면에서 중심이 이고 축에 접하는 원이 두 점 A 와 B 을 지난다. 이때, 원의 중심 와 직선 AB 사이의 거리는?20) (단, ≤ ≤ )[3점][2003학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
21.
그림과 같이 AB AC인 이등변삼각형 ABC의 변 BC 위를 움직이는 점 P가 있다. 점 P에서 변 AB 또는 그 연장선에 내 린 수선의 발을 Q, 변 AC 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 R라고 하자.BP 와 PQ PR 에 대하여 를 의 함수로 나타낼 때, 그 그래프의 개형은?21)
[3점][2003학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
22.
22) 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원 위에 점 P가 있다. 점 P 에서의 접선과 중심이 점 이고 반 지름의 길이가 1인 원이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 의 값의 범위는?[3점][2003년 6월]
①
②
③
④
⑤
23.
23) 지성이네는 올해 수확한 사과와 배의 일부분을 올 가을에 팔 고, 나머지는 냉장 보관한 후 내년 봄에 모두 판매하려고 한다.과일의 예상 가격과 예상 수확량은 다음 표와 같다.
올 가을 한 상자 예상 가격
내년 봄 한 상자
예상 가격 예상 수확량
사과 2 만 원 3 만 원 600 상자
배 3 만 원 4 만 원 400 상자
올 가을에는 사과 상자의 개수가 배 상자의 개수보다 많거나 같 게 과일을 판매하고, 가을의 매출액은만 원 이상이 되게 하려고 한다. 올 가을에 수확한 과일을 내년 봄까지 모두 판매 할 때 예상되는 과일의 최대 매출액은? (단, 과일은 상자 단위 로 판매한다.)
[3점][2003년 6월]
① 2600 만 원 ② 2700 만 원 ③ 2800 만 원
④ 2900 만 원 ⑤ 3000 만 원
24.
24) 다음은 그림과 같이 예각삼각형ABC의 수심H, 내심I, 외 심O에 대하여 점A H I O B가 한 원 위에 있을 때,HI IO임을 증명한 것이다. (단,AC＜BC)
<증명>
∠CAB 라고 하자.
점H는 수심이므로 ∠ABH ∠ACH 가
점O는 외심이므로 ∠OBC 나
점I는 내심이므로 ∠ABI 다
따라서, ∠HBI ∠OBI이므로 HI IO이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
[3점][2003년 6월]
(가) (나) (다)
① ° ° ∠CBI
② ° ° ∠ACI
③ ° ° ∠BAI
④ °
°
∠ACI
⑤ °
° ∠CBI
25.
25) 오른쪽 그림과 같이 원O밖의 임의의 한 점P에서 원O에 접선 을 그어 접점이 중점이 되도록 점 P을 잡고, 다시 P에서 원O에 접선을 그어 접점이 중점이 되도 록 점P를 잡는다. 이와 같은 과 정을 시계 반대 방향으로 계속할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?[3점][2003년 9월]
<보 기>
ㄱ. ∠PPP ∠PPP
ㄴ. 자연수 에 대하여 모든Pn은 한 원 위에 있다.
ㄷ. P와 일치하는 Pn이 항상 있다. (단, ＞인 자연수)
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
26.
26) 원 과 직선 (단, ＞)이 만나는 두 점을A 과 B라 하고, 이 직선이 축과 만나는 점을C, 원점을O라 하자. △AOC △BOC 일 때, 의 값을 구하시오.[3점][2003년 9월]
27.
27) 원 위의 점 에서의 접선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 일 때, 의 값은? (단, 점 는 제사분면 위의 점이다.)[3점][2003년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
28.
축에 접하는 서로 다른 두 원이 점 A 와 점 B 에 서 만날 때, 두 원의 중심을 지나는 직선과 공통외접선과의 교 점의 좌표를 구하시오.28)[3점][2004학년도 수능]
29.
함수 에 대하여 좌표평면 위의 점 가 부등 식 ＞ 의 영역에 속할 때, <보기>에서 항상 성립하는 부등 식을 모두 고른 것은?29)[3점][2004학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ.
＞
ㄴ. ＞ ㄷ. ＜
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
1) ①
중심을 라 하면 그림에서
∴
2) ②
에서
⋯⋯ ①
에서 ≺
⋯⋯ ②
⋯⋯ ③
①, ②의 교점은
과 ①, ② 직선과 교점은 ⋯④
과 ①, ② 직선과 교점은
⋯⑤
과 ①, ② 직선과 교점은
⋯⑥
(ㄱ) ④에서 위의 임의의 점 (단, )에서 ②와의 거리가 자연수인 점은
이고, 이 세 점에서
③과의 거리가 자연수인 점은 없다.
(ㄴ) ⑤에서 위의 임의의 점 (단,
)에서
②와의 거리가 자연수인 점은 이고, 이 점에서 ③과의 거리는 자연수인 1이다.
(ㄷ) ⑥에서 위의 임의의 점 (단,
)에서 ②와의 거리가 자연수인 점은 없다.
(ㄱ),(ㄴ),(ㄷ)에서 조건을 만족하는 점은 1개 3) ②
선반 갑을 대, 선반 을을 대 생산한다고 하면,
≦ ≦
즉, ≦ ≦ ⋯⋯ ①의 범위에서
만원 × 만원 ×
즉, × 만원의 최대값을 구하면 된다.
①의 범위에서 좌표평면에 도시하면
≧ ≧ 이므로 아래와 같다.
4) ③
≠
에서
⇒ 5) ②
직선 의 방정식은 직선 의 방정식은
라 하면 주어진 조건에서
≦ ≦ ≧ ⋯⋯ ⅰ
이것을 에 대입하여 정리하면
⇒
∴
는 영역ⅰ)에 속하지 않으므로 따라서, 축에 평행인 선분
6) ②
ⅰ) ⅱ)
영역의 경계는 에서 ±
에서 따라서, 경계선의 방정식은
직선 ±
와 원
또, 원의 중심 에서 직선 ± 에 이르는 거리를 구하면
이므로 원과 직선은 만나지 않는다.
원의 중심 을 주어진 부등식에 대입하면 부등식을 만족하므로 구하는 영역은 아래 그림과 같다.
8) ①
를 나와 사이의 거리, 를 호나다의 거리라고 하면 가 에서
나 에서
∵
다 에서 ∵
라 에서
마 에서
따라서, 최소가 되는 물품창고의 위치는 가 이다.
9) ③
제품 를 각각 개 개 만든다고 하고 ㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같고 ㉠, ㉡의 교점은
이다. 라 하면 는 자연수이므로 점
의 근방의 점 에서 의 값을 조사해 보면
일 때 최대이므로 최대 이익은 × × (만원) 10) ④
직선 과 직선 는 수직이므로 직선 의 기울기는
이다. 따라서,
직선 의 방정식은
⋯⋯ ①
두 점 와 사이의 거리 는
⋯⋯ ②11) ③
∴
따라서, 의 최댓값은
이다.
12) ⑤
위의 점 에서의 접선의 방정식은
이므로
․ ․ ⇒ 13)
그림에서 ∠ ∠ 이고 ∠ ∠이므로 ∆와
∆는 닮은꼴이다.
따라서 의 길이를 라 하면
이므로 에서
∴
14) ④
오른쪽 그림과 같이 네 점 , 를 차례로 A B C D 라 하고 선분 AB BC의
수직이등분선의 교점 을 M이라 하자.
로봇팔이 고정된 점 P가 M일 때
이므로
로봇팔의 길이는 이면 된다.
한편 점 P가 어느 위치에 있든
≥ 이므로
≥ 또는 ≥이다.
즉, 로봇팔의 길이는 이상이 되어야 한다.
따라서, 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 P의 위치는 점 M 이다.
[별해]
라 하면 두 점 사이의 거리가 최대인 것은 이므로
로봇팔의 고정점 까지의 거리가 최소인 곳에 설치해야 한다.
까지의 거리가 최대값이 최소인 점은 의 중점이므로 로봇팔의 고정점의 좌표는
이다.15) ②
그림에서 은 직선 이 원 에 접하는
∴
16) ④
그림에서 알 수 있듯이 점 A B C D에 대하여, 각각의 좌표
의 크기는
∴ [별해]
(다)에서 이므로 서로 다른 네 점
로 만들어지는 사각형 는 마름모이고
이므로 삼각형 는 정삼각형임을 알 수 있다. 또한 (가)와 (나)를 통해서 가능한 위치는 다음 두 가지 경우가 있다.
ⅰ) ⅱ)
(ⅰ) 점 가 ⅰ)의 위치에 있을 때 점 는 사각형
가 마름모이므로 중의 하나로 표현된다.
그러나 의 경우 ≠ 이므로 적합하지 않고, 의 경우에도 ≠ 이므로 적합하지 않다. 그러므로 점 는 이 된다.
(ⅱ) 점 가 ⅱ)의 위치에 있을 때 점 는 사각형
가 마름모이므로 중 하나로 나타내어진다.
그러나 의 경우 ≠ 이므로 적합하지 않다. 또한 의 경우에도 ≠ 이므로 적합하지 않다. 그러므로 점 는 가 된다.
∴
(ⅰ)과 (ⅱ)를 통해 이다.
따라서, 이므로 18) ④
영역 D는 세 부등식 ≥ ≤ 를 만족시키는 점 들의 모임이고, 두 점 P , Q 는 D에 속하므로
∴ ⋯⋯ ㉠
≥ ≥
∴ ≥ ⋯⋯ ㉡
≤ ≤
∴ ≤ ⋯⋯ ㉢
㉠, ㉡으로부터
≥ 이고,
㉠, ㉢으로부터
≤
즉,
의 최댓값, 최솟값은 각각 이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 차이는 이다.
19) ③
, 에서 교점 를 구하면
에서
∴
따라서, 교점 의 좌표는
이고이 점이 제 사분면에 있으므로 이어야 한다.
20) ②
이 두 점 A 와 B 을 지나므로
, 에서 또는
≤ ≤ 이므로 만 만족한다.
∴
원에서 AB 이므로 AH
∆OHA가 직각삼각형이므로 OH
직선 ⇒
선분 위의 한 점 에서 두 직선
까지의 거리의 합은
∣∣
∣ ∣
∣∣
로 일정하다.
∵ 이므로 ∣ ∣
[별해]
위의 그림과 같이 BC에 대한 A의 대칭점을 잡아서 A′이라 하면 사각형 ABA′C는 평행사변형(마름모)이 된다.
또한 R의 BC에 대한 대칭점을 R′이라 하면
PQ PR PQ PR′ QR′ (일정) (∵평행사변형) 22) ③
두 원을 각각 , 라 하면
： , ： 원 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은
……… ㉠
직선 ㉠이 원 와 서로 다른 두 점에서 만나려면 의 중심 (5, 0)에서 직선 ㉠에 이르는 거리가 반지름의 길이 1보다 작아야 하므로
＜ ……… ㉡ 그런데, 점 P(a, b)가 위의 점이므로 ……… ㉢
㉡, ㉢에 의해 ＜
∴
＜＜
23) ③
올 가을에 판매할 사과 상자와 배 상자의 개수를 각각 x, y라 하면
≧ ……… ㉠
가을의 매출액이 1500만 원 이상이므로
≧ ……… ㉡ 예상되는 과일의 매출액을 P라 하면
………… ㉢
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 영역을 나타내면 아래 그림의 어두운 부분과 같다.
x=300, y=300일 때 ㉢에서 최대 매출액은 2800만 원이다.
24) ①
점 H는 수심이므로 ∠ABH=∠ACH= 점 O는 외심이므로 △OBC에서 OB OC, ∠BOC=
∴ ∠OBC=∠OCB =
° =
점 I는 내심이므로 ∠ABI=∠
25) ③
ㄱ. 그림과 같이 선분 PP PP PP PP … 의 중점을 각각 C,C,C,C,… 라 하면
∆OPC≡∆OPC≡∆OPC≡∆OPC≡ ⋯
∴ ∠PPP ∠PPP ∴ 참 ㄴ. 위의 그림에서
∆OPC≡∆OPC≡∆OPC≡∆OPC≡… 이므로
OP OP OP OP…
따라서, 한 점O를 중심으로 자연수 에 대하여 모든 은 같은 거리에 있으므로 한 원 위에 있다. ∴ 참
ㄷ.∠POC 라 하면 와 이 일치하기 위해서는
∠POC ∠POC ∠POC ⋯ ∠PnOCn 이고, 내각의 총합 는 °의 배수이어야 한다.
즉, ° × (단, 은 자연수) ∴ ° ×
따라서,가 유리수이어야 한다.
그러므로,가 무리수이면 와 이 일치하지 않는다. ∴ 거짓 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
26) 3
점 B의 좌표를 라 하면
∆BOC
× OC ×∣∣
∆AOC
× OC ×
∆AOC ∆BOC
⋅OC⋅
⋅OC⋅b
∣∣
∴
∵
또한, B 는 원 위의 점이므로 에서
27) ⑤
원 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이다. 이 직선의 축, 축과 만나는 점은 각각
,
이므로 이 접선과축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하면
×
×
∴
⋯⋯⋯⋯⋯ ㉠
또한, 점 가 원 위의 점이므로 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
∴
28)
두 원의 중심을 라고 하면 두 원의 방정식은
A B 를 지나므로
⋯ ①
⋯ ②
⋯ ③
⋯ ④
①②에서 ⋯ ⑤
③④에서 ⋯ ⑥ 두 원의 중심을 지나는 직선의 방정식은
절편은 인 경우이므로
⑤⑥에서 이므로
∴
29) ④
점 가 를 만족하는 점이므로 ⋯ ① ㄱ.
①에서
⋯ ①이므로
＞
ㄴ. (반례) 일 때 ×이므로 영역을 만족하는 점이다.