• 운동량 방정식

• 운동량 방정식

– 운동량 방정식 : 벡터 방정식

• 각 성분별 방정식

• 주의 : 힘 및 유속은 방향에 따라 (+), (–) 부호가 달라짐

– 주된 응용 목표

• CV 을 지지(고정)하는 데 필요한 반력을 구한다.

 

 

  

 



 



 







 

 







 

 







 

 

CS z CV

CS y CV

CS x CV

dA n V w V

d t w

F

dA n V v V

d t v

F

dA n V u V

d t u

F

 

 

 

• 운동량 방정식의 단순화

– 정상유동

– 입구/출구마다 균일유속 (혹은 근사)

• 질량유량

• 모멘텀유출율의 근사



 

 CSV V n dA F   

 

A V n dA V A

m

C















 

CSV V n dA V A V mV

 

 

   



• 유속 분포가 일정하지 않은 경우 : 모멘텀 플럭스 보정계수 도입

• 모멘텀 플럭스 보정계수

 균일유속:  = 1 (기본)

 층류유동:  = 4/3=1.333

 난류유동:  = 1.03

 

 









 











 

 

AC

C 2

avg in C

avg out

avg CV

V dA V A

, 1 V m V

m V

d t V

F 

 

 



  _











 











 CS

2

avg C

avg C

CS avg dA

V V A

V 1 A V dA

n V

V   

• 손목으로부터의 반력 : (모두 양으로 가정)

• x 방향에 대한 운동량 방정식 :

• 체적력 = 0, 좌우측 면에 작용하는 압력이 대기압으로 동일  압력힘 = 0  표면력 = 반력

• 모멘텀 플럭스 항 : 입구만 존재 (출구에서의 x 방향 유속 0)

• 부호 (–) : 가정했던 방향과 반력의 방향이 반대

• 교과서 예제 4.4 운동량 해석을 위한 검사체적의선택

– 정지된 노즐로부터 평판으로 분사되는 물  평판을 지지하기 위한 수평력

• 유속 , 노즐면적

– 지배방정식 :

– CV

: 검사체적 1안

V  ₂

n 0.01m A 

  _{ }







 FS FB CSV V n A outmV inmV

F 

 

 











y x,R R



 



 Bx CS

Sx F u V n A

F  





s 15m m

999 kg s

15m A

V u u

m R

F_{Sx x 1 1 1 1 1 3}  ²  



 







 







 

















 

• 교과서 예제 4.4 운동량 해석을 위한 검사체적의선택 – CV

: 검사체적 2안

• 평판으로부터 검사체적에 작용하는 수평 반력 : (양으로 가정)

• x 방향 운동량 방정식

• 체적력 = 0, 모멘텀 플럭스 항 : 입구만 존재 (출구에서의 x 방향 유속 0)

• 평판에 작용하는 유효 반력을 결정하기 위하여 평판의 자유물체도를 고려

• 동일한 결과 : 하지만 CV_II의 경우, 공연히 검사체적을 물만 포함하는 것으로 설정하여 평판의 자유물체도 분석이 추가로 필요했음

• 게이지 압력으로 작업하면 해석이 크게 단순해짐 !! (예제 4.6 참조) Bx



 





 atm P x CS

Sx p A B u V n A

F  

 

kN 25 . 2 A p B

kN 25 . 2 A

V A

V u A n V u B

A p F

P atm x

1 2 1 1

1 in 1

x P atm Sx









































p B A p R R

A p B 0

F_x   _x  _{atm P}  _x  _x  _{atm P}  _x  _{atm P}   _{atm P}   



• 금속 용기 : 내부 단면적 , 비어 있을 때의 중량

• 상부의 입구로 물이 유입

• 하부의 측면 출구로 유출

• 정역학 : 저울의 무게 = 용기의 무게 + 물 무게 동역학 : 유체유동해석이 필요함

– 저울에 작용하는 반력

• y 방향 운동량 방정식

• 좌변 : 대기압에 의한 유효 힘은 없으므로

• 우변 : 단면 , 에서 수직방향 유속 = 0

• 대입, 정리 : 유체의 하방 운동량을 흡수하는 힘이 포함

• 교과서 예제 4.5 저울 위에 설치된 용기 : 체적력 – 유체정역학 ? 유체유동해석 ?

m2

09 .

0 22.2N

s m jˆ 3 V

, m 009 . 0

A₁  ² ₁ 

2 3

2 A 0.009m

A  



 



 By CS

Sy F v V n dA

F  

Ah W

V g W

W W

F , R

F_{Sy y By tank H O tank tank}

2    









  ^{ }

^

^

1 1

1

A v V n dA v1 VA V A v V

1



















  ^{ }  

N 8 . 614 N

81 N 6 . 511 N

2 . 22

m 009 . s 0

3m m

1000 kg m

58 . 0 m 09 . m 0

9800 N N

2 . 22

V m Ah W

R

2 2

3 2

3 1 1 k

tan y









 



 







 











 













 

• 교과서 예제 4.6 ^{엘보 내의 유동} : 게이지 압력 사용 – 엘보를 지지하는 데 필요한 힘

• 엘보 입구에서의 절대 압력 , 단면적

• 출구 단면적 , 유속

– 반력의 x 성분

• x 방향 운동량 방정식

• 체적력 = 0, 모멘텀 플럭스 항 : 입구만 존재 ( )

• 입구에서의 평균유속 : 질량보존법칙으로부터 구함

• 대입, 정리

kPa

220 0.01m² m2

0025 . 0



 



 Bx CS

Sx F u V n dA

F  

    



s 4m m

999 kg m

01 . 0 Pa 10 19 . 1 A

V A

p

R ²

2

3 2

5 1

2 1 1

g 1

x   



 







 





















s m jˆ 16 V₂  

   

^

^

2 1 1

g A 1

1 g 1 A x

x 1 g 1

Sx p A R u V n dA R p A u V n dA p A V A u V

F

1 1





































V1

s 4m m

01 . 0

m 0025 . 0 s

16m A

V A V 0

A V A

V A

d

V ₂

2

1 2 2 1 2

2 1

CS 1 

 







 

























0 u₂ 

• 교과서 예제 4.6 ^{엘보 내의 유동} : 게이지 압력 사용 – 반력의 y성분

• y 방향 운동량 방정식

• 체적력 = 0 (무시), 모멘텀 플럭스 항 : 출구만 존재 ( )

• 대입, 정리

– 반력의 부호 검토

• x 방향 운동량 : (+) 모멘텀 + (–) 방향 외력 = (0) 모멘텀

• y 방향 운동량 : (0) 모멘텀 + (–) 방향 외력 = (–) 모멘텀



 



 By CS

Sy F v V n dA

F  





s 16m m

999 kg A

V

R ²

2

1 3 2 2

y   



 







 













   

^

^

2 2 2

2 A 2

A y y

Sy R v V n dA R v V n dA v V A V A v V

F

2 2





































0 v₁ 

• 교과서 예제 4.7 ^{수문 아래의 유동} : 정수력학적 압력에 의한 힘 – 수문이 닫혀 있을 때와 열려 있을 때 수문에 작용하는 힘

• 가정 : (수로 바닥 마찰력 무시), 정상 비압축성 유동, 각 단면 균일유동, x 방향 체적력 = 0

• x 방향 운동량 방정식

• : 입구단면 에서의 압력 힘

• : 출구단면 에서의 압력힘

• 대입, 정리

 

^

^

^

^

R R

Sx F F R u V n dA u VwD u V wD

F  1  2  



F_f 

R1

F ₁²

D

0 D 2

0 D

0 1

R gwD

2 1 2

gw y dy

gy w

dA p F

1 1 1

1 





R2

F ²₂

D

0 D 2

0 D

0 2

R gwD

2 1 2

gw y dy

gy w

dA p F

2 2 2

2 





     

  



2 1 1

2 2

2 2 2

2 2 1 2

1 2

1 2 2

2 2

2 2 2 1 2

1 2

2 1 2

2 2 2

2 2 1 1

2 1 2 2 2 x

D 2 D

gw D

1 D D wV D

2 D gw D

D D

1 D D wV

D 2 D

gw D

D V

1 V D wV D

2 D D gw

V D V w R

 





 



 





 

















 



 



 









 

















 



 



 









 









• 교과서 예제 4.7 ^{수문 아래의 유동} : 정수력학적 압력에 의한 힘 – 수문이 닫혀 있을 때와 열려 있을 때 수문에 작용하는 힘

•

 우변 첫번째 항과 두번째 항의 부호는 서로 반대

 우변 두번째 항은 수문에 작용하는 유효 정수력이고, 첫번째 항이 이를 상쇄함

• 압력 분포 : 수문 근방에서는 복잡하므로 검사표면을 먼 전 후방으로 설정

 수문에서 먼 전방(단면 ) 및 먼 후방 (단면 ) : 정수력학적

 수문 근방: 유동 때문에 압력 분포는 정수력학적 분포에서 벗어남

• 단위 폭당 수평력

• 수문에 작용하는 힘 (수문이 닫혔을 때 )





2 1 1

2 2

2 2

x D D

2 gw D

1 D D wV

R  

 



 





gy p₁

   

m 2kN . m 25

2kN . m 43 0kN . 18 D

2 D D g

V D w V

R ₂

2 2 1 1

2 1 2 2 2

x        

m 2kN . w 25

R w

K_{x x}





 m

1kN . 2 44

gD w

R w

K_{x x 1}²

 







• 교과서 예제 4.8 ^{컨베어 벨트로 이송} : 검사체적 내에서 운동량 변화율 – 컨베어 벨트 내의 모래가 증가할 때의 장력 변화

• 가정 : (장력), x 방향 체적력 = 0, 입구단면  에서 균일유동

• x 방향 운동량 방정식

• CV 내의 유속 (모래 속도) : ,

• CV 내의 모래 질량 의 변화율 : 질량보존법칙으로부터 구함

• 대입, 정리

 

^

^

^

^{ }

^

dA t n V u V

d t u

T

F _{1 1 1 2 2 2 1 2}

CV CS

Sx CV       



 







 

 



 



T F_Sx 

일정 Vb

t V M t

V M V t d

V V d t u

T _b ^CV _b ^S

b CV

CV 

 



 

 

 

 

 

 

=0 =0

MS

 

t V M

t d ^{CS S}

S

CV      



 

 



 

N 5 . s 202

225kg s

9m . 0 m

V

T _{b S} 



 







 





 

s m 5 . 1

s m 9 . 0

• 미소 검사체적의 해석 : Bernoulli 방정식의 유도

– 미소 검사체적에 검사체적 접근법을 적용  유동장에 대한 미분방정식

– 연속방정식 (질량보존법칙) 적용

•

• 전개, 정리

• 가정 : 정상 비압축성 유동, 마찰 무시

• 미소 검사체적 : 두 유선 (streamline) 사이에 정의

• 유선 : 속도벡터에 평행  유선을 관 통하는 유동은 없음

• 입구단면 :

• 출구단면 :

A , V , , p  _S

dA A , dV V

, , dp

p  _S  _S 



  

 

 

0 A d V 0

A d V V

t _CVd  ^CS    ^CS      ^S   ^S  ^S   





 



=0









미소량의 곱0

• 미소 검사체적의 해석 : Bernoulli 방정식의 유도 – 운동량 방정식의 유선방향 성분

• 기본방정식

• 표면력 (오직 압력에만 의한) =검사표면 양단면의 압력 힘 + 검사표면 측면의 압력 힘

• 체적력 (의 s 방향 성분)

  





 

 CS s

CV s Bs

Ss u dV u V n dA

F t

F ⁼⁰  

   

2 Adp 1 2 dA

p dp dA

A dp p pA

F_Ss   



 

 













 





2 A dA g 2 ds

A dA sin

g V

d g

F_{Bs s}  



 

 











 

 















• 미소 검사체적의 해석 : Bernoulli 방정식의 유도 – 운동량 방정식의 유선방향 성분

• 모멘텀 플럭스 : 검사표면 양단면에만 존재

• 연속방정식 (질량보존) 에서  모멘텀 플럭스

• 운동량 방정식에 대입, 정리

• 양변 , 미분항의 곱 무시

• 정리하면

• 비압축성 (밀도 일정) 이므로 적분하면 : Bernoulli 방정식

• 성립조건 (중요 !!) : 오용 남용 주의

 정상유동

 비압축성 유동

 마찰이 없는 유동

 유선을 따라 적분

 

^

^{ }

^{  }

^{ }

^{ }

u _{s s s s s s}

CS s          



   



 



 

^

^{ }

^{ }

^



s sAdV V

dz dA 2 g

dz 1 gA dA

2dp

Adp 1    



A 

 



 





 

 

 2

d V dV A V

dz dA g 2 dz 1 A g

dA dp 2 1

dp _s²

s s

0 0

0 dz 2 g

d V dp _s²







 



 



 일정



  gz 2

V

p