Ⅲ 함수

Ⅲ _함수

1.

^{일차함수와 그래프}

2.

일차함수와 일차방정식의 관계

산의 높이와 기온, 물의 깊이와 수압, 일정한 속력으로 달릴 때 시간과 이동한 거리 등과 같이 변화하는 두 양 사이의 관계 가 일차식으로 나타나는 함수를 실생활에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 함수는 변화 현상을 설명하고 문제를 해결할 때 매우 유 용한 수학적 도구이다.

이 단원에서는 두 변수 사이의 관계가 일차식으로 나타나는 함수 관계를 알아보고, 좌표평면 위에 그 그래프를 그려 변화 하는 형태를 알아본다.

우리 생활 주변에서 한 양이 정해짐에 따라 다른 한 양이 정 해지는 관계를 찾아보자.

이 단원의 학습한 내용

내용

학습할 내용

・ 이차함수와 그래프 (중3)

・ 일차함수와 그래프

・ 일차함수와 일차방정식의 관계

・ 좌표평면과 그래프

건축 구조 기술자 - 138쪽 우리 동네의 장애인 통행용 경사로의 기울기가 알맞은지 조사해 보자.

직업 체험

생생

준비 학습

다음 좌표평면 위에 점 A(2, 0), B(0, -1), C(3, 4), D(-3, 2), E(-3, -4)를 각각 나타 내시오.

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

1

다음 정비례 관계와 반비례 관계의 표의 빈칸에

알맞은 수를 써넣으시오.

⑴ 정비례 관계

^{x 1 2 3 5}

y -3 -12

⑵ 반비례 관계

^{x 1 2 3 6}

y 24 6 4

2

1

준비 학습 문제를 풀고 이전에 배운 학습 요소를

점검하면서 드는 생각이나 느낌을 표현해 보자.

2

이 단원의 내용을 미리 살펴본 후 알고 싶은 내용 이나 배움에 임하는 마음가짐을 적어 보자.

시작하기 전에

귤 12개를 x명이 나누어 먹을 때, 한 명이 먹을 수 있는 귤을 y개라고 하자.

⑴ 다음 표를 완성하시오.

x(명) 1 2 3 4 6 12

y(개)

⑵ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내시오.

3

정비례 관계 y=ax(단, a+0)의 그래프가 다음

과 같을 때, 수 a의 값을 구하시오.

2 -2

-2 2

x y

O

4

수학

이전에 배운 숨어 있는 학습 요소를 떠올려 봅시

다.

88

Ⅲ. 함수

1 ^{일차함수와 그래프}

^{1. 함수의 뜻 2.} 일차함수의 뜻과 그래프 3. 일차함수의 그래프의 성질

^{신호등의 수학}

횡단보도의 신호등에서 녹색등이 켜져 있는 시간은 어떻게 정할 까?

횡단보도의 신호등에서 녹색등이 켜져 있는 시간은 신호가 바뀐 뒤 횡단보도에 진입하는 시간, 횡단보도의 길이, 사람들이 걷는 평균 속력과 관련이 있다. 특히, 어린이 보호 구역의 횡단보도에 서는 어린이들이 걷는 평균 속력을 고려하여 녹색등이 켜져 있는 시간을 정한다.

(자료: 온 - 나라 정책연구, http://www.prism.go.kr, 2010년)

횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는 시간 사이에는 어떤 관계가 있을까?

횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는 시간 사이에는 어떤 관계가 있을까? 113쪽

환경 기술 역사 문화 사회 공학

안전 경제

1. 일차함수와 그래프

89

•함수의 개념을 이해한다.

함수의 뜻

1

함수란 무엇일까?

생각 열기

생활

아래 각 상황에 맞는 표를 완성하고 다음을 알아보자.

생각 열기와 같이 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해 지는 대응 관계가 있을 때, y를 x의 함수라고 한다.

보기 1 음료수 1.8 L를 x명이 똑같이 나누어 마실 때, 한 사람이 마시게 될 음료수의 양을 y L라 고 하자. 변수 x의 값이 1, 2, 3, y으로 변함에 따라 변수 y의 값이 1.8, 0.9, 0.6, y으 로 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.

2 용량이 500 mL인 포도당 수액이 시간당 40 mL의 속력으로 일정하게 흘러나올 때, x시 간 후에 남은 수액의 양을 y mL라고 하자. 변수 x의 값이 1, 2, 3, y으로 변함에 따라 변수 y의 값이 460, 420, 380, y으로 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.

3 자연수 x의 약수를 y라고 하면 변수 x의 값이 변함에 따라 변수 y의 값이 하나씩 정해지 지 않으므로 y는 x의 함수가 아니다.

➊ ^{상황 ➊} 과 ^{상황 ➋} 에서 변수 x, y를 각각 정해 보자.

➋ 위의 ➊에서 정한 변수에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는지 말해 보자.

상황 ➋

은채네 가족은 자동차를 타고 집에서 30 km 떨 어진 할머니 댁에 가고 있다.

속력(km/h) 10 20 30 40 50 도착까지 걸린

시간(시간) 상황 ➊

사람이 한 계단 오를 때마다 0.15 kcal의 열량을 소모한다.

계단 수(개) 1 2 3 4 5 소모한 열량

(kcal)

(자료: “중앙일보”, 2017년 4월 23일)

위의 표에서 시간을 x분, 복사한 용지의 양을 y장이라고 하면 변수 x의 값이 1, 2, 3,

…으로 변함에 따라 변수 y의 값이 40, 80, 120, …으로 하나씩 정해진다. 따라서 복사 한 용지의 양 y는 시간 x의 함수이다.

예를 들어, 1분에 40장의 종이를 복사할 수 있는 복사기가 있을 때, 시간에 따른 복 사한 용지의 양을 나타내면 다음과 같다.

시간(분) 1 2 3 4 y

복사한 용지(장) 40 80 120 160 y

90

Ⅲ. 함수

‘함수’로 이행시를 지으면?

다음 중 y가 x의 함수인 것을 모두 찾으시오.

⑴ 자연수 x의 배수 y

⑵ 분속 5 km의 일정한 속력으로 달리는 고속 열차가 x분 동안 이동한 거리 y km

⑶ 넓이가 200 cm€인 직사각형 모양의 포장지의 가로의 길이 x cm, 세로의 길이 y cm

⑷ 우리 반 학생 20명 중 x월에 태어난 학생의 번호 y

1

배우고 익히는 수학

수학

글쓰기

와글 ^와글 와글 ^와글

우리 주변에서 함수로 나타낼 수 있는 상황을 찾아 다음 보기와 같이 써 보자.

창의・융합 의사소통

상황

음식물 쓰레기를 많이 버리면 수거 비용을 많이 지불하고, 적게 버리면 수거 비용을 적게 지불한다.

대응 관계

음식물 쓰레기의 양에 따라 정해지 는 음식물 쓰레기의 수거 비용

보기

상황

대응 관계

상황

대응 관계

다음 상황에서 변화하는 두 양을 찾아 보기와 같이 써 보자.

의사소통

2

x:

y:

오빠가 저보다 4살이 많아요.

x: 구입한 아이스크림의 개수 y: 총가격

y는 x의 함수이다.

보기

한 개에 500원인 아이스크림 몇 개를 샀어요.

1. 일차함수와 그래프

91

생각 열기

오른쪽 그림은 입구에 x를 넣으면 출구로 x의 5배인 수 y가 나오는 상자이다.

➊ 다음 표를 완성해 보자.

^{x 1 2 3 4 5}

y 5

➋ x=a일 때, y의 값은 얼마인가?

함수와 함숫값은 어떻게 나타낼까?

생각 열기에서 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 대응 관계가 있으므로 y는 x의 함수이다. 이때, y는 x의 5배이므로 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y=5x이다.

보기 1 정비례 관계 y=-4x에서 f(x)=-4x이므로 x=2일 때, 함숫값은 f(2)=-4_2=-8

2 반비례 관계 y=;x^; 에서 f(x)=;x^; 이므로 x=-2일 때, 함숫값은 f(-2)= 6-2 =-3

x

y

\5

한편, 함수 y=f(x)에서 x의 값이 변하면 그에 따라 정해 지는 y의 값

f(x)

를 x에서의 함숫값이라고 한다.

예를 들어, y가 x의 함수이고 y=2x인 관계가 있을 때, 이 함수를 f(x)=2x

와 같이 나타낼 수 있다. 또, x의 값이 1, 2, 3일 때, x에 대한 함숫값 f(x)를 각각 구하면 다음과 같다.

x=1일 때, f(1)=2_1=2 x=2일 때, f(2)=2_2=4 x=3일 때, f(3)=2_3=6

일반적으로 y가 x의 함수일 때, 이것을 기호로 y=f(x)

와 같이 나타낸다.

함수를 대응으로 설명하 였다.

디리클레(Dirichlet, J. P. G. L ., 1805~1859)

y=f(x)

92

Ⅲ. 함수

수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

사다리 타기 놀이는 출발점과 도착점이 반드시 하나씩 이어지고, 서로 다른 곳에서 출발하면 같은 곳에 도 착하지 않으므로 보통 추첨을 하거나 순위를 정할 때 사용한다.

사다리 타기 놀이판에서 출발점의 값을 x, 도착점의 값을 y라고 할 때, x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하 나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다. 따라서 y=f(x)와 같이 나타낼 수 있다.

이와 같이 사다리 타기 놀이 속에는 함수의 개념이 녹아 있다.

모둠별로 오른쪽 그림에 가로선을 그어 사다리 타기 놀이판을 만 들고, 함숫값

f(1), f(2), f(3), f(4) 를 각각 구해 보자.

문제 해결 창의・융합

우유 1000 mL를 x명이 똑같이 나누어 마실 때, 한 사람이 마시게 되는 우유의 양을 y mL라고 하자.

⑴ y=f(x)일 때, f(x)를 구하시오.

⑵ 함숫값 f(4),` f(5)를 각각 구하시오.

1

배우고 익히는 수학

| |는 절댓값, f(x)는 .

다음과 같은 함수 y=f(x)에 대하여 함숫값 f(3), f(-5)를 각각 구하시오.

⑴ y=3x

⑵ y= 300x

⑶ y=24-x

2

함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하 시오.

⑴ y=f(x)일 때, f(x)를 구하시오.

⑵ 함숫값 f(-1), f(0), f(1)을 각각 구하시오.

3

2 4 -2

-4 x

y

O -2 -4 2 4

창의성 협동 배려 봉사 정신

1. 일차함수와 그래프

93

생각 열기

자연 과학

만년설은 긴 세월에도 녹지 않는 눈으로 주로 고도가 높은 산악 지대에서 볼 수 있다. 이는 지표로부 터 지상 10 km까지의 기온이 지표에서 1 km씩 올라갈 때마다 6 #씩 감소하여 높은 곳의 기온이 낮기 때문이다. 지표의 기온이 24 #이고 지표로부터의 높이를 x km, 그때의 기온을 y #라고 하자.

(자료: “조선일보”, 2009년 12월 31일)

➊ 다음 표를 완성해 보자.

^{x(km) 0 1 2 3 4}

y(#)

➋ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타낼 때, 안에 알맞은 식을 써넣 어 보자. 또, 안의 식은 몇 차식인지 말해 보자.

y=

일차함수란 무엇일까?

•일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.

일차함수의 뜻과 그래프

2

10 L의 물이 들어 있는 어항에 1분에 2 L씩 물을 넣을 때, x분 후 어항에 들어 있는 물의 양을 y L라고 하자.

이때, x의 값이 1, 2, 3, 4, … 로 변함에 따라 y의 값이

12, 14, 16, 18, …

로 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.

또, 10 L의 물이 들어 있고 x분 동안 넣은 물의 양은 2x L이므로 x분 후 어항에 들어 있는 물의 양 y L는

y=10+2x

와 같이 x에 대한 일차식으로 나타낼 수 있다.

이와 같이 함수 y=f(x)에서 y가 x에 대한 일차식 y=ax+b(단, a, b는 수, a+0)

로 나타날 때, 이 함수를 x에 대한 일차함수라고 한다.

보기 1 함수 y=2x, y=-3x+5, f(x)=;2!;x-2는 모두 일차함수이다.

2 함수 y=;x^; , f(x)=-2x€은 모두 일차함수가 아니다.

자연 자연 자연 자연 과학 과학 과학 과학 과학 과학

때문이다. 지표의 기온이 24 #

➊

➋

94

Ⅲ. 함수

다음 중 일차함수를 모두 찾으시오.

⑴ y=-15x ⑵ y=;x@;

⑶ y=;3X;+2 ⑷ y=x€+x

1

배우고 익히는 수학

2x+1=0은 일차방정식, y=2x+1은 .

x와 y 사이의 관계가 다음과 같을 때, y가 x에 대한 일차함수인 것을 모두 찾으시오.

⑴ 1000원짜리 아이스크림 1개와 x원짜리 빵 2개의 값은 y원이다.

⑵ 밑변의 길이가 x cm이고 높이가 (x+1) cm인 평행사변형의 넓이는 y cm€이다.

⑶ 현재 x세인 사람의 5년 후의 나이는 y세이다.

2

수학

글쓰기

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 그림을 보고 일차함수로 나타낼 수 있는 상황과 그 식을 보기와 같이 써 보자.

창의・융합 의사소통

다음 그림과 같이 성냥개비를 사용하여 정사각형을 일렬로 이어 붙이려 한다. 정사각형 x개를 만들 때, 필요한 성냥개비의 개수를 y개라고 하자.

…

⑴ 오른쪽 표를 완성하시오.

⑵ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내고 y가 x에 대한 일차함수인지 말하시오.

문제 해결

3

x(개) 1 2 3 4 å

y(개) å

상황

식 상황

식

상황

식 상황

식 상황

식 상황

500원짜리 볼펜 x개를 산 후 3000원을 냈을 때, 거스름돈 y원 식 y=3000-500x

보기

1. 일차함수와 그래프

95

생각 열기

생활

1초에 2 m씩 높아지는 케이블카가 지면으로부터 3 m 위에 있는 탑승장에서 출발한다. x초 후의 케이블카의 높이를 y m라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 식 으로 나타내면 y=2x+3이다.

➊ 다음 표를 완성해 보자.

x(초) 0 1 2 3 4

y(m) (x, y)

➋ 위의 ➊에서 구한 5개의 순서쌍을 좌표로 하는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나 타내어 보자.

➌ x의 값의 범위가 모든 수일 때, 일차함수 y=2x+3의 그래프는 어떻게 그려지는지 추측해 보자.

일차함수의 그래프는 어떤 모양일까?

일차함수 y=2x+1에서 x의 값에 따른 y의 값을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -2 -1 0 1 2 y

y y -3 -1 1 3 5 y

2 4 x y

O 2 4 6 8 10

일반적으로 x의 값의 범위가 모든 수일 때, 일차함수 y=ax+b의 그래프는 직선이 된다.

참고 x의 값이 정해져 있지 않을 때에는 x의 값의 범위는 모든 수라고 생각한다.

2

-2 x

y

O -2 -4 2 4

2

-2 x

y

O -2 -4 2 4

2

-2 x

y

O -2 -4 2 4

<그림 1> <그림 2> <그림 3>

위의 표에서 x, y의 값의 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면

<그림 1>과 같다. 이때, x의 값 사이의 간격을 점점 좁게 하여 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면 <그림 2>와 같이 점점 직선에 가까워짐을 알 수 있 다. 따라서 x의 값의 범위가 모든 수일 때, 일차함수 y=2x+1의 그래프는 <그림 3>

과 같이 직선이 된다. 이때, 이 직선을 일차함수 y=2x+1의 그래프라고 한다.

96

Ⅲ. 함수

두 점을 이용하여 일차함수의 그래프 그리기

서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이므로 일차함수 y=ax+b의 그래프 는 이 그래프가 지나는 서로 다른 두 점을 찾아 직선으로 이으면 쉽게 그릴 수 있다.

일차함수 y=-;3!;x+2의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점을 이용하여 그 그래프를 그리시오.

예 제 1

풀이 일차함수 y=-;3!;x+2에서

x=-3일 때, y=-;3!;_(-3)+2=3 x=3일 때, y=-;3!;_3+2=1

이므로 이 일차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 두 점 (-3, 3), (3, 1)을 지나는 직선이다.

풀이 참조 -2

-4 2 4 x

y

O -2 2 4

일차함수 y=;2!;x+1의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점을 이용하여 그 그래프를 그 려 보자.

2 4 -2

-4 x

y

O 2 위의 2에서 나타낸 두 점을 지나

는 직선을 그린다.

3

순서쌍 (x, y): (-2, 0), (2, 2)

x y

O 2

2 4 -2

-4 위의 1에서 구한 x, y의 값의 순서

쌍 (x, y)를 좌표로 하는 두 점을 좌표평면 위에 나타낸다.

2

x=-2일 때, y=;2!;_(-2)+1=0 x=2일 때, y=;2!;_2+1=2 계산하기 편한 서로 다른 x의 값 2

개를 선택한 후 x의 값에 대한 y의 값을 각각 구한다.

1

1. 일차함수와 그래프

97

일차함수 y=-2x-1에 대하여 다음 표를 완성하고, x의 값의 범위 가 모든 수일 때, 그 그래프를 그리시오.

x -2 -1 0 1 2

y

1

배우고 익히는 수학

-2 -4

-2 -4 2 4

2 4 x y

O

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

오른쪽 그림과 같은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 일차함수 y=2x+1의 그래프가 직선임을 관찰해 보자.

➊

입력창에 일차함수 y=2x+1의 그래프가 지나는 점 (a, 2a+1)을 입력하면 일차함수 y=2x+1의 그래프가 지나는 점 A와 슬라이더 a가 나타난다.

➋ 점 A를 선택하고 마우스의 오른쪽을 눌러 나오는 메뉴 중 ‘자취 보이기’를 선택한다.

➌ 슬라이더의 점을 움직이면 일차함수 y=2x+1의 그래프가 지 나는 점들이 모여 직선이 되는 것을 관찰할 수 있다.

위와 같은 방법으로 일차함수 y=-3x-2의 그래프가 직선임을 관찰해 보자.

정보 처리

오늘 수업을 한마디로 표현하면?

❶ ❶ ❸

❷

다음 일차함수의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점을 이용하여 그 그 래프를 각각 그리시오.

⑴ y=x-3

⑵ y=-3x+4

⑶ y=2x

2

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

알지오매스 (AlgeoMath (http://algeomath) .kr)에서 일차함수 의 성질을

탐색할 수 있다.

98

Ⅲ. 함수

생각 열기

오른쪽 그림은 일차함수 y=2x+4의 그래프를 좌표평면 위에 나 타낸 것이다.

➊ 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표를 말하고, 그 점의 x좌표를 구 해 보자.

➋ 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표를 말하고, 그 점의 y좌표를 구해 보자.

x절편과 y절편이란 무엇일까?

이제 일차함수 y=ax+b의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구해 보자.

일차함수 y=ax+b의 그래프가 x축과 만나는 점의 y좌표가 항상 0임을 이용하면 일 차함수의 그래프를 그리지 않고도 x절편을 구할 수 있다. 즉, 일차함수 y=ax+b의 그래프의 x절편은 y=0일 때의 x의 값이다.

마찬가지로 일차함수 y=ax+b의 그래프가 y축과 만나는 점의 x좌 표가 항상 0임을 이용하면 일차함수의 그래프를 그리지 않고도 y절편 을 구할 수 있다. 즉, 일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편은 x=0일 때의 y의 값이다.

따라서 일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편은 항상 b이다.

-2 -4 2

4 y=2x+4

x y

O 2 4

-2 -4

오른쪽 그림과 같이 일차함수 y=-;2#;x+3의 그래프가 x축과 만 나는 점의 좌표는 (2, 0)이고 이 점의 x좌표는 2이다.

또, 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 3)이고 이 점의 y좌표

는 3이다. ^x

y

O 2 4

3 y=- 2-x+33

이와 같이 일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 그 그래프의 x절편이라 하고, y축과 만나는 점의 y좌표를 그 그래프 의 y절편이라고 한다.

x y

O

(0,y ) (x ,0)

보기 일차함수 y=-;2#;x+3의 그래프의 x절편은 2이고 y절편은 3이다.

y절편

y=ax+b

y절편

1. 일차함수와 그래프

99

일차함수 y=;3$;x+4의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.

예 제 2

풀이 y=;3$;x+4에 y=0을 대입하면 0=;3$;x+4 -;3$;x=4, x=-3

또, y=;3$;x+4에 x=0을 대입하면 y=;3$;_0+4=4

따라서 이 그래프의 x절편은 -3이고 y절편은 4이다. x절편: -3, y절편: 4

x절편과 y절편을 이용하여 일차함수의 그래프 그리기

일차함수 y=ax+b의 그래프가 원점을 지나지 않을 때, x`절편과 y절편을 알면 일차 함수의 그래프가 x축 및 y축과 만나는 두 점을 알 수 있으므로 그 그래프를 그릴 수 있다.

일차함수 y=2x-4의 그래프의 x절편과 y절편을 이용하여 그 그래프를 그려 보자.

3 2 1

x y

-2 O -2 -4

2 4 위의 2에서 나타낸 두 점을 지나는

직선을 그린다.

순서쌍 (x절편, 0), (0, y절편): (2, 0), (0, -4)

x y

O 2 4

-2 -2 -4 위의 1에서 구한 x절편과 y절편을

이용하여 순서쌍 (x절편, 0), (0, y절편)

을 좌표로 하는 두 점을 좌표평면 위에 나타낸다.

y=2x-4에 y=0을 대입하면 0=2x-4 -2x=-4, x=2

또, y=2x-4에 x=0을 대입하면 y=2_0-4=-4 즉, 이 그래프의 x절편은 2이고, y절편은 -4이다.

x절편과 y절편을 각각 구한다.

100

Ⅲ. 함수

x절편이 0인 일차함수의 그래프의 특징을 말해 보자.

의사소통

3

다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.

⑴

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2

4 ⑵

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

1

배우고 익히는 수학

다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하고, 이를 이용하여 그 그래프를 그리시오.

⑴ y=-3x+3

⑵ y=;2!;x-1

⑶ y=;3@;x+2

⑷ y=-x-4

4

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4 다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.

⑴ y=-3x+9 ⑵ y=-;2!;x+3

⑶ y=;4%;x+10 ⑷ y=2x-6

2

오늘 수업의 물음표와 느낌표는? 1. 일차함수와 그래프

101

일반적으로 일차함수 y=ax+b에서 x의 값의 증가량에 대한 y 의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 x의 계수 a와 같다.

이때, 이 비율 a를 일차함수 y=ax+b의 그래프의 기울기라고 한다.

생각 열기

안전

오른쪽 도로 표지판은 울릉도 나리 분지 에 있는 경사도 표지판이다. 이때, 경사도는

(경사도)= (수직 거리)

(수평 거리) _100(%) 로 구한다.

일차함수의 그래프의 기울기란 무엇일까?

실생활에서는 직선의 기울어진 정도를 나타내기 위해 각도를 이용 하기도 하지만, 생각 열기와 같이 수평 거리에 대한 수직 거리의 비율을 이용하기도 한다.

이제 일차함수의 그래프의 기울어진 방향과 정도를 하나의 수로 나타내는 방법을 알 아보자.

일차함수 y=2x+1에서 x의 값에 따른 y의 값을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -2 -1 0 1 2 3 4 y

y y -3 -1 1 3 5 7 9 y

1

2

2

4

3

6

위의 표에서 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 2만큼 증가하고, x의 값이 2만큼 증가하면 y의 값은 4만큼 증가한다.

따라서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율은 (y의 값의 증가량)

(x의 값의 `증가량) =;1@;=;2$;=2

로 일정하고, 이 비율은 일차함수 y=2x+1에서 x의 계수 2와 같음을

알 수 있다. ²

2 4 6

y=2x+1

+1 +2

+2 +4

x y

O

기울기

y=ax+b

기울기

생각 열기

안전 안전 안전

오른쪽 도로 표지판은 울릉도 나리 분지 에 있는 경사도 표지판이다. 이때, 경사도는

(경사도)= (수직 거리 (수평 거리 로 구한다.

이용하기도 한다.

➊ 위의 경사도 표지판이 세워진 오르막길의 수평 거리가 100 m일 때, 수직 거리를 구해 보자.

➋ 수평 거리가 200 m이고 수직 거리가 14 m인 오르막길의 경사도를 구해 보자.

102

Ⅲ. 함수

y절편과 기울기를 이용하여 일차함수의 그래프 그리기

일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편을 이용하면 그 그래프가 y축과 만나는 점을 알 수 있다. 또, 그 점과 기울기를 이용하면 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량 을 생각하여 다른 한 점을 구할 수 있다.

따라서 일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편과 기울기를 알면 이 그래프가 지나는 두 점을 알 수 있으므로 그 그래프를 그릴 수 있다.

일차함수 y=;3@;x-1의 그래프의 y절편과 기울기를 이용하여 그 그래프를 그려 보자.

이상을 정리하면 다음과 같다.

일차함수의 그래프의 기울기

일차함수 y=ax+b의 그래프의 기울기는 a이다. 즉, (기울기)=(y의 값의 증가량)

(x의 값의 증가량)=a

보기 일차함수 y=-;2#;x+4의 그래프의 기울기는 -;2#;이고, 이것은 x의 값이 2만큼 증가 할 때, y의 값은 3만큼 감소한다는 뜻이다.

3 2

1 y절편을 구한다. y절편은 -1이므로 점 (0, -1)을 지난다.

x y

-2 O -2

2

-4

2 4 위의 2에서 나타낸 두 점을 지나는

직선을 그린다.

위의 1에서 구한 y절편을 이용하여 순서쌍 (0, y절편)을 좌표로 하는 점 을 좌표평면 위에 나타내고 기울기 를 이용하여 또 다른 한 점을 찾아 좌표평면 위에 나타낸다.

기울기가 ;3@;이므로 점 (0, -1)에서 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향 으로 2만큼 이동한 점은 (3, 1)이 다.

x y

O 2 4

-2 -2

2

-4 +3

+2

1. 일차함수와 그래프

103

y절편과 기울기를 이용하여 다음 일차함수의 그래프를 그리시오.

⑴ y=;3@;x+1

⑵ y=-;2%;x+4

3

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4 다음 일차함수의 그래프의 기울기를 구하시오.

⑴

x y

O 2 4

2 -2

-4

⑵

x y

O 2 4

2 4 -2

2

다음 일차함수의 그래프의 기울기를 구하시오.

⑴ y=3x+5 ⑵ y=x-3

⑶ y=-2x-3 ⑷ y=-;5$;x+2

1

배우고 익히는 수학

104

Ⅲ. 함수

⑴ y=2x-3의 그래프의 x절편은 이다.

⑵ y=-;5!;x-2의 그래프의 y절편은 이다.

⑶ y=-3x+2의 그래프의 기울기는 이다.

⑷ y=3x+4의 그래프의 x절편은 이다.

⑸ y=;2!;x+3의 그래프의 y절편은 이다.

⑹ y=7x-3의 그래프의 기울기는 이다.

⑺ y=;3@;x+4의 그래프의 x절편은 이다.

⑻ y=-x+5의 그래프의 y절편은 이다.

⑼ y=6x+7의 그래프의 기울기는 이다.

⑽ y=x+1의 그래프의 x절편은 이다.

⑾ 다음 일차함수의 그래프의 기울기는 이다.

⑿ 다음 일차함수의 그래프의 기울기는 이다.

6 2 -1 -4

-;3$; -3 -6 7

-2 5 3 ;2#;

4 -2

-4 x

y

O 2

-2 -4 2 4

4 -2

-4 x

y

O 2

-2 -4 2 4

다음 ⑴~⑿에서 안에 알맞은 수를 써넣고, 그 수가 있는 칸을 찾아 주어진 형태로 색칠하여 그림을 완성하시오.

4

일차함수와 관련된 나만의 수학 사전을 만들어 봅시다. 1. 일차함수와 그래프

105

생각 열기

오른쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용 하여 기울기가 서로 다른 4개의 일차함수 의 그래프를 그린 것이다.

일차함수의 그래프와 기울기 사이에는 어떤 관계가 있을까?

•일차함수의 그래프의 성질을 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

일차함수의 그래프의 성질

3

➊ 기울기가 양수인 그래프를 모두 찾고 이 그래프의 공통점을 말해 보자.

➋ 기울기가 음수인 그래프를 모두 찾고 이 그래프의 공통점을 말해 보자.

일차함수 y=2x-1의 그래프의 기울기는 2이므로 x의 값 이 1만큼 증가하면 y의 값은 2만큼 증가한다.

또, 일차함수 y=-3x+1의 그래프의 기울기는 -3이므로 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 3만큼 감소한다.

이와 같이 기울기가 양수인 일차함수의 그래프는 오른쪽 위 로 향하는 직선이고, 기울기가 음수인 일차함수의 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직선이다.

x y

O 2

2

-2 -4 4

-2

y=2x-1 y=-3x+1 x

y

O 1 2 3 1

2

3 x

y

O 1 2 3

-2 -3 -1

오른쪽 아래로 향하는 직선이다.

오른쪽 위로 향하는 직선이다.

a>0

x y

O x

y

O a<0

일반적으로 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기 a가 양수이면 x의 값이 증가 할 때, y의 값도 증가하므로 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이다. 또, 기울기 a가 음수이면 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소하므로 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직 선이다.

106

Ⅲ. 함수

다음 일차함수 중 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하는 것을 모두 찾으시오. 또, x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소하는 것을 모두 찾으시오.

⑴ y=3x-7 ⑵ y=-6x+3

⑶ y=;4!;x+5 ⑷ y=-;3@;x-6

1

배우고 익히는 수학

나의 오늘 수업 참여도를 몸으로 나타내면?

수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

모둠별로 다음 활동을 통하여 일차함수의 그래프의 기울기가 양수인지 음수인지 몸으로 표현해 보자.

문제 해결 추론

준비물 A4 용지, 사인펜

놀이 방법

➊ 한 사람당 A4 용지 한 장에는 일차함수의 식을, 다른 한 장에 는 서로 다른 두 점의 좌표를 크게 적는다.

➋ 위의 ➊에서 만든 용지 뒷면에 그 그래프의 기울기와 기울기의 부호 또는 그 두 점을 지나는 일차함수의 그래프와 기울기의 부호를 적는다.

➌ 모둠별로 모둠원들이 적은 내용을 점검한 후 선생님께 제출한다.

➍ 두 모둠씩 나와 모둠원이 한 줄로 서서 선생님이 제시한 용지 의 앞면을 보고 그래프의 기울기의 부호를 오른쪽

그림과 같이 두 팔로 동시에 나타낸다.

➎ 제한 시간 동안 가장 많은 문제를 맞힌 모둠이 승리 한다.

일차함수 y=ax+b의 그래프에서 다음의 각 경우에 맞는 그래프를 오른쪽 그림의 ①~⑥에서 모두 찾으시오.

⑴ a>0 ⑵ a<0 ⑶ b>0

⑷ b<0 ⑸ b=0

2

x y

O

뒷면 앞면

1. 일차함수와 그래프

107

생각 열기

다음은 기울기가 같은 세 일차함수 y=2x+3, y=2x, y=2x-3에 대하여 x의 값에 대한 함숫값을 나타낸 것이다.

x … -2 -1 0 1 2 …

y=2x+3 … -1 1 3 5 7 …

y=2x … -4 -2 0 2 4 …

y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 …

기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 어떤 위치 관계에 있을까?

➊ 위의 표에서 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

➋ 위의 표에서 같은 x의 값에 대한 함숫값은 어떤 관계가 있는지 말해 보자.

생각 열기의 표에서 x의 각 값에 대하여 일차함수 y=2x+3의 함 숫값은 일차함수 y=2x의 함숫값보다 항상 3만큼 크다는 것을 알 수 있다. 즉, 두 일차함수 y=2x, y=2x+3의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 일차함수 y=2x+3의 그래프는 일차함수 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행하게 이동한 것과 같다.

이와 같이 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라고 한다.

2 -2

2

-2 -4 y=2x+34

y=2x 3 3 3 3

x y

O

보기 일차함수 y=-x-3의 그래프는 일차함수 y=-x의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평 행이동한 그래프이다.

+3 -3

일차함수 y=ax+b의 그래프

일차함수 y=ax+b의 그래프는 일차함수 y=ax의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이 동한 직선이다.

x y

O

y=ax+b (b>0)

y=ax ^x

y O

y=ax+b (b<0) y=ax

일반적으로 일차함수 y=ax+b의 그래프와 일차함수 y=ax의 그래프 사이에는 다 음과 같은 관계가 있다.

108

Ⅲ. 함수

다음 일차함수의 그래프는 일차함수 y=-;2!;x의 그래프를 y축 의 방향으로 얼마만큼 평행이동한 것인지 구하시오. 또, 일차함 수 y=-;2!;x의 그래프를 이용하여 다음 일차함수의 그래프를 그리시오.

⑴ y=-;2!;x+2

⑵ y=-;2!;x-5

1

배우고 익히는 수학

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 -x 4 y=- 21 일차함수의 그래프의 기울기와 평행

1 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다.

2 서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 같다.

다음 일차함수 중 그 그래프가 서로 평행한 것을 찾아 선으로 연결하시오.

y=x y=;3!;x-1

y=-2x-1 y=x-3

y=;3!;x+2 y=-2x+1

2

이제 서로 평행한 일차함수의 그래프의 성질을 알아보자.

일차함수 y=3x+4의 그래프는 일차함수 y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이고, 일차함수 y=3x-1의 그래프는 일차함수 y=3x의 그래프를 y축 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 이 세 그래프는 서로 평행하고 그 기울기는 모두 3이다.

일반적으로 두 일차함수의 그래프에서 다음이 성립한다.

이번 수업에 대한 느낌을 한 줄로 말하면? 1. 일차함수와 그래프

109

일차함수의 식을 어떻게 구할까?

일차함수의 식을 구하는 여러 가지 방법을 알아보자.

오른쪽 그림과 같은 일차함수의 그래프에서 x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값이 3만큼 감소하므로 기울기는 -;2#;이다.

또, 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표가 (0, 1)이므로 y절 편은 1이다.

따라서 일차함수의 식 y=ax+b에서 a=-;2#;, b=1이므 로 구하는 일차함수의 식은

y=-;2#;x+1 이다.

이와 같이 일차함수의 그래프의 기울기와 y절편을 알면 그 일차함수의 식을 구할 수 있다.

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

-3 +2

일차함수의 그래프의 기울기 a와 그래프가 지나는 한 점의 좌표를 알면 그 일차함수 의 식을 y=ax+b로 놓고 일차함수의 그래프가 지나는 한 점의 좌표를 이 식에 대입 하여 y절편 b를 구할 수 있으므로 그 일차함수의 식을 구할 수 있다.

기울기가 2이고 점 (-1, 1)을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

예 제 1

풀이 기울기가 2이므로 y절편을 b라고 하면 구하는 일차함수의 식은 y=2x+b

이 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로 위의 식에 x=-1, y=1을 대입하면 1=2_(-1)+b

b=3

따라서 구하는 일차함수의 식은 y=2x+3

y=2x+3 보기 일차함수의 그래프의 기울기가 -2이고 y절편이 3인 일차함수의 식은 y=-2x+3이다.

110

Ⅲ. 함수

수업에 열심히 참여했나요?

x절편이 -2이고 y절편이 4인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

예 제 2

풀이 x절편이 -2이고 y절편이 4이므로 이 일차함수의 그래프는 두 점 (-2, 0), (0, 4)를 지 난다.

즉, 이 일차함수의 그래프의 기울기는 0-(-2) =;2$;=24-0

또, y절편이 4이므로 구하는 일차함수의 식은 y=2x+4

y=2x+4

이와 같이 일차함수의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점의 좌표를 알면 기울기와 y절 편을 구하여 그 일차함수의 식을 구할 수 있다.

원점을 지나지 않는 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 알면 그래프가 x축 및 y축과 만나는 두 점의 좌표를 알 수 있으므로 그 일차함수의 식을 구할 수 있다.

예를 들어, 두 점 (-1, 4), (2, 1)을 지나는 일차함수의 그래프에서 (기울기)= 1-42-(-1) =-3

3 =-1 이므로 y절편을 b라고 하면 구하는 일차함수의 식은

y=-x+b 이다.

이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 위의 식에 x=2, y=1을 대입하면 1=-2+b, b=3

이다.

따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-x+3

이다.

일차함수의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점의 좌표를 알면 (기울기)=(y의 값의 증가량)

(x의 값의 증가량)

이므로 기울기와 한 점의 좌표를 이용하여 그 일차함수의 식을 구할 수 있다.

1. 일차함수와 그래프

111

다음 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

⑴ (-2, 4), (4, 1)

⑵ (-5, -2), (-3, 2)

4

다음 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

⑴ x절편이 4이고 y절편이 2인 직선

⑵ x절편이 -3이고 y절편이 -4인 직선

5

다음과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

⑴ 기울기가 1이고 y절편이 -2인 직선

⑵ 일차함수 y=;5@;x-3의 그래프와 평행하고 점 (0, 7)을 지나는 직선

2

다음과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.

⑴ 기울기가 -3이고, 점 (1, 2)를 지나는 직선

⑵ x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값은 4만큼 증가하고, 점 (4, 1)을 지나는 직선

3

배우고 익히는 수학

일차함수의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 이 일차함수의 식을 구하시오.

1

x y

O 2 4 6 8

2 4

112

Ⅲ. 함수

점 (0, 2)를 지난다. 점 (-1, 4)를 지난다. 점 (3, 0)을 지난다. 점 (7, 3)을 지난다.

⑵ x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값은

3만큼 감소한다. ⑶ 기울기가

1이다.

⑷ x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값은

4만큼 증가한다.

⑴ y=3x+1의 그래 프와 평행하다.

여러 가지 방법으로 일차함수의 식을 구해 본 느낌은?

창의・융합 문제 해결

횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는 시간 사이에는 어떤 관계가 있을까?

89쪽

횡단보도를 건너다 보면 그 길이에 따라 신호등의 녹색등이 켜져 있는 시간이 다르다는 것을 알 수 있다.

여기에는 어떤 규칙이 숨겨져 있을까?

신호등의 녹색등이 켜져 있는 시간은 횡단보도의 길이와 사람들이 걷는 속력과 관련이 있다. 또, 보행자가 녹색등으로 바뀌고 나서 여유 있게 들어갈 수 있도록 배려한 시간인 초기 진입 시간도 고려해야 한다. 이때, 초 기 진입 시간이 정해지면 횡단보도의 길이 x m와 신호등의 녹색등이 켜져 있는 시간 y초 사이의 관계는 초기 진입 시간이 y절편인 일차함수로 나타낼 수 있다. (자료: 온 - 나라 정책연구, http://www.prism.go.kr, 2010년)

횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는 시간 사이에는 어떤 관계가 있을까?

실타래를 따라가면서 만나게 되는 두 조건을 만족시키는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하 시오.

6

오른쪽 그림과 같은 어린이 보호 구역의 횡단보도 A의 초기 진입 시간은 7초이고, 횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는 시간은 각각 다음 표와 같다.

길이(m) 녹색등이 켜져 있는 시간(초)

16 27

이때, 어린이 보호 구역의 횡단보도의 길이를 x m, 녹색등이 켜져 있는 시간을 y초라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내어 보자.

A의 초기 초이고, 횡단보도의 길이와 녹색등이 켜져 있는

,

A

1. 일차함수와 그래프

113

생각 열기

생활

다음은 지훈이와 민정이가 통화를 하며 나눈 대화이다.

일차함수를 활용하여 어떻게 문제를 해결할 수 있을까?

변화하는 두 양 사이의 관계가 일차함수인 것을 우리 주변에서 많이 관찰할 수 있다.

이때 나타난 문제의 뜻을 파악하고 일차함수의 식이나 그래프를 이용하여 문제를 해결 할 수 있다.

생각 열기의 상황을 일차함수를 활용하여 해결해 보자.

➊ 변수 정하기

문제의 뜻을 파악하고 변하는 두 양을 x, y로 정한다.

파일을 내려받기 시작한 지 x초 후에 남은 파일의 크기를 y MiB라고 하자.

➋ 함수의 식 구하기

두 양 x, y 사이의 관계를 일차함 수의 식 y=ax+b로 나타낸다.

x초 동안 내려받은 파일의 크기는 50x MiB이므로 남은 파 일의 크기 y MiB는

y=700-50x

➌ 값 구하기

함숫값이나 그래프를 이용하여 값 을 구한다.

y=700-50x에 y=250을 대입하면 250=700-50x 50x=450, x=9

따라서 파일을 내려받기 시작한 지 9초 후에 남은 파일의 크기가 250 MiB가 된다.

➍ 확인하기

구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확 인한다.

파일을 내려받기 시작한 지 9초 후에 남은 파일의 크기는 700-50_9=250 (MiB)

이므로 구한 값은 문제의 뜻에 맞는다.

우리 모둠 수학 보고서 파일을 전자 우편으로 보냈으니

확인해 봐.

파일 크기가 700MiB나

되네.

사진이 많아서 그래.

다 내려받았어?

아직. 초당 50MiB씩 일정하게 내려받고

있으니까 다 받으려면….

➊ 700 MiB의 파일을 내려받기 시작한 지 x초 후 남은 파일의 크기를 y MiB라고 할 때, x와 y 사이 의 관계를 식으로 나타내어 보자.

➋ 파일을 내려받기 시작한 지 몇 초 후에 남은 파일의 크기가 250 MiB가 되는지 구해 보자.

114

Ⅲ. 함수

물이 들어 있는 원기둥 모양의 물통에서 일정한 비율로 물을 빼내고 있다. 처음 수면의 높이가 48 cm 이고 15분 동안 물을 빼낸 후의 수면의 높이가 42 cm일 때, 처음부터 이 물통을 모두 비우는 데 걸리 는 시간을 구하시오.

2

기온이 0 #일 때, 공기 중에서 소리의 속력은 초속 331 m이고, 기온이 1 # 오를 때마다 소리의 속력 은 초속 0.6 m만큼 증가한다고 한다. 기온이 27 #일 때, 소리의 속력을 구하시오.

예 제 3

풀이

변수 정하기 기온이 x #일 때, 소리의 속력을 초속 y m라고 하자.

함수의 식 구하기 기온이 0 #에서 x #만큼 오르면 소리의 속력은 0.6x #만큼 증가하므로 기온 이 x #일 때, 소리의 속력 초속 y m는

y=331+0.6x, 즉 y=0.6x+331

값 구하기 기온이 27 #이므로 y=0.6x+331에 x=27을 대입하면 y=0.6_27+331=16.2+331=347.2

따라서 기온이 27 #일 때, 소리의 속력은 초속 347.2 m이다.

확인하기 소리의 속력이 초속 331 m에서 초속 347.2 m가 되려면 초속 16.2 m만큼 증가 해야 한다. 이때, 기온이 1 # 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 0.6 m씩 증가 하므로 소리의 속력이 초속 16.2 m 증가하려면 기온은 16.2/0.6=27 (#)만 큼 증가해야 한다. 따라서 구한 값은 문제의 뜻에 맞는다.

초속 347.2 m

일차함수에 대한 자신감이 생겼나요?

용수철의 길이가 6 cm이고 추의 무게에 따라 일정하게 길이가 늘어나는 용수철 저울이 있다. 이 용수철저울에 무게가 150 g인 추를 달았더니 용수철의 길이가 9 cm가 되었다고 한다.

⑴ 추의 무게를 x g, 용수철의 길이를 y cm라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내시오.

⑵ 용수철저울에 무게가 400 g인 추를 달았을 때, 용수철의 길이를 구하시오.

1

배우고 익히는 수학

1. 일차함수와 그래프

115

교과 역량 더하기

집중!

오른쪽 좌표평면 위에 흩어져 있는 10개의 다이아몬드를 되도록 적은 개수의 직선으로 연결해 보자. 또, 연결한 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구해 보자.

다이아몬드를 모아라

문제 해결

2

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기 교과 역량 더하기

작은 정사각형 65개로 이루어진 오른쪽 그림과 같은 직사 각형에서 같은 색의 두 도형은 각각 합동이다. 이때, 세 점 A, B, C를 잇는 선을 경계로 직사각형이 이등분되는 것처 럼 보이지만 작은 정사각형 하나가 남는다. 그 까닭이 무엇인지 생각해 보고 친구들과 이야기해 보자.

사라진 정사각형

1

의사소통

A

B

C

116

Ⅲ. 함수

일차함수 세트 찾기

3

태도 및 실천 모둠별로 일차함수의 세트(일차함수의 식, 일차함수의 그래프, 기울기, x절편, y절편)를 찾는 놀이를 해 보자.

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

➊ 4명을 한 모둠으로 구성하고, 각 모둠원은 일차함수를 정한 후 그 일차함수의 식, 그래프, 기울기, x절편, y절편을 나타낸 5장의 카드를 만든다.

➋ 모둠별로 만든 카드에 오류가 있는지 점검한 후 각 모 둠원이 만든 카드를 모두 섞어 다른 모둠과 교환한다.

준비하기

➊ 카드 20장을 책상에 펼치고, 하나의 일차함수와 관련이 있는 카드 3장을 먼저 발견한 사람이 자신의 이름을 외친다.

➋ 모둠원들에게 자신이 선택한 카드 3장이 어떤 일차함수와 관련이 있는지 설명하고 모둠원들이 동의하면 카드를 가져간다.

➌ 위의 ➊, ➋를 반복하여 진행하고 더 이상 관련이 있는 카드가 없을 때, 가장 많은 카드를 가져 간 사람이 승리한다.

놀이 방법

예 시

-;2!;, 2, 1은 각각 일차함수 y=-;2!;x+1의 그래프의 기울기, x절편, y절편이야.

집중! 교과 역량 더하기

117

다음 안에 알맞은 수를 써넣고, x절편과 y절편을 이용하여 일차함수의 그래 프를 그리시오.

⑴ y=x-3 ⑵ y=-2x+3

x절편: 3, y절편: x절편: , y절편:

2

x y

O 2

-2 2 -2

일차함수와 그래프 다음과 같이 배운 내용을 정리해 보자.

다음 중 y가 x의 함수인 것에는 ◯표, 함수가 아닌 것에는 ×표를 ( ) 안에 써넣으시오.

⑴ y는 x보다 작은 소수이다. ( )

⑵ 한 변의 길이가 x cm인 정삼각형의 둘레의 길이는 y cm이다. ( )

⑶ 시속 x km의 속력으로 y시간 동안 이동한 거리는 10 km이다. ( )

⑷ x보다 5만큼 큰 수는 y이다. ( )

기

1

초

다음 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

⑴

x y

+2 O

⑵

O x y +2

(기울기)= +2 = (기울기)= +2 =

3

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리} 스스로 쓱쓱

118

Ⅲ. 함수

일차함수 y=;3$;x-12의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

4

기본

일차함수 y=4x+b의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프가 두 점 (a, -2), (1, 6)을 지난다. 이때, ab의 값을 구하시오. (단, b는 수.)

밑줄 친 부분의 수를 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

5

1 2 3 4 5 6 7

91쪽 1 101쪽 4 104쪽 2 101쪽 4 109쪽 1 101쪽 2

112쪽 4 114~115쪽 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호

되돌아보기

1.^{일차함수와 그래프}

오른쪽 그림과 같은 일차함수의 그래프의 x절편을 구하시오.

6

O x y

-2 3

3 1

오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 점 P는 꼭짓점 B에서 출발 하여 변 BC를 따라 꼭짓점 C까지 움직인다. 선분 PC의 길이를 x cm, 삼각형 ABP의 넓이를 y cm€라고 하자.

⑴ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내시오.

⑵ x=3일 때, 삼각형 ABP의 넓이를 구하시오.

7

발전

A

B

D

C 12`cm

8`cm y`cm@ x`cm

P

중단원 마무리

119

직접 해 보는 수학 교실

입력창에 y=2x+b를 입력하고, b의 값을 변화시키면서 일차함수의 그래프의 성질을 확인한 후 이를 정리하여 발 표해 보자.

활동

로 해 보는

컴퓨터 수학

이지그래프로 그래프 그리기 이지그래프(http://www.ebsmath.co.kr/easyGraph)에 접속하여 일차함수 y=ax+2의 그래프를 그려 보 고 일차함수의 그래프의 성질을 확인해 보자.

일차함수 y=ax+2의 그래프 그리기

a의 값이 양수일 때, 일차함수 y=ax+2의 그래프 는 다음 그림과 같이 오른쪽 위로 향하는 직선으로 나타난다.

a의 값이 음수일 때, 일차함수 y=ax+2의 그래프 는 다음 그림과 같이 오른쪽 아래로 향하는 직선으 로 나타난다.

❶ 입력창에 y=ax+2를 입력한다. ❷ 입력창 아래에 나타난 점을 움직여 a의 값을 변화 시키면서 그래프를 관찰한다.

관 찰 결 과

관 찰 결 과

120

Ⅲ. 함수

2 일차함수와 일차방정식의 관계

1. 일차함수와 일차방정식 2. 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 해

^{경제와 수학}

손익 분기점이란 일정한 기간의 총수입과 총비용이 일치하는 점 을 말한다. 예를 들어, 영화 제작에 투입된 총비용과 영화 관객 수 에 따른 총수입이 일치하는 경우에 영화 제작사는 손익 분기점에 도달했다고 한다.

이때, 총수입이 손익 분기점을 넘으면 이익이 발생하고, 손익 분 기점에 미달하면 손실이 발생한다.

(자료: 정재학, “경제 상식 퀴즈: 살아있는 경제용어로 강해지는 경제두뇌!”)

호떡 판매 행사에서 손익 분기점을 넘기려면 몇 개 이상을 팔아야 할까? 127쪽

안전 환경 기술 역사 문화 사회

경제 공학

2. 일차함수와 일차방정식의 관계

121

생각 열기

미지수가 2개인 일차방정식 x+y-2=0에 대하여 다음을 알아보자.

•일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.

일차함수와 일차방정식

1

일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식 사이에는 어떤 관계가 있을까?

일차방정식 2x+y-1=0에서 x의 몇 가지 값에 대한 y의 값을 구하면 다음과 같다.

x y -1 y 0 y 1 y 2 y

y y 3 y 1 y -1 y -3 y

이와 같이 일차방정식 2x+y-1=0의 해는 무수히 많 고, 이 해를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같은 직선이 된다. 이때, 이 직선을 일차방정식 2x+y-1=0의 그래프라고 한다.

한편, 이 직선은 기울기가 -2이고 y절편이 1이므로 일 차함수

y=-2x+1

의 그래프이다. 즉, 일차방정식 2x+y-1=0의 그래프는 일차함수 y=-2x+1의 그 래프와 같다.

일반적으로 x, y의 값의 범위가 모든 수일 때, 미지수가 2개인 일차방정식 ax+by+c=0(단, a, b, c는 수, a+0, b+0)

의 해 (x, y)는 무수히 많고, 그 해를 좌표평면 위에 나타내면 직선이 된다. 이때, 일차 방정식 ax+by+c=0의 그래프는 이 일차방정식에서 등식의 성질을 이용하여 나타낸 일차함수 y=-;bA;x-;bC;의 그래프와 서로 같다.

➊ 일차방정식 x+y-2=0의 해 (x, y)에 대하여 아래 표를 완성하고 순 서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 보자.

^{x -2 -1 0 1 2}

y

➋ x, y의 값의 범위가 모든 수일 때, 일차방정식 x+y-2=0의 해를 좌표평면 위에 나타내면 어떤 모 양이 될 지 추측해 보자.

x y

O -2

2 4

2 -2

x y

O -2 -4 4

2 -2

2

두 변수의 변화 상태를 그래 프로 나타내었다.

오렘

(Oresme, N., 1320?~1382)

122

Ⅲ. 함수

다음 일차방정식의 그래프를 그리시오.

⑴ 2x-y-3=0 ⑵ 3x+2y=4

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2

4

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

2

다음 일차방정식과 일차함수 중 그 그래프가 서로 같은 것을 찾아 선으로 연결하시오.

x+y=3 y=-x+3

4x-2y+1=0 y=;2!;x+;2#;

3x-6y+9=0 y=2x+;2!;

1

배우고 익히는 수학

일차방정식 3x-2y-4=0의 그래프를 그리시오.

예 제

풀이 일차방정식 3x-2y-4=0에서 -2y=-3x+4

y=;2#;x-2

따라서 일차함수 y=;2#;x-2의 그래프는 기울기가 ;2#;이고 y절 편이 -2이므로 오른쪽 그림과 같이 그려진다.

풀이 참조

x y

O -2 -4 2 4

2 -2

이번 수업에 대한 느낌을 한 줄로 말하면? 2. 일차함수와 일차방정식의 관계

123

생각 열기

다음 좌표평면 위에 각각의 순서쌍을 좌표로 하는 점을 나타내고 다음을 알아보자.

(1, -3), (1, -1), (1, 2), (1, 3)

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

(-3, 2), (-2, 2), (1, 2), (3, 2)

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

➊ 위의 각 좌표평면 위에 나타낸 네 점의 공통점을 말해 보자.

➋ 네 점을 지나는 직선을 각각 그려 보고 그 특징을 말해 보자.

방정식 x=k, y=l의 그래프는 어떻게 그릴까?

방정식 ax+by+c=0에서 a=0 또는 b=0인 경우를 알아보자.

예를 들어, 방정식 ax+by+c=0에서 a=1, b=0, c=-3이면 1_x+0_y-3=0

즉, x=3이므로 y의 값에 상관없이 x의 값은 항상 3이다. 따라 서 x=3의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 점 (3, 0)을 지나고 y축 에 평행한 직선이 된다.

같은 방법으로 y=2의 그래프는 점 (0, 2)를 지나고 x축에 평행한 직선이 된다.

이상에서 살펴보았듯이 x, y의 값의 범위가 모든 수일 때, 방정식 ax+by+c=0`(단,

`a, b, c는 수, a+0 또는 b+0)의 그래프는 직선이 된다. 이때, 방정식 ax+by+c=0 을 직선의 방정식이라고 한다.

x y

O 2 4

2 4 y=2 x=3

참고 x=0의 그래프는 y축, y=0의 그래프는 x축과 일치한다.

방정식 x=k, y=l의 그래프

1 x=k(단, k+0)의 그래프는 점 (k,`0)을 지나고 y축에 평행한 직 선이다.

2 y=l(단, l+0)의 그래프는 점 (0,`l)을 지나고 x축에 평행한 직 선이다.

일반적으로 방정식 x=k, y=l의 그래프는 다음이 성립한다.

O x y

y=l x=k l

k

124

Ⅲ. 함수

다음 조건을 만족시키는 직선의 방정식을 구하시오.

⑴ 점 (1, 2)를 지나고 x축에 평행한 직선

⑵ 점 {;3@;,`-;5!;}을 지나고 y축에 평행한 직선

2

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

오른쪽 그림은 몬드리안의 ‘빨강, 파랑, 노랑의 구성’에 나타나는 일부 선들을 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 이 그림에 있는 검은색 직선의 방 정식을 구하고, 분할된 면을 아름답게 색칠해 보자.

문제 해결 창의・융합

또, 직선의 방정식 ax+by+c=0의 그래프를 간단히 직선 ax+by+c=0이라고 한다.

특히, a+0, b+0일 때에는 직선의 방정식을 y=mx+n (단, m+0)의 꼴로 쓰기도 한다.

예를 들어, 일차방정식 2x-y=5와 y=2x-5는 같은 직선의 방정식이다.

x y

O 1

1

x y

O 2 4

-2 -4

-2 -4 2 4

배우고 익히는 수학

다음 직선의 방정식의 그래프를 그리시오.

⑴ x=4

⑵ y=-3

⑶ 2x-4=-6

⑷ ;2!;y-1=1

1

y=2x-5

일

차 함 수

일 차 방 정 식

직 선 의 방 정 식

몬드리안(Mondrian, P. C., 1872~1944)은 네덜란드의 20세기 추상 미술 화가이다. 몬드리안의 그림들은 표현하고자 하는 대상을 극도로 단순 화한 것이 특징이다. 그의 그림에서는 빨강, 파랑, 노랑의 원색과 흰색, 검 은색, 그리고 수직으로 교차하는 검은 선들이 자주 나타난다. 몬드리안은 이처럼 가장 기본적인 조형 요소만으로 사물의 본질을 표현하였다.

(자료: 이주헌, “십대를 위한 이주헌의 창조의 미술관”)

직선의 방정식에 대한 자신감이 생겼나요? 2. 일차함수와 일차방정식의 관계

125

생각 열기

오른쪽 그림은 두 일차함수 y=-2x+4, y=x-2

의 그래프를 같은 좌표평면 위에 나타낸 것이다.

➊ 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표를 말해 보자.

➋ 위의 ➊에서 찾은 교점의 좌표가 연립방정식 [ 2x+y=4

x-y=2 의 해가 되 는지 확인해 보자.

두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 해는 어떤 관계가 있을까?

•두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 관계를 이해한다.

일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 해

2

두 일차방정식 x+y=2, 2x+y=-2의 그래프는 각각 일차함수 y=-x+2, y=-2x-2의 그래프와 같다.

이때, 두 일차방정식의 그래프 위의 점의 좌표는 각각 두 일차방정식 x+y=2, 2x+y=-2의 해이므로 두 일차방 정식의 그래프의 교점의 좌표 (-4, 6)은 두 일차방정식의 공통의 해를 나타낸다.

2 4 -2

-2 2 4

x y

O

y=x-2

y=-2x+4

2x+y=-2

x+y=2 x y

O 2 4

-2 -4

2 4 6

-2

두 일차함수 y=x+3, y=-2x-3의 그래프의 교점의 좌표를 구하시오.

예 제 1

풀이 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표는 연립방정식 [ y=x+3

y=-2x-3

의 해와 같다. 위의 연립방정식을 풀면 x=-2, y=1

이므로 구하는 교점의 좌표는 (-2, 1)이다. (-2, 1)

x y

O 2

-2 -4

-2 2 4

y=-2x-3

y=x+3 이와 같이 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식의 해는 각 일차방정식의 그래프, 즉 일차함수의 그래프로 나타나는 두 직선의 교점의 좌표와 같다.

따라서 연립방정식 [ x+y=2

2x+y=-2의 해는 x=-4, y=6임을 알 수 있다.

126

Ⅲ. 함수