[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군] 12. 양의 비교와 시간 재기

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1. 양의 개념 2. 양의 비교

3. 시각과 시간의 개념 4. 시각과 시간의 지도

[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군]

12. 양의 비교와 시간 재기

1. 양의 개념

1~2학년 군의 측정 지도 내용으로 양의 비교, 길이재기, 시각과 시간이 있다. 보 통 측정 지도는 양의 속성과 관계없이 비교적 일관되고 순차적인 지도계열을 따 른다. 길이의 지도 역시 이와 같은 절차대로 교과서가 전개되며 1~2학년에서는 간접측정 이전까지의 단계를 다루게 된다.

양은 사물의 속성 중 하나로 관찰자로 하여금 그 대상의 대소 차이를 느끼게 하 는 추상적인 개념이다. 일상생활에서 학생들은 나이, 가족 구성원의 수, 줄넘기를 넘은 횟수, 키, 발의 길이, 몸무게, 음료수의 들이, 방의 넓이, 상자의 부피 등 다 양한 속성의 양을 경험한다.

일반적으로 양은 이산량과 연속량으로 분류할 수 있다. 이산량이란 사과, 달걀, 구슬 등과 같이 독립된 개체의 수를 나타내는 양을 뜻한다. 이산량을 수치화하는 과정을 ‘센다’라고 하고, 그 수치는 자연수에 해당한다. 각각의 수치는 개, 대, 송 이와 같이 속성에 적합한 단위를 사용하여 표현되며 일상에서의 언어적 관습과 밀접하게 관련된다. 반면, 길이, 무게, 넓이, 들이, 부피, 시간, 각도 등과 같이 크 기로 표현되는 양을 연속량이라 한다. 연속량을 수치화하는 과정은 ‘잰다, 측정한 다’라고 하고, 그 수치는 실수에 해당한다. 각 속성 고유의 단위 체계를 지니며 초등 수학에서 각 속성에 대한 양의 지도는 단위 체계와 함께 이루어진다.

연속량은 속력, 농도, 밀도와 같이 측정하는 사물의 크기에 좌우되지 않으면서 사물에 내재된 특성으로서의 양인 내포량과 길이, 넓이, 부피와 같이 사물의 크 기에 좌우되는 양인 외연량으로 구분된다. 연속량의 측정 활동에서 잰다는 것은 단위를 정하여 그것이 몇 번 포함되는가를 세는 활동으로 해석할 수 있다는 점 에서 연속량의 재기는 이산량의 세기와 연계성이 있다. 예를 들어, 연필의 길이 가 6이라는 것은 그 길이에 포함된 단위 길이 1을 여섯 번 셀 수 있다는 의미이 다.

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양

이산량 사과, 달걀, 구슬 등과 같이 독립된 개체의 수를 나타내는 양

연속량

내포량

속력, 농도, 밀도와 같이 측정하는 사물의 크 기에 좌우되지 않으면서 사물에 내재된 특성 으로서의 양

외연량 길이, 넓이, 부피와 같이 사물의 크기에 좌우 되는 양

[참고 문헌]

교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

2. 양의 비교

측정이란 대상의 어떤 속성의 양에 수를 부여하는 과정이며, 그 목적은 양의 비 교에 있다고 할 수 있다. 즉, 양을 크기라는 수학적 표현으로 바꾸어 대소 관계 를 파악하는 것이 측정의 목적이다. 그러나 측정을 통하지 않고도 두 대상의 대 소 관계를 파악하는 것이 가능하기는 하다. 수치화되기 이전에 대략적으로 파악 되는 양의 상대적 크기에 근거한 비교이다. 본 단원에서 다루어지는 양의 비교란 바로 이 단계를 의미하는 것으로 아직 측정을 통한 수치화가 이루어지지 않았지 만 직관적 비교, 직접 비교, 간접 비교를 통해 양의 크기를 비교하고, 그 결과를

‘길다, 짧다’, ‘무겁다, 가볍다’, ‘넓다, 좁다’, ‘많다, 적다’ 등을 사용하여 표현하도 록 하는 것이다. 이와 같은 양의 비교 활동은 단위를 사용한 특정의 필요성을 확 인하게 하는 동기를 부여한다. 즉 한쪽이 다른 한쪽보다 크다는 것을 알지만 얼 마나 큰지를 알기 위해서는 측정의 필요성이 대두되는 것이다. 따라서 양의 직접 비교와 간접 비교는 측정 개념 지도의 출발점으로 다루어진다.

1) 직관적 비교, 직접 비교, 간접 비교

연필과 크레파스 중 어느 것이 더 긴지를 판단할 때 관찰하는 것만으로도 시 각적으로 길이를 비교할 수 있는 경우는 직관적 비교에 해당한다. 그러난 길이가 엇비슷하거나 확실한 판단이 필요할 때 두 대상을 맞대어 보면 어느 것의 길이 가 더 긴지 쉽게 알 수 있고, 이렇게 직접 맞대어 보고 대소 관계를 정하는 것은 직접 비교에 해당한다. 한편 멀리 떨어져 있어 직접 비교가 불가능한 경우에는 매개적 역할의 사물, 즉 끈이나 막대와 같은 것을 이용하여 길이를 비교할 수 있 고, 이를 간접 비교라 한다.

길이 이외의 속성, 이를테면 무게, 들이, 넓이 등에서도 직관적 비교, 직접 비 교, 간접 비교가 가능하다. 직접 비교와 간접 비교의 구별은 매개물의 존재 여부

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예컨대 양팔저울의 양팔에 두 물체를 놓아 어느 쪽으로 기우는가를 확인함으로 써 무게를 비교하는 경우에는 양팔저울 자체가 무게 속성의 매개물은 아니므로 직접 비교에 해당한다. 한편 양팔저울을 사용하더라도 기준이 되는 제3의 물건을 이용하여 그 물건보다 무겁거나 가벼운 경우를 비교하여 판단한다면 이것은 간 접 비교에 해당한다.

들이의 경우 한 용기에 물을 가득 부은 다음 물을 다른 용기에 부어 넣으면서 처음 용기에 물이 남는지, 다른 용기에 물이 가득 차지 않는지를 판단하는 경우 는 직접 비교라고 볼 수 있다. 그러나 두 용기에 가득찬 물을 각각 제3의 용기를 사용하여 거기에 부어 보고 더 들어가는지 덜 들어가는지를 알아보았다면 이것 은 간접 비교에 해당한다.

각 속성에 대해 여러 가지 유형의 비교활동이 가능하지만 모든 속성에 대해 동일한 절차를 따르는 것의 적절성에 대해서는 재고의 여지가 있다. 교수・학습 상황에 적절하게 교사가 선택해야 할 교수학적 변인으로 다루어질 필요가 있는 것이다. 이에 대해 2015 개정 초등 수학과 교육과정에서는 ‘양의 비교는 직관적 인 비교, 직접 비교, 간접 비교 등을 상황에 따라 알맞게 다룬다.’를 교수・학습 방법 및 유의 사항으로 제시하고 있음을 확인할 수 있다.

2) 길이의 비교(길다, 짧다)

길이 비교를 위해 다양한 활동을 통해 길이 속성을 지닌 여러 가지 물체를 비교 하게 한다. 예컨대 두 자루의 연필을 비교하게 하면 학생들은 눈으로 확인하거나 한쪽 끝을 맞추어 나란히 놓거나 세워서 길이를 비교한다. 이와 같이 여러 가지 구체물의 길이를 직관적 또는 직접 비교함으로써 그 결과를 ‘더 길다, 더 짧다’로 표현하게 한다.

길이의 차원의 속성이지만 비교하는 말이 다른 키나 높이의 비교 활동은 일상생 활에서 흔히 일어나는 상황이므로 다룰 필요가 있다. 비교하는 말이 ‘높다, 낮다’,

‘키가 크다, 키가 작다’ 등으로 차이가 있기 때문이다. 1-1-4 탐구수학에서는 자 연스러운 맥락을 활용하여 높이의 비교를 포함하였다. 키의 비교는 학생의 인권 을 고려하여 수학책에는 제시하지 않고 지도서에 참고 자료로 수학하였다.

또한 두 물체의 비교에 이어 셋 이상의 물체를 비교하는 활동을 포함함으로써

‘더 길다’ 뿐만 아니라 ‘가장 길다’와 같은 표현을 사용하도록 한다.

직접 비교 활동 후 간접 비교가 필요한 상황으로 탐구 수학에서의 높이 쌓기 활 동을 활용한다. 책상에 각자 높이 쌓기 활동을 한 후 높이를 비교하려고 하는데 쌓은 구성물을 옮겨서 직접 비교할 수는 없으므로 끈을 이용하여 친구의 것과 내 것의 길이를 비교하는 상황이다.

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기준점이 달라서 비교 결과가 달라짐을 보여줌

출처: 교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

자연스러운 맥락에서 높이의 비교를 나타냄.

3) 무게의 비교(무겁다, 가볍다)

길이와 달리 무게는 시각적으로 비교하기 어려운 속성이다. 수학책 활동에 이 용된 수건과 아령이 그 사례다. 따라서 주변의 책, 가방, 필통, 연필, 지우개 등 여러 가지 구체물의 무게를 손으로 들어서 직관적으로 비교하게 하되, 무게 비교 결과를 확실히 인식할 수 있도록 무게 차이가 크게 나는 물체를 들어 보는 것이 좋다. 그러나 물체를 들어 보아 무게의 차이를 직관적으로 파악할 수 없는 경우 에는 양팔저울을 이용한다. 양팔저울의 양쪽 팔에 두 비교 대상을 각각 올려놓아 무거운 쪽이 내려간다는 성질을 이용하여 무게를 직접 비교하게 할 수 있다. 이 때 교사는 양팔저울이 추를 이용한 무게 측정 도구로서가 아니라 무게의 대소

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한 결과를 ‘더 무겁다, 더 가볍다’로 표현하게 하고, 세 가지 물건의 비교로 확장 하여 ‘가장 무겁다, 가장 가볍다’의 표현도 자연스럽게 익히도록 한다. 이와 같은 비교 과정을 통하여 학생들은 무게를 모양이나 부피로는 판단할 수 없음을 경험 하게 된다.

4) 넓이의 비교(넓다, 좁다)

길이는 선분에 대한 1차원의 기본량인데 비해 넓이는 2차원인 평면도형의 기본 량이다. 따라서 2차원의 양은 대부분 넓이를 이용하여 처리될 수 있으므로 넓이 개념은 길이만큼이나 중요하게 다루어져야 한다.

넓이 비교는 구체물을 통해 직관적으로 비교가 가능한 경우와 직접 겹쳐 보는 경우를 다룬다. 예를 들어 공책과 책, 교실과 화장실, 넓이가 다른 두 책상 등의 넓이를 직관적으로 비교한다. 또 색종이와 공책, 도화지와 책상, 수학책과 스케치 북 등 포개어지는 여러 가지 종이를 서로 겹쳐 보게 한다. 이때 학생들은 비교 결과를 ‘더 넓다, 더 좁다’로 표현하게 하고, 세 가지 물건의 비교로 확장한다.

넓이의 직접 비교 후 후속학습에서는 넓이의 직접 비교가 불가능한 적절한 예시 를 제시하여 매개물을 사용하여 간접 비교를 하거나 작은 매개물을 임의 단위로 사용하여 측정의 필요성을 인식하는 활동이 다루어지게 될 것이다.

5) 들이의 비교(많다, 적다)

들이는 용기에 담을 수 있는 양을 의미한다. 들이 속성 역시 일상생활에서 빈번 하게 사용되는 양이지만 용기의 모양에 따라 들이가 달라지므로 직관적인 비교 가 어렵다. 따라서 일상생활에서는 보통 용기에 표시된 수치를 통해서 인식되는 속성이다. 본질적으로 들이는 부피와 같은 속성이지만, 형체가 고정된 물체를 대 상으로 하는 부피와 달리 들이는 형체가 정해지지 않는 액체를 측정하기 위한 개념이다. 학생들에게 들이라는 용어가 친숙하지 않기 때문에 ‘담을 수 있는 양’

으로 표현하여 지도한다.

들이는 용기의 외형만으로는 파악하기 어렵다. 들이의 비교를 위해서는 컵, 우유 갑, 주전자, 음료수 병 등을 활용할 수 있는데 학생들이 용기의 높이나 폭 중 어 느 하나만을 기준으로 들이를 비교하는 성향에 주의하여 지도할 필요가 있다. 두 용기의 들이 차가 크거나 두 개의 같은 용기에 들이가 높이로 구분되는 경우라 면 직관적 비교가 가능하기 때문에 지도의 출발점으로 바람직하다. 한편 들이의 직접 비교를 위해서는 한 용기에 가득 든 물을 다른 용기에 부으면서 처음 용기 에 물이 남는지, 다른 용기에 물이 가득 차지 않는지를 관찰하도록 한다. 비교 활동의 결과를 담을 수 있는 양이 ‘더 많다, 더 적다’로 표현될 수 있게 한다. 지 도의 주안점은 학생들이 들이 비교의 원리를 이해하여 비교 결과를 적절히 해석 할 수 있는지에 맞춰져야 한다.

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[참고 문헌]

3. 시각과 시간의 개념

시각과 시간은 일상생활에 밀접하게 관련되어 있는 친숙한 양적 개념이다. 학생 들은 초등학교를 입학하기 이전에 이미 시각과 시간을 생활 속에서 경험한다. 초 등학교에서는 이 경험을 바탕으로 시계를 읽으면서 시각과 시간을 학습하기 시 작한다. 시간은 구체물을 대상으로 한 양이 아니기 때문에 다른 측정 영역과는 다르게 직접 비교, 간접 비교, 임의 단위를 활용한 측정을 생략하고 보편 단위 학습으로 시작한다. 시간 개념을 지도할 때에는 시간의 두 가지 속성을 고려하 여야 한다. 하나는 ‘현재’를 나타내는 시간이고, 다른 하나는 ‘양’을 나타내는 시 간이다. 전자는 시각, 후자를 시간이라 구분한다. 시각은 기준점으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 위치 개념이고, 시간은 두 시간 사이의 거리를 나타내 는 양적 개념으로 시각은 일종의 0차원 측정값이고 시간은 1차원 측정값이다.

초등학교 저학년 학생들은 시각과 시간의 개념을 구분하기 어려워한다. 영어에서 도 시각과 시간을 모두 ‘타임(time)'이라는 단어로 통틀어 부를 것을 보면 시간에 대한 인류의 분석적 사고는 상당히 나중에 발달한 것으로 보인다. 따라서 교과서 에서는 시각과 시간을 구별하여 사용하지만 학생들이 시각과 시간을 엄밀하게 구분하지 못하더라도 시각을 정확히 읽고 나타내며 간단한 시간을 구하는 수준 까지 지도한다.

[참고 문헌]

4. 시각과 시간의 지도 1) 시각의 지도

시계 읽기는 가장 어려운 기구 중의 하나이지만 제일 먼저 가르치는 것 중의 하 나이기도 g하다. 시계 판 위의 눈금을 읽는 방법은 두 가지 이상(시, 분, 초)이 있을 뿐 아니라 (값을 알려주는) 바늘은 원을 그리며 움직인다. 학생들이 시간에 대해 학습하기에 적절하고 정해진 나이는 없다. 레이스(Robert E. Reys)는 시계 보기와 관련된 다음과 같은 일곱 가지의 기능을 생각해 볼 수 있지만 반드시 순 서대로 발달하는 것은 아님을 이야기했다.

① 시침과 분침 그리고 그 바늘이 움직이는 방향을 안다.

② (분침이 12 위에 있는 것에 주목하면서) 몇 시라고 말하고 몇 시인 것을 보여주기 위하여 시곗바늘을 돌린다.

③ 몇 시 ‘이후’를 안다.(예를 들어 4시가 지났다.)

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⑤ 몇 시 ‘이전’을 알고 몇 분 전인가를 말하기 위해 5와 1 단위로 센다.

⑥ 디지털 형식으로 시각을 기록한다.

⑦ 디지털시계와 아날로그시계의 시각을 맞추어 본다.

이러한 기능들은 오랜 시간에 걸쳐 개발되어야 하고 학생들은 바늘을 움직일 수 있는 시계를 가지고 있어야 한다. 레이스(Robert E. Reys)의 지적에서처럼 시계 보기는 시를 읽는지 아니면 분이나 초를 읽는지에 따라 시계 위의 숫자를 읽는 방법이 다르다는 점 등에서 어려움을 겪는 활동이므로 쉬운 것부터 체계적인 지 도가 필요하다. 다만 많은 학생들은 자라면서 시계를 보는 나름의 비형식적 방법 을 가지고 있을 수 있으므로 이를 잘 활용할 필요가 있으며 교육과정에서도 시 각 읽기는 학생의 경험을 소재로 할 것을 유의점으로 제시하고 있다.

(교육부, 2015)

1학년에서는 ‘몇 시’와 ‘몇 시 30분’을 학습하게 되는데, 아날로그시계가 7시를 나타낼 때 시점은 7을 가리키지만 분침은 12를 가리키는 이유를 설명하여 이해 시키기는 어렵다. 마찬가지로 아날로그시계가 7시 30분을 나타낼 때 시침은 7과 8 사이를 가리키지만 분침은 6을 가리키는 이유를 설명하기도 어렵다. 분침에 대한 이해는 2학년에서 가리키므로 1학년에서는 몇 시는 분침이 12를, 몇 시 30 분은 분침이 6을 가리킴을 알도록 만 하는 것이 좋으며 주로 시침의 위치에 주 목하게 할 필요가 있다. 또한, 휴대전화 보급률이 높아지면서 디지털시계와 아날 로그시계의 관계를 알아보는 활동도 중요하게 다루어야 한다.

2학년에서는 시각 읽기를 지도할 때에는 모형 시계를 활용해서 시계의 긴바늘과 짧은바늘의 움직임을 직접 확인하도록 해야 한다. 먼저 두 바늘이 가리키는 눈금 과 그 바늘이 움직이는 방향을 확인한다. 또 두 바늘의 속도가 다르며 서로 어떤 관계가 있는지 알 수 있도록 해야 한다. 이때 시계를 관찰하여 1부터 12까지의 숫자의 의미, 긴바늘과 짧은 바늘의 역할과 특징을 파악하게 하는 것이 중요하 다.

[참고 문헌]

2) 시간의 지도

시간은 시각과는 다른 의미와 역할을 가진다. 학생들이 시계를 보거나 몇 시쯤 무엇을 했는지 기억하는 것은 쉽지만 얼마 동안 어떤 일이 발생했는지 인식하고 표현하기는 어렵다. 시각에 비해 시간을 이해하고 활용하기가 어려운 이유이다.

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무엇을 하는 데 걸린 시간은 생활 속에서 사용하는 친숙한 표현이지만 학생들에 게 시간은 언제부터 언제까지 수학적으로 명확하게 계산에서 얻은 값이라기보다 는 어른들로부터 듣는 언어적 표현에 가깝다. 초등학교에서는 학생들의 일상적인 경험을 토대로 정해진 시범에서 다른 정해진 시점까지의 간격을 정확하게 계산 하는 방법을 지도한다. 시간을 지도할 때에도 시각을 지도할 때와 마찬가지로 시 계의 긴바늘이나 짧은 바늘의 움직임으로 지도한다. 아래와 같이 시간을 생각하 는 시점의 시각을 나타내는 시계와 끝점의 시각을 나타내는 시계를 제시하여 긴 바늘과 짧은 바늘이 얼마나 회전하였는지를 알아보도록 하여 시간을 구한다. 시 간과 달리 정각에서 시작하여 긴바늘이 12를 가리킬 때 60분이 된다는 것을 유 의하여 지도한다.

학생들이 긴 바늘의 움직임에 중점을 두어 긴바늘이 작은 눈금 60칸을 움직이는 데 걸린 시간인 60분과 짧은 바늘의 움직임에 중점을 두어 짧은 바늘이 5에서 6으로 움직이는데 걸린 시간인 1시간을 모두 확인하고 두 시간이 같은 시간임을 확인하게 한다.

[참고 문헌]

교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.

또 60진법, 즉 1시간은 60분이라는 것을 고려하여 더하고 빼서 시간을 구하도록 한다. 십진법에서 익숙한 학생들에게 60진법의 계산은 어렵게 느껴질 수 있다.

모형 시계의 바늘을 조작하거나 시간 띠에 나타내어 시간을 측정하고 양감을 기

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시간을 구할 때는 세로형식으로 알고리즘화 하여 지도하지 않으며 ‘분’을 ‘시간과 분’으로, ‘시간과 분’을 ‘분’으로 간단한 범위에서만 생각하도록 한다. 아래의 왼쪽 그림은 띠를 이용하여 시간과 분을 구하는 활동이다. 띠를 이용하여 시간을 나타 내는 방법을 하루의 시간을 시간 단위로 약속하고 오전과 오후를 알아보는데도 일관성 있게 이용하여 학생들의 이해를 도울 수 있다.

출처: 교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.

[참고 문헌]

교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.