[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군] 3. 수 세기와 수 개념

목차

1. 수 세기의 원리와 단계 2. 수 세기 전략

3. 수 개념과 수 개념 지도 방안 4. 수의 의미와 읽기

[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군]

3. 수 세기와 수 개념

1. 수 세기의 원리와 단계 1) 수 세기의 원리

수 세기는 수의 값을 이름으로 부르는 것으로 아주 복잡한 과정이다. 수 세기 과 정을 좀 더 자세히 들여다보면 사물이 몇 개나 있는지를 아는 데에는 두 가지의 서로 다른 행동이 포함되어 있다. ‘하나’에서부터 시작하는 일련의 수 이름을 순 서대로 말하는 것과 각 수의 이름을 부를 때마다 사물을 한 개씩 지적해야 한다 는 것이다.

아래의 그림은 1학년 1학기 5단원의 구슬의 개수를 세는 장면이다. 그럼, 구슬의 수를 세는 과정에서 요구되는 원리는 무엇이 있을까?

<1학년 1학기 5단원>

기본적으로 네 가지의 원리를 요구한다.

§ 첫째, 일대일 대응의 원리이다. 세어지는 각 대상은 단 하나의 수 이름이 할 당되어야 한다. 예를 들어, 구슬의 개수를 셀 때, 각각의 구슬과 수 이름 사이 에는 일대일 대응이 되어야 한다.

§ 둘째, 안정된 순서의 원리이다. 일련의 수 이름은 대상을 셀 때마다 항상 고 정된 순서로 사용되어야 한다. 즉, 아동은 ‘하나’에서 시작하여 ‘둘, 셋, …, 일 곱’이라는 정해준 순서대로 빠짐없이 말할 수 있어야 한다.

§ 셋째, 순서 무관의 원리이다. 대상을 세는 순서는 문제가 되지 않는다.

따라서, 어떤 대상에서나 시작할 수 있고 어떤 순서로든지 셀 수 있다.

§ 넷째, 기수의 원리이다. 마지막으로 사용된 수 이름이 대상의 개수이다.

이 원리는 수 세기를 통하여 몇 개인지를 파악하는 것이다. 어떤 대상을 먼저 세는지 또는 어떤 순서로 세는지에 상관없이, 마지막에 말한 대상의 수 이름 이 센 묶음의 집합수이다.

[참고 문헌]

박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역(2012), 『초등교사를 위한 수학과 교수법』. 서울:(주)경문사. 180-181.

교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

2) 수 세기의 단계

학생들이 수 세기를 할 때 실수를 줄이기 위해서는 다양한 수 세기 활동이 제공 되어야 한다. 하지만, 수 세기의 경험이 부족한 학생들은 수를 셀 때 수를 세는 과정에서 말과 행동이 일치되지 않거나 대상을 빠뜨리고 세거나 중복하여 세는 경우, 수사(數詞)를 잘못 붙여 세는 경우, 대상을 정확하게 셀 수 있지만 몇 개인 지를 모르는 실수를 하게 된다. 이러한 수 세기 오류의 가능성을 줄이기 위해서 는 수 세기의 단계와 각 단계에 반영되는 수 세기의 원리를 살펴볼 필요가 있다.

① 기계적인 수 세기

기계적인 수 세기란 ‘일 이, 삼, 사, … ’와 같이 수의 계열을 순서대로 말하 는 것을 뜻한다.

기계적인 수 세기를 하는 학생들은 수 세기 과정에서 여러 가지 실수를 하 게 된다.

• 같은 대상을 여러 번 세거나 셀 때마다 다른 수 이름의 순서를 사용하 는 경우

기계적인 수 세기를 하는 학생은 [그림 1]처럼 몇 가지 수 이름을 알

고 있지만 올바른 순서로 알고 있지 않는 경우가 많다. 이 경우에 학생은 수 이름을 말하겠지만 그 수 이름은 올바른 순서가 아니다. 이러한 학생은 안정된 순서의 원리에 초점을 맞추어 대상을 ‘하나’에서 시작하여 ‘둘, 셋,

…, 일곱’으로 세도록 지도한다.

• 수 이름과 세는 대상의 수가 일치하지 않는 경우

수 이름의 순서를 올바르게 알고 있더라도 기계적인 수 세기를 하는 학생은 세는 대상과 수 이름 사이의 옳은 대응을 유지하지 못한다. [그림 2]

처럼 대상을 지적하는 것보다 더 빨리 수 이름을 말하거나 [그림 3]처럼 수 이름을 말하는 것보다 더 빨리 대상을 지적하기도 한다. 이러한 기계적인 수 세기를 하는 학생은 대상은 지적하지만 지적한 각각의 대상에 해당하는 수 이름을 말하지 못하기 때문에 이러한 오류를 범하는 학생에게는 수 세기 를 천천히 하게 하거나 일대일 대응의 중요성을 강조하면 좋다.

② 수 세기

합리적 수 세기란 수의 계열과 세어야 할 대상들을 일대일 관계로 연결하며 세는 것을 말한다. 합리적 수 세기를 하는 학생은 일대일 대응을 사용할 뿐 만 아니라 세는 대상의 개수에 대해서도 말할 수 있다. 합리적인 수 세기는 모든 초등학교 1학년 학생들에게 중요한 기능이기 때문에 많은 경험이 필 요하다. 그리고, 1학년 초엔 학생들의 수를 셀 수 있는 능력이 어떤 학생은 10까지, 어떤 학생은 20까지, 어떤 학생은 50까지 셀 수 있더라도 1학년 말 까지는 모든 학생들이 100까지의 합리적 수 세기를 할 수 있도록 지도하는 것이 바람직하다. 학생들의 합리적인 수 세기가 가능하게 하려면 다양한 수 세기 상황을 제공하여 실제로 세어 보는 활동을 해야 하며 각각의 학생별로 가능한 한 큰 수까지 세도록 격려해야 한다.

[참고 문헌]

박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역(2012), 『초등교사를 위한 수학과 교수법』. 서울:(주)경문사. 180-181.

2. 수 세기 전략

10 또는 20까지의 합리적 수 세기가 숙달되면 더 효율적이고 세련된 수 세기 전 략이 도입되어야 한다. 세련된 수 세기 전략에는 이어 세기, 거꾸로 세기, 뛰어 세기 등이 있는데 2015 개정 교과서에서도 소개하고 있다.

1) 앞으로 세기(이어 세기)

앞으로 세기는 ‘이어 세기’라고도 하는데 2015 개정 교과서에서는 ‘이어 세기’하 는 표현이 더 많이 사용되고 있어 ‘이어 세기’로 표현하고 있다. 이어 세기는 어 떤 수에서 시작하여 올바른 순서로 수의 이름을 말하여 세는 방법이다.

예를 들어 8보다 3 큰 수를 구할 때 여덟에서 시작하여 ‘아홉’, ‘열’, ‘열하나’와

같이 3개의 수를 이어서 세어 11로 세는 방법이다. 즉 8 다음의 수인 9부터 첫 째 수는 9, 둘째 수는 10, 셋째 수는 11과 같이 세는 것이다.

[이어 세기로 수 세기 방법]

8보다 3 큰 수를 구할 때 8부터 3개의 수 9, 10, 11로 이어 세어 11을 구한다.

이 때 주의할 점은 8 다음 수부터 3개의 수를 이어 세어서 9, 10, 11로 세는 것 에 초점을 두고 지도하는 것이 필요하다. 이어 세기를 하기 위해서는 시작하는 수를 학생이 인식하고 있어야 하고, 시작하는 수의 바로 이전의 수와 이후의 수 를 알고 있어야 한다. 연구에 따르면 모든 수 세기 원리를 알고 있는 학생들이라 도 어떤 수의 앞과 뒤에 오는 수를 혼동하거나 확실하게 알지 못한다고 한다.

・1-1-5. 50까지의 수, 모으기와 가르기를 해 볼까요 / 수의 순서를 알아볼까요

[모으기와 가르기를 해 볼까요]

[수의 순서를 알아볼까요]

2) 거꾸로 세기

거꾸로 세기는 특정한 지점에서 시작해서 반대 순서로 수 이름을 정확하게 말하 여 세는 것이다. 예를 들어 14보다 3 작은 수를 구할 때 14에서 시작하여 ‘13’,

‘12’, ‘11’로 3개의 수를 거꾸로 세어 ‘11’로 세는 방법이다. 거꾸로 세는 것은 학 생들에게 어렵게 느껴질 수 있으므로 초보 단계에서는 로켓 발사와 관련하여 카 운트다운(5, 4, 3, 2, 1, 발사)과 같은 훈련을 통해 연습하게 할 수 있다. 이 외에 도 수직선을 이용하는 방법도 있다. 거꾸로 세기 전략을 익힐 경우 수의 계열과 순서를 익힐 때, ‘0’을 지도할 때 자연스럽게 접할 수 있어 유용한 수 세기 전략 이 될 수 있다.

[거꾸로 세기로 수 세기 방법]

14보다 3 작은 수를 구할 때 14부터 3개의 수를 13, 12, 11과 같이 거꾸로 세어 11을 구한다.

1-1-1. 9까지의 수와 1-1-5. 50까지의 수에서의 거꾸로 세기 지도 사례는 아래와 같다.

・1-1-5. 50까지의 수, 모으기와 가르기를 해 볼까요 / 수의 순서를 알아볼까요

[모으기와 가르기를 해 볼까요]

<Tip> 거꾸로 세기 지도 방법

① 로켓 발사와 관련시킨다.(카운트다운-5, 4, 3, 2, 1, 발사) ② 수직선을 이용하는 방법

• 7보다 2 작은 수는 7에서 2칸을 거꾸로 세어 5가 됨을 자연스럽게 이해한다.

3) 뛰어 세기

뛰어 세기는 수 이름을 하나씩 말하는 대신에 2씩, 3씩, 5씩, 또는 다른 값만큼씩 말하면서 세는 것을 말한다. 뛰어 세기는 다양한 규칙성과 수 세기에 도움을 주 는 방법 중 하나다.

<Tip> 수 배열표를 이용하여 뛰어 세기를 지도하는 방법

• 2에서 시작해서 2씩 뛰어 센다. • 3에서 시작해서 3씩 뛰어 센다.

[참고 문헌]

박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역(2012), 『초등교사를 위한 수학과 교수법』

서울:(주)경문사. 182-185.

교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

3. 수 개념과 수 개념 지도 방안

아주 어린 아동들조차도 본격적으로 수를 이해하기 전에 많은 초기 수 개념을 경험한다. 이들 경험의 대부분은 수 자체에 대한 경험이라기보다는 수 개념을 형 성하기 위한 것으로 이러한 경험을 초기 수 개념이라고 한다. 이러한 초기 수 개 념은 의미 있는 수 세기 기능과 수 감각을 개발하기 위해서 중요하기 때문에 다 양한 경험을 해야 할 필요가 있다. 초기 수 개념으로는 분류하기, 규칙성 찾기, 수의 보존성, 묶음 인식, 비교하기가 있다.

1) 개념과 초기 수 개념

①

분류는 수 세기를 하기 위한 선결 요건이다. 아동들이 교실에 여자 아동이 몇 명 있는지 알고 싶다면 먼저 여자 아동들을 인식할 수 있어야 한다.(즉, 분류할 수 있어야 한다.) 따라서 아동들은 수 세기를 하기 전에 무엇을 셀 것인지 알아야 하며, 무엇을 셀 것인지 인식하는 데 도움을 주는 것이 분류이다. 어떤 대상들을 분류하기 위해서는 각 대상이 주어진 특성을 갖고 있는지의 여부를 판단해야 한 다. 예를 들어, 단추에 대한 다음과 같은 질문을 생각해 보자. 구멍이 두 개인 플 라스틱 단추는 몇 개인가? 이 질문에 대한 답을 하기 위해서는 먼저 단추가 플 라스틱이고 그 중에 구멍이 두 개인 단추는 어떤 것인지를 판단하여야 한다.

② 규칙 찾기

수학은 규칙 또는 패턴에 관한 학문이다. 규칙을 찾고, 묘사하고, 만드는 활동은 수학 학습에서 중요한 부분을 차지한다. 규칙은 기하학적 속성(모양 대칭), 관계 적 속성(수열, 함수), 물리적 속성(색, 길이, 개수) 또는 정서적 속성(좋아함, 싫어 함)으로 나뉘기도 한다. 수 감각과 수학적 탐구는 이처럼 규칙 찾기로부터 발달

. 저학년에서는 규칙을 통하여 수 감각, 순서 짓기, 수 세기, 수열을 학습할 수 있다.

③ 수의 보존성

주어진 수는 변하지 않는다는 수의 보존성은 학생들의 사고를 반영한다.

위 사례는 수의 보존성 개념이 없는 경우이다. 이 학생은 카드의 배열을 펼 쳐 놓으면 카드의 개수가 변한다고 생각한다. 결국 이 단계의 학생들은 어 떤 대상의 개수는 배열에 따라서 달라질 수 있다고 생각한다. 1~2학년 학생 들 중에 어떤 학생들은 수의 보존성이 형성되지 않았거나 수 세기는 잘하지 만 수의 보존성에는 여전히 미숙할 수 있다. 따라서 교사는 이러한 상황이 발생했을 때마다 수의 불변성을 인식하도록 하는 수업 활동을 적용해야 한 다.

④ 묶음 인식

연구에 따르면 대부분의 학생들은 학교에 들어가기 전에 수 세기를 하지 않 고서도 세 개 이하의 개수를 인식할 수 있다고 한다. 사물이 몇 개인지를 즉시 인식하는 기능을 ‘즉각적 인지’라고 한다. 이 즉각적 인지는 대상을 묶 어서 세는 활동으로 학생들에게 개발시켜야할 중요한 기능이다.

물론 학생들이 사물의 개수를 좀 더 쉽게 인식하거나 즉각적인 인식을 가능 하게 하는 데 물체의 배열 형태가 도움이 되기도 한다. 예를 들어 학생들은 일반적으로 직사각형 배열을 가장 쉽게 인식하고 그 다음으로 직선, 원형 배열을 쉽게 인식하지만 흩어진 배열은 가장 어렵게 인식한다.

직사각형 배열 직선 배열 원형 배열 흩어진 배열

예를 들어 아래와 같은 새의 그림을 살펴보자. 새는 모두 몇 마리일까? 왼 쪽에 있는 그림에는 묶음이 없기 때문에 새를 하나씩 세었거나 또는 어떤 부분 집합에 있는 새의 개수를 즉각적으로 인지한 다음에 나머지를 세었을 것이다. 다른 두 그림에는 몇 가지 자연스런 묶음-즉 3씩 4묶음과 6씩 2묶 음-이 가능하다.

질문) 사람 모양 과자와 하트 모양 과자 중에 어느 것이 더 많은가요?

[그림 1] [그림 2] [그림 3]

만약 주어진 물체의 배열을 어떤 작은 묶음으로 인식하지 못한다면 많은 양 을 인식하는 데에는 어려움을 느낄 수밖에 없다. 따라서 작은 묶음(예를 들 어, 다섯 또는 여섯 개까지의 양)에 대한 즉각적인 인지는 더 큰 묶음의 개 수를 세는 데 있어서 중요한 수단이 된다.

⑤ (일대일 대응)

양의 크기 비교는 수 세기를 학습하는 데 있어서 중요한 부분이며 수 개념 에 있어서도 필수적이다. 아래 그림에서 하고 있는 질문은 과자 수의 크기 비교와 관련된 질문으로 질문에 대한 답을 구하는 과정에서 ‘일대일 대응’이 라는 수학적 개념을 이끌어 낼 수 있다.

예를 들어 그림 1과 같은 상황에서는 비교를 위해 하나하나 세지만 그림 2 와 같은 상황에서는 과자의 수를 세지 않고 직접 비교할 수 있고, 그림 3과 같은 상황에서는 서로 연결하여 일대일 대응을 시키면 시각적으로 나머지를 확인하여 비교할 수 있다. 따라서, 수의 크기 비교는 일대일 대응을 통해 지 도할 수 있다.

2) 수 개념 지도 방안

① 수 개념 지도

유치원 누리 과정에서 학생들은 생활 속에서 사용되는 수의 여러 가지 의미 를 알고 스무 개 가량의 물체를 세고 그 수량을 알아보는 학습을 하였다.

또한 구체물로 ‘더 많다’, ‘더 적다’의 관계를 알아보았으며 하나의 사물의 양을 기준으로 더 많은지 또는 더 적은지를 일대일 대응이나 수 세기를 통 해 수량을 비교하였다.

누리과정의 기초 수 개념과 연계하여 1학년 1학기 1단원에서는 9까지의 사 물의 수를 직접 세어 보는 활동을 한 후 수 개념을 도입하고 수를 이용하여 물건의 수량이나 순서를 나타낸다. 수 개념을 도입하기 전에 학생들과 여러 가지 대상을 함께 세어 보는 활동을 통해서 이전 경험과 수 개념을 자연스 럽게 연결할 수 있도록 해야 한다. 초등학교 1학년 1학기 1단원의 성취기준 과 학습의 흐름을 살펴보면 다음과 같다.

2015 개정 수학과 교육과정

성취 기준

[2수01-01] 0과 100까지의 수 개념을 이해하고, 수를 세고 읽고 쓸 수 있다.

[2수01-03] 네 자리 이하의 수의 범위에서 수의 계열을 이해하고, 수의 크기를 비 교할 수 있다.

[교수・학습 방법 및 유의사항]

・ 자연수가 개수, 순서, 이름 등을 나타내는 경우가 있음을 알고, 실생활에 서 수가 쓰이는 사례를 통하여 수의 필요성을 인식하게 한다.

・ 수 세기가 필요한 장면에서 묶어 세기, 뛰어 세기의 방법으로 수를 세어 보고, 실생활 장면에서 짝수와 홀수를 직관적으로 이해하게 한다.

・ 수와 연산 영역의 문제 상황에 적합한 문제 해결 전략을 지도하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.

<단위학습계열>

<9까지의 수를 세고 읽고 쓰기>

수 세기를 통한 수 개념 형성을 위해 1부 터 9까지의 수에 대해 반복적인 수 세기 활동을 한다. 수 세기를 지도할 때에는 일 대일 대응의 원리를 적용하여 사물의 수에 맞게 바둑돌을 놓으면서 수를 읽어 보는 활동을 하도록 지도한다. 예를 들어, ‘트럭 의 수는 하나입니다.’, ‘바둑돌의 수는 둘입 니다.’, ‘안전모의 수는 이입니다.’와 같이 읽는 활동을 지도한다.

<9까지 수의 순서 알고 이용하기>

수의 순서를 지도할 때에는 앞으로 세기 (이어 세기)나 거꾸로 세기 전략을 이용하 여 지도한다. 또 다른 방법으로는 수직선 을 이용하는 것도 좋은 방법이다.

<1 큰 수와 1 작은 수>

1 큰 수와 1 작은 수의 개념을 지도할 때에 수의 순서와 마찬가지로 앞으로 세기(이어 세기)나 거꾸로 세기 전략을 이용하여 지도 한다.

1 큰 수와 1 작은 수의 개념을 지도할 때에 는 ‘3보다 1큰 수는 4입니다, ’3보다 1작은 수는 2입니다.‘와 같이 문장으로 말해 보는 활동을 함께 지도한다.

② 수 개념 지도 방안

<0의 지도>

‘0’의 지도는 ‘아무것도 없음’을 나타내는 상황을 연출하여 지도하고, 기호로 ‘0’으 로 나타낸다고 이해하도록 지도하는데, 거꾸로 세기 전략을 이용하면 자연스럽 게 0을 접할 수 있다.

<두 수의 크기 비교>

두 수의 크기 비교는 수 세기를 하거나 두 수의 일대일 대응을 이용하여 지도한다. 또 한, 수판(10틀)의 수 표현 모델을 이용하는 방법도 제시하고 있다.

물건의 수를 비교할 때는 ‘많다’, ‘적다’로 말 하지만 크기를 비교할 때에는 ‘크다’, ‘작다’

로 말하도록 지도한다.

[참고 문헌]

박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역(2012), 『초등교사를 위한 수학과 교수법』.

서울:(주)경문사. 70-179.

교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

4. 수의 의미와 읽기 1) 수의 의미

자연수는 크게 집합수, 순서수, 이름수의 의미를 가진다.

① 집합수

집합수란 양을 나타내는 수이다. 어떤 집합의 원소가 몇 개인가를 나타낸다.

1학년 1학기 1단원에서는 집합수를 지도하는 차시이다. 이 차시에서는 실생 활 장면에 제시된 소방차, 헬멧, 비행기, 자동차, 자전거의 개수를 세어 수로 나타내도록 하고 있다.

② 순서수

순서수란 위치를 나타내는 수이다. 대상이 순서대로 나열되었을 때 상대적 인 위치를 나타낸다. 같은 대상도 기준에 따라 위치를 나타내는 수가 달라 질 수 있다. 다음은 1학년 1학기 1단원에서 순서수를 지도하는 차시이다.

이 차시에서는 차례로 줄을 선 학생들의 순서를 세는 활동을 통하여 순서수 를 지도하고 있다.

③ 이름수

이름수란 사물의 이름 대신에 부여한 수로서 양을 나타내거나 연산의 대상 은 아니지만 자료를 정리할 때 중요하게 활용된다. 5번 버스, 아파트 5동 등 은 모두 이름수의 예이다. 1학년 1학기 1단원의 탐구수학에서는 집합수, 순 서수와 함께 이름수를 경험하는 활동을 제시하고 있다. 아래의 상황에서 ‘7 번 선수’는 이름수의 예이다.

집합수, 순서수, 이름수를 사용할 때 학생들은 그 용어를 구분할 필요가 없 다. 이러한 구분은 문제 상황에서 질문을 함으로써 비형식적으로 이루어질 수 있다.

2015 교과서 탐구수학에서 수의 의미와 쓰임새를 직 간접적으로 알아보는 활동을 새롭 게 구성하였다. 이 차시에서는 생활 속에서 수가 사용되는 상황을 통해 이름수, 순서수, 집합수 의 개념을 이해하도록 제시하고 있다. 물론 학생들에게 집합수, 순서수, 이름수의 의미를 직접적 으로 가르치지 않지만 생활 속에서 수를 어떻게 사용하는지 상황을 통해 그 쓰임새를 이해하도 록 하고 있다.

2) 수 읽기

명수법은 수를 부르는 말, 즉 수사(數詞)를 말하는데 명수법은 각 민족의 언어와 밀접하게 관련이 있다. 우리나라의 경우에는 한글 고유의 수사(數詞)도 있지만 중국 문화의 오랜 영향으로 한자 수사(數詞)도 같이 쓰이고 있다.

① 한글 수사

오늘날 이용하는 한글 수사에는 하나, 둘, 셋 넷, … 등이 있는데 이들은 모 두 집합수를 지칭할 때 이용되고, 순서수를 나타낼 때에는 끝에 ‘~째’를 붙 여 말한다. 다만 맨 처음을 말할 때에는 ‘첫째’라고 말한다.

② 한자 수사

한자 수사는 일, 이, 삼, 사,… 등과 같이 한자 기수법에 따라 수를 그대로 읽으면 된다. 예를 들어 백미만의 수를 말할 때에는 19개를 ‘십구개'라고 읽 기보다는 ’열아홉 개‘라고 읽는 것이 바람직하다. 이러한 수를 ’셈수‘라고도 부르는데 셈수 외의 경우에는 대체로 한자 수사를 이용한다.

③ 한글 수사와 한자 수사의 구분

언제 한글 수사를 이용하고 언제 한자 수사를 이용해야 하는지에 대한 원칙 은 명확하지가 않다. 다만 생활 속에서 이용하는 맥락을 받아들이고 따르는 수밖에 없다. 예를 들어 시각을 말할 때 ‘3시’는 ‘세시’로 말하는 것이 일반 적이고 24시제에 따라서 ‘13시’는 ‘열세 시’라고 말하기 보다는 ‘십삼 시’ 라 고 말하는 경우가 더 많다.

1학년 1학기 5단원 탐구수학에서는 실생활에서의 경험을 바탕으로 수를 말 해 보는 활동을 통해 수 읽기를 제시하고 있다.

[참고 문헌]

교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.