[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군] 13. 길이재기

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1. 길이의 의미와 비교 2. 길이의 단위

3. 길이 재기의 지도 4. 길이의 어림 지도 전략

[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군]

13. 길이재기

1. 길이의 의미와 비교

길이는 학생들에게 막대, 철사, 노끈과 같이 물체 그 자체로서 받아들여지는 경 우와 책상의 가로와 세로, 상자의 높이, 원통의 둘레 등과 같이 물체의 한 측면 으로 받아들여지는 경우가 있다. 이 물체들의 길이를 나타내는 말에는 길다와 짧 다, 두껍다와 얇다, 높다와 낮다, 깊다와 얕다, 멀다와 가깝다 등이 있으며 어느 것이나 길이로 처리된다는 것을 알게 할 필요가 있다. 따라서 길이의 비교는 물 체의 속성에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

① 물건 그 자체가 길이로 생각되는 것들의 비교

② 길이가 물건의 한 측면이라고 생각되는 것들의 비교

③ ‘길다, 짧다’로 표현되지 않는 것(두껍다, 얇다, 높다, 낮다, 깊다, 얕다, 멀다, 가깝다)들의 비교

①의 경우 처음에는 그들끼리 직접 비교하게 하도 그 다음에는 끈 같은 것 을 사용하여 길이를 대치하고 그것으로 비교해 보는 간접 비교를 하게 한 다. 이때 굽은 것은 팽팽하게 당겨서 굽은 선이나 면에도 길이가 있음을 알게 한다. ②,③의 경우에는 물체의 여러 측면에서 테이프나 노끈, 줄 등 으로 길이를 대치하고 그것을 비교해 보는 간접 비교를 하게 한다.

[참고 문헌]

교육부(2015). 수학 2-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

2. 길이의 단위 1) 단위의 특성

단위는 측정에서 가장 중요한 것 중 하나다. 제2차 미국수학학력평가에 따른 연구 결과에 의하면 어린 학생들은 단위에 대한 지식을 어느 정도 가지고 있지

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만 좀 더 복잡한 환경에서는 그들이 가진 지식을 포기하는 듯하다. 예를 들면 9 살 학생의 3/4이 아래와 같이 간단한 직육면체의 부피는 구할 수 있었으나 좀 더 복잡한 입체에 대해서는 단위 정육면체를 세는 것이 아니라 눈에 보이는 면 을 세었다고 한다. 따라서 측정을 위해 단위를 지도할 때 세심한 배려가 필요하 다.

단위와 관련하여 형성되어야 할 개념으로는 다음과 같은 것들이 있다.

첫째, 측정 결과는 수치뿐만 아니라 단위도 함께 기록해야 한다.

둘째, 같은 단위를 사용하여 측정하면 여러 개의 측정값을 쉽게 비교할 수 있다.

셋째, 어떤 대상을 재는 데 한 단위가 다른 단위보다 더 적절할 수 있다.

넷째, 단위가 크면 측정값이 작아지고, 단위가 작으면 측정값이 커진다.

다섯째, 효율적인 의사소통을 위해 표준 단위가 요구된다.

2) 단위의 분류

① 임의 단위: 뼘, 발, 클립, 연필 등 길이의 속성을 가진 것은 무엇이든 사물의 길이를 잴 때 유용하게 사용된다. 그러나 단위의 길이가 일정하지 않기 때문에 정확하게 잴 수 없으며 재 는 시기나 방법, 재는 사람에 따라 측정값이 다르게 나오 는 것이 문제이다.

② 표준 단위: 특정 지역이나 사회, 국가에서 널리 통용되는 단위이다.

• 관습 단위: 일부 지력에서 관습적으로 사용되어 온 단위로 서양에서 는 인치(inch), 피트(feet), 마일(mile) 등이 있고, 우리나라 에서는 치, 자, 척, 리 등이 있다.

• 국제 단위: 세계적으로 합의된 단위로 밀리미터(mm), 센티미터(cm), 데시미터(dm), 미터(m), 킬로미터(km) 등이 있다.

3) 몸을 이용한 길이 단위

고대에는 어느 민족이든 신체의 일부분을 단위로 하여 길이를 재었다. 지금도 자신의 신체 부위의 길이를 알면 자가 없어도 길이를 재는 데 편리하게 이용할 수 있다.

① 큐빗(cubit): 46~56cm정도의 길이를 나타내는 고대 단위로써, 팔꿈치

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에서 가운뎃손가락까지의 길이다.

② 양팔을 펼쳤을 때 길이(arm span(암스팬)): 약 6피트 정도의 길이로 예전에는 배를 타는 선원들이 바다의 깊이나 밧줄의 길이 등을 측정할 때 사용하였다.

③ 한 뼘(hand span(핸드 스팬)): 손을 쫙 폈을 때 엄지에서 새끼손가락 까지의 길이지만 표준 단위로 사용되지는 않는다.

④ 피트(feet): 12inch(약 30.480cm)의 길이로 성인의 발 길이에서 유래되 었다.

⑤ 인치(inch): 2.54cm 정도의 길이로 어른 엄지손가락의 너비에서 유래 되었으나 오늘날에는 어린이의 엄지손가락 첫 마디 길이 로 간주된다.

[참고 문헌]

3. 길이 재기의 지도 1) 측정의 지도 계열

측정이란 대상 또는 사건의 어떤 속성에 수를 부여하는 과정이다. 길이, 들이, 무게, 넓이, 부피, 시간, 온도 등은 초등학교 교육과정에서 측정할 수 있는 속성 이다. 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시하고 있는 측정 영역의 성취기준은 아래와 같다.

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관련 단원

 양의 비교

[2수03-01] 구체물의 길이, 들이, 무게, 넓이를 비교하여 각각 ‘길다, 짧 다’, ‘많다, 적다’, ‘무겁다, 가볍다’,‘넓다, 좁다’ 등을 구별하여 말할 수 있다.

 시각과 시간

[2수03-02] 시계를 보고 시각을 ‘몇 시 몇 분’까지 읽을 수 있다.

[2수03-03] 1시간은 60분임을 알고, 시간을 ‘시간’, ‘분’으로 표현할 수 있 다.

[2수03-04] 1분, 1시간, 1일, 1주일, 1개월, 1년 사이의 관계를 이해한다.

 길이

[2수03-05] 길이를 나타내는 표준 단위의 필요성을 인식하고, 1cm와 1m 의 단위를 알며, 상황에 따라 적절한 단위를 사용하여 길이를 측정할 수 있다.

[2수03-06] 1m가 100cm임을 알고, 길이를 단명수와 복명수로 표현할 수 있다.

[2수03-07] 여러 가지 물건의 길이를 어림하여 보고, 길이에 대한 양감 을 기른다.

[2수03-08] 구체물의 길이를 재는 과정에서 자의 눈금과 일치 하지 않는 길이의 측정값을 ‘약’으로 표현할 수 있다.

[2수03-09] 실생활 문제 상황을 통하여 길이의 덧셈과 뺄셈을 이해한다.

(1-1-4) 비교하기

(1-2-5) 시계보기와 규칙 찾 기

(2-2-4) 시각과 시간

(2-1-4) 여러 가지 모양

(2-2-3) 여러 가지 도형

비록 이러한 속성이 저마다 다르다할지라도 이러한 속성을 측정하도록 지도하는 방법에는 공통점이 있다. 다음은 측정 대상이 무엇이든 상관없이 측정을 지도하 는 순서에 일관된 방향성이 있음을 시사한다.

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1. 대상을 비교함으로써 속성을 안다.

1) 직관적 비교 2) 직접 비교

3) 참조물을 통한 간접 비교 2. 단위를 선정한다.

1) 임의 단위 2) 표준 단위

3. 단위에 의해 대상을 비교한다.

4. 단위의 수를 찾는다.

1) 세기를 이용한 직접 측정 2) 도구를 이용한 직접 측정 3) 공식을 이용한 간접 측정 5. 단위의 수를 기록한다.

새로운 속성을 도입할 때에는 1~5단계를 순차적으로 진행하는 것이 필요하지만 몇 개의 속성이 도입되고 나면 이러한 순환과정의 주기가 짧아질 것이다. 예를 들어 저학년에서 길이, 들이, 무게 등의 속성을 지도할 때에는 여러 유형의 비교 활동이나 임의 단위에 의한 측정활동에 많은 시간이 필요할지 모른다. 그러나 고 학년에서 넓이나 부피를 지도할 때는 이미 유사한 활동을 충분히 경험했기 때문 에 초기 단계의 활동에 지나치게 많은 비중을 둘 필요가 없다.

2) 센티미터(cm)와 미터(m)의 지도

프랑스 과학원에서 1미터를 북극점에서 적도까지의 거리의 1000만분의 1로 정 하였다가 1793년에는 적도 길이의 4000만분의 1로 정의되었다. 1889년 미터는 백금0이 리듐 막대의 두 지점 사이의 거리로 고정되었다. 그러나 과학자는 이와 같은 정의가 100만분의 1보다 더 정확할 수 없기 때문에 만족하지 못했다. 1983 년 미터는 또 다시 시간과 길이와 연관시키는 방법으로 재정의 되었다. 즉 공간 에서 빛이 1초 동안 진행한 거리의 299792458분의 1로 미터를 정의하였다. 또한 미터보다 더 크고 작은 단위를 미터를 기준으로 하여 십진법으로 정하였다. 즉, 100분의 1 미터를 1 센티미터, 1000분의 1 미터를 1 밀리미터, 100 미터를 1 킬 로미터 등으로 표기하도록 하였다. 그 이유는 십진법으로 구성된 인도-아라비아 숫자인 0~9로 표현된 수의 계산 속도가 세계에서 가장 빠르기 때문에 십진법을 택하게 된 것이다.

미터법에서는 길이의 기본 단위로 미터(m)를 제정한 다음 좀 더 작은 길이 단 위가 필요해서 센티미터(cm)를 제정하였다. 그러나 우리나라 초등학교 교육과정

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에서는 센티미터를 먼저 도입하고, 그 다음에 미터를 도입하는 방식을 택하고 있 다. 이것은 아마도 센티미터 단위가 어린 학생들의 일상생활과 더 밀착되어 있기 때문일 것이다. 따라서 단위의 역사 발생 순서와 지도 계열은 일치하지 않는다고 할 수 있으며 ‘1cm가 1m의 1/100에 해당하는 길이’라는 원래의 의미보다는

‘100cm에 해당하는 길이는 1m'라는 교수학적 변환과정을 거쳐서 학생들에게 전 달되는 것이 바람직하다.

센티미터는 2학년 1학기에 처음 도입되며 뼘이나 연필 등 임의 단위로 길이를 재는 것의 불편함을 해소하기 위한 목적으로 등장한다. 2학년 2학기에 미터가 도입되는 맥락도 여기서 크게 벗어나지 않는다. 센티미터가 학생들이 기존에 사 용하던 임의 단위의 불편함을 해소하기 위해 도입되었듯이 미터는 센티미터 단 위의 불편함을 해소하기 위한 목적으로 도입된다. 교실의 칠판이나 사물함 등의 길이는 학생들이 가지고 있는 센티미터 자로 재기에는 너무 길다. 따라서 길이가 긴 물건을 쉽게 재기 위한 보다 큰 단위가 필요하고 이러한 상황에서 미터가 도 입된다. 그러나 미터는 센티미터 단위의 문제점을 해소하기 위한 수단인 동시에 센티미터만큼 정확하게 사물의 길이를 잴 수 없는 한계도 있다. 따라서 미터 단 위를 도입할 때에는 센티미터 단위와 비교하여 장단점을 충분히 논의해 보고, 문 제 상황에 따라 적절한 단위를 합리적으로 선택하는 것이 필요하다는 것을 알도 록 지도해야 한다.

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출처: 교육부(2015). 수학 2-1, 서울: 천재교육.

<센티미터(cm)의 지도 사례>

센티미터(cm)는 임의 단위의 불편 함을 해소하기 위해 도입되었다. 따 라서, 센티미터(cm)를 지도할 때에 는 표준단위의 도입 필요성을 느낄 수 있도록 학생들의 눈높이에 맞추 어 이야기를 설정하여 지도한다.

<미터(m)의 지도 사례>

미터(m)는 센티미터(cm)의 불편함 을 해소하기 위해 도입되었다.

센티미터(cm)를 알고 있는 상태 에서 미터(m)를 도입하기 위해 서는 센티미터(cm)로 재기 불편 할 정도의 길이를 가진 사물을 측정하도록 해야 한다. 하지만, 이 과정에서 센티미터(cm)를 불 편하기만 한 단위로 인식되어서 는 안 되고, 센티미터(cm)와 미 터(m) 중 적절한 단위를 선택하 여 물건의 길이를 나타낼 수 있 음을 알도록 지도해야 한다.

3) 단명수와 복명수

양을 표현할 때 하나의 단위만으로 표시된 명수를 단명수라 하고, 단위 몇 개를 조합하여 표시된 명수를 복명수라고 한다. 예를 들어, 30분, 10cm, 50원 등은 단 명수이고, 1시간 10분, 1m 15cm 등은 복명수이다. 길이에서는 12mm, 204cm, 3m 등이 단명수의 예이고, 3cm 2mm, 4m 51cm 등이 복명수의 예이다. 단명수 와 복명수 지도 사례를 살펴보자

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<단명수와 복명수 지도 사례>

100cm가 넘는 길이를 ‘몇 m 몇 cm’로 바꾸거나 반대로 ’몇 m 몇 cm'를 cm 단 위로 바꾸는 활동을 하면서 단명수와 복 명수를 지도한다.

[참고 문헌]

4. 길이의 어림 지도 전략

길이를 재어야 하는 상황에서 자가 없을 때 가장 효과적인 방법이 어림이다. 어 림은 특정 길이에 대한 양감을 기를 수 있다. 어림을 위한 전략으로 대표적인 것 은 다음 세 가지이다.

1) 기준(referents)과 비교하기: 1cm, 5cm, 10cm, 20cm, 1m 정도의 길이 가 되는 사물이나 신체의 부분을 알고 있다면 이를 길이 를 재는 데 이용하는 것이다. 예를 들어 자신의 한 뼘이 20cm인 것을 알고 있다면 그 길이와 비슷한 필통의 길이 를 어림할 수 있다. 또 자신의 두 걸음이 약 1m 인 것을 알고 있다면 그것의 두 배, 세 배되는 길이를 비교적 쉽 게 어림할 수 있다.

2) 덩어리 짓기(chunking): 재어야 할 전체 길이를 몇 개의 덩어리로 나 누고 각각을 어림하여 총합을 구한 방식이다. 예를 들어 운동장의 짧은 쪽의 길이를 어림해야 하는 상황에서 놀이 기구나 축구 골대와 같이 운동장에 있는 시설을 기준으로 운동장의 짧은 쪽의 길이를 두 부분으로 나누고 각 부분 을 어림하여 더한다.

3) 단위화(unitizing): 어림해야 하는 전체 길이 가운데 일부를 단위로 택 해 어림한 후 전체가 몇 부분으로 구성되어 있는지를 생 각하여 전체 길이를 어림하는 방식이다. 예를 들어 실을 30cm 길이로 자르라고 했을 때 먼저 10cm 정도인 길이 를 어림하고 그것을 3번 택하거나 운동장에 있는 축구 골대의 길이가 약 10m인 점을 이용하여 달리기 트랙에

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축구 골대가 약 몇 번 들어갈지 가늠하는 방식으로 달리 기 트랙의 길이를 어림할 수 있다.

길이의 어림 지도에 대한 교과서 지도 사례를 살펴보면 다음과 같다.

길이의 어림 지도 사례

1m 정도의 길이가 되는 신체의 부분을 알고 이를 이용하여 긴 줄넘기의 길이를 어림해 보도록 지도한다.

운동장의 짧은 쪽의 길이를 어림할 때 운동장 의 짧은 쪽의 길이를 두 부분으로 나누어 각 부분을 축구골대와 같이 운동장에 있는 시설 을 기준으로 어림하여 더한다.

깃발 사이의 거리를 어림하기 위해 축구 골대 를 이용하여 축구골대가 약 몇 번 들어가는 지 가늠하여 어림한다.

[참고 문헌]