Vol. 70, No. 1, January 2020, pp. 39∼49 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.70.39
Analysis of Mathematics-Related Contents in Middle School Science Textbook
Dongseung Kang
Department of Mathematics Education, Dankook University, Gyeonggi 16890, Korea
Bongwoo Lee
∗Department of Science Education, Dankook University, Gyeonggi 16890, Korea (Received 22 October 2019 : revised 8 November 2019 : accepted 18 November 2019)
The purpose of this study is to analyze the mathematics-related content presented in middle school science textbooks. For this study, we selected three kinds of middle school science textbooks to extract the contents related to mathematics and to analyze the mathematical elements. The main results are as follows. First, contents related to mathematics were found to be about 13.4%
of the science textbooks. The majority was found in the ‘Motion and Energy’ section. Second, the proportions of the mathematical contents were presented in the order of physics (19.4%), earth science (18.7%), chemistry (14.8%), and biology (4.8%). Third, the math presented in these text- books involved mathematical concepts learned in 5th to 7th grade, and some of these mathematical concepts were encountered first in science than math textbooks. Fourth, the majority of the math- ematical process involved ‘employing analytically’ and ‘interpreting geometrically’, and the most commonly used pattern was ‘formulating geometrically→ interpreting geometrically’. In addition, we discuss the relationship between mathematics and the difficulties in learning physics.
PACS numbers: 01.30.M−, 01.40.ek
Keywords: Science textbook, Mathematics contents, Mathematical process, Difficulty of physics
중학교 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용 분석
강동승
단국대학교 수학교육과, 경기 16890, 대한민국
이봉우
∗단국대학교 과학교육과, 경기 16890, 대한민국
(2019년 10월 22일 받음, 2019년 11월 8일 수정본 받음, 2019년 11월 18일 게재 확정)
본 연구의 목적은 중학교 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용을 분석하는 것이다. 이를 위하여 중학교 과학 교과서 3종을 선택하여 수학 관련 내용을 추출하고 수학 관련 내용의 양, 수학 내용 요소, 수학 과정 요소 등을 분석하였다. 주요 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 교과서의 약 13.4%에서 수학 관련 내용이 발견되었고, ‘운동과 에너지’ 단원에서 가장 많이 발견되었다. 둘째, 수학내용이 제시된 쪽의 비율은 물리 (19.4%), 지구과학 (18.7%), 화학 (14.8%), 생물 (4.8%) 등의 순이었다. 셋째, 수학 내용 요소 분석 결과,
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초등학교 5학년부터 중학교 1학년 사이의 수학 내용들로 구성되어 있으며, 일부 개념들은 수학 교과에서 학습하기 전에 과학 교과에서 더 먼저 제시되었다. 넷째, 수학 과정 요소 분석 결과, ‘대수적으로 이용하기’
와 ‘기학학적으로 해석하기’가 가장 많이 발견되었으며, ‘기하학적으로 이용하기 → 기하학적으로 해석하기’
가 가장 많이 발견되는 유형이었다. 추가적으로 물리 학습에의 어려움과 수학의 관련성에 대해 논의하였다.
PACS numbers: 01.30.M−, 01.40.ek
Keywords: 과학 교과서, 수학 내용, 수학 과정, 물리 어려움
I. 서 론
최근 4차 산업혁명 시대를 맞이하여 교육과 관련하여 큰 변화가 이루어지고 있다. 4차 산업혁명은 인공 지능, 사물 인터넷, 빅데이터, 모바일 등 첨단 정보통신기술이 경제 · 사회 전반에 융합되어 혁신적인 변화가 나타나는 차세대 산업혁명을 말하며, 무엇보다도 과학기술이 중요한 역할을 한다. 4차 산업혁명을 대비하여 많은 나라에서는 다양한 교육의 변혁을 통한 인재 양성의 필요성을 강조하고 있으며 [1–4], 우리나라에서도 2015 개정 교육과정을 통해 과학 및 수학 교육에 변화를 시도하고 있다.
물리학은 과학에서도 가장 기초가 되는 교과이며, 현대 과학의 근간을 이루고 있는 가장 중요한 교과이다. 20세 기 들어 과학 학습에 대한 학생들의 어려움에 대한 많은 보고가 있어왔고, 이와 관련하여 이공계 기피 현상이 크게 대두되었다. 우리나라의 경우, 수학�과학 성취도 국제비교 연구 (Trends in International Mathematics and Science Study: 이하 TIMSS) 에서 중학교 학생들의 과학 교과에 대한 국제순위는 4위였고, 초등학생의 국제순위는 2위로 국제적으로 과학적 성취에 대해서는 매우 높은 순위를 나 타내었지만, 과학에 대한 자신감, 과학 학습에 대한 흥미, 과학에 대한 가치인식 등과 같은 정의적 특성은 국제적으로 최하위 수준으로 나타났다 [5]. 최근 들어 인문계열의 취업 난으로 인하여 일시적으로 이공계열의 선호도가 높아지고 진학자도 증가하여 이공계 기피 현상이 많이 개선되는 것 으로 보이지만, 과학 내에서 물리 기피 현상은 지속적으로 나타나고 있다. 2019학년도 대학수학능력 시험에서 과학 탐구 지원자인 241,128명 중 물리 I을 선택한 학생은 24.0%
로 화학 I(36.0%), 생명과학 I(62.4%), 지구과학 I(68.1%) 에 비해 매우 적었고, 물리 II를 선택한 학생은 불과 2,925 명 (1.2%) 밖에 되지 않았다. 이 현상은 물리 기피 현상을 직접적으로 나타내는 지표로 볼 수 있으며, 고등학교에서의 물리 교과가 대학교 이공계열 전공 학습을 위한 기초 교과서 로의 역할을 하지 못하고 있음을 방증한다. 과학고등학교나 과학중점학교 등에서 물리 과목 선택이 많이 이루어지고 있
∗E-mail: peak@dankook.ac.kr
기는 하지만 [6], 일반계열 고등학교에서는 타 과목에 비해 물리의 선택 비율이 매우 낮은 실정이다.
학생들이 과학의 여러 교과 중에서 물리를 가장 어려워하 며 낮은 흥미를 느낀다는 사실은 많은 연구에서 지적되었다.
특히 물리 학습을 하는 과정에서 수학에의 어려움 때문에 물리가 어렵다는 의견이 많이 제시되었다. 학생들이 물리 가 재미없다고 느끼는 이유에 대하여 응답한 내용을 분석한 결과, ‘물리가 어려워서’, ‘물리가 수학과 관련이 있어서’,
‘계산과 공식이 포함되어 있기 때문’이라는 응답이 많았으 며 [7], 고등학생들이 물리 문제를 풀이하는 과정에서 겪는 어려움에 대한 분석 결과, 많은 학생들이 수학과 관련된 어려움을 많이 느끼고 있음을 실제 사례를 통해 밝혀내었다 [8,9]. 물리 학습을 위해서 수학을 잘해야 한다는 생각에 대 해서 대학교수들이 학생들보다 더 강하게 인식하고 있다는 결과를 보이는 연구도 진행되었는데 [10], 같은 맥락으로 학생들이 물리를 어려워하는 이유를 수학적 능력 부족으로 지목하고 있다.
학생들이 물리를 어려워하는 이유가 수학에서의 어려움 때문일까? 본 연구는 이 질문에 대한 답을 찾는 과정에서 출발하였다. 수학 교육과정에서는 수학 교과를 ‘주변의 여 러 가지 현상을 수학적으로 관찰하고 해석하며 논리적으 로 사고하고 합리적으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과’로 정의하고 있다 [11]. 수학은 수학 학습을 통해 실생활 또는 수학 이외의 교과의 문제를 창의적으로 해결하는데 도움을 주는 교과로, 과학에서는 수학을 많이 사용하기 때문에 도구 교과로서 수학의 가치가 높다고 인 식하고 있다.
영국의 물리학자 디랙 (P. Dirac) 은 물리학자들이 연구 하는 방법은 크게 두 가지로 나뉘며, 그 중 하나는 실험과 관찰을 이용한 방법이고, 또 다른 하나는 수학적인 추론을 이용한 방법이라고 말하였는데 [12], 이처럼 물리와 수학이 관련 있다는 사실은 누구도 부정하지 못할 것이다. 물리학 에서는 물리법칙의 이론적 추론 과정에서 다양한 수학적 방 법을 활용하고 있기 때문에 물리학에서의 성공을 위해서는 수학에 대한 이해가 필수적이다. 심지어 수학 수준이 물리 수준보다 물리 학습에 대한 성취도에 더 큰 영향을 준다는 연구결과 [13,14]는 수학이 물리학 학습에 매우 큰 영향을 준다는 것을 극단적으로 보여준다.
물리 연구에 수학이 직접적으로 관련되어 있다는 것은 부인할 수 없는 사실이지만, 학교에서의 물리학습과 수학이 얼마나 관련되어 있는지는 다시 살펴볼 필요가 있다. 화학, 생명과학, 지구과학에 비해 물리학에 대한 어려움과 선호 도의 저하는 중학교에서부터 크게 나타나는데 [15], 과연 중학교 수준의 물리에 대한 어려움이 수학과 어떤 연관성 이 있는지 살펴볼 필요가 있다. 수학 내용에 대한 이해의 어려움이 물리의 어려움으로 이어지는지 파악하기 위해서 는 학생들이 수업에 사용하는 과학 교과서에서 어떤 수학 내용들이 다루어지고 있는지 분석함으로써 가능한 것이다.
따라서 본 연구에서는 중학교 과학 교과서에서 수학과 관 련된 내용을 찾아 이를 분석하고자 한다. 주요 연구 문제는 다음과 같다.
첫째, 중학교 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용이 제시된 비율은 물리 영역과 다른 영역에 차이가 있는가?
둘째, 중학교 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용은 어떤 요소로 구성되어 있는가?
II. 연구 방법
1. 과학 교과서의 수학 내용 분석틀
과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용에 대한 분석틀은 내용 요소와 과정 요소로 구성된 2차원 분석틀을 사용하였 다. 내용 요소는 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시한 영역과 핵심개념을 근간으로 하고 학년별 교과서의 단원 명을 기준으로 했다. 수학과 교육과정에서는 수와 연산, 측정, 문자와 식, 함수(초등학교: 규칙성), 기하(초등학교:
도형), 확률과 통계(초등학교: 자료와 가능성), 해석, 대수 등의 영역으로 구성되어 있으며, 이 중에서 해석과 대수는 고등학교에서만 다루는 영역이다.
핵심 개념은 각 영역에 대해서 1 – 2개 정도 제시되어 있는데, ‘수와 연산’ 영역에는 ‘수의 체계’와 ‘수의 연산’,
‘측정’ 영역에는 ‘양의 측정’, ‘어림하기’, ‘문자와 식’ 영역 에는 ‘다항식’, ‘방정식과 부등식’, ‘함수(규칙성)’ 영역에는
‘규칙성과 대응’, ‘함수와 그래프’, ‘기하 (도형)’ 영역에는
‘평면도형’, ‘입체도형’, ‘확률과 통계(자료와 가능성)’ 영역 에는 ‘자료처리’, ‘가능성’, ‘확률’, ‘통계’ 등의 핵심 개념이 제시되어 있다. 이러한 영역과 핵심개념을 바탕으로 수학 교과서에서는 학년별 단원을 구성하였는데, 본 연구의 중 학교 과학 교과서에 제시된 수학 내용이 다루어지는 초등학 교와 중학교의 교과별 단원을 영역별, 학년별로 정리하여 Table 1에 제시하였다.
과정 요소는 OECD PISA(Organisation for Economic Co-operation and Development, Programme for Interna- tional Student Assessment: 경제협력개발기구 국제학생평 가프로그램)의 분류틀을 사용하였다. PISA 평가틀의 과정 요소 이외에도 수학 평가틀로 사용할 수 것으로는 국가수준 학업성취도 평가에서의 수학과 행동영역(계산, 이해, 추론, 문제해결) 과 수학�과학 성취도 국제비교 연구 (TIMSS) 의 인지 영역(알기, 적용하기, 추론하기) 등이 있다. 본 연구에 서는 수학을 과학적 상황에 연결하고 문제를 해결하기 위 한 도구적 관점에서 해석하기 위해서 PISA의 평가틀(과정 요소) 을 선택하였다.
국제 학업성취도 평가 연구로 진행되는 PISA 2015에서 수학 평가틀은 ‘맥락’, ‘수학적 내용’, ‘수학적 과정’의 세 가지 차원으로 이루어져 있다. ‘맥락’은 문제의 구체적인 배경을 설명한 것으로, ‘개인적, 과학적, 사회적, 직업적’ 맥 락으로 나뉘고, ‘수학적 내용’은 문제 해결에 활용되는 가장 핵심적인 수학적 지식을 의미하여, ‘공간과 모양, 변화와 관 계, 불확실성과 자료, 양’의 네 가지 하위요소로 구분된다.
본 연구에서 사용하는 ‘수학적 과정’은 학생들이 상황을 수 학적으로 형식화하고 수학적 개념, 사실, 절차, 추론을 이용 하며, 수학적 결과를 이해하고 적용할 수 있는지를 평가한 것으로, ‘형식화하기 (formulating), 이용하기 (employing), 해석하기 (interpreting, applying and evaluating)’의 하위 요소로 구성된다. 형식화하기는 개인이 실세계 문제 상황 을 분석하여 수학적 구조, 표현을 찾아낼 수 있는지에 대한 것으로, 수학적인 언어 또는 표현으로 문제를 나타내는 것 외에 테크놀로지를 이용하여 수학적 관계를 설명하는 것 을 포함한다. 이용하기는 수학적 개념, 사실, 절차, 추론을 이용하여 수학적으로 형식화된 문제를 풀고 해를 구할 수 있는지에 관한 것으로 대수식, 방정식의 조작뿐 아니라 다 이어그램, 그래프 등에 대한 내용도 포함한다. 해석하기는 수학적 해를 실세계 맥락에서 합리적으로 이해할 수 있는 지에 관한 것으로 수학적 개념과 해의 확장과 한계에 대한 내용을 포함한다 [16].
본 연구에서는 PISA의 과정 요소를 대수적인 (analytic) 방법과 기하학적인 (geometric) 방법으로 구분하여, ‘대수 적으로 형식화하기’, ‘기하학적으로 형식화하기’, ‘대수적으 로 이용하기’, ‘기하학적으로 이용하기’, ‘대수적으로 해석 하기’, ‘기하학적으로 해석하기’ 등의 6가지 범주로 분석하 였다.
2. 분석 대상 및 분석 방법
본 연구에서는 2015 개정 교육과정에 의해 개발된 중학교 과학 교과서 중 가장 많은 학교에서 채택하여 사용하고 있는
Table 1. Units of mathematics textbooks.
domain grade
3 4 5 6 7 8 9
number and operation
addition and subtraction,
division, multiplication,
fractions and decimals
multiplication and division, addition and subtraction of fractions, addition and subtraction of decimals
mixed calculations
of natural numbers, divisors and multiples,
divisors and integrals,
addition and subtraction of fractions, division of
fractions, multiplication
of decimals, division of decimals
division of fractions, division of
decimals
prime factorization,
integer and rational number
rational numbers and circulating
decimals
square root and real number, calculation of expression
including radicals
measurement length and time,
volume and weight angle several units
character and expression
use of characters
and calculation
of expressions,
linear equation
calculation of expression,
linear inequalities
and linear simultaneous
equations
factoring polynomials and quadratic
equations
function (elementary:
regularity)
finding rule rules and correspondence
ratio, proportional
expression, direct proportion
and inverse proportion
coordinate plane and graph
linear functions and graphs, relationship between
linear functions and linear equations
quadratic functions and graphs
geometry (elementary:
figure)
plane figure, circle
movement of plane figure, triangles, rectangles, and polygons
perimeter and width of the
polygon, joint and symmetry
prism and pyramid, volume and surface area of
rectangular parallelepiped, cylinder / cone
/ sphere
basic shape, drawing and congruence, property
of plane figure and solid figure
properties of triangles
and rectangles, similarities in shapes, Pythagorean
theorem
pythagorean theorem (utilization), triangle ratio (utilization), circle and straight line, circumference
angle probability
and statistics (elementary:
data and possibilities
arrangement of data
bar graph, line graph
representation of data
various graphs, ratio graphs
organizing and Interpreting
Data
probability and its basic properties
representative values and
scatter diagrams
교과서 3종을 분석 대상으로 정하였다. 교과서의 내용에서 수학과 관련되어 있는 부분들(수학 요소)을 추출하여 내용 요소와 과정 요소에 대해 분석하였다.
예를 들어 Fig. 1은 중학교 3학년 과학 교과서의 ‘운동과 에너지’ 단원에 제시된 ‘자유 낙하 운동의 특징 알아보기’
탐구 활동의 일부를 나타낸 것이다. 이 곳에서는 모두 3 개의 수학 요소를 찾을 수 있다. 학생들은 교과서에 제시된 자료를 보고 구간별 이동 거리를 측정한 후 ‘구간 평균 속력’
을 구하게 되는데 이것이 첫 번째 수학 요소이다. 두 번째
수학 요소는 표를 그래프로 나타내는 과정, 세 번째 수학 요 소는 그래프를 보고 물리적으로 해석하는 내용이다. 이와 같이 한 쪽에 여러 개의 수학 요소가 발견되기도 하고, 단 하나의 수학 요소로 구성되기도 한다.
추출된 수학 요소에 대해서 분석틀에서 제시한 수학 내용 분석과 수학 과정 분석을 실시하였다. 분석은 2인의 연구 자의 분석 결과가 일치하도록 반복적 분석을 시행하였다.
분석한 결과를 이용하여 ‘과학 교과서에 제시된 수학 관 련 내용의 양’과 ‘수학 내용 요소와 수학 과정 요소’로 분석
Fig. 1. (Color online) Example of mathematics-related content in science textbook.
하였다. 수학 관련 내용의 양은 교과서에 따라 각 단원별로 수학과 관련된 내용이 얼마나 많이 제시되었는지를 보기 위해 쪽수와 수학요소수를 분석하였고, 수학 관련 내용이 가장 많이 제시된 단원의 특징과 예를 제시하였다. 특히 과 학의 4가지 영역 (물리, 화학, 생명과학, 지구과학) 에 대한 분석을 추가하였다.
수학 내용 요소와 과정 요소에 대한 분석 역시 각 단원별 로 분석하였다. 특히 과학 단원의 학습 시기와 수학 단원 의 학습 시기를 비교하여 수학 교과에서 배우지 않은 수학 내용이 과학에서 다루어지고 있는지의 여부를 분석하였다.
수학 과정 요소는 분석틀에 제시된 6개의 요소에 따라 분석 하였으며, 주요 특징과 사례를 제시하였다.
III. 연구 결과
1. 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용의 양
중학교 과학 교과서 3종(3개년 9권)에 제시된 수학 관련 내용의 양을 쪽수 단위와 수학 요소 단위로 구분하여 출판 사별로 정리한 결과를 Table 2에 제시하였다.
중학교 과학 교과서에서 수학과 관련된 내용은 A교과서 에서는 3개년 교과서 843쪽 중 118쪽 (14.0%) 에 제시되어 있었고, B교과서에서는 806쪽 중 89쪽(15.2%), C교과서에 서는 844쪽 중 128쪽(15.2%)에 제시되어 전체 평균 13.4%
에서 수학과 관련된 내용이 제시되어 있었다. 수학요소 단 위로 분석하면 A교과서에서는 193개, B교과서에서는 117
개, C교과서에서는 196개가 제시되어 있었다. 학년별로는 3학년, 2학년, 1학년의 순으로 많이 제시되었다.
단원별로 보았을 때 가장 많은 수학 내용요소가 제시된 단원은 과학 1(7학년)에서는 ‘여러 가지 힘’, ‘기체의 성질’,
‘물질의 상태 변화’였고, 과학 2(8학년)에서는 ‘태양계’, ‘물 질의 특성’, ‘수권과 해수의 순환’이었으며, 과학 3(9학년) 에서는 ‘운동과 에너지’, ‘기권과 날씨’, ‘화학 반응의 규칙과 에너지 변화’ 등이었다.
3개년 교과서 전체 중에서 가장 많은 수학 내용요소가 제시된 단원은 ‘운동과 에너지’로 A교과서에서 40개, B교 과서에서 18개, C교과서에서 39개가 발견되었다. ‘운동과 에너지’에서는 등속 운동과 자유 낙하 운동 등을 해석하는 과정에서 속력을 계산하고, 시간에 따른 속력의 관계를 그 래프를 그리는 등의 활동 등에서 여러 수학 관련 내용들이 제시되었다. 또한 속력, 일, 운동 에너지, 위치 에너지 등과 같은 다수의 공식을 통해 값을 계산하는 활동들이 포함되어 다른 단원의 2배가 넘는 수학 관련 내용이 나타나 있었다.
그 다음으로 수학 관련 내용이 많이 제시된 단원은 ‘물 질의 특성’, ‘기권과 날씨’, ‘태양계’, ‘수권과 해수의 순환’
등의 순이었다. ‘물질의 특성’에서는 밀도 공식, 끓는점, 어는점, 용해도 등과 관련된 그래프에 대한 내용이 많았고,
‘기권과 날씨’에서는 상대습도, 기온분포, 기압 등과 관련된 내용에서 수학과 관련되었으며, ‘태양계’에서는 지구의 크 기 측정, 태양의 크기 측정 과정에서의 비례관계와 관련된 수학 내용이 많이 제시되었다.
물리, 화학, 생명과학, 지구과학 등의 과학 영역으로 구분 하여 분석한 Table 3을 보면, 수학이 제시된 쪽수는 물리가 가장 많았고 (수학제시 쪽 비율 19.4%), 그 다음으로는 지 구과학 (18.7%), 화학 (14.8%), 생명과학 (4.8%) 순이었다.
물리가 수학과 가장 밀접하게 관련되어 있다고 생각하여 수학 때문에 물리가 어렵다는 인식을 갖고 있지만, 중학 교 과정에서는 물리가 다른 영역에 비해서 월등하게 수학 내용이 많은 것은 아니었다. 특히 ‘운동과 에너지’에 가장 많은 수학 관련 내용이 밀집되어 있었고, 다른 물리 단원들 은 수학 관련 내용이 많지 않아서 일부 지구과학이나 화학 단원보다 수학 관련 내용이 적었다.
2. 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용의 내용 요소 분석
과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용들이 어떤 수학 내 용 요소로 구성되어 있는지 분석하여 그 결과를 Table 4에 제시하였다. 과학 교과서의 수학 관련 내용이 수학 교과의
Table 2. Results of math-related pages and elements in science textbooks.
grade units textbook A textbook B textbook C average
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
7
1. change of
pedosphere 54 2 2 50 1 1 48 2 2 50.7 1.7 1.7
2. various forces 32 6 12 32 7 10 36 9 10 33.3 7.3 10.7
3. biodiversity 38 0 0 32 0 0 36 0 0 35.3 0.0 0.0
4. nature
of the gas 36 5 12 30 1 1 32 7 10 32.7 4.3 7.7
5. change of
state of matter 34 4 8 34 3 5 40 6 9 36.0 4.3 7.3
6. light and wave 42 4 5 40 2 3 38 4 6 40.0 3.3 4.7
7. science and
my future 24 0 0 18 0 0 24 0 0 22.0 0.0 0.0
subtotal 260 21 39 236 14 20 254 28 37 250.0 21.0 32.0
8
1. composition
of matter 34 2 2 40 0 0 36 0 0 36.7 0.7 0.7
2. electricity
and magnetism 34 3 5 38 3 6 36 4 8 36.0 3.3 6.3
3. solar system 42 12 16 34 8 11 38 8 13 38.0 9.3 13.3
4. plant and energy 32 1 1 28 3 3 34 2 2 31.3 2.0 2.0
5. anamal and energy 42 0 0 48 0 0 38 0 0 42.7 0.0 0.0
6. property of matter 38 11 15 38 9 11 42 12 17 39.3 10.7 14.3
7. hydrosphere and circulation of seawater
28 9 13 28 8 13 28 10 13 28.0 9.0 13.0
8. heat and our lives 26 3 6 23 3 3 28 5 8 25.7 3.7 5.7
9. disaster and safety 18 1 1 21 0 0 20 0 0 19.7 0.3 0.3
subtotal 294 42 59 298 34 47 300 41 61 297.3 39.0 55.7
9
1. rules of chemical reactions and energy changes
44 8 13 42 6 7 42 9 16 42.7 7.7 12.0
2. atmosphere
and weather 52 10 14 46 12 14 42 10 14 46.7 10.7 14.0
3. motion and energy 34 16 40 30 13 18 40 19 39 34.7 16.0 32.3
4. stimulation
and reaction 38 2 2 32 0 0 36 2 2 35.3 1.3 1.3
5. reproduction
and heredity 50 6 6 36 1 1 40 7 8 42.0 4.7 5.0
6. energy conversion
and conservation 24 6 7 28 3 4 32 5 8 28.0 4.7 6.3
7. star and universe 32 7 13 40 6 6 36 7 11 36.0 6.7 10.0
8. science technology
and human civilization 15 0 0 18 0 0 22 0 0 18.3 0.0 0.0
subtotal 289 55 95 272 41 50 290 59 98 283.7 51.7 81.0
Total 843 118 193 806 89 117 844 128 196 831.0 111.7 168.7
Table 3. Amount of math-related contents by branch.
textbook A textbook B textbook C average
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
total pages
math pages
math elements
physics 192 38 75 191 31 44 210 46 79 197.7 38.3 66.0
chemistry 186 30 50 184 19 24 192 34 52 187.3 27.7 42.0
biology 200 9 9 176 4 4 184 11 12 186.7 8.0 8.3
earth science 208 40 58 198 35 45 192 37 53 199.3 37.3 52.0
integration 57 1 1 57 0 0 66 0 0 60.0 0.3 0.3
어느 학년(단원)에서 학습하는지를 분석하였으며, 이를 과 학 단원과 연계하여 정리하였다.
Table 4. Amount of math-related contents by branch.
Science \ Math 4 5 6 7 8
402 405 511 512 604 606 608 610 611 702 703 704 705 706 709 803 808 Sum
7
1. change of
pedosphere 1 4 5
2. various
forces 2 8 4 4 2 7 5∗∗ 32
4. nature of
the gas 1 6 1 3 5 3 4 23
5. change of
state of matter 15 4 3 22
6. light and wave 2 2 4 4 2 14
8
1. composition
of matter 1 1 2
2. electricity
and magnetism 2 6 1 1 4 1 4 19
3. solar system 3 4 1 13 3 1 1 9 4 1∗∗ 40
4. plant and energy 1 1 2 1 1 6
5. anamal and energy 1 2 8 11
6. property of matter 9 1 1 4 1 7 9 13 45
7. hydrosphere and circulation of seawater
3 2 2 11 2 5 4 29
8. heat and our lives 1 3 1 2 3 4 14
9. disaster and safety 1 1
1. rules of chemical reactions and energy changes
5 15 4 1 4 1 6 36
2. atmosphere
and weather 3 7 4 1 3 2 7 15 42
3. motion and energy 19 2 8 27 13 28 97
4. stimulation
and reaction 1 1 1 1 4
5. reproduction
and heredity 1 9 4 1 15
6. energy conversion
and conservation 3 1 1 3 9 1 1 19
7. star and universe 3 2 8 3 1 1 2 3 7 30
Sum 3 4 11 99 18 1 50 32 5 23 75 55 105 19 4 1 1 506
* Math: 402(angle), 405(bar graph), 511(several units), 512(representation of data), 604(ratio), 606(volume and surface area of rectangular parallelepiped), 608(proportional expression), 610(ratio graph), 611(direct proportion and inverse proportion), 702(integer and rational number), 703(use of characters and calculation of expressions), 704(linear equation), 705(coordinate plane and graph), 706(basic figure), 709(property of solid figure), 803(linear inequalities and linear simultaneous equations),
808(similarities in shapes,) ** : contents of learning earlier in science than mathematics.
중학교 과학 교과서에 제시된 수학 내용은 4학년 수학 내 용부터 관련되어 있었다. 주로 5학년, 6학년, 7학년 수학과 관련되어 있었는데, 5학년 교과서에서는 ‘여러 가지 단위’
에서 11개, ‘자료의 표현’ 단원에서 99개였다. 6학년 교과 서에서는 ‘비와 비율’ 단원에서 18개, ‘비례식과 비례배분’
단원에서 50개, ‘비율 그래프’ 단원에서 32개가 발견되었다.
한편 7학년 교과서에서는 ‘문자의 사용과 식의 계산’ 단원에 서 75개, ‘일차 방정식’ 단원에서 55개, ‘좌표평면과 그래프’
단원에서 105개가 발견되었다. 8학년 교과서에서는 불과 2 개만 관련되었다.
수학 내용의 학습 시기와 과학 내용의 학습 시기와의 관 련성을 살펴보면, 초등학교의 수학 내용은 모두 과학보다
학습시기가 빠르기 때문에 문제가 되지 않지만, 7학년 과학 과 7학년 수학, 8학년 과학과 8학년 수학 내용의 학습 시기 는 신중히 살펴볼 필요가 있다. 7(8)학년 과학 교과 단원은 7(9) 개이고, 7(8) 학년 수학 단원은 모두 10개이다. 단순 히 단원별 학습량이 비슷하다고 가정하였을 때, 과학 학습 시기보다 수학 학습 시기가 더 늦을 가능성이 높은 것은 7 학년 과학의 ‘여러 가지 힘’ 단원과 7학년 수학 ‘좌표평면과 그래프’ 단원이 연결된 5개의 요소이다. 또한 8학년 과학의
‘태양계’ 단원과 8학년 수학의 ‘도형의 닮음’ 단원이 연결된 1개의 요소도 해당된다. 이와 관련된 몇 개의 예를 Fig. 2 에 제시하였다.
Table 5. Analysis result of mathematics process element.
grade units formulating
analytically
formulating geometrically
employing analytically
employing geometrically
interpreting analytically
interpreting geometrically total
7
1. change of
pedosphere 3 0 2 0 0 0 5
2. various forces 2 5 14 3 4 4 32
3. biodiversity 0 0 0 0 0 0 0
4. nature of the gas 4 6 4 0 1 8 23
5. change of state
of matter 0 5 0 5 0 12 22
6. light and wave 0 2 3 5 1 3 14
7. science and my future 0 0 0 0 0 0 0
subtotal 9 18 23 13 6 27 96
8
1. composition
of matter 0 0 2 0 0 0 2
2. electricity
and magnetism 3 3 3 2 0 8 19
3. solar system 12 7 10 7 1 3 40
4. plant and energy 1 1 0 0 0 4 6
5. anamal and energy 0 0 0 0 0 0 0
6. property of matter 3 6 5 3 0 26 43
7. hydrosphere and circulation of seawater
1 12 8 6 4 8 39
8. heat and our lives 2 5 0 2 2 6 17
9. disaster and safety 0 1 0 0 0 0 1
subtotal 22 35 28 20 7 55 167
9
1. rules of chemical reactions and energy changes
2 3 16 3 8 4 36
2. atmosphere
and weather 3 9 5 5 0 20 42
3. motion and energy 16 18 24 5 4 30 97
4. stimulation
and reaction 0 0 2 0 0 2 4
5. reproduction
and heredity 0 0 13 0 1 1 15
6. energy conversion
and conservation 4 0 10 0 3 2 19
7. star and universe 1 7 8 3 9 2 30
8. science technology
and human civilization 0 0 0 0 0 0 0
subtotal 26 37 78 16 25 61 243
Total 57 90 129 49 38 143 506
과학에서는 두 변인 사이의 관계를 그래프로 나타내는 경우가 많이 있다. (a)는 용수철에 작용하는 물체의 무게와 용수철이 늘어난 길이가 비례하는 내용을 1차 함수 그래 프로 나타낸 것이다. 그런데 수학에서 1차 함수 그래프인 선 그래프를 배우는 시기는 7학년의 ‘좌표평면과 그래프’
에서로 총 10개의 중단원 중 5번째 단원이다. 물론 초등 학교 5학년과 6학년에서 그래프를 배우기는 하지만, 막대 그래프를 배우는 수준이다. 실험의 결과를 나타낼 때에는 추의 개수에 맞추어 늘어난 길이를 표시하는 막대그래프 수준으로 활동이 가능하지만, 데이터를 선으로 연결하여 선 그래프를 그려 나타내는 것은 수학 교육적 측면에서 보았
을 때에는 보다 상위 개념이다. (b) 는 삼각형의 닮음비를 이용하여 동전의 시지름과 달의 시지름을 같게 하여 달의 크기를 구하는 과정에서 나타난 것이다. 이 내용은 8학년 3번째 단원인 ‘태양계’에 나오는 내용인데, 수학에서는 8 학년의 8번째 단원인 ‘도형의 닮음’ 단원에서 제시되어 수학 교과에서 학습하기 이전에 과학 교과에 제시되고 있다.
한편, 과학 교과서에 제시된 그래프 중에는 학생들이 이 해하는데 어려움을 갖는 그래프들이 많이 제시되어 있다.
첫 번째 유형은 Fig. 3의 (a) 와 같이 하나의 그래프에 두 개 이상의 자료를 함께 나타낸 그래프이다. 수학 교과에서 는 하나의 그래프에 하나의 자료를 제시하는 것만 다루고
(a) Linear function graph showing the relationship between the weight and the elongated length of the spring (textbook
A, 1st grade, p.78)
(b) Similarity ratio of triangle (textbook B, 2nd grade, p.92) Fig. 2. (Color online) Examples of contents of learning earlier in science than mathematics.
있다. 물론 한 그래프에서 두 개의 데이터를 제시하였을 때, 두 값을 비교하면서 개념을 이해하는데 도움을 받을 수 있는 장점이 있다. 그러나 이와 관련된 내용을 수학에서 학 습하지 않는다는 사실을 인지하고 지도해야 한다. 더구나 (a) 의 경우에는 세로축이 변하는 값 (위도) 이고, 가로축이 결과값 (복사 에너지) 으로 일반적인 x-y 관계 그래프와는 다르기 때문에 학생들이 이해하는데 어려움이 클 것으로 생각한다.
수학에서는 원점을 0으로 하여 가로축의 오른쪽 방향을 +x, 세로축의 위쪽 방향을 +y 로 기준을 잡아 그래프를 나 타낸다. 그런데 과학에서는 필요에 따라 다르게 구성하곤 한다. (b) 에서는 깊이를 나타낼 때, 세로축의 아래쪽을 증 가하는 방향으로 제시했다. 물 속 깊이를 시각적으로 나 타내기 때문에 자연스럽다고 생각할 수 있지만, 수학에서 흔하게 사용하는 그래프는 아니다. 더구나 중간의 수온약층 의 경우에는 세로축에 줄임표를 이용하여 단축시켰음에도 불구하고 수온을 나타내는 데이터는 연속적으로 제시되어 있어 학생들이 정확하게 그래프를 이해하기 어렵게 구성
(a) textbook A 3rd grade p.63
(b) textbook A 2nd grade p.245
(c) textbook A, 3rd grade, p.58
Fig. 3. (Color online) Examples of graphs that students have difficulty understanding.
되어 있었다. 일반적으로 수학에서 사용하는 그래프에는 x축과 y 축이 만나는 원점을 각각 0인 값으로 정하여 사용 하는데, (c) 의 경우와 같이 과학 교과서에서는 0인 위치에 축을 나타내지 않는 그래프도 많이 제시하고 있다.
3. 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용의 과정 요소 분석
과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용의 수학 과정별 분석 결과를 Table 5에 제시하였다. ‘형식화하기’는 총 147개로 전체의 29.1%였고, ‘이용하기’는 178개(35.2%), ‘해석하기’
는 181개(35.8%)였다. ‘형식화하기’는 ‘대수적으로 형식화 하기’에서 57개인 반면에 ‘기하학적으로 형식화하기’가 90 개로 더 많았다. ‘대수적으로 형식화하기’의 대표적인 예는 과학적 개념을 식으로 제시하는 것이고, ‘기하학적으로 형 식화하기’는 과학적 개념 또는 현상을 그래프로 제시하는 것이다. 중학교 과학 교과서에서는 실험을 수행하고 그 결 과를 그래프로 나타내는 활동들이 많이 제시되었는데, 그 결과가 ‘기하학적으로 형식화하기’ 요소가 많이 발견된 이유 이다. 178개의 ‘이용하기’ 중 ‘대수적으로 이용하기’는 129 개였고, ‘기하학적으로 이용하기’는 49개였다. ‘대수적으로 이용하기’가 많은 이유는 계산 과정을 통해서 결과를 도출 하는 내용이 많았기 때문이다. ‘해석하기’는 ‘대수적으로 해석하기’가 25개인 것에 비해 ‘기하학적으로 해석하기’는 143개로 가장 많았다. 실험의 결과를 그래프로 제시하고, 그 그래프를 이용해서 과학적인 현상을 설명하는 형태가 많 았기 때문이다. 이 과정은 탐구 활동에서 학생들에게 실험 결과를 해석해보게 하는 활동에서도 발견되었으며, 본문에 서 실험 결과를 바탕으로 과학 개념을 설명하는 과정에서도 많이 활용되었다.
교과서에서는 한 페이지에 여러 개의 수학 관련 요소가 연결되어 있는데, 가장 많이 반복적으로 발견되는 형태는
‘기하학적으로 형식화하기 - 기하학적으로 해석하기’의 조 합으로 총 36쪽에서 발견되었다. 그 대표적인 예를 Fig. 4 에 제시하였다. 이 내용은 자유낙하 운동에서 질량이 다른 두 개의 공을 이용한 탐구 활동을 수행하면서 그 과정과 결과를 3개의 질문으로 답하는 것을 나타낸 것이다. 1번 질문에서는 골프공과 탁구공의 속력을 시간에 따라 나타내 도록 하고 (기하학적으로 형식화하기), 2번 질문에서는 1 번 질문에서 그린 그래프를 보고 1초당 속력 변화율이 얼마 인지 찾는 활동을 수행하고 (기하학적으로 이용하기), 3번 질문에서는 실험의 결과 (그래프) 를 보고 자유 낙하에서의 속력 변화율이 물체의 질량과 관계없이 항상 일정하다는 일 반적인 법칙을 유도해내는 과정 (기하학적으로 해석하기) 이다. 이와 같이 중학교 과학 교과서에서는 학생들의 실험 활동을 그래프로 나타내고, 작성한 그래프로부터 과학적 원리를 도출하는 방식이 많이 구현되어 있음을 알 수 있다.
Fig. 4. (Color online) Example of combined case of ‘formulating geometrically’ and ‘interpreting geometrically’ (textbook A, p.117).
IV. 결론 및 시사점
본 연구에서는 중학교 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용을 분석하였다. 교과서에서 수학과 관련된 요소를 찾아 단원별/영역별 수학 관련 내용의 양, 수학 내용 요소, 수학 과정 요소 등을 분석하였다. 주요 연구 결과는 다음과 같다.
첫째, 교과서에 제시된 수학 관련 내용은 약 13.4%에서 발견되었고, ‘운동과 에너지’ 단원에서 가장 많이 발견되었 으며, 그 다음으로는 ‘물질의 특성’, ‘기권과 날씨’, ‘태양계’
등의 순이었다. 영역별로 구분하였을 때, 물리 단원에서 가장 많이 발견되었지만, 지구과학 단원과 큰 차이가 있지 않았다. 물리 단원 중 ‘운동과 에너지’ 단원에 대부분의 수학 내용이 집중된 것을 고려하면 다른 물리 단원들에서는 수학 내용이 많다고 할 수 없다.
둘째, 중학교 과학 교과서에 제시된 수학 내용을 분석한 결과, 대부분 초등학교 5학년–중학교 1학년에서 다루는 내 용들로 이루어져 있었고, 중학교 2학년 이후의 수학 내용은 거의 나타나지 않았다. 과학에서 다루는 수학 관련 내용을 학습하는 시기가 수학 교과에서 다루는 시기보다 빠른 내용 도 일부 발견되었다. 수학 내용 요소에서 가장 많이 제시된 단원은 그래프와 관련된 단원 (5학년 ‘자료의 표현’, 7학년
‘좌표평면과 그래프’) 이었다.
셋째, 수학 내용을 수학 과정 요소로 분석한 결과, 가장 많이 발견된 유형은 ‘대수적으로 이용하기’와 ‘기하학적으 로 해석하기’였다. 또한 여러 개의 수학 과정 요소들이 서로 관련되어 나타나는 유형이 많았는데, 가장 대표적인 예는
‘기하학적으로 형식화하기’ - ‘기하학적으로 해석하기’의 조합이었다.
이상의 연구 결과를 바탕으로 몇 가지 시사점을 논의하 고자 한다. 첫 번째는 물리 학습에서의 어려움과 관련된
논의이다. 본 연구에서는 주로 과학 교과서에 제시된 수학 관련 내용의 양, 수학 내용 요소, 과정 요소 등에 대한 양적 분석이 이루어졌기 때문에 물리의 어려움과 수학의 관계를 명시적으로 밝힐 수는 없다. 그렇지만, 흔히 사람들이 “물 리는 수학과 관련되어 있기 때문에 어렵고, 다른 영역 (예 : 지구과학) 은 수학과 관련되어 있지 않기 때문에 어렵지 않 다” 고 하는 주장에 대한 근거는 찾을 수 없었다. 중학교 수준이지만, 물리에 제시된 수학 관련 내용과 지구과학에 제시된 수학 관련 내용의 양은 비슷했으며, 그 수준도 유 의미한 차이는 발견할 수 없었다. 학생들이 물리에 어려 움을 나타내기 시작하는 시기가 중학교 시기라고 한다면, 그 어려움의 이유를 수학 때문이라고 할 수 없다는 것이다.
물론 이 연구에서 제시한 결과는 교과서를 기준으로 했기 때문에 실제 학교에서 이루어지는 수업의 모습이나 평가 과정에서의 차이는 알 수는 없다. 따라서 수업과 평가에 대한 추가적인 분석이 이루어질 필요가 있다. 또한 중학교 수준에서 학생들이 물리를 어려워하는 이유가 무엇인지 수 학 관련성 이외의 요인을 찾아 분석할 필요가 있다.
두 번째 논의는 수학과 과학의 학습 시기의 조정과 수준에 대한 것이다. 중학교에서 다루어지는 수학 내용이 대부분 초등학교 및 중학교 1학년 수준의 수학 내용이지만, 일부 내용에 대해서는 수학보다 과학 시간에 더 먼저 수학 개념 이 나오게 되어 학습시기에 문제가 있다. 교육과정 개정 초기에 여러 교과간 중복을 배제하고 학습시기를 고려하는 등의 논의를 하지만, 각 교과목별로 교육과정을 편성하는 과정에서 모든 내용들이 반영되지 못해 발생한 문제이다.
물리에서는 이러한 문제들이 오래 전부터 나타나곤 했다.
대표적으로 미분이 있는데, 고등학교에서 미분은 수학Ⅱ에 서 학습되는 개념이다. 물리학에서는 ‘힘과 운동’ 단원에서 순간 속도, 순간 가속도를 학습하면서 미분을 배우게 된다.
두 교과 모두 선택 중심 교육과정에 의한 교과목이기 때문에 학교에 따라 개설되는 시기가 다르지만, 통상 많은 학교에서 수학Ⅱ는 2학년 2학기에 편성되고, 물리학 Ⅰ에서는 2학년 1학기에 편성되어 수학보다 물리에서 더 먼저 수학 개념을 다루게 되는 문제가 발생한다. 물리 관점에서 바라보는 수 학 교과의 가치는 물리를 이해하는데 도움을 주는 도구 교 과로서의 가치가 가장 클 것이다. 따라서 물리와 수학에서 학습되는 개념들에 대한 학습 시기를 검토할 필요가 있다.
내용의 수준도 역시 검토가 필요하다. 본 연구에서 제시한 바와 같이 수학에서 학습하는 그래프와 과학에서 학습하 는 그래프는 그 수준에 차이가 있다. 그래프는 학생들에게 과학 개념을 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록 제시한 것인데, 그래프를 제시하여 또 다른 이해의 어려움을 낳는다면 그 래프 제시가 오히려 개념 이해에 역효과를 불러일으킬 수 있다. 수학 교과 내용을 조정하기 어려운 한계가 있으므로, 과학 교과서에서 그래프 제시에 좀 더 주의를 기울일 필요가
있다. 학생들이 그래프와 관련해서 이해하기 어려워하는 내용이 무엇인지 확인할 필요가 있으며, 학생들의 과학 그 래프 이해를 돕기 위한 교수 방안 개발도 필요한 것이다.
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