목차
1. 규칙성 영역 내용과 배경 지식 2. 규칙성 지도 방법
3. 자료와 가능성 영역 내용과 배경 지식 4. 분류하기 지도 방법
[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군]
14. 규칙성과 분류하기
1. 영역내용과 배경 지식 1) 규칙성 영역의 배경 지식
① 규칙 찾기
Ÿ 수학의 성격을 나타내는 말 중의 하나가 ‘수학은 패턴의 과학’이라는 것 입니다. 여러 가지 자연 현상이나 건축물 등에 있는 패턴은 많이 알려 져 있는데 수학에서도 이런 패턴을 찾아 볼 수 있습니다. 그 한 예가 모든 원은 원주와 지름의 비가 일정하다는 것입니다.
Ÿ 패턴의 속성에 따른 유형은 관계적 속성, 기하적 속성, 물리적 속성으로 분류됩니다.
가) 관계적 속성에 따른 패턴 : 2, 4, 6, 8, 10과 같이 수열이나 함수를 기초로 하는 패턴
나) 기하적 속성에 따른 패턴 : □ △ ○ □ △와 같이 도형의 성질이 나 모양을 기초로 하는 패턴
다) 물리적 속성에 따른 패턴 : □ ■ ■ □ ■ ■ □와 같이 색, 크기 방향 등을 기초로 하는 패턴
Ÿ 패턴의 생성 방식에 따른 유형은 반복하는 패턴, 증가하는 패턴, 대칭이 나 회정에 의해서 만들어진 패턴이 있습니다.
가) 반복 패턴 : 1, 2, 1, 2, 1, 2와 같이 기본 단위나 규칙이 변화 없이 그대로 유지되면서 반복되는 패턴
나) 증가 패턴 : 1, 1, 2, 1, 2, 3과 같이 기본 단위나 규칙이 증가 또는 변형되면서 나타나는 패턴
다) 대칭 패턴 : ◁, ▷, ◁, ▷과 같이 기본 단위가 대칭되면서 나타나 는 패턴
라) 회전 패턴 : ↑, →, ↓, ←, ↑, →과 같이 기본 단위가 회전하면서 나타나는 패턴
Ÿ 패턴은 속성이나 생성 방식에 따라 다양하게 나타남으로 하나의 속성 만을 가지고 있는 경우는 드물며 대부분의 경우 복합적인 속성으로 형 성됩니다. 또 일차적인 선열로만 이루어지는 것이 아니라 재료나 다양 한 소재에 따라 일차원적 패턴, 이차원적 패턴, 삼차원적 패턴, 달력 패 턴, 타일 패턴 등 다양한 방법으로 분류할 수 있습니다.
Ÿ 수학 교육에서 중요한 것은 이미 있는 패턴을 분류하는 것보다 현상에 존재하는 다양한 패턴을 학생 스스로 찾아낼 수 있는 힘을 기르도록 하는 것이 중요합니다. 예를 들면 학생이 교통 신호등을 관찰하면서 빨 간색, 초록색, 노란색, 빨간색, 초록색, 노란색의 순서로 끊임없이 계속 된다는 것을 인식하는 것이나 우리나라의 기후 변화는 봄, 여름, 가을, 겨울, 봄, 여름, 가을, 겨울로 변화된다는 것을 인식하는 것이 중요합니 다.
② 규칙성 영역의 지도 방향 및 교수 학습 전략
Ÿ 첫째, 규칙성 영역을 지도할 때는 일상생활에서 접할 수 있는 사물들 간의 상호 관련성을 파악하는 일반적인 방법으로서 그 안에 존재하는 규칙성을 찾아내는 과정과 그 규칙성을 수학적으로 표현하는데 주안점 을 두어 내용을 전개하는 것이 바람직합니다.
Ÿ 둘째, 수학의 나머지 영역과 관련시킬 수 있는 부분으로 이 영역의 내 용적 전개나 상황은 나머지 영역에서 골고루 다루어질 수 있습니다. 특 히 이 영역의 내용 전개는 학생들로 하여금 수학을 비형식적인 방법으 로 접근하는 경험을 하게 하여 다른 영역에서 정형적으로 다룬 개념이 나 기능 등을 강요하기보다 학습자 나름대로 자기 생각을 가능한 한 자유롭게 활용하도록 유도하는 방식으로 내용을 구성하는 것이 필요합 니다.
Ÿ 셋째, 학생들의 의사소통 능력을 향상한다는 관점에서 보았을 때 학생 스스로 규칙을 찾아 설명하고, 자신의 생각을 다른 사람들과 비교해 보 고, 또 다른 규칙을 추측해보게 하며, 언어화하고 일반화하는 경험을 하 게 하는 것이 필요합니다.
Ÿ 넷째, 일상생활 속에서의 규칙성 탐구와 수학 교육과정 안에서 과학, 음 악, 미술 등과 같은 다른 과목과의 관련성을 포함하는 다양한 규칙성 활동을 진행할 필요가 있습니다.
Ÿ 수학적 패턴 탐구 학습을 위한 교수 전략으로는 다음과 같은 것이 있 습니다.
[참고 문헌]
김성준, 김수환, 신준식, 이대현, 이종영, 임문규, 정은실, 최창우(2013). 초등학교 수학과 교재연구와 지
도법. 동명사
김은경(2005). 규칙성과 함수 영역의 지도. 한국초등수학연구회.
2. 지도 방법
1) 1학년에서 다루는 규칙성 내용과 지도 방법
규칙을 찾는 활동은 일상생활에서 미래를 예상하고 추측하는 데 중요한 역할 을 합니다. 이를 위해서 1학년 규칙성 단원에서는 여러 가지 물체, 무늬, 수의 배 열에서 규칙 찾기를 하도록 하고 있습니다. 미술관이라는 생활 주변의 소재를 사 용하여 여러 가지 물체에서 규칙을 찾아보게 하고, 찾은 규칙을 ○, △로 나타내 게 합니다. 또한 규칙을 정하여 무늬를 꾸며 보게 합니다. 수 배열에서도 규칙을 찾아보게 하고 자신이 규칙을 정해보도록 하고 있습니다. 규칙은 문제 해결과 같 이 가르치는 내용보다는 가르치는 방법에 관한 것이므로 이러한 과정을 통해 문 제 해결 능력을 높이는데 도움이 될 것입니다.
규칙성을 지도할 때는 학생들이 규칙성을 파악하는 것과 더불어 수학 교과 역 량 중에서 추론, 창의 ·융합, 의사소통에 중점을 두어 지도할 필요가 있습니다.
학생들이 규칙을 발견하거나 규칙에 따라 배열할 때 창의적인 다양한 반응을 보 일 수 있으며, 이를 격려하는 분위기를 만들어야 합니다. 또한 자신이 만든 규칙 에 대해 설명하거나 다른 친구의 설명을 듣는 과정을 통해서 의사소통 능력을 기를 수 있습니다.
■규칙 표현하기
규칙 찾기에서 다양한 방법으로 규칙을 표현하게 합니다. 찾은 규칙을 ○, △로 나타내게 할 수도 있지만, 몸으로 나타내게 할 수도 있습니다. 규칙에 따라 몸동작 을 정하여 모둠이 같이 규칙을 몸으로 표현할 수도 있습니다. 예를 들어 꽃-잎-잎- 꽃을 나타낸다면 꽃은 두 손을 위로 올리는 것으로, 잎은 손으로 원을 그리는 것으 로 모둠이 나타내게 할 수 있습니다. 이러한 활동을 통해서 꽃과 잎에 맞는 동작을 정하는 과정에서 의사소통이 이루어지며 다양한 창의적인 생각이 나타날 것입니다.
■여러 가지 모양으로 규칙 만들어 무늬 꾸미기
여러 가지 모양으로 규칙을 만들어 무늬를 꾸미는 활동에서는 직접 그리거나 모양 자를 이용하여 자신만이 규칙을 만드는 활동을 하게 할 수 있습니다. 또한 규칙을 만들어 무늬를 꾸미는 것에서 끝나는 것이 아니라 친구들과 서로의 작품을 가상하 고, 자신의 규칙과 친구의 규칙을 비교하는 활동을 통해 반성적 태도를 가지게 할 수 있습니다. 또한 학생들이 수학에 대한 흥미와 호기심을 가지게 하기 위하여 티 셔츠나 신발, 선물 상자 등을 이용하여 물건을 꾸미게 할 수 있습니다. 이러한 활동 은 수학과 미술을 연관하여 진행하는 것으로 수학이 다른 영역에서도 활용될 수 있 다는 것을 알게 합니다.
■ 수 배열표에서 규칙 찾기
수 배열표에서 반복되는 규칙, 커지는 규칙, 작아지는 규칙 등 다양한 규칙을 보 고 다음에 올 수나 중간에 빠진 수를 알아보게 합니다. 이때 학생들이 수 배열표에 서 여러 가지 규칙을 찾아볼 수 있도록 충분한 시간을 주어야합니다. 또한 찾은 규 칙을 발표하게 하여 자신이 찾은 규칙과 친구들이 찾은 규칙을 비교해보게 합니다.
10×10 배열표에서 규칙은 다양하게 나올 수 있으나 잘 찾지 못하는 학생들에게는 가장 간단한 1씩 커지는 규칙, 10씩 커지는 규칙을 찾아 색을 칠해보게 한 후, 다른 규칙을 찾아보게 할 수 있습니다.
2) 지도 시 유의사항
Ÿ 물체나 무늬의 배열에서는 크기, 색깔, 위치, 방향 등에 대한 단순한 규칙을 다루고, 그 규칙을 말, 수, 그림, 기호, 구체물, 행동 등의 다양한 방법으로 표 현하게 합니다.
Ÿ 물체나 무늬의 배열에서 다음에 올 것이나 중간에 빠진 것을 추측하여 말하 게 합니다. 수 베열표에서 7-5-7-5-□-5로 나타내어 □안에 들어올 수를 규칙 을 토대로 파악하게 합니다. 학생들은 7과 5갑 반복되기 때문에 5 다음에 7 이 올 것이라는 것을 예상할 수 있어야합니다.
Ÿ 수의 배열뿐만 아니라 수 배열표, 덧셈표, 곱셈표를 활용하여 수의 규칙을 찾 고, 자신이 정한 규칙에 따라 색칠하거나 ○, / 등으로 나타내게 합니다.
10×10 수 배열표에서 규칙을 찾아 색을 칠해서 색을 칠한 수 배열표를 짝과 함께 규칙을 공유할 수 있습니다.
Ÿ 자신의 규칙을 창의적으로 만들어 보고, 다른 사람의 배열에서 규칙을 찾아보 거나 규칙에 대해 서로 말하게 합니다.
Ÿ 규칙성 영역의 문제 상황에 적합한 문제 해결 전략을 지도하여 문제 해결 능 력을 기르게 합니다.
[참고 문헌]
교육부(2017). 초등학교 수학 1학년 2학기 수학.
교육부(2017). 초등학교 수학 1학년 2학기 교사용지도서.
3. 가능성 영역 내용과 배경 지식 1) 자료와 가능성 영역의 배경 지식
① 자료와 가능성
Ÿ 2009 개정 교육과정에서 제시한 5개 내용 영역 중 ‘확률과 통계’는 초 등학생 발달 수준에 적합하지 않은 개념(용어)이나 내용이 있다는 측면
에서 2015 개정 교육과정에서는 초등 교육과정에서는 ‘자료와 가능성’
으로 영역명을 변경하였습니다. ‘자료와 가능성’에서는 자료의 수집, 분 류, 정리, 해석과 사건이 일어날 가능성의 내용을 다룹니다.
Ÿ 자료 분석 역량은 수많은 정보의 홍수 속에서 유용한 자료를 구분해 내고 유의미한 정보들을 조직적으로 분석하여 미래에 다가올 다양한 현안에 대비할 수 있는 역량으로 생각됩니다. 자료 분석은 수 감각을 개발하고, 계산을 활용할 수 있는 기회를 제공하고, 문제 해결력, 의사 소통 능력과 비판적 사고력을 증진합니다.
Ÿ 초등학교에서 다루어지는 ‘자료와 가능성’ 영역의 중요성은 다음과 같습 니다.
가) 학교 밖 실생활에서 뉴스, 인터넷과 같은 정보의 홍수 속에서 다양 한 자료를 접하면서 정보를 정확하게 분석하고 해석하는 능력이 매 우 중요하게 요구됩니다.
나) 자료 분석은 다른 수학 주제나 타 교과와 연결되어 있어서 통합 교 육의 기회를 제공합니다.
다) 자료 분석은 의미 있는 상황에서 계산을 수행하는 기회를 제공합니 다.
라) 자료 분석은 우리가 접하게 되는 다양한 자료를 편견에 치우치지 않고 일관성 있게 사고하며 수치 정보를 활용해서 자신의 생각을 정당화하며 비판적 사고를 개발하는 기회를 제공합니다.
② 통계의 과정
Ÿ 통계의 과정은 일반적으로 목적 확인, 자료 수집, 분류 및 정리, 해석, 판단의 단계로 수행됩니다.
Ÿ 목적 확인: ‘무엇 때문에 이와 같은 통계를 실시 하는가’ 가 분명해야 합니다. 가능한 한 구체적인 목표를 설정하고 이를 위해 체계적으로 수 행 계획을 세우는 것이 중요합니다.
Ÿ 자료 수집: 통계의 목적이 확인되었으면 그 목적을 달성하기 위하여 적 절한 자료를 수집해야 합니다. 자료를 수집할 때는 ‘자료는 목적에 비추 어 알맞은 자료인가?’(타당성의 문제), ‘조사 방법은 정확히 되었는가?’
(신뢰성의 문제)를 고려해야 합니다. 또한 자료 내용의 정확성, 난이도, 표현 방법 등 세심하게 주의를 기울여야 합니다.
Ÿ 분류 및 정리: 어느 집단의 성격을 같은 관점에 의해 분할하는 것을 분 류라 하고 분류된 자료를 표나 그래프로 나타내거나 평균 등을 산출하 여 보다 알기 쉽게 만드는 것을 정리라 합니다. 분류와 정리를 할 때는 중복되거나 누락이 발생하지 않도록 세심하게 유의하며 집계할 때에도 0이 된 항목도 유의미한 항목으로 처리하여야 합니다.
Ÿ 해석: 표나 그래프 등을 분석해 봄으로써 객관적이고 정당하게 자료를 해석하도록 해야 합니다. 예를 들어 종류별 개수, 합계를 살펴보며 더 나아가 가장 많이 나타나는 것, 가장 적게 나타나는 것을 살펴보며 적 절한 발문을 통해 통계 자료가 가지는 집단의 특성을 찾아보게 합니다.
Ÿ 판단: 해석을 바탕으로 자료에 없는 구간에 대해 예상하거나 앞으로 일 어날 것을 예측하고 판단하도록 합니다.
③ 분류하기의 중요성
Ÿ 자료를 조직, 분석하는 데 있어서 분류하기는 첫 번째 단계입니다. 사물 을 다양한 방법으로 분류해봄으로써 사고 기능을 개발할 수 있습니다.
이는 우리가 접하게 되는 다양한 실세계 상황 속에서 왜 분류를 해야 하는지에 대한 인식을 갖는 데서 출발합니다. 예를 들어 어지럽게 흩어 져 있는 옷장 속 모습에서 옷장을 내가 편리한 방법으로 정리하면 나 중에 옷 입는데 편리하겠구나 하는 동기가 자연스럽게 유발될 수 있습 니다. 또한 분류하기는 먼저 대상을 어떻게 분류할지에 대한 기준을 정 하면서 시작됩니다. 동물원에 있는 동물을 보면서 다리 수에 따라, 동물 색에 따라, 서식 장소에 따라, 번식 방법 등에 따라 분류할 수 있습니 다. 또한 분류하기는 읽기, 과학, 사회와 같은 다른 과목에도 자연스럽 게 적용됩니다. 한글에서 자음과 모음을 분류하거나 과학에서 식물을 잎에 따라 분류하여 그 특징을 찾아내기 위해서도 분류가 필요합니다.
Ÿ 이렇듯 정해진 기준에 따라 분류할 수 있고, 더 나아가 내가 정하는 기 준에 따라 분류하게 하여 학생들의 창의적 생각을 이끌어 낼 수도 있 습니다. 크기(대, 소), 색깔(빨간색, 파란색, 노란색), 모양(삼각형, 사각형, 육각형, 원)의 속성을 지닌 속성블록은 다음과 같은 기준으로 분류할 수 있습니다.
<표Ⅰ. 속성블록 분류 표>
[참고 문헌]
교육부(2017). 초등학교 수학 2학년 1학기 교사용지도서.
김수환, 박성택, 신준식, 이대현, 이의원, 이종영, 임문규, 정은실(2009). 초등학교 수학교육론. 동명사
4. 지도 방법
1) 2학년에서 다루어지는 분류하기 내용과 지도방법
2학년 분류하기 단원에서는 분류에 대해 알기, 기준에 따라 분류하기, 기준에 따라 분류하고 그 수 세기, 기준에 따라 분류한 결과 말하기의 순서로 학습하게 됩니다.
이를 위해 주변 사물을 이용하여 분류하기 활동을 하고 분명한 기준으로 분류해야 함을 인지하도록 합니다. 이를 위해 분류에 필요한 다양한 교구나 사물이 교실에 구비가 되어 있어야하며 분류하기에 이용할 수 있는 교구로 속성블록이 있습니다.
■분류하기
학생들은 이미 1학년 도형 단원을 학습할 때 분류하기를 경험해보았습니다. △모 양인 물건 모으기, □인 물건 모으기 등을 통하여 이미 모양에 따른 분류하기를 해 보았습니다. 2학년에서 다루어지는 분류하기에서는 분류 기준이 필요함을 이해하는 데 목적이 있습니다. 분류 기준이 분명하지 않을 때의 불편함을 느끼고 기준이라는 것은 누가 분류하더라도 같은 결과가 나와야 한다는 것을 알게 합니다. 이러한 과 정에서 학생들은 분명하지 않은 기준에 대한 불편함을 친구들과 충분히 이야기해보 며, 분명한 기준을 정하는 과정을 거쳐야합니다. 또한 정해진 기준에 따라 분류하기 전에 정해진 기준이 분명한지를 확인하게 합니다. 학생들이 정한 기준은 정확한 용 어의 사용보다는 학급에서 학생들 간 의사소통이 가능한 용어를 사용하여 기준을 정할 수 있습니다.
■속성블록 분류하기
속성블록은 3가지 색(빨강, 파랑, 노랑), 두께(두꺼운 것, 얇은 것), 크기(큰 것, 작은 것), 모양(원, 삼각형, 정사각형, 직사각형, 육각형)의 4가지 다른 속성을 가진 블록으 로 분류하기 활동에 적합한 교구입니다. 4가지 속성 중 한 가지 속성만을 기준으로 사용하여도 정확하게 분류를 할 수 있으며, 교과서에 제시된 활동에서는 직사각형 은 제외하여 24가지 조각을 사용하여 활동이 구성되어 있습니다. 학생들이 정사각 형과 직사각형을 학습하지 않았으므로 한 가지 사각형만을 사용하며, 학급에 구비 가 되지 않았다면 cd 자료에 있는 카드를 출력하여 수업에 활용할 수 있습니다. 그 외에 모양, 색, 털의 유무, 구멍의 수의 4가지 속성을 가지고 있는 우즐카드를 사용 하여 분류활동을 할 수도 있습니다.
■분류하여 세어보기
분류하여 세어보기 활동에서 동물 카드를 제시하여 동물을 분류하고, 세어보도록 하고 있습니다. 이때 동물들의 특징을 이야기 한 후, 분류기준을 정하기 위해서 활 동하는 것이나 새끼를 낳는 방법 등 보다 구체적인 질문을 하여 학생들이 분명한 기준을 정할 수 있도록 교사가 이끌어야합니다. 또한 학생들이 관심을 가질 만한
소재를 사용하여 활동을 할 수 있습니다. 팔찌나 목걸이를 만들 때 사용하여 비즈 나 다양한 맛이 있는 사탕, 다양한 모양이 있는 동물모양의 과자 등을 사용하여 학 생들이 기준을 정하고 기준에 맞게 분류하고, 그 수를 세어보는 활동을 할 수 있습 니다.
2) 지도 시 유의사항
Ÿ 분류하기가 필요한 실생활의 상황을 활용하여 학생들이 분류하기의 편리성을 느낄 수 있도록 해야 합니다. 옷 정리하기, 학용품정리하기 등 분류가 필요한 상황을 학생들에게 제공하여 분류를 하여 정리하였을 때의 편리성을 알게 합 니다.
Ÿ 정해진 기준에 따라 분류 활동을 하기 이전에 학생 스스로 기준이 분명한지 아닌지의 여부를 확인한 후, 분류 활동을 할 수 있도록 합니다.
Ÿ 분류 기준으로 정확한 용어의 이용보다는 학급의 학생들과 의사소통이 가능 한 용어의 이용을 권장하며 학생들의 자유로운 표현을 허용합니다.
Ÿ 분류한 결과를 말하는 과정에서 학생들의 분류 기준을 존중해 주고, 그에 따 른 자기 생각을 명확하고 조리있게 설명하는 것도 격려해주어야 합니다.
Ÿ 기준을 정하여 분류할 때 학생들이 정한 다양한 기준을 존중하되, 분명하지 않은 기준일 경우에는 분류하는 것이 어려움을 인식하게 해야 합니다. 예를 들어 예쁜 것과 예쁘지 않은 것을 분류기준으로 하였을 경우 분류하는 사람 에 따라 다른 결과가 나오게 됨으로 정확한 분류가 어렵다는 것을 알게 합니 다.
Ÿ 수업 활동에 필요한 그림 카드와 분류 판을 학생 수에 맞게 준비하여 수업 시간에 학생들이 직접 분류 활동을 경험할 수 있도록 합니다. cd자료에 필요 한 준비물에 제시되어 있어 출력하여 학생들에게 제공할 수 있습니다.
[참고 문헌]
교육부(2017). 초등학교 수학 1학년 2학기 수학.
교육부(2017). 초등학교 수학 1학년 2학기 교사용지도서.
