[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군] 4. 자릿값과 위치적 기수법

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1. 기수법의 체계 2. 자릿값 개념의 지도 3. 자릿값의 모델 4. 세 자리 수의 지도

[초등 수학 내용 전문성 향상 과정 초1~2학년군]

4. 자릿값과 위치적 기수법

1. 기수법의 체계 1) 기수법의 종류

① 가법적 기수법 : 적혀 있는 각각의 숫자가 나타내는 값을 모두 더한 합 으로 나타내는 방법이다. 하나의 기호 옆에 다른 기호를 첨가하여 수를 나 타낸다. 고대 이집트 수 체계나 로마 수 체계가 있다. 고대 이집트 숫자의 표기는 다음과 같다.

<고대 이집트 숫자의 표기>

고대 이집트 숫자는 그림에 제시된 것처럼 상형 문자를 이용하였고, 예를 들어 35는 다음과 같이 표기하였다.

<고대 이집트 숫자의 35 표기>

로마 숫자로 2018은 다음과 같이 나타나며, 이집트 숫자처럼 표기된 숫자를 모두 더하면 된다.

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<로마 숫자의 2018 표기>

② 승법적 기수법 : 가법적 기수법과 함께 사용하는데 두 개의 수 기호가 나타내는 수 값을 서로 곱하여 두 기호의 수 값을 나타내는 방법이다. 중국 한자의 수 체계에서 나타난다.

<승법적 기수법>

③ 위치적 기수법 : 각 숫자를 쓰는 자리에 자릿값은 미리 정하여 그 자리 에 쓰이는 숫자와 그 자리에 정해진 자릿값을 곱한 다음 이들의 값을 더하 여 전체 수의 값을 나타내는 방법이다. 즉, 단위를 쓰지 않고 수가 놓인 자 리로 단위를 나타내는 방법으로 해당하는 단위의 수가 없을 때에는 그 자리 에 0을 써서 나타낸다. 오늘날 우리가 사용하는 기수법으로 인도 ・ 아라비 아 기수법이라고 부른다.

<위치적 기수법>

2) 위치적 기수법 체계

현재 우리가 사용하고 있는 기수법 체계는 위치적 기수법인 인도-아라비아 기수 법 체계이다. 이 기수법 체계는 인도 사람들에 의하여 발명되어 아라비아 인들을 통하여 유럽으로 전파된 것으로 네 가지 중요한 특징을 가지고 있다.

① : 숫자의 값은 위치에 의해 결정된다. 백의 자리는 100이라는 자릿값을,

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자리는 10이라는 자릿값을 가진다. 예를 들면 234에서 백의 자리 숫자 2는 100이 2개 있음을 의미한다.

② 밑이 10 : 밑(base)이라는 용어는 모임을 뜻한다. 십진법에서 10은 새로운 모 임을 결정하는 값이며 0부터 9까지 10개의 숫자를 사용한다.

③ 0의 사용 : 없음을 나타내는 0은 어떤 것이 존재하지 않음을 기호적으로 나타 낸 것이다. 예를 들어 309에서 백의 자리와 일의 자리에는 수가 존재하지만 십의 자리에는 아무것도 없음을 나타낸다.

④ 가법성 : 수는 전개식으로 나타낼 수 있으며 각 자릿값의 합을 의미한다. 예를 들어 123은 100+20+3이라는 전개식을 축약한 것이다.

[참고 문헌]

교육부(2015). 수학 1-2 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.

2. 자릿값 개념의 지도

1) 개념

자릿값의 개념은 현재 우리가 사용하고 있는 수 체계에서 핵심적인 특징이다. 따 라서 덧셈, 뺄셈, 곱셉, 나눗셈 알고리즘을 의미 있게 학습하고 사용하기 위해서 는 자릿값에 대한 이해가 필수적이다. 자릿값 개념은 다음과 같은 두 가지 중요 한 개념에 바탕을 두고 있다.

① 묶기와 교환하기(grouping & trade)

수를 세거나 암송하는 것을 보고 마치 자릿값 개념을 이해한 것 으로 해석하는 경우가 종종 있다. 그러나 정확하게 셀 수 있어도 자릿값 에 대한 개념을 이해하지 못하는 경우가 많다. 대부분의 경우에 자릿값의 혼동이나 오개념은 수 세기, 10개씩 묶는 경험, 교환하기와 관련된 실제적 경험의 부족에서 그 원인을 찾을 수 있다.

자릿값 개념의 출발은 10개씩 묶는 경험에 기초한다. 어린 학생들은 처음 에 주어진 양을 전체를 이루는 부분으로 분할하여 생각하기 보다는 전체량 의 관점에서 해석한다. 예를 들어 15는 10과 5로 이루어진 수라고 생각하기 보다는 15 또는 열다섯으로 해석한다. 학생들이 자릿값 개념을 계발하기 위 한 첫 단 추는 대상을 1, 10, 100개씩 묶는 경험이며, 1학년 학생들은 주어 진 대상을 10개와 낱개로 묶는다. 2학년에서는 100에서 1000까지 확장된다.

학생들은 다양한 묶기 경험을 내면화하여 ‘부분-전체 관계‘를 구성한다.

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연결큐브나 그림에서 낱개 10개를 십 1개로 묶는 과정이다.

<출처: 교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.>

자릿값 개념을 이해하기 위해 단순히 10개씩 묶는 경험만으로 충분치 않다.

십진기수법에서 특정한 자리에 쓸 수 있는 최대 수는 9이기 때문에 묶기 활동을 통해 10이라는 수가 만들어지면 필연적으로 상위자리로 이동해야 하는데, 이때 수반되는 활동이 교환하기이다. 즉 ‘ 낱개 10개를 십 1개로, 십 10개를 백 1개로’ 교환하기가 수행된다. 이러한 교환은 양 방향으로 이루어 질 필요가 있다.

수 모형, 색깔칩, 자릿값 판을 이용하여 낱개 10개를 십 1개로 교환하는 과정이다.

첫째는 ‘구성적 교환’으로 일 10개를 묶고, 십 1개로 교환하기, 십 10개를 묶고 백 1개로 교환하기 등과 같이 하위 단위 10개를 상위 단위 1개로 교 환하는 것이다.

둘째는 ‘해체적 교환’으로 백 1개를 십 20개로, 십 1개를 일 10개로 교환하 기 등과 같이 상위 단위 1개를 해체하여 하위 단위 10개로 교환하는 것이 다.

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교환의 방향에 따라 구성적 교환과 해체적 교환이 이루어진다.

<출처: 교육부(2015). 수학 2-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.>

교환하기는 저학년 학생들에게 다소 어려운 활동이다. 예를 들어 낱개 10개 와 십 1개 교환이 이루어지는 경우를 생각해 보면 학생들은 ‘십(10)’을 1이 10개인 수이면서 동시에 십이 1개인 수로 생각할 수 있어야 한다. 이 때의 십(10)을 합성단위라 하고, 이러한 합성 단위 구성의 밑바탕에 깔린 인지적 과정을 ‘단위화(unitizing)’라고 한다. 단위화란 어떤 양이나 수를 ‘하나 또는 일’로 구성하고, 그것을 반복하고 셀 수 있는 능력을 의미한다. 학생들은 다 양한 교화하기를 경험하고, 이를 내면화하여 ‘단위화’ 개념을 구성하게 된다.

또한 1보다 작은 수인 소수의 교환하기에 대해서도 주목해야 한다. 즉, 1은 10개의 1/10로 또는 10개의 1/10이 1로, 10개의 1/100이 1개의 1/10로 또 는 1개의 1/10이 0개의 1/100로 교환할 수 있다.

구체물(양)→묶기→교환하기→기호화(쓰기) 과정

결국 학생들은 일을 10개씩, 십을 10개씩, 백을 10개씩 묶는 활동을 통해 하나의 수가 다른 자릿값을 갖는 수들로 분할되며 다시 이 분할된 수를 합

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성하면 처음의 수 전체가 된다는 것을 이해하게 된다. 즉 분할과 합성을 통 해 부분과 전체의 관계를 구성하게 된다.

또한 교환은 일 10개를 십 1개로, 십 10개를 백 1개로 교환하는 것으로 이 과정에서 자릿값의 변화를 경험하게 된다. 이처럼 교환하기를 통해 한 자리 에서 두 자리, 두 자리에서 세 자리, 세 자리에서 네 자리로의 자릿수 변화 를 경험하는 활동은 자릿값을 이해하는 데 기초적인 것이다.

② 기본 숫자의 위치는 그 위치에 있는 숫자의 값을 결정한다.

어떤 숫자(numeral)에 사용된 각 기본 숫자(digit)는 임의적이며 어떤 위치에 쓰여 있는지에 따라 실제적 의미와 크기가 결정된다는 점을 이해할 필요 가 있다. 십진기수법에서 기본 숫자는 두 가지 역할을 한다.

첫째, 숫자에서 기본 숫자의 위치(position)는 그것의 자릿값을 지정해준다. 어떤 숫자가 오른쪽에서 두 번째 자리에 쓰여 있다면 이 자리는 묶음의 단위가 10인 위치이므로 ‘10의 자리’라 하고, 10이라는 자릿값을 갖는다. 또한 어떤 숫자가 오 른쪽에서 네 번째 자리에 쓰여 있다면 그 자리는 묶음의 단위가 10,000인 위치 이므로 ‘만의 자리’라 하고, 만이라는 자릿값을 갖는다.

둘째, 기본 숫자는 자신은 액면가(face value)를 갖는다. 따라서, 기분 숫자는 어 느 자리에 쓰이든 상관없이 묶음의 개수를 의미한다. 예를 들어 345에서 십의 자리에 쓰인 4는 10개씩 묶음이 4개 있음을 의미한다. 결국 십진기수법에서 각 자리에 쓰인 기본 숫자가 나타내는 값은 ‘액면값×자릿값’으로 구할 수 있으며 십 진기수법의 곱셈적 성질과도 관련이 있다.

③ 리그루핑(regrouping)

‘교환하기’는 한 자리 수에서 두 자리 수, 두 자리 수에서 세 자리 수로 자릿수가 변할 때 관여하는 활동이다. 리그루핑은 교환하기를 기초로 하여 29에서 30, 또 는 799에서 800 등과 같이 각 자리에 있는 수가 9보다 커지는 경우의 수로 바 뀔 때 필요한 활동이다.

또한 리그루핑은 전체 수의 값을 유지하면서(불변성) 특정한 자릿값의 수를 다른 자릿값의 수로 변화하는 과정으로 생각할 수 있다.

리그루핑과 유사한 표현으로 고쳐쓰기 또는 고쳐부르기(rewriting or renaming) 가 있는데 문자 그대로 구별하자면 리그루핑은 구체물을, 고쳐쓰기나 고쳐부르기 는 숫자를 조작하는 맥락에서 사용된다. 또한 덧셈과 뺄셈 등 사칙연산에서는 받 아올림과 받아내림이라는 표현으로 쓰인다.

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2) 개념과 관련된 핵심 아이디어

자연수를 포함한 수 학습에서 자릿값에 기초한 위치적 십진기수법을 이해하기 위한 핵심 아이디어를 정리하면 다음과 같다.

핵심 아이디어 학습 활동

1, 10, 100씩 묶기 ‧ 주어진 양을 10, 100씩 묶고 묶어서 세기 교환하기(단위화) ‧ 일 10개를 십 1개, 십 10개를 백 1개로 교환하기

리그루핑 ‧ 수를 분할하고 합성하기, 받아올림과 받아 내림

자리와 자릿값 ‧ 일, 십, 백, 천의 자리를 알고 이를 이용해 수의 구성 원리 알기

0의 역할(자리지기) ‧ 0이 있는 수 쓰고 읽기 곱셈적 성질 ‧ 각 자리가 나타내는 값 알기

덧셈적 성질 ‧ 수를 전개식으로 나타내기

[참고 문헌]

교육부(2018). 2018 초등교원 수학 마스터 클래스 전문성 집중 향상 연수 교재.

3. 자릿값의 모델

앞으로 소개할 자릿값의 모델들을 이용하여 10으로 묶기와 교환하기는 수 감각 을 발달시키고, 문제해결 활동을 제공할 뿐만 아니라 자릿값의 기초가 된다. 자 릿값의 모델은 다음과 같다.

1) 비묶음 자료와 묶음자료

자릿값 개념을 개발하는 데 도움이 되는 자료는 두 가지 유형, 비묶음 자료와 묶 음 자료가 있다. 비묶음 자료에는 모형(연결큐브), 빨대, 산가지 등이 있는데 이것 을 학생들이 묶음으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 빨대 10개가 한 묶음으로 만 들어지면, 이 빨대 묶음은 1개의 컵에 담겨지거나 고무줄로 묶을 수 있다. 이렇 게 컵에 담겨지거나 고무줄로 묶은 빨대들은 이제 묶음 자료가 된다.

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자릿값 개념을 개발하기 위한 비묶음 자료와 묶음 자료

자료 비묶음 자료 묶음 자료

산가지

출처: 교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울:

천재교육.

출처: (저작권확보×)

http://www.imarket.co.kr/product/MallDisplay.do?_method

=Detail&sc.prdNo=1037952089

모형 (연결큐브)

출처: (저작권 확보×)

https://search.shopping.naver.com/detail/lite.nhn?nv_mid

=10655357264&frm=NVSCIMG&query=%EC%97%B0%EA

%B2%B0%ED%81%90%EB%B8%8C&NaPm=ct%3Djr4l7kq g%7Cci%3D9940919c93a501ec7da5a567c0b78e99da2948 c4%7Ctr%3Dimg%7Csn%3D95694%7Chk%3D9f011c7f4d4

9994737f55efd720e9a7bca415c36

출처: 교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울:

천재교육.

빨대

출처: 교육부(2015). 수학 2-1 수학교과서, 서울: 천재교육. 출처: 교육부(2015). 수학 2-1 수학교과서, 서울: 천재교육.

산가지, 모형(연결큐브), 빨대는 비묶음 자료지만 묶는 활동을 통해 묶음 자료가 될 수 있다.

자릿값 개념을 형성하고 개발하는 데 있어서 구체적 자료를 이용한 실제적 경험 이 필수적이다. 연구에 따르면 자릿값에 대한 수업은 언어적 표현과 기호적 표현 을 동시에 연결할 수 있는 구체적 모델에 초점을 맞춰 수업을 해야 할 필요가 있다고 한다.

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2) 비례 모델과 비(非)비례 모델

① 비례 모델

수의 크기와 자료의 양이 비례하는 모델이다. 즉, 10을 나타내는 모델은 1 을 나타내는 모델의 10배의 양이나 크기이고, 100을 나타내는 모델은 10을 나타내는 모델의 10배의 양이나 크기이다. 비례 모델에는 수 모형와 색막대 (퀴즈네어 막대), 모형(연결큐브) 등이 있다.

② 비(非)비례 모델

비(非)비례 모델은 모의 화폐, 칩, 주판 등과 같이 크기와 상관없이 색깔이 나 위치로 수의 크기를 나타내는 모델이고, 비례 모델보다 추상적이다. 학생 들이 한 자리 수부터 시작하여 두 자리 수, 세 자리 수를 학습과정에서 수 에 대한 적절한 감각을 형성하기 위해 비례 모델이 도움이 되지만 수가 커 질수록 비례 모델을 이용하여 크기를 상대적으로 비교하기는 어려운 일이 될 수 있다. 이런 경우 비(非)비례 모델을 이용할 수 있고, 십진법으로 형식 화해야 한다.

출처: 교육부(2015). 수학 1-1 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

화폐

출처: 교육부(2015). 수학 1-2 교사용 지도서, 서울: 천재교육.

[비례 모델] [비(非)비례 모델]

3) 수판(10 frame)

수판은 규칙성을 촉진하고 수의 묶음 인식과 자릿값을 이해하게 하는 데 효율적 인 모델의 하나로 평가받고 있다. 수판 그 자체가 10이라는 수로 해석될 수도 있지만 주로 한 자리 수나 두 자리 수를 다양한 방법으로 표현하는 수단으로 이 용될 수 있다. 예를 들어 수판을 이용하여 7과 14를 다음과 같이 나타낼 수 있 다.

[참고 문헌]

박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역(2012), 『초등교사를 위한 수학과 교수법』. 서울:(주)경문사. 202.

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4. 세 자리 수의 지도 1) 세 자리 수 읽고 쓰기

세 자리 수를 지도할 때에는 너무 성급하게 기호화하지 말아야 한다. 수 세기와 조작 활동을 충분히 한 후에 세 자리 수의 쓰기와 읽기를 지도한다. 즉 기호로 표현된 수를 쓰고 읽으며 계열을 확인하는 것을 너무 서둘러서 강조해서는 안 된다. 기호 도입을 조급하게 강조하는 것은 세 자리 수 이해에 결코 도움이 되지 않는다는 것을 의미한다. 수를 쓰고 읽는 것에 앞서서 수 감각을 발달시킬 필요 가 있다.

자릿값의 이해는 세 자리 수를 쓰고 읽는 기능을 발달시킬 수 있다. 123을 예로 사용해 보자. 세 자리 수 123에서 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 각각의 숫 자 1,2,3이 나타내는 값을 확인할 수 있다. 즉. 1은 100을, 2는 20을, 3은 3을 나 타낸다.

이러한 표현은 자릿값 판(place value mat)을 통해 보여 줄 수 있다.

백의 자리 십의 자리 일의 자리

1 2 3

100이 1개 10이 2개 1이 3개

학생들이 논리적으로 수를 쓰거나 읽는 것처럼 보이지만 수를 써 나가는 과정에 서 오류를 범하기도 한다. 예를 들어 수를 읽어 가는 대로 숫자를 쓰게 되면

‘401’로 잘못 쓸 가능성이 있다. 만약 학생들이 이 오류를 범했다면 교사는 교정 을 위해 다음과 같은 자릿값 판을 이용하여 교정할 수 있다.

백의 자리 십의 자리 일의 자리

● ● ● ● ●

4 0 1

십의 자리 일의 자리

● ● ● ● ●

사십일 나타내기→ 4 1

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2) 세 자리 수의 크기 비교

세 자리 수의 크기 비교는 한 자리 수 또는 두 자리 수의 크기 비교 방법의 이 해가 바탕이 되어야 한다. 세 자리 수의 크기 비교 학습은 구체물이나 수 모형을 사용해 비교하고 말로 설명하기, 백, 십, 일의 자리 숫자끼리 또는 자리의 숫자가 나타내는 값끼리 비교하고 말로 설명하기, 말로 비교한 결과를 부등호를 사용해 나타내기, 세 자리 수의 비교 방법 일반화하기의 순서로 지도한다. 이 때 주의할 점은 비교한 결과를 ‘~은 ~보다 큽니다.’ 또는 ‘~은 ~보다 작습니다.’와 같이 양 방향으로 비교하며 그 결과를 부등호로 나타내는 과정이 자연스럽게 연결되도록 지도한다. 또한 비교해야 할 세 자리 수를 제시할 때 백의 자리 숫자가 다른 경 우, 백의 자리 숫자가 같고 십의 자리 숫자가 다른 경우, 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 같고 일의 자리 숫자가 다른 경우의 순으로 제시하여 마지막으로 세 자리 수의 크기 비교 방법을 일반화할 수 있도록 지도한다. 세 자리 수의 크 기 비교 학습 과정을 제시하면 다음과 같다.

<268과 312의 크기 비교하기>

① 수 모형을 사용해 비교하기

• 핵심 활동: 세 자리 수를 수 모형으로 놓아 나타내고, 결과 말해보기

② 세 자리 수의 백의 자리 숫자의 크기 비교하기

• 핵심 활동: 세 자리 수를 자릿값 판에 나타내고, 결과 말해보기

백의 자리 십의 자리 일의 자리

268➡ 2 6 8

312➡ 3 1 2

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③ 비교한 결과를 부등호로 나타내기 268 < 312

④ 백의 자리 숫자가 다른 세 자리 수를 비교하는 방법 일반화하기

• 백의 자리 숫자가 다른 세 자리 수를 비교하는 방법은 백의 자리 수가 크 면 큰 수가 된다.

[참고 문헌]