Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4, pp. 601∼604

(1)

Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4, pp. 601∼604

New Physics: Sae Mulli (The Korean Physical Society), DOI: 10.3938/NPSM.61.601

Thiele U ê sX N ËÅ k Ä; c M m X ¢ M | ºy ð Â# a8 ý T z ºs ð ' [ õ m Í P c pê ø Ö " e 4 m

»< K Ú · ý ¡ ¢ 9 · » ò 6 Bg ` @

Ø

æ· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763 (2011¸ 3 Z 4 21{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2011¸ 6 Z 4 1{ 9 > F S X & ñ )

l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸\ ¦ ° ú H y © $ í ¸J É r p A _ Ä »} © ô Ç B j ¸o è Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e . l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ¸ ú ¬ ¹ ÷ & H כ s · ú 94 R e . : r ½ ¨\ " f H Thiele

~

½ Ó& ñ d _ ~ G ( s Ð 7 ' )ü < ← →

D ( y WJ $ " f) # Q " [ jÂ Ò& h > í ß õ & ñ ` ¦ : x K M ® o H t µ 1 ßy ¦ ô Ç

.

Ù þ

d # Q: l Ð% 7 Û ¼, Thiele ~ ½ Ó& ñ d , y © $ í n Û ¼ß ¼, s Ð 7 ' , y WJ $ " f

Calculation of the Gyrovector and the Damping Tensor of a Magnetic Vortex Core Based on the Thiele Equation

Je-Ho Shim · Hong-Guang Piao · Dong-Hyun Kim ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763 (Received 21 March 2011 : accepted 1 June 2011)

A nanopatterned ferromagnetic element with a magnetic vortex spin structure is considered to be a promising future memory device. Magnetic vortex dynamics is known to be well described by the Thiele equation. In this work, we report our study on how to analytically calculate ~ G (the gyrovector) and ← →

D (the damping tensor) in the Thiele equation.

PACS numbers: 75.60.Ch, 75.70.Kw

Keywords: Magnetic vortex, Thiele equation, Ferromagnetic disk, Gyrovector, Damping tensor

I. " e Â ] Ø

ì

ø Í ¸^ B j ¸o è _ | 9 & h ¸ & ³F _ s à Ô Û ¼ H

{ 9 \ s Ø Ô> ÷ & " f è _ ¸p ' Û ¼H { 9 : £ ¤$ í s

&

h

& h × æ כ ¹K t ¦ e . l ì ø Í è _ â Ä º

&

ñ Ð ² ú ` ¦ { { © Ù ¼ Ð | 9 & h ¸ Z } | 9 Ã º2 ¤ µ 1 Ï\ P ë H ] j

d y K . s Qô Ç µ 1 Ï\ P ë H ] j Ð K Y O t · ú § É r p A

\

¸ è _ | 9 & h ¸ ¾ Ó © s ] jô Ç~ Ã Î> | ¨ c כ s . s \

@

/ô Ç K ~ ½ Óî ß Ü ¼ Ð ª ô Ç l Õ ü t[ þ t s ] jr ÷ & ¦ e H X <, Õ

ª × æ Û ¼ 2 ;` ¦ s 6 x ô Ç Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ H B Ä º Ä »} © ô Ç l

Õ ü t Ð y F g ~ Ã Î ¦ e . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ H Û ¼ 2 ;` ¦ s

∗

E-mail: [email protected]

6 x l M :ë H \ À Ó Ð ô Ç µ 1 Ï\ P ë H ] j\ e # Q l ì ø Í

¸ è Ð Ä »o . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ ½ ¨ & ³` ¦ 0 AK " f H

¸½ ¨ ¸_ y © $ í ^ \ ¦ ] j K H X <, ´ ú § É r â Ä º

¸½ ¨ ¸ y © $ í ^ \ " f l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ + þ A$ í ÷ & H

כ

s · ú 94 R e . s Qô Ç s Ä » Ð þ j H l Ð% 7 Û ¼ ½ ¨

¸\ ¦ ° ú H y © $ í J ~ Ã Ì} B j ¸o è \ @ /ô Ç ' a d s 7

£

x @ / ¦ e .

l Ð% 7 Û ¼ ½ ¨ ¸\ @ /ô Ç z ´+ « > ½ ¨ H ª ô Ç r Û ¼% 7

\

" f ´ ú §s Ð ¦÷ &# Q M ® o [1,2]. l Ð% 7 Û ¼_ Û ¼ 2 ; ½ ¨ ¸

H Ã ºf ~ ½ Ó ¾ Ó o$ í ì r` ¦ ° ú H Ð% 7 Û ¼ ï# Q Å Ò0 A\ ¦ Ã º¨ î

~

½ Ó ¾ Ó o$ í ì r` ¦ ° ú H Û ¼ 2 ;[ þ t s è6 x[ t s ¸ ª Ü ¼ Ð y

H + þ AI \ ¦ ° ú H . Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ& h $ í | 9 \ @ /ô Ç

½ ¨ ¸ Ö ¸ µ 1 Ïy ' ÷ &# Q M ® o H X <, : £ ¤ y l © x 9 Û ¼ 2 ;

-601-

(2)

-602- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4

À

Ó ` O Û ¼\ _ ô Ç Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ r î r1 l x s z ´+ « >& h Ü ¼ Ð

Ð ¦÷ &# Q e [3,4]. Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ r î r1 l x É r Thiele

~

½ Ó& ñ d \ l ì ø Íô Ç ¸4 S q Ð ¸ ú ¬ ¹ ) a H כ s · ú 94 R e

[5,6]. s ~ ½ Ó& ñ d É r Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ î r1 l x` ¦ y W ¸ o 1

l

x Ð & ñ # [ O " î ¦ e .

: r 7 Hë H \ " f H p A _ B j ¸o è Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e H y

© $ í J ~ Ã Ì} _ l Ð% 7 Û ¼ ï# Q 1 l x% i < Æ` ¦ l Õ ü t

H Thiele ~ ½ Ó& ñ d y ½ Ó > Ã º[ þ t _ [ jÂ Ò& h Ä » ¸õ & ñ ` ¦

×

æ& h & h Ü ¼ Ð À Ò ¦ ô Ç .

II. Ä ] Ø Â ] Ø

y

© $ í ^ Û ¼ 2 ; ½ ¨ ¸ H & ñ l \ -t (Magnetostatic energy), © ñ § ¨ 8 \ -t (Exchange energy), l q 1 p x

~

½ Ó$ í \ -t (Magnetic anisotropy energy)ü < ° ú É r l

\ -t _ þ j è o ¸| \ _ K " f & ñ ) a . ( Y O Ð s

(Permalloy) ½ + ËF K õ ° ú s l q 1 p x ~ ½ Ó$ í \ -t \ ¦ Á º r

½ + É Ã º e H â Ä º, ¸p ' Û ¼H { 9 _ y © $ í ^ n Û ¼ß ¼

\

" f H & ñ l \ -t ü < © ñ § ¨ 8 \ -t _ þ j è o ¸

|

\ _ K l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ + þ A$ í ) a . n Û ¼ß ¼ \ P

\ " f_ Ä »F G + þ A$ í ` ¦ } & ñ l \ -t \ ¦ þ j è o l

0 AK Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ H n Û ¼ß ¼ ¸ ª \ " é ¶+ þ A è6 x[ t s + þ

AI ÷ & ¦, n Û ¼ß ¼ × æ © Â Òì r \ " f H © ñ § ¨ 8 \ -t

Z } 4 R n Û ¼ß ¼ ³ ð \ Ã ºf ~ ½ Ó ¾ Ó_ o\ ¦ ° ú H Ð

% 7

Û ¼ ï# Q(Vortex core) + þ A$ í ÷ & " f © ñ § ¨ 8 \ -t

\

¦ × ¦{ 9 Ã º e . Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ É r 6 £ § õ ° ú É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d (Thiele equation)Ü ¼ Ð Å Ò ¸ ú ¬ ¹ ½ + É Ã º e

H כ s · ú 94 R e .

− ~ G × ~ X ⁰ − ← →

D · ~ X ⁰ + k ~ X = 0 (1)

© l _ Thiele ~ ½ Ó& ñ d É r y W ¸ oî r1 l x(Damped har- monic oscillation) ~ ½ Ó& ñ d õ Ä » ô Ç + þ AI \ ¦ ° ú H . s d

` ¦ Ð@ / Ð ¸ $ í ^ _ l Ð% 7 Û ¼ ï# Q¹ ¡ §f e ` ¦ ì r

$

3 ½ + É M :, ~ G (Gyrovector) ← →

D (Damping tensor)\ ¦

l Ð% 7 Û ¼ ï# Q ¸n Û ¼ß ¼_ × æ © \ 0 Au ½ + É M :\ ¦

& ñ ô Ç { 9 & ñ ô Ç ° ú כ` ¦ 6 x K M ® o . Õ ª ° ú כ É r ~ G _ â Ä º

| ~ G| = ^2πLM _γ

^s

z, ˆ ← →

D _ â Ä º 3 × 3 J $ " f Ð" f D ^xx = D yy =

−απLM s

ln _R ^R

c

s 9, D xx ü < D yy \ ¦ ] jü @ô Ç Qt $ í ì

r[ þ t É r 0 s ) a [7]. # l " f L É r y © $ í ¸n Û ¼ß ¼_

¿

ºa , R É r y © $ í ¸n Û ¼ß ¼_ ì ø Í â , R c H l Ð% 7 Û ¼

ï# Q_ ì ø Í â , α H y © $ í ^ _ y W © Ã º, γ É r l r q Ö

¦, Õ ªo ¦ M s H í o os . s Qô Ç © Ã º\ ¦ s 6 x

#

l Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ` ¦ ê r 7 Hë H É r & ³F t

´ ú

§t ë ß s Qô Ç ° ú כ[ þ t s # Q " > í ß õ & ñ ` ¦ 5 g & ñ ÷ &% 3

Fig. 1. (Color online) Schematic diagram of a spin con- figuration in a ferromagnetic nanodisk.

H t \ ¦ ê r 7 Hë H É r _ \ O . : r 7 Hë H \ " f H ~ G ü < ← → D _

>

í ß õ & ñ ` ¦ [ j > À Ò# Q l Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ ¹ ¡ §f e

`

¦ f ' a& h Ü ¼ Ð H X <\ ¸F K s ¸¹ ¡ § s ÷ & ¦

ô Ç .

Thiele ~ ½ Ó& ñ d _ ~ G ← →

D H y ² D G è% ò % i _ é ß 0 AÂ Òx {

© ~ G ~gü < é ß 0 AÂ Òx { © ← → D ← →

d \ ¦ & h ì r ô Ç ° ú כs 9, ~gü <

← →

d H 6 £ § õ ° ú [5].

~ g = − M s

|γ| sin θ(∇θ × ∇φ) (2) d = − ~ αM _s

|γ| (∇θ∇θ + sin ² θ∇φ∇φ) (3)

#

l " f θü < φ H ¸n Û ¼ß ¼ l ï r ý a³ ð> ý a³ ð y y

_ ² D G è% ò % i Û ¼ 2 ; l ï r ý a³ ð> ý a³ ðs . (2)ü < (3)d ` ¦ Û

¦ M : y ² D G è% ò % i Û ¼ 2 ;[ þ t` ¦ ¸¿ º ¦ 9 # > í ß K

¦, s ° ú כ[ þ t` ¦ Â Òx & h ì r ô Ç ° ú כs þ j7 á x& h Ü ¼ Ð Ä ºo 6

x H © Ã º ~ G ü < ← →

D ) a . ì ø Í â s Rs ¦ ¿ ºa L n

Û ¼ß ¼ + þ AI _ " é ¶: x+ þ A ~ Ã Ì} ` ¦ ¦ 9½ + É M :, " é ¶: x+ þ A ~ Ã Ì} _ Û

¼ 2 ; ½ ¨ ¸ H 6 £ § Õ ªa Ë >õ ° ú .

#

l " f ~g, ← →

d \ ¦ > í ß l \ y ² D G è% ò % i \ " f é ß 0 A

o 7 ' \ ¦ & ñ _ ½ + É 9 כ ¹ e . Õ ªa Ë >\ " f n Û ¼ß ¼ý a³ ð

>

l ï r 0 Au 7 ' \ @ /K Õ ª 0 Au _ Û ¼ 2 ; ~ ½ Ó ¾ Ós 0 Au 7 '

ü < Ã ºf s ÷ & H כ ` ¦ · ú Ã º e . Û ¼ 2 ;ý a³ ð> l ï r Û ¼

2 ; 7 ' H ~ S = sin θ cos φˆ x + sin θ sin φˆ y + cos θˆ z Ð è

q Ã º e H X < ¾ Ó Ê ê > í ß _ ¼ # _ \ ¦ 0 A # Û ¼ 2 ;ý a³ ð> \

"

f_ φ\ ¦ n Û ¼ß ¼ý a³ ð> φ ⁰ Ü ¼ Ð Ë ¨ ¸2 ¤ ô Ç . n Û ¼ß ¼¨ î

0 A\ " f φü < φ ⁰ É r 90 ^◦ s Ù ¼ Ð Û ¼ 2 ; 7 ' \ ¦ n Û ¼ ß

¼ý a³ ð> \ " f r ³ ð & ³ 6 £ § õ ° ú s è q Ã º e

.

S(θ, φ ~ ⁰ ) = − sin θ sin φ ⁰ x + sin θ cos φ ˆ ⁰ y + cos θˆ ˆ z (4) s

M :, ~ S _ ß ¼l H 1 s . # y θ H Û ¼ 2 ;ý a³ ð> ý a³ ð

H & h \ Å Ò3 l q . (2)ü < (3)d _ θü < φ H Û ¼ 2 ;ý a³ ð>

(3)

Thiele ~ ½ Ó& ñ d \ l ì ø Íô Ç l Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ s Ð 7 ' x 9 y WJ $ " f > í ß – d ] j ñ 1 p x -603-

l

ï r s t ë ß ρ H n Û ¼ß ¼ý a³ ð> l ï r s . (2)d õ (3)d _

∇` ¦ Û ¦ 6 £ § õ ° ú É r d ` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

~

g = − M _s

ρ|γ| (ˆ θ × ˆ φ) (5) d = − ~ αM _s

ρ ² |γ| (ˆ θ ˆ θ + ˆ φ ˆ φ) (6) s

] j ˆ θ ü < ˆ φ` ¦ ½ ¨K Ð ¸2 ¤ . # y θü < φ H Û ¼ 2 ;ý a

³

ð> l ï r s . Û ¼ 2 ; 7 ' \ ¦ n Û ¼ß ¼ý a³ ð> \ ¦ l ï r Ü ¼ Ð

³

ð & ³ (4)_ d Ü ¼ ÐÂ Ò' , ˆ θ ü < ˆ φ\ ¦ 6 £ § õ ° ú s % 3 ` ¦ Ã

º e .

θ = ~ ˆ S θ + π

2 , φ ⁰

= − cos θ sin φ ⁰ x + cos θ cos φ ˆ ⁰ y − sin θˆ ˆ z (7) φ = ~ ˆ S

θ, φ ⁰ + π 2

= − sin θ cos φ ⁰ x + sin θ sin φ ˆ ⁰ y − cos θˆ ˆ z (8) (7) õ (8)d ` ¦ s 6 x # ~θ × ~φ, ˆ θ ˆ θ Õ ªo ¦ ˆ φ ˆ φ\ ¦ 6 £ § õ ° ú s

è q Ã º e .

~ θ × ~ φ = cos θ sin θˆ z

+ (cos ² θ cos φ ⁰ − sin ² θ sin φ ⁰ )ˆ x

+ (sin ² θ cos φ ⁰ + cos ² θ sin φ ⁰ )ˆ y (9)

θ ˆ ˆ θ =





cos ² θ sin ² φ ⁰ − cos ² θ ^{sin 2φ} ₂

⁰

^{sin 2θ} ₂ sin φ ⁰

− cos ² θ ^{sin 2φ} ₂

⁰

cos ² θ cos ² φ ⁰ − ^{sin 2θ} ₂ cos φ ⁰

sin 2θ

2 sin φ ⁰ − ^{sin 2θ} ₂ cos φ ⁰ sin ² θ



 (10)

φ ˆ ˆ φ =





sin ² θ cos ² φ ⁰ − sin ² θ ^{sin 2φ} ₂

⁰

^{sin 2θ} ₂ cos φ ⁰

− sin ² θ ^{sin 2φ} ₂

⁰

sin ² θ sin ² φ ⁰ − ^{sin 2θ} ₂ sin φ ⁰

sin 2θ

2 cos φ ⁰ − ^{sin 2θ} ₂ sin φ ⁰ cos ² θ



 (11)

$ (9)d ` ¦ ¶ ú ( R Ð ˆ z$ í ì r` ¦ ] jü @ô Ç Qt $ í ì r[ þ t É r φ ⁰ ` ¦ í < Êô Ç H כ ` ¦ · ú Ã º e . s $ í ì r[ þ t` ¦ Â Òx & h ì r

@ /g A$ í M :ë H \ ¸¿ º 0s ) a . ² D G z H כ É r ˆ z$ í ì

r ë ß z > ÷ &Ù ¼ Ð, ~ G H 6 £ § õ ° ú s è q Ã º e .

G = −ˆ ~ z M _s

|γ|

Z Z Z R 0

ρ ⁻² cos θ sin θρdρdφ ⁰ dz (12)

#

l " f θ H ρ \ @ /ô Ç < ÊÃ º ¦ ½ + É Ã º e . 0 A & h ì rd \

"

f z$ í ì r Ü ¼ Ð & h ì r ô Ç õ H ¿ ºa Ls ÷ & ¦, φ ⁰ $ í ì r Ü ¼

Ð & h ì r 2π : r . Õ ªo ¦ ρ$ í ì r Ü ¼ Ð & h ì r 9

θ(ρ) < ÊÃ º g 1 J` ¦ · ú t ë ß , l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸

ÐÂ Ò' θ(ρ)\ ¦ Ä ºr î ß Ü ¼ Ð H ½ + É Ã º e Ü ¼Ù ¼ Ð s â Ä

º & h ì r @ /| Ä Ì 1s : r . Õ ª õ | ~ G| = ^2πLM _γ

^s

ˆ z` ¦

% 3

` ¦ Ã º e . s M : ~ G \ ] X @ /° ú כ` ¦ 2 [K ï r s Ä » H l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ ~ ½ Ó ¾ Óõ Õ ª Å Ò0 A\ ¦ ¸ H Û ¼ 2 ;_ ~ ½ Ó ¾ Ós r

>

~ ½ Ó ¾ Ós ì ø Ír > ~ ½ Ó ¾ Ós \ ~ G _ Â Ò ñ ² ú t l

M :ë H s .

← →

D \ ¦ s À Ò H Å Ò ) a $ í ì r[ þ t É r Ð% 7 Û ¼ ï# Q\ ¦ ] jü @ô Ç ¸

H Û ¼ 2 ;\ " f : r . 7 £ ¤, xy¨ î õ ¨ î ' ô Ç $ í ì r` ¦ ° ú H Û

¼ 2 ;[ þ t ÐÂ Ò' ← →

D & ñ ÷ & H X <, xy ¨ î \ ¨ î ' ô Ç Û ¼ 2 ; [

þ

t _ θ$ í ì r É r 90 ^◦ s . (10)d ` ¦ ¶ ú ( R Ð ˆ z ˆ z$ í ì r` ¦ ] j ü

@ô Ç ¸ H $ í ì r \ cos θ < Ê É r sin 2θ$ í ì r s e H כ ` ¦ · ú Ã

º e . 7 £ ¤ ˆ z ˆ z$ í ì r` ¦ ] jü @ô Ç ¸ H $ í ì r s 0s ) a . ← → D _ ˆ

z ˆ z$ í ì r É r (1) d _ ¿ º P : ½ Ó` ¦ 0 s ÷ & ¸2 ¤ Ù ¼ Ð, l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ î r1 l x \ ) % ò ¾ Ó` ¦ p u t 3 l w ô Ç .

" f s â Ä º ˆ θ ˆ θ$ í ì r É r ) ¦ 9½ + É 9 כ ¹ \ O > ) a .

ð ø Ít Ð, ˆ φ ˆ φ$ í ì r × æ cos θ < Ê É r sin 2θ s [ þ t # Qç ß $ í ì r

`

¦ ] jü @ , ˆ φ ˆ φ\ ¦ 6 £ § õ ° ú s ³ ð & ³½ + É Ã º e .

φ ˆ ˆ φ θ = π

2 =





cos ² φ ⁰ − ^{sin 2φ} ₂

⁰

0 − ^{sin 2φ} ₂

⁰

sin ² φ ⁰ 0

0 0 0



 (13)

s

d \ " f D ^xy , D yx $ í ì r ¸ Â Òx & h ì r 0s ¸Ù ¼ Ð

¸f D _xx , D _yy $ í ì r ë ß ¦ 9 ) a . þ j7 á x& h Ü ¼ Ð ← → D H

6 £ § õ ° ú s è q Ã º e .

← →

D = − αM s

γ

Z Z Z R R

_c

1 ρ ²

cos ² φ ⁰ 0 0 sin ² φ ⁰

ρdρdφ ⁰ dz (14) (14)d ` ¦ Û ¦ D _xx = D yy = −απLM s

ln _R ^R

c

H õ

\

¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

III. + s Ç Â ] Ø

y

É

r â Ä º l Ð% 7 Û ¼ + þ AI _ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ Ò q t$ í ) a . l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q 1 l x% i < Æ É r l Ð% 7 Û ¼\ ¦ s 6 x ô Ç Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û

¼ è ½ ¨ & ³` ¦ 0 AK = G s K K H Å Ò] js . l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q 1 l x% i < Æ É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð H & h Ü ¼ Ð l Õ

ü

t| ¨ c Ã º e H כ s V , o · ú 94 R M ® o H X <, : r 7 Hë H \ " f

H z ´] j Thiele s 6 x ô Ç Ã º[ þ t ÐÂ Ò' ~ G ü < ← → D # Qb G

>

& ñ ÷ & H t Ä » ¸ # Ð ¤ . s Qô Ç Ä » ¸õ & ñ ` ¦ : x

# l Ð% 7 Û ¼ 1 l x% i < Æ` ¦ Ð f ' a& h Ü ¼ Ð s K H X <

¸¹ ¡ § s | ¨ c Ã º e Ü ¼ 9, 8 Thiele ~ ½ Ó& ñ d _ H

#

QÖ ¼& ñ ¸ t Ä »´ òô Ç כ t Ã ÐÒ o H ½ ¨\ ¸ Ö ¸6 x| ¨ c Ã

º e ` ¦ כ Ü ¼ Ð b H .

(4)

-604- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4

P

c p 8 ý ò k >

s

7 Hë H É r 2010¸ ¸ Ø æ· ¡ ¤ @ / < Æ § < ÆÕ ü t ½ ¨t " é ¶ \ O _

½ ¨q t " é ¶ \ _ # ½ ¨÷ &% 3 _ þ v m .

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] T. Shinjo et al., Science. 289, 930 (2000).

[2] A. Wachowiak et al., Science 298, 577 (2002).

[3] S.-B. Choe et al., Science 304, 420 (2004).

[4] S. Kasai et al., Phys. Rev. Lett. 97, 107204 (2006).

[5] A. A. Thiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973).

[6] S.-H. Jun et al., Appl. Phys. Lett. 95, 142509 (2009).

[7] K. Yu. Guslienko, Appl. Phys. Lett. 89, 022510

(2006).

Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4, pp. 601∼604

Volume 61, Number 6, 2011 ¸  6 Z 4, pp. 601∼604

New Physics: Sae Mulli (The Korean Physical Society), DOI: 10.3938/NPSM.61.601

Thiele U ê sX N ËÅ k Ä; c M   m X ¢  M | ºy ð ­   Â# a8 ý  T z ºs ð ' [ õ m Í P c pê ø Ö " e 4   m



 »< K Ú ·    ý  ¡ ¢ 9 ·  » ò 6 Bg ` @

Ø 

æ· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o  < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763 (2011¸  3 Z 4 21{ 9  ~ Ã Î6 £ §, 2011¸  6 Z 4 1{ 9  > F  S X & ñ )



l   Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸\  ¦ ° ú   H y ©  $ í  ¸J    É r p A _  Ä »} © ô  Ç B j ¸o   è  Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e   .   l

  Ð% 7 Û ¼  ï# Q_  1 l x% i  < Æ É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d  Ü ¼ Ð ¸ ú  ¬ ¹ ÷ &  H  כ s  · ú  94 R e   .  : r   ½ ¨\ " f  H Thiele

~

½ Ó& ñ d  _  ~ G (  s  Ð 7 ' )ü < ← →

D ( y   WJ $ " f) # Q " [ jÂ Ò& h   > í ß õ & ñ `  ¦ :  x K   M ® o  H t  µ 1 ßy  ¦  ô  Ç

.

Ù þ

d  # Q:  l   Ð% 7 Û ¼, Thiele ~ ½ Ó& ñ d  , y ©  $ í n Û ¼ß ¼,  s  Ð 7 ' , y   WJ $ " f

Calculation of the Gyrovector and the Damping Tensor of a Magnetic Vortex Core Based on the Thiele Equation

Je-Ho Shim · Hong-Guang Piao · Dong-Hyun Kim ∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763 (Received 21 March 2011 : accepted 1 June 2011)

D (the damping tensor) in the Thiele equation.

PACS numbers: 75.60.Ch, 75.70.Kw

Keywords: Magnetic vortex, Thiele equation, Ferromagnetic disk, Gyrovector, Damping tensor

I. " e Â ] Ø

ì

ø Í ¸^   B j ¸o   è _  | 9 & h  ¸  & ³F  _  s à Ô Û ¼ H

{ 9 \  s Ø Ô>  ÷ &  " f  è _   ¸p '  Û ¼H { 9  : £ ¤$ í s 

&

h

& h  ×  æ כ ¹K t  ¦ e   .     l ì ø Í  è _   â Ä º    

&

ñ  Ð  ² ú `  ¦ {  { ©  Ù ¼ Ð | 9 & h  ¸ Z  }  | 9 Ã º2  ¤ µ 1 Ï\ P  ë  H ] j

 d  y  K   . s  Qô  Ç µ 1 Ï\ P ë  H ] j Ð   K  Y O t  · ú § É r p A 

\

  ¸ è _  | 9 & h  ¸  ¾ Ó © s  ] jô  Ç~ Ã Î>  | ¨ c  כ s  . s \ 

@

/ô  Ç K    ~ ½ Óî ß Ü ¼ Ð  ª ô  Ç l Õ ü t[ þ t s  ] jr ÷ & ¦ e    H X <, Õ

ª ×  æ     Û ¼ 2 ;`  ¦ s 6 x ô  Ç Û ¼ 2 ;à Ô Ð_  Û ¼  H B Ä º Ä »} © ô  Ç l

Õ ü t  Ð y   F g ~ Ã Î ¦ e   . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_  Û ¼  H     Û ¼ 2 ;`  ¦ s 

E-mail: [email protected]

6

x l  M :ë  H \    À Ó Ð   ô  Ç µ 1 Ï\ P ë  H ] j\  e  # Q     l ì ø Í

 ¸ è  Ð  Ä »o   . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_  Û ¼ ½ ¨ & ³`  ¦ 0 AK " f  H

 ¸½ ¨ ¸_  y ©  $ í ^ \  ¦ ] j  K     H X <, ´ ú § É r  â Ä º 



¸½ ¨ ¸ y ©  $ í ^ \ " f  l   Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ + þ A$ í ÷ &  H

 כ

s  · ú  94 R e   . s  Qô  Ç s Ä » Ð þ j   H  l   Ð% 7 Û ¼ ½ ¨



¸\  ¦ ° ú   H y ©  $ í J   ~ Ã Ì}   B j ¸o   è \  @ /ô  Ç  ' a d  s  7

£

x @ /  ¦ e   .



l   Ð% 7 Û ¼ ½ ¨ ¸\  @ /ô  Ç z ´+ « >   ½ ¨  H  ª ô  Ç r Û ¼% 7 

\

" f ´ ú §s   Ð ¦÷ &# Q M ® o  [1,2].  l  Ð% 7 Û ¼_  Û ¼ 2 ; ½ ¨ ¸



 H Ã ºf  ~ ½ Ó ¾ Ó   o$ í ì  r`  ¦ ° ú   H  Ð% 7 Û ¼  ï# Q Å Ò0 A\  ¦ Ã º¨ î

~

½ Ó ¾ Ó   o$ í ì  r`  ¦ ° ú   H Û ¼ 2 ;[ þ t s   è6 x[  t s   ¸ ª Ü ¼ Ð y   



 H + þ AI \  ¦ ° ú   H .  Ð% 7 Û ¼  ï# Q_  1 l x% i  < Æ& h $ í | 9 \  @ /ô  Ç



 ½ ¨ ¸  Ö ¸ µ 1 Ïy    '  ÷ &# Q M ® o  H X <, : £ ¤ y   l  ©  x 9 Û ¼ 2 ; 

-601-

-602- ô  Ç² D GÓ ü t o  < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 61, Number 6, 2011 ¸  6 Z 4

À

Ó ` O Û ¼\  _ ô  Ç  Ð% 7 Û ¼  ï# Q_  r  î  r1 l x s  z ´+ « >& h Ü ¼ Ð



Ð ¦÷ &# Q e    [3,4].  Ð% 7 Û ¼  ï# Q_  r  î  r1 l x É r Thiele

~

½ Ó& ñ d  \  l ì ø Íô  Ç  ¸4 S q Ð ¸ ú  ¬ ¹   ) a   H  כ s  · ú  94 R e  

 [5,6]. s  ~ ½ Ó& ñ d   É r  Ð% 7 Û ¼  ï# Q_  î  r1 l x`  ¦ y   W ¸ o  1

l

x   Ð & ñ #  [ O " î  ¦ e   .



: r  7 Hë  H \ " f  H p A _  B j ¸o   è  Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e    H y

©  $ í J   ~ Ã Ì}  _   l   Ð% 7 Û ¼  ï# Q 1 l x% i  < Æ`  ¦ l Õ ü t 



 H Thiele ~ ½ Ó& ñ d  y    ½ Ó > Ã º[ þ t _  [ jÂ Ò& h   Ä » ¸õ & ñ `  ¦

Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4, pp. 601∼604

Thiele U ê sX N ËÅ k Ä; c M m X ¢ M | ºy ð Â# a8 ý T z ºs ð ' [ õ m Í P c pê ø Ö " e 4 m

»< K Ú · ý ¡ ¢ 9 · » ò 6 Bg ` @

Ø

æ· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763 (2011¸ 3 Z 4 21{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2011¸ 6 Z 4 1{ 9 > F S X & ñ )

l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸\ ¦ ° ú H y © $ í ¸J É r p A _ Ä »} © ô Ç B j ¸o è Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e . l

Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð ¸ ú ¬ ¹ ÷ & H כ s · ú 94 R e . : r ½ ¨\ " f H Thiele

½ Ó& ñ d _ ~ G ( s Ð 7 ' )ü < ← →

D ( y WJ $ " f) # Q " [ jÂ Ò& h > í ß õ & ñ ` ¦ : x K M ® o H t µ 1 ßy ¦ ô Ç

.

d # Q: l Ð% 7 Û ¼, Thiele ~ ½ Ó& ñ d , y © $ í n Û ¼ß ¼, s Ð 7 ' , y WJ $ " f

Je-Ho Shim · Hong-Guang Piao · Dong-Hyun Kim ^∗

ø Í ¸^ B j ¸o è _ | 9 & h ¸ & ³F _ s à Ô Û ¼ H

{ 9 \ s Ø Ô> ÷ & " f è _ ¸p ' Û ¼H { 9 : £ ¤$ í s

& h × æ כ ¹K t ¦ e . l ì ø Í è _ â Ä º

ñ Ð ² ú ` ¦ { { © Ù ¼ Ð | 9 & h ¸ Z } | 9 Ã º2 ¤ µ 1 Ï\ P ë H ] j

d y K . s Qô Ç µ 1 Ï\ P ë H ] j Ð K Y O t · ú § É r p A

¸ è _ | 9 & h ¸ ¾ Ó © s ] jô Ç~ Ã Î> | ¨ c כ s . s \

/ô Ç K ~ ½ Óî ß Ü ¼ Ð ª ô Ç l Õ ü t[ þ t s ] jr ÷ & ¦ e H X <, Õ

ª × æ Û ¼ 2 ;` ¦ s 6 x ô Ç Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ H B Ä º Ä »} © ô Ç l

Õ ü t Ð y F g ~ Ã Î ¦ e . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ H Û ¼ 2 ;` ¦ s

x l M :ë H \ À Ó Ð ô Ç µ 1 Ï\ P ë H ] j\ e # Q l ì ø Í

¸ è Ð Ä »o . Û ¼ 2 ;à Ô Ð_ Û ¼ ½ ¨ & ³` ¦ 0 AK " f H

¸½ ¨ ¸_ y © $ í ^ \ ¦ ] j K H X <, ´ ú § É r â Ä º

¸½ ¨ ¸ y © $ í ^ \ " f l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ + þ A$ í ÷ & H

כ

s · ú 94 R e . s Qô Ç s Ä » Ð þ j H l Ð% 7 Û ¼ ½ ¨

¸\ ¦ ° ú H y © $ í J ~ Ã Ì} B j ¸o è \ @ /ô Ç ' a d s 7

x @ / ¦ e .

l Ð% 7 Û ¼ ½ ¨ ¸\ @ /ô Ç z ´+ « > ½ ¨ H ª ô Ç r Û ¼% 7

" f ´ ú §s Ð ¦÷ &# Q M ® o [1,2]. l Ð% 7 Û ¼_ Û ¼ 2 ; ½ ¨ ¸

H Ã ºf ~ ½ Ó ¾ Ó o$ í ì r` ¦ ° ú H Ð% 7 Û ¼ ï# Q Å Ò0 A\ ¦ Ã º¨ î

½ Ó ¾ Ó o$ í ì r` ¦ ° ú H Û ¼ 2 ;[ þ t s è6 x[ t s ¸ ª Ü ¼ Ð y

H + þ AI \ ¦ ° ú H . Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ& h $ í | 9 \ @ /ô Ç

½ ¨ ¸ Ö ¸ µ 1 Ïy ' ÷ &# Q M ® o H X <, : £ ¤ y l © x 9 Û ¼ 2 ;

-602- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 61, Number 6, 2011 ¸ 6 Z 4

Ó ` O Û ¼\ _ ô Ç Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ r î r1 l x s z ´+ « >& h Ü ¼ Ð

Ð ¦÷ &# Q e [3,4]. Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ r î r1 l x É r Thiele

½ Ó& ñ d \ l ì ø Íô Ç ¸4 S q Ð ¸ ú ¬ ¹ ) a H כ s · ú 94 R e

[5,6]. s ~ ½ Ó& ñ d É r Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ î r1 l x` ¦ y W ¸ o 1

x Ð & ñ # [ O " î ¦ e .

: r 7 Hë H \ " f H p A _ B j ¸o è Ð Å Ò3 l q ~ Ã Î ¦ e H y

© $ í J ~ Ã Ì} _ l Ð% 7 Û ¼ ï# Q 1 l x% i < Æ` ¦ l Õ ü t

H Thiele ~ ½ Ó& ñ d y ½ Ó > Ã º[ þ t _ [ jÂ Ò& h Ä » ¸õ & ñ ` ¦

æ& h & h Ü ¼ Ð À Ò ¦ ô Ç .

© $ í ^ Û ¼ 2 ; ½ ¨ ¸ H & ñ l \ -t (Magnetostatic energy), © ñ § ¨ 8 \ -t (Exchange energy), l q 1 p x

½ Ó$ í \ -t (Magnetic anisotropy energy)ü < ° ú É r l

\ -t _ þ j è o ¸| \ _ K " f & ñ ) a . ( Y O Ð s

(Permalloy) ½ + ËF K õ ° ú s l q 1 p x ~ ½ Ó$ í \ -t \ ¦ Á º r

½ + É Ã º e H â Ä º, ¸p ' Û ¼H { 9 _ y © $ í ^ n Û ¼ß ¼

" f H & ñ l \ -t ü < © ñ § ¨ 8 \ -t _ þ j è o ¸

\ _ K l Ð% 7 Û ¼ Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ + þ A$ í ) a . n Û ¼ß ¼ \ P

\ " f_ Ä »F G + þ A$ í ` ¦ } & ñ l \ -t \ ¦ þ j è o l

0 AK Û ¼ 2 ;½ ¨ ¸ H n Û ¼ß ¼ ¸ ª \ " é ¶+ þ A è6 x[ t s + þ

AI ÷ & ¦, n Û ¼ß ¼ × æ © Â Òì r \ " f H © ñ § ¨ 8 \ -t

Z } 4 R n Û ¼ß ¼ ³ ð \ Ã ºf ~ ½ Ó ¾ Ó_ o\ ¦ ° ú H Ð

Û ¼ ï# Q(Vortex core) + þ A$ í ÷ & " f © ñ § ¨ 8 \ -t

¦ × ¦{ 9 Ã º e . Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ É r 6 £ § õ ° ú É r Thiele ~ ½ Ó& ñ d (Thiele equation)Ü ¼ Ð Å Ò ¸ ú ¬ ¹ ½ + É Ã º e

H כ s · ú 94 R e .

− ~ G × ~ X ⁰ − ← →

D · ~ X ⁰ + k ~ X = 0 (1)

© l _ Thiele ~ ½ Ó& ñ d É r y W ¸ oî r1 l x(Damped har- monic oscillation) ~ ½ Ó& ñ d õ Ä » ô Ç + þ AI \ ¦ ° ú H . s d

` ¦ Ð@ / Ð ¸ $ í ^ _ l Ð% 7 Û ¼ ï# Q¹ ¡ §f e ` ¦ ì r

3 ½ + É M :, ~ G (Gyrovector) ← →

D (Damping tensor)\ ¦

l Ð% 7 Û ¼ ï# Q ¸n Û ¼ß ¼_ × æ © \ 0 Au ½ + É M :\ ¦

& ñ ô Ç { 9 & ñ ô Ç ° ú כ` ¦ 6 x K M ® o . Õ ª ° ú כ É r ~ G _ â Ä º

| ~ G| = ^2πLM _γ

D _ â Ä º 3 × 3 J $ " f Ð" f D ^xx = D yy =

ln _R ^R

s 9, D xx ü < D yy \ ¦ ] jü @ô Ç Qt $ í ì

r[ þ t É r 0 s ) a [7]. # l " f L É r y © $ í ¸n Û ¼ß ¼_

ºa , R É r y © $ í ¸n Û ¼ß ¼_ ì ø Í â , R c H l Ð% 7 Û ¼

ï# Q_ ì ø Í â , α H y © $ í ^ _ y W © Ã º, γ É r l r q Ö

¦, Õ ªo ¦ M s H í o os . s Qô Ç © Ã º\ ¦ s 6 x

l Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ 1 l x% i < Æ` ¦ ê r 7 Hë H É r & ³F t

§t ë ß s Qô Ç ° ú כ[ þ t s # Q " > í ß õ & ñ ` ¦ 5 g & ñ ÷ &% 3

H t \ ¦ ê r 7 Hë H É r _ \ O . : r 7 Hë H \ " f H ~ G ü < ← → D _

í ß õ & ñ ` ¦ [ j > À Ò# Q l Ð% 7 Û ¼ ï# Q_ ¹ ¡ §f e

¦ f ' a& h Ü ¼ Ð H X <\ ¸F K s ¸¹ ¡ § s ÷ & ¦