Volume 60, Number 6, 2010¸ 6 Z 4, pp. 595∼598

Volume 60, Number 6, 2010¸   6 Z 4, pp. 595∼598

New Physics: Sae Mulli (The Korean Physical Society), DOI: 10.3938/NPSM.60.595

–

¥„ Ç ƒ º• Ö כ  Ç; c 6 ” X ¢ ß O Ë4  ºü g Å כ r Ç8 ý Ž Ò ÞŽ Ö « ºü g Å



™ »+ ä ¦ 

>

" î @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , @ /½ ¨ 704-701

(2010¸   4 Z 4 15{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   5 Z 4 24{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   6 Z 4 10{ 9  > F  S X ‰& ñ )

× 

æ$ í Û ¼º ú ˜  s  : r s    É r  © œõ    ½ + Ëô  Ç s  : r _   â Ä º\  Ä »´ òŸ íJ $ ™[ > _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  ½ + Ë`  ¦ ½ ¨ l  0 A

# Œ  6   x ÷ &  H  â >  › ¸| [ O s  # Q* ‹ô  Ç  â Ä º\  $ í w n    H t \  ¦ \ V8 £ ¤ l  0 A # Œ s  [ O õ  F ½ ©   o ü

<_  › ' aº  $ í `  ¦ › ¸  “ ¦ s  [ O õ _  1 l x1 p x › ¸| `  ¦ ½ ¨ % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: Ä »´ ò Ÿ íJ $ ™[ > ,  â > › ¸|  [ O 

Equivalent Condition with Boundary Condition for the Effective Action

Chung Ku Kim ^∗

Department of Physics, Keimyung University, Daegu 704-701 (Received 15 April, 2010 : revised 24 May, 2010 : accepted 10 June, 2010)

In order to check the validity of the boundary condition used to obtain the leading logs of the effective potential of the theory where the neutral scalar field is coupled with other fields, we have investigated its connection with the renormalization condition and have found an equivalent condition with the boundary condition.

PACS numbers: 11.15.Tk, 11.15.Bt

Keywords: Effective potential, Multi mass scales, Boundary condition, Renormalization

I. " e  ] Ø

€

ª œ  © œs  : r [1] \ " f  H Å Ò# Q”   — ¸4 S q\  @ /ô  Ç ”  / B N _  Ô  ¦ î

ß –& ñ $ í õ   µ 1 Ï& h  @ /g AÔ  æ õ ‰ & ³ © œ`  ¦ s K  l  0 A # Œ Ä »´ ò

Ÿ

íJ $ ™[ >  [2]`  ¦ · ú ˜   “ ¦ s \  ¦ 0 A # Œ ”  / B N  “  ë ß –• ¸

³

ð [3]\  ¦ > í ß – >   ) a  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   — ¸4 S qs  t 



 H # Œ Q | 9 | ¾ Ó½ ©   m ² _i s  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð_  Õ ª 2 ;† < Êà º\ 

 
>  ÷ &“ ¦ Õ ª   õ – Ð+ ‹ l  P : “ ¦o _  Ä »´ òŸ íJ $ ™[ > \ 



 H log ^k  _m

2 i

µ

²

 (k = 0, . . . , l) + þ AI _  † ½ Ó[ þ t s 
 
>  ÷ &



 H X < k = l“    â Ä º\  ¦ o ` ç -– ÐÕ ª (leading-log)† ½ Ó Õ ªo “ ¦ k = l − 1“    â Ä º\  ¦ l  (next-to-leading) – ÐÕ ª† ½ Ó s  “ ¦ Â

ҏ É r  . o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  ½ + ˓ É r F ½ ©   oç  H ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x

# Œ % 3 >  ÷ &  H X < [4] Å Ò# Q”   — ¸4 S qs  ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  s  : r“  

∗

E-mail: [email protected]

 â

Ä º  H ¸ ú ˜ · ú ˜ 94 R e ” Ü ¼ 9 ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  s  : r \    É r  © œ[ þ t s

   ½ + Ëô  Ç  â Ä º  H  â > › ¸|  [ O  [5]`  ¦ s 6   x # Œ % 3 # Q”  



 e ”  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H  â >  › ¸| [ O s  # Q* ‹ô  Ç  â Ä º\  $ í w n 

  H t \  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ s  [ O õ  F ½ ©   o [6] ü <_ 

› '

aº  $ í `  ¦ › ¸  “ ¦ s \  ¦ s 6   x # Œ  â > › ¸|  [ O õ _  1 l x 1

p

x › ¸| `  ¦ ½ ¨ % i  .

II. ß O Ë4  ºü g Å כ r ÇÊ Ý < 0 ß f Ä× D



Œ

•6   x s  I(Φ)– Ð Å Ò# Qt   H € ª œ  © œs  : r _  Ä »´ ò Ÿ íJ $ ™[ > `  ¦

½

¨ l  0 A # Œ D h– Ðî  r  Œ •6   x ] I(Φ) = I(Φ + φ) − I(φ) −

I ⁰ (φ)Φ _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð\  ¦ > í ß – >  ÷ &  H X < # Œl " f “ ¦

-595-

-596- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 60, Number 6, 2010¸   6 Z 4

„

  © œ φ  H  ⠖ Ð & h ì  r e ⁻

^1~

^{W [J ]} =

Z

DΦ _i exp



− 1

~

 I(Φ) +

Z

d ^D xJ (x)Φ(x)



, (1) Ü

¼– Ð & ñ _ ÷ &  H ƒ     ) a Green † < Êà º_  µ 1 ÏÒ q t # 3 † < Êà º W [J]– Ð Â

Ò'   6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   ) a  .

φ = δW [J ]

δJ (2)



Œ

•6   x s  I N S (φ) =

Z d ^D x



− 1

2 Φ(x)∂ ² Φ(x) + λ B

24 Φ(x) ⁴

 , (3)

“

  | 9 | ¾ Ós  % ò “   ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  s  : r _   â Ä º ^ I N S (Φ)  H I ^ _{N S} (Φ) =

Z

d ^D x  1 2 Φ(x)



−∂ ² + λ B

2 φ ² _B

 Φ(x) + λ B

6 φ B Φ ³ + λ B

24 Φ(x) ⁴



, (4)

–

Ð Å Ò# Q”   . > í ß –_  é ß –í  H$ í `  ¦ 0 A # Œ ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H | 9 

|

¾ Ós  \ O   H Û ¼º ú ˜  © œ_   â Ä º\  ¦ “ ¦ 9 l – Ð ô  Ç .   

"

f ^ I N S (Φ) _  Õ ª 2 ;† < Êà º  H F ½ ©   o  ) a   ½ + Ë  © œÃ º λ– Ð

³

ð‰ & ³÷ &  H 
_  | 9 | ¾ Ó½ ©   m ² ₁ = ^λ ₂ φ ² `  ¦ t >   ) a  .

s

] j " é ¶ ½ ©   o (Dimensional Regularization) ~ ½ ÓZ O Ü ¼

–

Ð l  P : “ ¦o _  ^ I N S (Φ) _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð\  ¦ > í ß – 

€

  _ ¹

p

 _m

2 1

µ

²

 −q

(0 ≤ p ≤ l, 1 ≤ q ≤ l) + þ AI _  † ½ Ó[ þ t _ 

½

+ ËÜ ¼– Ð
 
>  ÷ &“ ¦ # Œl " f  _m

2 1

µ

²

 −q

†

½ Ó`  ¦  Å Ò0 A– Ð „  

>

h # Π1 ^a log ^b  _m

2 1

µ

²



(0 ≤ a ≤ l, 0 ≤ b ≤ l) + þ AI _ 

†

½ Ó[ þ t`  ¦ % 3 > ÷ &  H X < s ×  æ a > 0“   – ÐÕ ªµ 1 Ïí ß –† ½ Ó[ þ t _  ½ + Ë

“ É

r % ò s  ÷ &# Q  F ½ ©   o 0 p x  . a = 0“   Ä »ô  Çô  Ç log ^k  _m

2

1

µ

²



(0 ≤ k ≤ l) † ½ Ó[ þ t s  Ä »´ òŸ íJ $ ™[ > – Ð
 
> 

÷

&  H X < k = l“   o ` ç -– ÐÕ ª† ½ ӓ É r _ ¹

p

 _m

2 1

µ

²

 −q

_

 „  > h\ " f p = l“    â Ä º\ ë ß – 0 p x  . s ] j ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  s  : r _  Ä »

´

ò Ÿ íJ $ ™[ >  V _{N S} \  ¦ V _{N S} =

∞

X

l=0 l

X

k=0

a _lk (λ)log ^k  m ² ₁ µ ²



≡

∞

X

l=0 l

X

k=0

a _lk (λ)L ^k ₁ (5)

–

Ð j þ t à º e ” “ ¦ > à º a ^lk (λ)  H F ½ ©   o ~ ½ Ó& ñ d ”  (Renor- malization Group Equation)

 µ ∂

∂µ + β ∂

∂λ + γφ ∂

∂φ



V N S = 0 (6) Ü

¼– Ð   & ñ ½ + É Ã º e ”  . (5)d ” \ " f { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  s

 : r s    É r  © œõ    ½ + Ë €   D h– Ðî  r | 9 | ¾ Ó½ ©   m 2 \  ¦ t 



 H Õ ª 2 ;† < Êà º
 
>  ÷ &“ ¦ s   â Ä º Ä »´ ò Ÿ íJ $ ™[ > “ É r V =

∞

X

l=0 l

X

k=0 k

X

n=0

b lkn L ^k−n ₁ L ⁿ ₂ (7) _

 + þ AI \  ¦ t >   ) a  .  â > › ¸|  [ O “ É r L 2 = 0 (<  ʓ É r 1

l x{ 9  >  µ = m ² )“    â Ä º (7)d ” õ  (5)d ” _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó s

 { 9 u ô  Ç   H [ O `  ¦ ´ ú ˜ô  Ç .  r  ´ ú ˜ €  

b ll0 = a ll (λ) (8)

 $ í w n † < Ê`  ¦ _ p   9 s  [ O õ  F ½ ©   o ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s  6

 

x €   (7)d ” _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  ½ + Ë`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” >   ) a  .

s

] j  â > › ¸|  [ O s  $ í w n    H õ & ñ `  ¦ ì  r$ 3  l  0 A

# Œ €  $  ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  © œs    É r  © œõ    ½ + Ë   H „  + þ A& h 

“

   â Ä º“   j Ë ²Û ¼-Ä »ü < s  : r \ " f l = 2“    â Ä º_  ”  / B N  

“

 ë ß –• ¸³ ð \ " f F ½ ©   o õ & ñ õ  o ` ç -– ÐÕ ª † ½ Ó[ þ t`  ¦ % 3   H õ

& ñ `  ¦ Ò q ty Œ •K ˜ Ð .

j Ë

²Û ¼-Ä » ü <s  : r _   Œ •6   x“ É r I _HY (Ψ, Φ) =

Z d ^D x



− 1

2 Φ(x)∂ ² Φ(x) + λ B

24 Φ(x) ⁴

−iΨ(x)γ µ ∂ µ Ψ(x) + gΦ(x)Ψ(x)Ψ(x)  (9)

–

Ð Å Ò# Q t   H X <, s   Œ •6   x \  ց © œ`  ¦ Φ → Φ + φ – Ð    or  v

€   ^ I _HY (Φ)  H I HY ^ (Ψ, Φ) =

Z

d ^D x  1 2 Φ(x)



−∂ ² + λ B

2 φ ² _B

 Φ(x) + λ B

6 φ B Φ ³ + λ B

24 Φ(x) ⁴ +Ψ(x)(−iγ _µ ∂ _µ + g _B φ _B )Ψ(x) +gΨ(x)Ψ(x)Ψ(x) 

(10)

–

Ð Å Ò# Qt “ ¦   " f ”  / B N • ¸³ ð\   H ¿ º | 9 | ¾ Ó½ ©   m ² ₁ =

λ

2 φ ² õ  m ² 2 = g ² φ ² `  ¦ ”   Õ ª 2 ;† < Êà º[ þ t s 
 
>   ) a  .

l = 2“    â Ä º_  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð Fig. 1\  Å Ò# Q4 R e ” 



 H X < # Œl " f (d)ü < (e)  H l = 1“    â Ä º\ " f % 3 # Qt   H ì ø Í

@

/† ½ Ó\  _ ô  Ç  כ s  . s [ þ t \  @ /ô  Ç " é ¶ › ¸& ñ ~ ½ ÓZ O \  _ ô  Ç î

 r1 l x | ¾ Ó& h ì  r _    õ   H  6 £ § _  & h ì  r [7] \  _ K  % 3 # Qt “ ¦ Õ

ª   õ  Table 1\  Å Ò# Q4 R e ”  .

Z d ^D p (2π) ^D

1

(p ² + x) = Γ(−1 + )x ^1− (11) Z d ^D p

(2π) ^D

1

(p ² + x)(q ² + x)((p + q) ² + y)

= −

 1 2 ² + 3

2



((2x − y)x ^−2 + 2x ^− y ^1− )(12) l  P : “ ¦o \ " f_  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ ӓ É r r / B N ç ß –_  " é ¶ s  D = 4 − 2ε{ 9  M : _ ¹

l

 m

²

µ

²

 p

(1 ≤ p ≤ l) † ½ Ó_  ε„  > h\ " f
 

Ù ¼– Ð [8] ³ ð 1\   H _ε ¹

₂

: £ ¤ s † ½ Óë ß – Å Ò# Q& ’  . s ] j  â > › ¸

Ä

»´ ò Ÿ íJ $ ™[ > \  @ /ô  Ç  â > › ¸|  [ O _  1 l x1 p x › ¸|  – ^ ” & ñ ½ ¨ · Chung Ku Kim -597-

Table 1. The coefficients of the _ ¹

2

divergent terms of Feynman diagrams given in Fig. 1.

Figure 1-a

_8¹2

λ(m

²1

)

²



_m2 1 µ²



^−2

Figure 1-b

_8¹2

λ

²

φ

²

m

²1



_m2 1 µ²



−2

Figure 1-c g

²



−

^(m_²²2⁾²



_m2 2 µ²



^−2

+

^2m_²¹2^m22



_m2 1 µ²



^−



_m2 2 µ²



^−

−

_2¹2

(m

²1

− 4m

²2

)

 2m

²1



_m2 1 µ²



^−



_m2 2 µ²



^−

+ (2m

²2

− m

²1

) 

_m2 2 µ²



^−2



Figure 1-d

^m_2²¹₂



_m2 1 µ²



−

3

4

λ

²

+ λg

²

− 12g

⁴

φ

²

Figure 1-e −

_⁶2

g

⁴

φ

²

m

²2



_m2 2 µ²



^−2

Fig. 1. The two-loop vacuum Feynman diagrams of the Higgs-Yukawa theory. The dotted line represents the scalar field, the solid line represents the Yukawa field and the represents the one-loop counter-term.

|

 [ O `  ¦ S X ‰ “   l  0 A # Œ ³ ð 1\ " f µ ² = m ² ₂ “    â Ä º\  ¦

¶ ú

˜( R˜ Ѐ    6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

(i) Fig. 1 _  (a) Õ ªo “ ¦ (b)_  ε ⁰ † ½ ӓ É r ×  æ$ í Û ¼º ú ˜ s  : r _

 Ä »´ ò Ÿ íJ $ ™[ > `  ¦ ˜ Ð# Œ ï  r  . ε ¹

²

: £ ¤ s  † ½ ӓ É r " f– Ð  © œ W÷ &

t

 · ú §“ ¦ D h– Ðî  r ì ø Í@ / † ½ Ó`  ¦ € 9 כ ¹– Ð ô  Ç .

(ii) Fig. 1 _  (c) Õ ªo “ ¦ (e)\ " f | 9 | ¾ Ó½ ©   m ₁ \  › ' aº  

 )

a † ½ ӓ É r m ^−ε ₁ † ½ Óë ß –
 
“ ¦ _ε ¹

2

: £ ¤ s  † ½ ӓ É r " f– Ð  © œ W÷ &# Q

% ò

s   ) a  .   " f ε ⁰ † ½ ӕ ¸ % ò s  ÷ &# Q  â > › ¸|  [ O s  $ í w n

 >   ) a  .

(iii) Fig. 1 _  (c) Õ ªo “ ¦ (e)\ " f
 Qt  | 9 | ¾ Ó½ ©   m ₂ \  › ' aº   ) a † ½ ӓ É r m ^−ε ₂ õ  m ^−2ε 2 † ½ Ós  — ¸¿ º
 
 9 _ε ¹

2

:

£

¤ s † ½ ӓ É r " f– Ð  © œ W÷ &t  · ú §“ ¦ D h– Ðî  r ì ø Í@ / † ½ Ó`  ¦ € 9 כ ¹– Ð ô

 Ç .

s

] j (ii)_  _ p \  ¦ [ O " î l  0 A # Œ €  $  2  P : “ ¦o 

\

" f
š ¸  H m ^−pε ₁ (p = 1, 2) † ½ Ó\  ƒ  › ' a ) a

1



²

: £ ¤ s † ½ Ó[ þ t“ É r



 P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð_    õ – Ð
 
 
 1   P

: “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð_    õ \  1  P : ì ø Í@ /† ½ Ós  Y  L K

4 R" f
 
>   ) a    H  כ `  ¦ l % 3   . s [ þ t > à º ×  æ

×

 æ$ í Û ¼º ú ˜ s  : r ë ß – e ” `  ¦  â Ä º (j Ë ²Û ¼-Ä »ü < s  : r \ " f  H g = 0“    â Ä º)_  > à º  H (5)d ” _  a lk (λ)\  ¦   & ñ Ù ¼– Ð s 

\

 ¦ ] jü @ô  Ç
 Qt  (5)d ” _  b ll0 ü < a ll (λ) _  s \  ¦ 4 R

š

¸>  ÷ &Ù ¼– Ð  â > › ¸|  [ O s  $ í w n  l  0 A # Œ s 
 Q t

 † ½ Ós    4 R  ô  Ç . s ×  æ   P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –

•

¸³ ð_    õ – Ð
 
  H † ½ Ó`  ¦ y Œ •y Œ • a ^{(2) p} (p = 1, 2) – Ð ¿ º

“

¦ 1  P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð_    õ  1  P : ì ø Í@ /† ½ Ó s

  Œ •6   x # Œ
 è ß – > à º  H p = 1 ë ß – 0 p x Ù ¼– Ð α ^{(1) p} – Ð

³

ð‰ & ³ # Œ s  † ½ Ó[ þ t`  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  æ ¼ .

α ⁽²⁾ ₂

 ²

 m ² ₁ µ ²

 ^−2

+ α ⁽²⁾ ₁

 ²

 m ² ₁ µ ²

 ^−

+ α ⁽¹⁾ ₁

 ²

 m ² ₁ µ ²

 ^−

(13) õ

 ° ú  s  Å Ò# Q”   . F ½ ©   o 0 p x l  0 A # Œ

1 ε log 

m

²

µ

²

 : £ ¤ s  † ½ Ós  \ O # Q  Ù ¼– Ð

2α ⁽²⁾ ₂ + 

α ⁽²⁾ ₁ + α ⁽¹⁾ ₁ 

= 0 (14)

 $ í w n  # Œ  ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  © œs    É r  © œõ    

½

+ Ëô  Ç   õ – Ð
 
  H # Œì  r _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  > à º  H 2α ⁽²⁾ ₂ + 1

2

 α ⁽²⁾ ₁ + α ⁽¹⁾ ₁ 

(15)

–

Ð Å Ò# Qt Ù ¼– Ð ë ß –€  • α ⁽²⁾ 2 = 0 s €   (13)d ” \ " f α ⁽²⁾ 1 + α ⁽¹⁾ ₁ = 0e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð | 9 | ¾ Ó½ ©   m 1 \  › ' aº   ) a # Œ ì

 r _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ós 
 
t  · ú § " f  â > › ¸| s  $ í w n 

†

< Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . z  ´] j– Ð j Ë ²Û ¼-Ä »ü <s  : r _   â Ä º Table 1 \ " f s  > à º[ þ t s 

α ⁽²⁾ ₂ = 0 , α ⁽²⁾ ₁ = g ² m ² ₁ (6m ² ₂ − m ² ₁ ) , α ⁽¹⁾ ₁ = 1

2 m ² ₁ φ ² (λg ² − 12g ⁴ ) (16)

–

Ð Å Ò# Qf ” `  ¦ · ú ˜ à º e ” “ ¦   " f α ⁽²⁾ 1 + α ⁽¹⁾ ₁ = 0\  ¦ ë ß –7 á ¤ 

#

Œ (ii)\ " f
 è ß – m ^−2 1 † ½ Ós  \ O    H  z  ´õ  F ½ ©   o_ 

 

õ   â > › ¸| õ  1 l x1 p x † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s ] j s   7 H _ \  ¦ l  P : “ ¦o _   â Ä º– Ð { 9 ì ø Í o # Œ ˜ Ð . s   â Ä º (13)d ” 

“ É r

1

 ^l

"

 m ² ₁ µ ₂

 ^−l

a ^(l) _l +  m ² ₁ µ ₂

 ^−(l−1) 

a ^(l) _l−1 + a ^(l−1) _l−1 

+ · · · +  m ² ₁ µ ₂

 ^− 

a ^(l) _l + a ^(l−1) _l + · · · + a ^(l) _l 

#

(17)

-598- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 60, Number 6, 2010¸   6 Z 4

–

Ð Å Ò# Q”   . s  d ” _  m ^−p 1 (1 ≤ p ≤ l)\  ¦  Å Ò0 A– Ð „  > h

# Œ
 
  H _

l−k

¹ log  _m

2 1

µ

₂

 ^k

(0 ≤ k ≤ l − 1) + þ AI _  – Ð Õ

ª µ 1 Ïí ß –† ½ Ós  \ O # Q| 9  › ¸| “ É r

l ^k α ^(l) _l + (l − 1) ^k α ^(l) _l−1 + · · · + α ^(l) ₁ = 0 (1 ≤ k ≤ l − 1) (18)

–

Ð Å Ò# Qt “ ¦ ×  æ$ í Û ¼º ú ˜  © œs    É r  © œõ    ½ + Ëô  Ç   õ – Ð

 
  H # Œì  r _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  > à º  H

l ^l α ^(l) _l + (l − 1) ^l α ^(l) _l−1 + · · · + α ^(l) ₁ (19)

–

Ð Å Ò# Q”   .   " f ë ß –€  • α ^(l) l = 0  ÷ &€   (18)d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ r

v l  0 A # Œ
 Qt  — ¸Ž  H α ^(l) p (1 ≤ p ≤ l−1) • ¸ % ò s  ÷ &

#

Q  “ ¦ Õ ª   õ – Ð+ ‹ (19)d ” \  Å Ò# Q”   # Œì  r _  o ` ç -– Ð Õ

ª† ½ Ó_  > à º• ¸ % ò s ÷ &Ù ¼– Ð  â > › ¸| s  ë ß –7 á ¤ >   ) a  .

% ò

s      α ^(l) _l s  l  P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð\ " fë ß –

0 p x    H & h `  ¦ “ ¦ 9 €  ,    : r& h Ü ¼– Ð  â > › ¸| s  $ í w n

 l  0 Aô  Ç 1 l x1 p x › ¸| “ É r l  P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð

\

" f ×  æ$ í Û ¼º ú ˜ s  : r`  ¦ ] jü @ô  Ç m ^−lε ₁ † ½ Ós 
 
t  · ú §



 ô  Ç   H  כ s   ) a  .

III. + s ÇÊ Ý õ m Í ‚ º8 ý

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H Ä »´ òŸ íJ $ ™[ > _  o ` ç -– ÐÕ ª† ½ Ó_  ½ + Ë`  ¦ ½ ¨

l  0 A # Œ  6   x ÷ &  H  â >  › ¸| [ O s  # Q* ‹ô  Ç  â Ä º\ 

$ í

w n    H t \  ¦ ó ø Íé ß – l  0 A # Œ F ½ ©   o_  8 £ ¤€  \ " f s 

[ O õ _  › ' aº  $ í `  ¦ › ¸  % i  . Õ ª   õ – Ð+ ‹ l  P : “ ¦o  _

 ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð \ " f ×  æ$ í Û ¼º ú ˜ s  : r`  ¦ ] jü @ô  Ç
 Qt  • ¸³ ð\ " f m ^−l 1 † ½ Ós 
 
t  · ú §   ô  Ç   H 1 l x1 p x

›

¸| `  ¦ ½ ¨ % i  . l  P : “ ¦o _  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð ×  æ Õ ª

˜

Ð  ± ú “ É r à º_  ”  / B N  “  ë ß –• ¸³ ð_  Y  L Ü ¼– Ð
 
  H

 â

Ä º  H ì  r" î y  s  › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤ r v Ù ¼– Ð, Å Ò# Q”   — ¸4 S qs 

 â

> › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤   H t \  ¦ ó ø Íé ß – l  0 A # Œ" f
 Qt  ”   /

B

N  “  ë ß –• ¸³ ð\  @ / # Œ m ^−lε 1 † ½ Ós 
 
t  · ú §   



 H X <, s  › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤ t  · ú §  H — ¸4 S q“ É r  â > › ¸|  [ O s 

$ í

w n  t  · ú §>  ÷ &“ ¦ s  Qô  Ç — ¸4 S q\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H ‰ & ³F  ”   '

Ÿ  ×  æ s  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] C. Itzykson and J. Zuber, Quantum Field The- ory (McGraw-Hill International Editions, NewYork, 1988).

[2] For a review and references, see M. Sher, Phys. Rep.

179, 273 (1989).

[3] R. Jackiw, Phys. Rev. D 9, 1686 (1974).

[4] B. Kastening, Phys. Lett. B 283, 287 (1992); C. Ford, D. R. T. Jones, P. W. Stephenson and Einhorn, Nucl.

Phys. B 395, 89 (1993).

[5] M. Bando, T. Kugo, N. Maekawa and H. Nakano, Prog. Theo. Phys. 90, 405 (1993); C. Ford, Phys.

Rev. D 50, 7531 (1994).

[6] J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford Science Publications, Oxford, 1992).

[7] C. Ford and D. R. T. Jones, Phys. Lett. B 274, 409 (1992); Nucl. Phys. B 387, 373 (1992).

[8] P. Ramond, Field Theory (The Benjamin/Cummings

Publishing Co., Massachusetts, 1981).