ƒ ½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 46, Number 6, 2003¸ 6 Z 4, pp. 314∼317

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 46, Number 6, 2003¸   6 Z 4, pp. 314∼317

•

¤V X ì Ä U ê s0 n É ù p § T  “ Ó Þ” X ¢ ‰ ˜ mà à Å  ¿ R <  Å k Ä8 ý – ¥„ ÇV R Ë w Š²  o



™

»„ ç ¡0 å  ^∗

3 l

q Ÿ íK € ª œ@ /† < Ɠ § “ §€ ª œ“ §¹ ¢ ¤" é ¶, 3 l q Ÿ í 530-729 (2003¸   5 Z 4 2{ 9  ~ à Î6 £ §)

{ 9

ì ø Í& h “   ”  ; Ÿ ¤ \  @ /ô  Ç é ß –”   _  K \  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð > í ß – # Œ % 3 % 3  . Õ ªo “ ¦ Õ ª   õ \  ¦  Œ •“ É r ”  ; Ÿ ¤`  ¦

& ñ “ ¦ l Õ ü t ÷ &  H   H  d ” _  K ü < q “ § % i  . ¿ º > í ß –\ " f % 3 “ É r é ß –”    Å Òl \  ¦ q “ § # Œ  Œ •“ É r ”  ; Ÿ ¤

`

 ¦ & ñ “ ¦ s À Ò# Qt   H   H  & h  ~ ½ ÓZ O _  ’  ø @½ ¨ç ß –`  ¦  Ž ž Ð % i  . ‚  + þ A   H    H ”  ; Ÿ ¤ s  0.4 radian˜ Ð 



Œ

•`  ¦ M :,  " é ¶   H    H 1.2 radian ˜ Ð   Œ •`  ¦ M : Å Òl  à ºu & h    õ ü < 1% s ? /– Ð { 9 u  % i  .

PACS numbers: 01.55.+b, 02.10.Jf, 02.70.Bf Keywords: é ß –”   ,  " é ¶† < Êà º, à ºu & h  ~ ½ ÓZ O 

I. " e  ] Ø

| 9

| ¾ Ó`  ¦ Á ºr ½ + Éë ß –ô  Ç z  ´\  B ² ú ˜ 9 ”   î  r1 l x`  ¦   H é ß –

”

  (simple pendulum)  H Ó ü t o † < Æ\ " f  © œ l ‘ : r& h s €  

"

f• ¸ 6 £ x6   x# 3 0 A V , “ É r — ¸4 S q_  
s s   [1–4]. é ß –”    _

 î  r1 l x Å Òl   H | 9 | ¾ Óõ  Á º › ' a  9 ”  ; Ÿ ¤ s   Å Ò  Œ •“ É r  â Ä º

\

  H ”  ; Ÿ ¤ \ • ¸  _  Á º › ' aô  Ç . t ë ß – ”  ; Ÿ ¤ s  & t €   Å Ò l

  H Õ ª % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à Î>   ) a  .

é

ß –”   _  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” “ É r θ ⁰⁰ + sin θ(t) = 0 g 1 J – Ð Å Ò# Q4 R { 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð 2  q ‚  + þ A p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  ¦ # Q  · ú ˜ à º e ” 



.   " f é ß –”     H q ‚  + þ A p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” _  2 [/ å L \  @ /ô  Ç

#

Q 9¹ ¡ § Ü ¼– Ð ”  ; Ÿ ¤ s   Å Ò  Œ •“ É r : £ ¤ à ºô  Ç  â Ä º\  @ / # Œ ‚   + þ

A   H  
  " é ¶† < Êà º   H  \  ¦ s 6   x # Œ l Õ ü t   H  כ s  ˜ Ð :

Ÿ x“  X <, ”  ; Ÿ ¤_  7 £ x \    É r s [ þ t   H  _  Ä »´ ò$ í s  \ O  

 ÷ &  H t   H _ ü @– Ð ¸ ú ˜ · ú ˜ 94 R e ” t  · ú § .

é

ß –”   _  q ‚  + þ A ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r à ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x €   — ¸

Ž

 H ”  ; Ÿ ¤ \  @ / # Œ  _  & ñ S X ‰ y  ½ ¨½ + É Ã º e ”   [5]. s   7 Hë  H

\

" f  H é ß –”   _  î  r1 l x`  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð Û  ¦ # Q l ” > r_  K $ 3 

&

h

   H  ü < q “ § # Œ Õ ª   H   ”  ; Ÿ ¤_     o\     # QÖ ¼

&

ñ • ¸ Ä »´ òô  Ç\  ¦ ¶ ú ˜€ 9   כ s  .

II. A 0V ÄX ì Ä U ê s0 n É ù p § T  “ Ó Þ” X ¢ ‰ ˜ mà à Å  Æ U ؎ Ò Þ8 ý — ¤M 

Õ

ªa Ë > 1õ  ° ú  “ É r é ß –”   _  î  r1 l x“ É r { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ѝ  H K $ 3 & h 

“

  Û  ¦ s  Ô  ¦ 0 p x 
 î  r1 l x Å Òl   H K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x

∗

E-mail: [email protected]; Division of Liberal Arts, Mokpo National Maritime University, Mokpo 530-729

# Œ   H  & h Ü ¼– Ð ½ ¨½ + É Ã º e ”   [6–9]. y Œ ™û Z \ O   H é ß –”  



  H % i † < Æ& h  \  -t  ˜ Д > r ÷ &Ù ¼– Ð  6 £ § % ƒ! 3  j þ t à º e ”  .

1

2 m(lθ ⁰ ) ² + mgl(1 − cos θ) = mgl(1 − cos θ 0 ). (1) θ ⁰ = dθ/dt s  9, θ 0   H œ íl  0 Au , 7 £ ¤ ”  ; Ÿ ¤ s  .

é ß

–”   _  U  ´s  lõ  ×  æ§ 4 5 Å q • ¸ g  H  © œÃ º– Ð 2 [/ å L½ + É Ã º e ”

Ü ¼Ù ¼– Ð ¼ # _  © œ pg/l = 1– Ð é  H  . @ /’   s  ƒ  ½ ¨_  3 l q& h  s

 ”  ; Ÿ ¤ s  é ß –”   _  î  r1 l x \  p u   H % ò † ¾ Ós Ù ¼– Ð, é ß –”    _  ”  ; Ÿ ¤(θ 0 )`  ¦   à º– Ð 2 [/ å Lô  Ç . Õ ª Q€   — ¸Ž  H Ó ü t o | ¾ Ós 

" é ¶ s  \ O   H € ª œÜ ¼– Ð  7 # Q d ”  (1)“ É r  6 £ § % ƒ! 3  j þ t à º e ” 



.

θ ⁰² = 2(cos θ − cos θ 0 )

= 4(sin ² θ ₀

2 − sin ² θ

2 ) (2) y

Œ • θ(t) @ /’  \  D h– Ðî  r ”  ; Ÿ ¤   à º ψü < κ\  ¦  6 £ § % ƒ! 3  • ¸ { 9

ô  Ç .

sin ψ = sin ^θ ₂ sin ^θ ₂

⁰

= 1 κ sin θ

2 (3)

Õ

ªa Ë > 1. { 9 ì ø Í& h “   é ß –”   _  — ¸_ þ v. z  ´_  | 9 | ¾ ӓ É r Á ºr † < Ê.

-314-

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  à ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   xô  Ç é ß –”      H  d ” _  Ä »´ ò$ í “ ¦¹ 1 Ï – ^ ”  © œô ¥ -315-

κ  H é ß –”   _  œ íl  0 Au ü < › ' aº   ) a ° ú כÜ ¼– Ð" f κ = sin(θ 0 /2) – Ð & ñ _ ÷ &% 3  . Õ ª Q€   θ ₀   Å Ò  Œ •“ É r  â Ä º κ ² ' θ ² 0 /4\  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç . ¢ ¸ d ”  (3)`  ¦ s 6   x €   d ”  (2)  H θ <sup>02</sup> = 4κ <sup>2</sup> cos <sup>2</sup> ψ e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

d ”

 (3)_  € ª œ  `  ¦ r ç ß –Ü ¼– Ð p ì  rô  Ç Ê ê ] jY  L`  ¦ 2 [ €   θ_  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /6 £ x   H ψ_  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦  6 £ § % ƒ

! 3

 % 3   H  .

ψ ⁰² = cos ^{2 θ} ₂ cos ² ψ

 θ ⁰ 2κ

 ²

= 1 − κ ² sin ² ψ (4)

· ú

¡_  & ñ _ ü <  ð ø Ít – Ð ψ ⁰ = dψ/dt s  .

s

 î  r1 l x_  Å Òl   H θ  0\ " f θ ⁰  t  î  r1 l x   H r ç ß –_  4 C “  X <, s   H ψ  0\ " f π/2 t  î  r1 l x   H r ç ß –_  4C 

\

 K { © œô  Ç .   " f d ”  (4)_  r ç ß – tü < ψ_  › ' a > – РÒ'  s

 î  r1 l x_  Å Òl  T \  ¦  6 £ § % ƒ! 3  ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

T = 4 Z π/2

0

dψ p 1 − κ ² sin ² ψ

= 4K(κ, π

2 ) (5)

K(κ, ^π ₂ )  H ] j17 á x ¢ - a„   " é ¶† < Êà º(the complete elliptic in- tegral of the first kind)“  X < ] j17 á x (Ô  ¦¢ - a„  ) " é ¶† < Êà º  H { 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð  6 £ § % ƒ! 3  & ñ _  ) a   [10–13].

F (κ, φ) = Z φ

0

dψ p 1 − κ ² sin ² ψ

= Z sin φ

0

dx

p(1 − x ² )(1 − κ ² x ² ) (6)

d ”

 (5)\ " f κ ² sin ² ψ  1˜ Ð   Œ •Ü ¼Ù ¼– Ð s \  ¦ „  > h €   Å

Òl  T \  ¦  6 £ § % ƒ! 3  / å L à º– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  .

T = 4 Z π/2

0

 1 + κ ²

2 sin ² ψ + ...

 dψ

= 2π

 1 + κ ²

4 + ...



= 2π

 1 + θ ² ₀

16 + ...



(7) é

ß –”   _  ”  ; Ÿ ¤ s   Å Ò  Œ •“ É r  â Ä º\   H Å Òl  ”  ; Ÿ ¤ õ  Á

º › ' a >  2πt ë ß – é ß –”     H Å Òl   H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ”  ; Ÿ ¤ θ 0 _ 

† <

Êà ºs  . ”  ; Ÿ ¤ s  & f ” \     Å Òl • ¸ › ¸F Km ”  7 £ x    H X

< Õ ª 7 £ x ì  r_  ' Í   P : Å Òכ ¹ † ½ Ós  θ ² 0 /16 s  . t ë ß – Ä º o

  H s  Å Òl _    H  d ” s  # QÖ ¼ # 3 0 A\ " f # QÖ ¼ & ñ • ¸ Ä »´ ò ô 

Çt \  ¦ · ú ˜ € 9 כ ¹ e ”  . s   H d ”  (2)_  à ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s  6

 

xô  Ç > í ß –   õ ü < q “ § # Œ S X ‰ “  | ¨ c à º e ”  .

III. • ¤V X ì Ä U ê s0 n É ù p § T  “ Ó Þ” X ¢ ‰ ˜ mà à Å  Æ U ؎ Ò Þ8 ý A 0

é

ß –”    d ”  (2)“ É r  © œ ç ß –é ß –ô  Ç q ‚  + þ A p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð

"

f s  & ñ • ¸_  † < Êà º  H à ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x €   — ¸Ž  H ”  ; Ÿ ¤

\

 @ / # Œ ç ß –é ß – €  " f• ¸  _  & ñ S X ‰ >  Û  ¦ à º e ”  . à º u

& h Ü ¼– Ð % 3 “ É r   õ   H p [ jô  Ç Â Òì  r \ " f  H š ¸  µ 1 ÏÒ q t

t ë ß – „  ^ ‰& h  ½ ¨› ¸\ " f  H ”  ; Ÿ ¤_  ß ¼l ü < › ' a > \ O s  @ /

^

‰– Ð & ñ S X ‰   [5].

d ”

 (2)_  € ª œ  `  ¦ r ç ß –Ü ¼– Ð p ì  r €    6 £ § õ  ° ú  “ É r é ß –”  



_  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3   H  .

θ ⁰⁰ + sin θ(t) = 0 (8) s

 d ” “ É r 2  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” s Ù ¼– Ð 2> h_   â >  › ¸| s  € 9 כ ¹

 . œ íl \  θ 0 _  0 Au \  e ” `  ¦ M :  H & ñ t  © œI % i  “ ¦ 

&

ñ €   θ(0) = θ ₀ ü < θ ⁰ (0) = 0`  ¦ % 3   H  .   " f ”  ; Ÿ ¤ θ 0   H s  Û  ¦ s _  Ä »{ 9 ô  Ç   à ºs  .

Õ

ªa Ë > 2. z  ´‚  “ É r à ºu & h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç θ(t)s “ ¦, & h ‚  “ É r q

“ §\  ¦ 0 AK  Õ ª 2 ; ‚  + þ A   H  _  K “   θ 0 cos te ” . (a) θ 0 =

0.5, (b) θ 0 = 1.0, (c) θ 0 = 1.5(radian).

-316- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 46, Number 6, 2003¸   6 Z 4

³

ð 1. é ß –”   _  à ºu & h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç Å Òl ü <  " é ¶† < Êà º



 H  \  ¦ s 6   xô  Ç Å Òl _  ”  ; Ÿ ¤ \    É r q “ §.

Amplitude(rad) T /2π, numerical T /2π, elliptic

0.1 1.001 1.001

0.2 1.003 1.003

0.3 1.006 1.006

0.4 1.010 1.010

0.5 1.016 1.016

0.6 1.023 1.023

0.7 1.032 1.031

0.8 1.042 1.040

0.9 1.053 1.051

1.0 1.068 1.062

1.1 1.081 1.076

1.2 1.100 1.090

1.3 1.119 1.106

1.4 1.139 1.122

1.5 1.166 1.141

Ã

ºu & h  > í ß –\ " f p ì  r ° ú כ“ É r  6 £ § % ƒ! 3    H  & h Ü ¼– Ð j þ t Ã

º e ”  .

θ ⁰ (t) = θ(t + δt) − θ(t)

δt . (9)

° ú

 “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð θ ⁰⁰ (t) • ¸  6 £ § % ƒ! 3  ³ ðr   ) a  .

θ ⁰⁰ (t) = θ ⁰ (t + δt) − θ ⁰ (t) δt

= θ(t + 2δt) − 2θ(t + δt) + θ(t)

δt ² (10)

d ”

 (10)`  ¦ d ”  (8)\  @ /{ 9  €    6 £ § % ƒ! 3  à ºu & h  > í ß –s 

0 p xô  Ç d ” s  % 3 # Q”   .

θ(t + 2δt) = 2θ(t + δt) − θ(t) − δt ² sin θ(t) (11) s

 ~ ½ ÓZ O “ É r œ íl  › ¸| ë ß – & ñ S X ‰ y  · ú ˜€   Õ ª– РÒ'  t\  ¦ › ¸F K m ”

 7 £ x r v  9 „  ^ ‰\  ¦ ½ ¨   H ~ ½ Ód ” Ü ¼– Ð Ã ºu & h Ü ¼– Ð p  ì

 r~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  ¦ M : s 6   x   H  © œ { 9 ì ø Í& h “   ~ ½ ÓZ O s   [5].

d ”

 (11)`  ¦ Û  ¦ l  0 AK " f  H  â >  › ¸| Ü ¼– Ð θ(δt) 




8 € 9 כ ¹ô  ÇX < δt  Å Ò  Œ •`  ¦ M :  6 £ § % ƒ! 3    H  & h Ü ¼– Ð % 3 

# Q”   .

θ(δt) = θ(0) + θ ⁰ (0)δt + 1

2! θ ⁰⁰ (0)δt ² + ...

' θ 0 − 1

2 θ ₀ δt ² (12) θ ⁰ (0) = 0 s “ ¦ θ ⁰⁰ (0) = −θ 0 e ” `  ¦ s 6   x % i  . e ” _ _  ”  

;

Ÿ

¤ ° ú כ\  @ / # Œ œ íl  › ¸| Ü ¼– Ð" f d ”  (12)\  ¦ & ñ _  “ ¦, s 

\

 ¦ s 6   x # Œ d ”  (11)`  ¦    δt\  ¦ › ¸F Km ”  7 £ x r v €   — ¸

Ž

 H ½ ¨ç ß –\ " f_  θ(t)\  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

Õ

ªa Ë > 3. K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç é ß –”    Å Òl ü < à ºu & h 

~

½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç é ß –”    Å Òl _  q “ §.  ± p 0 A à ºu & h 

~

½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç Å Òl s “ ¦,  – Ð  A   " é ¶† < Êà º\  ¦ s

6   x # Œ   H  & h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç Å Òl e ” .  ± p  A   H ¿ º ° ú כ_ 

s e ” .

é

ß –”   d ”  (8)_    õ  Õ ªa Ë > 2“  X < s  d ” _  K  cosine

† <

Êà ºü < Ä » ô  Ç Å Òl † < Êà ºe ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . θ <sup>0</sup>  (a) 0.5, (b) 1.0, (c) 1.5(radian)“    â Ä º\  @ / # Œ y» ¡ ¤`  ¦ ° ú  “ É r q Ö  ¦ – Ð Õ

ª 9˜ Ѐ   θ ₀ 7 £ x † < Ê\     Å Òl  › ¸F Km ”  U  ´# Qt   H  כ

`

 ¦ ^  ¦ à º e ”  .

Ã

ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   xô  Ç é ß –”   _  Å Òl \  ¦ Y > > h_  ”  ; Ÿ ¤

°

ú כ\  @ / # Œ  " é ¶† < Êà º   H  d ” `  ¦ s 6   xô  Ç K $ 3 & h  Û  ¦ s ü <

q

“ §ô  Ç  כ s  ³ ð 1s  . ”  ; Ÿ ¤ s  π/2(radian)˜ Ð   H  â Ä º



 H z  ´] j& h Ü ¼– Ð Á º_ p  Ù ¼– Ð q “ §_  _ p  e ”   H ”  ; Ÿ ¤ s

 0.1 Ò'  1.5 s _  Å Òכ ¹ ° ú כë ß – q “ § % i  . Õ ªo “ ¦ s 

\

 ¦ Õ ªA á Ԗ Ð
  · p  כ s  Õ ªa Ë > 3s  . ”  ; Ÿ ¤ s   Å Ò  Œ •“ É r

 â

Ä º\   H Å Òl  ”  ; Ÿ ¤ \  Á º › ' a >  2πs 
 ”  ; Ÿ ¤ s  7 £ x 

† <

Ê\     Å Òl • ¸ " f" fy  7 £ x † < Ê`  ¦ ^  ¦ à º e ”  .

IV. + s Ç Â ] Ø

é

ß –”   _  î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦   H  d ” `  ¦ s 6   x t  · ú §“ ¦ à ºu 

&

h Ü ¼– Ð Û  ¦ # Q   H  & h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç K $ 3 & h    õ ü < q “ §

# Œ ˜ Ѐ Œ ¤ . ”  ; Ÿ ¤ s   Å Ò  Œ • “ ¦ & ñ “ ¦ sin θ ' θ– Ð

¿

º  H ‚  + þ A   H    H θ 0 < 0.1( ≈ 5.7 ^◦ )_  # 3 0 A\ " f à ºu & h Ü ¼

–

Ð ½ ¨ô  Ç   õ ü < Å Òl  0.1% s ? /– Ð, θ 0 < 0.4( ≈ 23 ^◦ )_ 

#

3 0 A\ " f  H 1% s ? /– Ð { 9 u  % i  . θ = 0.4{ 9  M : sin θü <

θ  H €  • 3%  Ø ÔÙ ¼– Ð ‚  + þ A   H  _  Å Òl   H s  s ˜ Ð 

&

h 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

ì

ø ̀  \  section II\ " f ½ ¨ô  Ç  " é ¶† < Êà º   H    H θ 0 <

0.7( ≈ 40 ^◦ )_  # 3 0 A\ " f à ºu & h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç   õ ü < Å Òl 

0.1% s ? /– Ð, θ 0 < 1.2( ≈ 69 ^◦ )_  # 3 0 A\ " f  H 1% s ? /– Ð

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  à ºu & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   xô  Ç é ß –”      H  d ” _  Ä »´ ò$ í “ ¦¹ 1 Ï – ^ ”  © œô ¥ -317-

{ 9

u  % i  .   " f @ / Òì  r_  ”  ; Ÿ ¤ \  d ”  (7)_   " é ¶† < Êà º



 H    H  © œ{ © œy  ´ òõ & h s  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] s  © œî  r, s _ ¢ - a , ^ ” I % ò , s I   ñ, t ×  æ Ý ¶, New Physics, 15, S137 (1976).

[2] þ j ü , New Physics, 17, 230 (1977).

[3]  Ý ¶" î  r, New Physics, 33, 143 (1992).

[4] J. Jeong and S.-Y. Kim, J. the Korean Phys. Soc, 35, 393 (1999).

[5] W. H. Press et. al., Numerical Recipes in fortran, 2nd, (Cambridge Univ. press, Cambridge, 1992).

[6] G. R. Fowles, Analytical Mechanics, 3rd, (Holt, New York, 1977), Ch. 3.

[7] H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd, (Addison- Wesley, New York, 1980), Ch. 10.

[8] D. A. Greenwood, Classical Dynamics, (Prentice- Hall, Englewood Cliffs, 1977), SEC. 2.

[9] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, 3rd.

(Pergamon, New York, 1976), Ch. III.

[10] ^ ”  © œô ¥, D hÓ ü t o , 44, 87 (2002).

[11] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of In- tegrals, Series, and Products (Academic, Orlando, 1980).

[12] N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, Vol. 79, (Ame. Math. Soc., 1990), Ch. 5.

[13] K. Chandraseckharan, Elliptic Functions (Springer, Berlin, 1985), Ch. VII.

Study of the Effectiveness of Numerical Approximation Methods for a Simple Pendulum

Sang-Hoon Kim ^∗

Division of Liberal Arts, Mokpo National Maritime University, Mokpo 530-729 (Received 2 May 2003)

The solution to the equation for a simple pendulum is obtained by using numerical methods.

The period of the numerical solution was compared with that of the analytic solution for the small–

amplitude approximation. The effective range of the approximation is discussed. The difference in the period between the approxi–mation and the numerical calculation was less than 1% when the amplitude was less than 0.4 radian for a linear approximation and less than 1.2 radian for an elliptic approximation.

PACS numbers: 01.55.+b, 02.10.Jf, 02.70.Bf

Keywords: Pendulum, Elliptic integral, Numerical method

∗

E-mail: [email protected]