Ž ä à Šù p § T “ Ó Þ” X ¢ U ê s] ‚ §X N Ë| º ¹ Å« o8 ý ½  Êõ t ÚÄ Z ؃ º

­

Ž ä à Šù p § T  “ Ó Þ” X ¢ U ê s] ‚ §X N Ë| º ¹ Å«  o8 ý ½  Êõ t ÚÄ Z ؃ º

 6

Ò* å %
 ^∗ ·  ™ »M  ÷ 6 ;

Ä

º$ 3 @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , „  · ¡ ¤ ¢ - a Å Òç  H 565-701 (2004¸   10 Z 4 25{ 9  ~ à Î6 £ §)

Ä

»ô  Ç> h_  Û ¼— 2 ;-1/2`  ¦ s 6   x # Œ ~ ½ ӆ ¾ Ó& ñ ˜ Ð\  ¦ ³ ðr  “ ¦ s \  ¦ 8 £ ¤& ñ `  ¦ : Ÿ x K  K 1 l q K ? /  H  â Ä º, Æ Ò& ñ  ) a

~

½

ӆ ¾ Ó_  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í— ¸€ ª œ“ É r Õ ª ~ ½ ÓZ O \  _ ” > r >  ÷ &t ë ß – e ” _ _  — ¸€ ª œs    0 p xô  Ç  כ “ É r  _ ” `  ¦ ˜ Ð% i  . 7 £ ¤ Û

¼— 2 ;_   r„    ¨ 8 Š $ í | 9 `  ¦ s 6   x # Œ S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í† < Êà º : £ ¤& ñ ô  Ç — ¸€ ª œs  ÷ &# Q  † < Ê`  ¦ ˜ Ð% i  . ¢ ¸ô  Ç s \  ¦ s  6

 

x # Œ ~ ½ ӆ ¾ ӄ  ² ú ˜ Ø  æz  ´• ¸_  0 p xô  Ç þ j@ /° ú כ`  ¦  6   xô  Ç Û ¼— 2 ;_  Ì  à º\     ½ ¨ % i  .

PACS numbers: 03.65, 03.67

Keywords: Spin ~ ½ ӆ ¾ Ó, Encoding, Decoding, S X ‰Ò  ¦

I. " e  ] Ø

€

ª œ & ñ ˜ Ðs  : r ¢ ¸  H € ª œ ( Ž É Ó'  ì  r  \ " f  © œ l ‘ : r& h 

“

   † ½ ÓÜ ¼– Ð & ñ ˜ Ð\  ¦ € ª œ  © œI \  z  ´# Q˜ Ð? /  H ~ ½ Ód ” \  @ / ô 

Ç ë  H ] jü < Å Ò# Q”   € ª œ  © œI \  @ /K  # Q‹ "  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð & ñ ˜ Ð

\

 ¦ 4 Ÿ ¤" é ¶½ + É  כ “     H ë  H ] j e ”   [1]. Õ ª ×  æ \ " f• ¸ 3 

"

é

¶ / B Nç ß – © œ_  ~ ½ ӆ ¾ Ó & ñ ˜ Ð\  ¦ Û ¼— 2 ;`  ¦ s 6   x # Œ „  ² ú ˜½ + É M :, \ O 




 Ø  æz  ´ >  „  ² ú ˜½ + É Ã º e ”   H    H ë  H ] j  H ´ ú §“ É r  | à Р[

þ

t_  › ' a d ” `  ¦ = å J # Q M ® o   [2,3,4].

“

¦„  Ó ü t o † < Æ& h  à ºé ß –`  ¦ : Ÿ x K  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ „  ² ú ˜   H  â Ä º Á º ô 

Çô  Ç & ñ S X ‰ • ¸– Ð ½ + É Ã º e ”   H  כ õ   H ² ú ˜o , Ä »ô  Ç> h_  Û ¼— 2 ;- 1/2`  ¦ s 6   x # Œ ~ ½ ӆ ¾ Ó& ñ ˜ Ð\  ¦ „  ² ú ˜  9 ½ + É M :, € ª œ  : r_  : £ ¤

$ í

 © œ Õ ª & ñ S X ‰ • ¸\  ô  Ç>  e ” >   ) a  . 7 £ ¤ é ß –0 A 7 ˜'  n ¹ ~ ½ Ó

†

¾ Ó`  ¦ t r  l  0 A # Œ x 9 • ¸' Ÿ § > =(density matrix) ρ n

₁

Ü ¼

–

Ð ³ ðr ÷ &  H # Q‹ "  Û ¼— 2 ; © œI \  ¦ ë ß –[ þ t # Q(“   ï` ç : encoding)

„ 

² ú ˜Ù þ ¡`  ¦ M :, „  ² ú ˜ ) a Û ¼— 2 ;Ü ¼– РÒ'  8 £ ¤& ñ `  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç # Q‹ "  õ

& ñ `  ¦ : Ÿ x K  Æ Ò& ñ  ) a( n  ï` ç : decoding) ~ ½ ӆ ¾ Ó n“ É r ‘ : r A _ 

~

½ ӆ ¾ Ó n ₁ õ  { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð { 9 u  t  · ú §>  ÷ & 9 Õ ª Å Ò0 A– Ð S X ‰ Ò

 ¦& h Ü ¼– Ð ì  r Ÿ í >   ) a  . s  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í† < Êà º\  ¦ E(n ; ρ n

1

)

¢

¸  H E(θ, φ ; ρ n

1

) Ü ¼– Ð
 ? / . Ó ü t : r s  † < Êà º  H

E(n ; ρ n

₁

) ≥ 0, Z

E(n ; ρ n

₁

)dΩ = 1 (1) _  › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç . s  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í_  ½ ¨^ ‰& h  — ¸€ ª œ“ É r ~ ½ ӆ ¾ Ó

`

 ¦ t r    H € ª œ   © œI – Ð # Q* ‹ô  Ç  © œI \  ¦  6   x   H ü <

#

Q‹ "  8 £ ¤& ñ x 9  ~ ½ ӆ ¾ Ó Æ Ò& ñ ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x   H \  _ K    & ñ

| ¨

c  כ “  X <, ì  r Ÿ í_  — ¸€ ª œs  ‘ : r A  ~ ½ ӆ ¾ Ó   H % ƒ\  | 9 ×  æ| ¨ c à º2 Ÿ ¤

∗

E-mail: [email protected]

a

% ~“ É r ~ ½ ÓZ O s   ½ + É Ã º e ”  . s \  @ /ô  Ç & ñ | ¾ Ó& h  ' ‘ • ¸– Ð Ø  æ z 

´• ¸ F (Fidelity)\  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   [2].

F ≡ Z

E(n ; ρ n

₁

) 1 + n · n 1

2 dΩ (2)

<

É

ª p – Ðî  r ë  H ] j  H Å Ò# Q”   N > h_  Û ¼— 2 ;`  ¦ s 6   x # Œ ~ ½ Ó

†

¾ Ó „  ² ú ˜`  ¦ ½ + É M :, F \  ¦ þ j@ /– Ð   H “   ï` ç /n  ï` ç ~ ½ ÓZ O  x 9

 Õ ª M : F ° ú כ“ É r Á º% Á “     H  כ “  X <, þ j  H Bagan 1 p x s  Õ

ª ~ ½ ÓZ O õ  þ j@ / F ° ú כ`  ¦ ½ ¨ô  Ç   e ”  [5, 6].

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H ] X   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ² ú ˜o  # Œ, ½ ¨^ ‰& h “   “   ï

` ç

/n  ï` ç ~ ½ ÓZ O \  Á º › ' a >  Û ¼— 2 ;_   r„    ¨ 8 Š $ í | 9 \  _ 

# Œ E(·)_  † < Êà º  H : £ ¤& ñ ô  Ç g 1 J s  ÷ &# Q † < Ê`  ¦ ˜ Ðs “ ¦, ¢ ¸ ô 

Ç s – РÒ'  % 3 # Qt   H F _  þ j@ /° ú כ`  ¦ ½ ¨ # Œ Bagan 1 p x _

   õ ü < q “ § “ ¦  ô  Ç .

~

½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í† < Êà º E(·)_  g 1 J \  ] j€  •s  e ” 6 £ §“ É r   6

£

§_  \ V\ " f ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  . ô  Ç > h_  Û ¼— 2 ;-1/2 { 9  \  ¦ s  6

 

x   H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9  . „  ² ú ˜ “ ¦    H ~ ½ ӆ ¾ Ós  n ¹ ~ ½ Ó

† ¾

Ós  €   “   ï` ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð" f \ V† @ / Û ¼— 2 ;  © œI  |n ¹ i\  ¦ ë ß – [

þ

t # Q „  ² ú ˜½ + É Ã º e ”  . s   © œI \  @ /K  # Q‹ "  8 £ ¤& ñ õ  Æ Ò& ñ õ

& ñ `  ¦ : Ÿ x K 
“ : r ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ _  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í“   E(θ, φ ; ρ n

₁

)_  g

1 J s  n 1 ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð δ-† < Êà º% ƒ! 3  | 9 ×  æ ) a — ¸€ ª œs  “ ¦ & ñ 



. ë ß –€  • s  Qô  Ç E(·) — ¸€ ª œs  0 p x  €   |ziü < | − zis  1/2m ”  [ O “    © œI (mixture)ü < |xiü < | − xis  1/2m ”  [ O “  



© œI \  ¦ ½ ¨Z > ½ + É Ã º e ” >   ) a  .  =
 €   y Œ •y Œ •\  @ /K  ~ ½ ӆ ¾ Ó Æ

Ò& ñ `  ¦ K ˜ Ѐ   „   \  @ /K " f  H ±z~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð | 9 ×  æ ) a Æ Ò

&

ñ   õ 
`  ¦  כ s “ ¦ Ê ê \  @ /K " f  H ±x~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð | 9 

×

 æ ) a Æ Ò& ñ   õ 
`  ¦  כ s l  M :ë  H s  . Õ ª  X < ¿ º  © œI 



 H ° ú  “ É r x 9 • ¸' Ÿ § > =(density matrix) ρ = ¹ ₂ I – Ð ³ ð‰ & ³÷ &Ù ¼– Ð

€

ª œ  : r_  l ‘ : r & ñ \  _ K  Ó ü t o & h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨Z > | ¨ c à º

-48-

\ O

# Q  ô  Ç .   " f — ¸í  H`  ¦ x   9€   E(·)_  — ¸€ ª œs  7 á §



8 V , >  ( ”   — ¸€ ª œs  ÷ &# Q ¿ º  â Ä º ° ú  “ É r ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ ì  r Ÿ í

`  ¦ à º e ” • ¸2 Ÿ ¤ ÷ &# Q  † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

II. U ê s] ‚ § ù p § ß Ã Å  Á S ˔ X ¢ V ê s? 08 ý > H ¹ Å
ì Åò & ÿ V R Ëù m Ç

#

Œl " f  H N > h_  Û ¼— 2 ;-1/2`  ¦ s 6   x # Œ # Q‹ "  ~ ½ ӆ ¾ Ó (θ, φ)`  ¦ “   ï` ç ô  Ç  © œI   r„    ¨ 8 Š \  @ /K  # Q‹ "  : £ ¤$ í `  ¦

˜

Ðs   H  · ú ˜ ˜ Ð .

N > h_  Û ¼— 2 ;`  ¦ s 6   x # Œ : £ ¤& ñ ~ ½ ӆ ¾ Ó, \ V† @ / z~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ “  



ï` ç ô  Ç  © œI \  ¦ |ψ 0 i  €  , (θ, φ)~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ “   ï` ç ô  Ç  © œI 

|ψ θ,φ i  H |ψ 0 i\  ¦ (θ, φ)~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ † ¾ Ó • ¸2 Ÿ ¤ 0 p x1 l x r„  r †    © œ I

– Ð" f

|ψ θ,φ i = R|ψ 0 i (3) ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”   . s  M :, N> h Û ¼— 2 ;  © œI \  @ /ô  Ç 0 p x1 l x r

„ 

 ƒ  í ß –  R“ É r Û ¼— 2 ;-1/2_  0 p x1 l x r„     ¨ 8 Š ' Ÿ § > = r\  _ K  R = r ⊗ r ⊗ · · · , (4) õ

 ° ú  s  ³ ðr   ) a  . é ß –

r =  e ⁻

²ⁱ

^(φ+γ) cos ^θ ₂ −e ⁻

²ⁱ

^{(φ −γ)} sin ^θ ₂ e

²ⁱ

^{(φ −γ)} sin ^θ ₂ e

²ⁱ

^(φ+γ) cos ^θ ₂



(5) s

“ ¦, θ, φ, ㍠ H š ¸{ 9  Q y Œ •\  K { © œô  Ç .

~

½ ӆ ¾ Ó_  “   ï` ç \  í  H à º © œI (pure state)ë ß –  6   x½ + É € 9 כ ¹



 H \ O Ü ¼Ù ¼– Ð ˜ Ð  { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ™ D ¥½ + Ë © œI (mixed state)\  ¦ s

6   x   H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9  . z~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ “   ï` ç ô  Ç  © œI \  ¦ ρ z   €  , (θ, φ)~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ “   ï` ç ô  Ç  © œI   H (3) Ü ¼– РÒ' 

ρ _θ,φ = Rρ _z R ^† (6) ü

< ° ú  s  % 3 # Q”   . s  › ' a > d ” “ É r ρ \  @ /ô  Ç ‚  + þ A  ¨ 8 Š`  ¦ _  p

 “ ¦ e ”  . s  d ” \ " f ρ_  $ í ì  r`  ¦ vector_  $ í ì  r % ƒ! 3  2

[/ å L # Œ

ρ θ,φ = U ρ z (7) + þ

Ad ” Ü ¼– Ð  r  + ‹ ˜ Ѐ  

U = R ⊗ R ^∗ (8)

\

 K { © œH † d`  ¦ ^  ¦ à º e ”  . 7 £ ¤  r„  \  @ /ô  Ç ρ_    ¨ 8 Š“ É r R ⊗ R ^∗ = (r ⊗ r ⊗ · · ·) ⊗ (r ^∗ ⊗ r ^∗ ⊗ · · ·)_  ƒ  í ß – – Ð
 ? /# Q f ”

`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ô  Ǽ #  ρ / B Nç ß –_  l ‘ : r 7 ˜' [ þ t`  ¦ " f– Ð   õ

 H D h– Ðî  r 7 ˜' / B Nç ß –\ " f ˜ Ѐ   s   H J $ ™" fY  L_  í  H " f\  ¦   õ

 H (r ⊗ r ^∗ ) ⊗ (r ⊗ r ^∗ ) ⊗ · · · – Ð ç ß –Å Ò½ + É Ã º e ”  .

s

] j, ô  Ç כ ¹™ è r ⊗ r ^∗ _  ½ ¨^ ‰& h  $ í ì  r`  ¦ (5)\  ¦ s 6   x # Œ

³

ðr K  ˜ Ѐ  

r ⊗ r ^∗ =







c ² −bcs/a −acs/b s ² cs/ab c ² /a ² −s ² /b ² −cs/ab abcs −s ² /b ² a ² c ² −abcs s ² bcs/a acs/b c ²





 (9)

ü

< ° ú   . # Œl " f e

ⁱ²

^(φ+γ) , e

²ⁱ

^{(φ −γ)} \  ¦ a, b – Ð cos ^θ ₂ , sin ^θ ₂ \  ¦ c, s – Ð ç ß –é ß –y  ³ ðr  % i  .

s

   ¨ 8 Š ' Ÿ § > =_  _ p \  ¦ ~ 1 >  s K  l  0 AK , r ⊗ r ^∗ s

  Œ •6   x   H 4 " é ¶ / B Nç ß –_  l $  7 ˜' _  í  H " f\  ¦ 1 ↔ 2, 3 ↔ 4ü < ° ú  s   Ë ¨“ ¦ 2  õ  4   » ¡ ¤_   Ҡ ñ\  ¦  Ë ¨  H   

¨ 8

Š S\  ¦ K ˜ Ѐ  , 0 A ' Ÿ § > =_  $ í ì  r“ É r r ⊗ r_  $ í ì  r õ  ° ú   f ” 

`

 ¦ ^  ¦ à º e ”  . 7 £ ¤,

S : r ⊗ r ^∗ ⇒ r ⊗ r. (10)



 " f s   Òì  r_    ¨ 8 Š“ É r ¹ ₂ ⊗ ¹ ₂ õ  1 l x1 p x† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

y

Œ

•î  r1 l x| ¾ Ó_  $ í | 9 \  _  €   s    ¨ 8 Š“ É r 1 ⊕ 0 õ  ° ú  “ ¦  



" f, „  ^ ‰   ¨ 8 Š U   H

U = (1 ⊕ 0) ⊗ (1 ⊕ 0) ⊗ · · · = N ⊕ (N − 1) ⊕ · · · ⊕ 0 (11) ü

< ° ú   .   " f  r„  \  @ /ô  Ç ρ_    ¨ 8 Š $ í | 9 “ É r l = N, . . . , 0 “   y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó  © œI / B Nç ß –[ þ t_  f ” “ §½ + Ë(direct sum) õ  ° ú   “ ¦ ½ + É Ã º e ” Ü ¼ 9, ¢ ¸ô  Ç y Œ •y Œ •_  ° ú כ\  @ /ô  Ç Â Ò ì

 r/ B Nç ß –[ þ t`  ¦ 1 l qw n & h Ü ¼– Ð “ ¦ 9   H  כ s  0 p x  .

III. > H ¹ Å
ì Åò & ÿ; c 6 ” X ¢ E(·)8 ý V R Ëù m Ç

ρ   r„  \  @ / # Œ · ú ¡\ " f l Õ ü tô  Ç  ü < ° ú  “ É r   ¨ 8 Š$ í | 9 

`

 ¦ | 9  M :, ρ\  @ /6 £ x ÷ &# Q Å Ò# Qt   H † < Êà º“   E(n ; ρ _n

₁

)_  g

1 J“ É r # Q‹ "  : £ ¤$ í `  ¦ { >  ÷ &  H  · ú ˜ ˜ Ð .

·

ú ¡" f E(n ; ρ ⁿ

1

)`  ¦ ~ ½ ӆ ¾ Ót r  © œI  ρ ⁿ

1

 Å Ò# Q& ’ `  ¦ M :, s 

\

 @ /ô  Ç 8 £ ¤& ñ 1 p x`  ¦ : Ÿ xô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ r  nÜ ¼– Ð Æ Ò& ñ ½ + É S X ‰Ò  ¦ x 9

• ¸– Ð & ñ _  % i  . s  † < Êà º_  & ñ _ \  ¦ Ó ü t o & h   © œI \  ¦
 

? /  H e ” _ _  K ‰Ø Ôp ‚  (hermitian) ρ\  @ /K " f t  S X ‰



© œ   H  כ “ É r ç ß –é ß –  . 7 £ ¤ e ” _ _  K ‰Ø Ôp ‚   ρ Å Ò# Q& ’ 

`

 ¦ M :• ¸,  ð ø Ít _  8 £ ¤& ñ 1 p x`  ¦ : Ÿ xô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ ~ ½ ÓZ O `  ¦ & h  6

 

xÙ þ ¡`  ¦ M : nÜ ¼– Ð Æ Ò& ñ | ¨ c S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸– Ð" f E(n ; ρ)`  ¦ & ñ _ 

€    ) a  . s ü < ° ú  s  & ñ _  ) a E( ·)  H x 9 • ¸' Ÿ § > =_  Ó ü t o & h  _ p – РÒ'   6 £ § õ  ° ú  “ É r ‚  + þ A › ' a > d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç .

E(n ; p 1 ρ 1 + p 2 ρ 2 ) = p 1 E(n ; ρ 1 ) + p 2 E(n ; ρ 2 ), (12) é

ß – ρ ₁ , ρ ₂   H K ‰Ø Ôp ‚  , z  ´Ã º p 1 , p ₂ ≥ 0 , p 1 + p ₂ = 1 s

 .  =
 €  , y Œ •y Œ • ρ ₁ , ρ 2 – Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H  © œI [ þ t s  S X ‰Ò  ¦

p 1 , p 2 – Ð ™ D ¥½ + Ë÷ &# Q e ”   H  © œI  ρ = p 1 ρ 1 + p 2 ρ 2 s Ù ¼

–

Ð, ρ\ @ /ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ ì  r Ÿ í\   H ρ 1 , ρ 2 \  _ ô  Ç ì  r Ÿ í y Œ • y

Œ

• p 1 , p 2 _  S X ‰Ò  ¦ – Ð l # Œ >  ÷ &l  M :ë  H s  .

E( ·)_  & ñ _ \  ¦ K ‰Ø Ôp ‚  s      ρ\  @ /K " f t  S X ‰ © œ K

˜ Ð . s  כ “ É r Ó ü t o & h  _ p \  ¦ : Ÿ xô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ѝ  H Œ 4 Hê ø Í  t

ë ß –, e ” _ _  ρ\  ¦ ρ = 1

2 (ρ + ρ ^∗ ) − i

2 (iρ − iρ ^∗ ), (13) ü

< ° ú  s  ¿ º K ‰Ø Ôp ‚   ƒ  í ß –  (ρ + ρ ^∗ ) ü < (iρ − iρ ^∗ ) _  4 Ÿ ¤

™

è> à º\  _ ô  Ç ½ + ËÜ ¼– Ð
 è ­ q à º e ” 6 £ §`  ¦ “ ¦ 9 €   (12)

4

Ÿ

¤ ™ èà º\  @ /K " f• ¸ $ í w n † < Ê`  ¦ & ñ   H  כ ë ß –Ü ¼– Ð Ø  æì  r 



. s X O >  e ” _ _  ρ t  S X ‰ © œ # Œ & ñ _  ) a E( ·)  H ˜ Ð  { 9

ì ø Í& h “  

E(n ; c 1 ρ 1 + c 2 ρ 2 ) = c 1 E(n ; ρ 1 ) + c 2 E(n ; ρ 2 ) (14)

`

 ¦ e ” _ _  ρ 1 , ρ 2 ü < e ” _ _  4 Ÿ ¤ ™ èà º c ¹ , c 2 \  @ /K  ë ß –7 á ¤ 

>

 H † d`  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  .



 É r › ' a& h \ " f ˜ Ѐ  , e ” _ _  ρ   @ /6 £ x ÷ &  H † < Êà º E(n ; ρ)  e ” 6 £ §`  ¦ & ñ ÷ &, d ”  (14)\  ¦ ë ß –7 á ¤ K   “ ¦, :

£

¤ y  Ó ü t o & h   © œI \  @ /6 £ x ÷ &  H ρ \  @ /K " f  H S X ‰Ò  ¦_  _ p 

\

 ¦ | 9  à º e ” • ¸2 Ÿ ¤ (1)`  ¦ ë ß –7 á ¤ K   ô  Ç “ ¦ & ñ   H  כ s

 . s X O >  & ñ _  ) a E( ·)  H Ó ü t o & h  _ p \  ¦  Ò# Œ½ + É Ã º e ” 



 H ρ \  @ /K " f  H (1) õ  (12)\  ¦ ë ß –7 á ¤ Ù ¼– Ð ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ S X ‰ Ò

 ¦ì  r Ÿ í– Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ” Ü ¼€  " f K ‰Ø Ôp ‚  s      ρ\  @ /K 

"

f t  & ñ _  ) a † < Êà º ÷ &  H  כ s  .

s

] j, · ú ¡" f t & h ô  Ç @ /– Ð  r„  \  @ /ô  Ç ρ_    ¨ 8 Š ×  æ l = L “    Òì  r/ B Nç ß –ë ß –  – Ð “ ¦ 9  . l = L “   Â Ò ì

 r/ B Nç ß –_  f ” “ §   H l $ é ß –0 A 7 ˜' (orthonormal basis)\  ¦ ˆ

e i (i = −L, −L + 1, · · · , L)   “ ¦, s \  @ /6 £ x ÷ &  H E(·)\  ¦ E(θ, φ ; ˆ e i ) ≡ E(ˆe i ) ü < ° ú  s 
 ? / . ˆe ⁱ   H y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó  © œ I

% ƒ! 3    ¨ 8 Š Ù ¼– Ð R\  @ / # Œ

R ˆ e _k =

L

X

i= −L

R ^(2L+1) _ik ˆ e _i (15)

_  d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç . é ß – R ^(2L+1) _ik   H l = L“   y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó  © œI  _

  r„  `  ¦
 ? /  H ' Ÿ § > =s  . ° ú  “ É r  r„    ¨ 8 Š \     † < Ê Ã

º\  ¦  r„  r v   H ƒ  í ß – \  ¦ T    . s  M :, E(ˆe k )† < Êà º

\

 ¦  r„  r †    כ õ  ˆ e k \  ¦  r„  r †     õ \  @ /ô  Ç E(·)  H ° ú  



  Ù ¼– Ð

T E(ˆ e k ) = E(R ˆ e k ) = E

L

X

i= −L

R ^(2L+1) _ik e ˆ i

!

=

L

X

i= −L

R ^(2L+1) _ik E(ˆ e i ) (16) ü

< ° ú  “ É r d ” s  $ í w n ô  Ç . ½ ¨€  › ¸ o† < Êà º(spherical harmon- ics)_   r„  \  @ /ô  Ç   ¨ 8 Š s 

T Y lm =

l

X

m

⁰

= −l

R _m ^(2l+1)

0

m Y _lm

⁰

(17)

e ”

õ  q “ § €   E(ˆ e _i )  Y Li ü < ° ú  s    ¨ 8 Š “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ ^  ¦ Ã

º e ”  .
  E(ˆe ^k ) = P ∞ l=0

P l

m= −l C _lm ^k Y lm Ü ¼– Ð Z  ~

“

¦ q “ § › ¸  €  

E(ˆ e _k ) = c _L Y _Lk , (k = −L, · · · , L) (18) e ”

`  ¦ ~ 1 >  7 £ x" î ½ + É Ã º e ”  .

e ”

_ _  ρ  H ˆ e _k _  ‚  + þ A   ½ + ËÜ ¼– Ð j þ t à º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð, (18)_ 

† <

Êà ºg 1 J õ  (14)_  ‚  + þ A$ í `  ¦ s 6   x €   e ” _ _  ρ\  @ / # Œ E( ·)_  g 1 J`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ” >   ) a  . N> h_  Û ¼— 2 ;`  ¦ s 6   x   H

 â

Ä º l = 0, 1, . . . , Ns  0 p x Ù ¼– Ð, N> h Û ¼— 2 ;\  _ ô  Ç e ”  _

_   © œI  ρ\  @ /ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ ì  r Ÿ í† < Êà º_  g 1 J“ É r { 9 ì ø Í& h Ü ¼

– Ð

E(θ, φ; ρ) =

N

X

L=0 L

X

i= −L

b Li Y Li (19)

ü

< ° ú  s  Å Ò# Q”   .

ô 

Ǽ # , (18) ¢ ¸  H (19)_  E(·)  H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤ ™ èà º ° ú כ

`

 ¦ ° ú   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”   H X < s   H ˆ e k
 ρ { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ó ü t o

& h   © œI \  @ /6 £ x ÷ &t  · ú §  H x 9 • ¸' Ÿ § > =“    â Ä ºs l  M :ë  H s

 . (19)\ " f ρ Ó ü t o & h   © œI \  ¦
 ? /  H  â Ä º 7 £ ¤, ρ = ρ ^† , all eigen values ≥ 0, Trρ = 1 (20)

“

   â Ä º  H l $  7 ˜'  ˆe k  & h { © œy  ‚  + þ A  ½ + Ë(linear combi- nation) ÷ &# Q ρ\  ¦ ½ ¨$ í ½ + É M :s “ ¦, s  M : (19)_  † < Êà º  H S X ‰ Ò

 ¦ì  r Ÿ í_  _ p \  ¦ | 9  à º e ” >  z  ´Ã º† < Êà ºs €  " f E( ·) ≥ 0,

Z

E( ·)dΩ = 1 (21)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤½ + É  כ s  .

IV. : X ì Ä8 ý U ê s] ‚ §˜ ¼X N Ë Ä Z ؃ º] K ¤• ¤ { ¢W ë s

s

] j N> h_  Û ¼— 2 ;  © œI \  ¦  6   x   H  â Ä º
 ± ú ˜ à º e ” 



 H ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í† < Êà º_  { 9 ì ø Í& h  — ¸€ ª œ`  ¦ s 6   x # Œ ~ ½ Ó

†

¾ ÓÆ Ò& ñ _  Ø  æz  ´• ¸ F _  ° ú כs  þ j@ / \ O   t  0 p xô  Çt  · ú ˜



˜ Ð .

z~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ “   ï` ç ô  Ç  © œI \  ¦ ρ z    .  7 H_ \  ¦ ~ 1 >   l

 0 A # Œ E(n ; ρ z ) \   H ~ ½ Ó0 Ay Œ •(azimuthal angle) _ ” > r$ í s

 \ O 6 £ §, 7 £ ¤

E(n ; ρ z ) ≡ E(θ, φ ; ρ z ) = E(θ ; ρ z ) (22)

e ”

`  ¦ & ñ  . 7 £ ¤ Æ Ò& ñ  ) a( n  ï` ç  ) a) ~ ½ ӆ ¾ Óõ  “   ï` ç  ) a ~ ½ Ó

† ¾

Ó  s _  y Œ •• ¸ ° ú  Ü ¼€   S X ‰Ò  ¦ • ¸ ° ú   “ ¦ & ñ  .  _ 

@

/ Òì  r_  “   ï` ç /n  ï` ç ~ ½ ÓZ O [ þ t“ É r s \  ¦ ë ß –7 á ¤ “ ¦ e ” Ü ¼ 9,   " f s  Qô  Ç & ñ “ É r  7 H_  & h 6   x ÷ &  H # 3 0 A\  ¦ t 
 u

>  » ¡ ¤ ™ èr v t  · ú §  H  .

(19) d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H E(·)_  { 9 ì ø Í& h  — ¸€ ª œs  (22)\  ¦ ë ß – 7

á

¤ l  0 AK " f  H b Li = 0 (i 6= 0)s # Q  “ ¦   " f „  

^

‰† ½ Ó ×  æ \ " f cos θë ß –_  † < Êà º“   Y _L0 † ½ Ó[ þ të ß – z Œ ™>   ) a  . 7 £ ¤ E(θ, φ ; ρ z ) = E(cos θ)

= a N cos ^N θ + · · · + a 1 cos θ + a 0 (23)

–

Ð Å Ò# Q”   . é ß – (21) – РÒ'  > à º a i   H Z

dΩ E(cos θ) = 1 or a 0 + a 2

3 + a 4

5 + a 6

7 + · · · = 1

4π , (24) a 0 + a 1 x + · · · + a N x ^N ≥ 0 (−1 ≤ x ≤ 1) (25) _  ¿ º › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤   H z  ´Ã ºs  . d ”  (24)\  ¦ s 6   x # Œ a 0 \  ¦ ™ è  €    6 £ § õ  ° ú  “ É r 
_  › ¸| Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ”

 .

1

4π + a ₁ x + a ₂ (x ² − 1

3 ) + a ₃ x ³ · · · ≥ 0 (26) ( −1 ≤ x ≤ 1)

ô 

Ǽ # , (23)Ü ¼– РÒ'  F   H  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q”   .

F = Z

dΩ E(cos θ) 1 + cos θ 2

= 1

2 + 2π  a 1

3 + a 3

5 + a 5

7 + · · · 

(27) s

] j (23), (26)Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í ×  æ þ j@ / _

 F ° ú כ`  ¦ Šҍ  H  â Ä º\  ¦ · ú ˜ ˜ Ð . 7 £ ¤, (26)`  ¦ ë ß –7 á ¤   H a i

° ú

כ ×  æ (27)_  F \  ¦ þ j@ /– Ð   H  â Ä º\  ¦ ¹ 1 ÔÜ ¼€    ) a  . Õ ª o

“ ¦ s   â Ä º þ j& h _  ~ ½ ӆ ¾ Ó “   ï` ç /n  ï` ç ~ ½ ÓZ O s  Šҍ  H E( ·) — ¸€ ª œ\  K { © œ| ¨ c  כ s  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  . €  $  (26)_  Â Ò 1

p xd ” “ É r x\  ¦ “ ¦& ñ r &  Z  ~ “ ¦ ˜ Ѐ   (a 1 , a 2 , · · · , a N ) _  N 

"

é

¶ / B Nç ß –\ " f (N − 1) " é ¶ ¨ î €  Ü ¼– Ð ¸ ú ˜ 2 ; ô  ÇA á ¤ / B Nç ß –`  ¦
 

? /  H › ¸| Ü ¼– Ð ^  ¦ à º e ”  . s  ¨ î €  \  à ºf ” “  (normal) 7 ˜'   H (x, x ² − ¹ ₃ , x ³ , · · ·) s  .   É r x° ú כ“ É r   É r ¨ î €  `  ¦

 ? /“ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ “ ¦ 9 €  , (26)d ” \  _ K  Å Ò# Qt   H a _  /

B

Nç ß –“ É r Á ºô  Ç> h_  ¨ î €  \  _ K  ¸ ú ˜ 9t “ ¦ z Œ ™“ É r { 9 ^ ‰_  — ¸

€

ª œs  9   " f ^  ¦2 Ÿ ¤ô  Ç(convex) / B Nç ß –s  . Õ ª Q
 ¨ î €  `  ¦

 

& ñ   H B > h  à º x 
÷  r s “ ¦  â > \  ¦ t   H ½ ¨% i  î

ß –\ " f    o l  M :ë  H \ , ¨ î €  _  à ºf ” (nornal) 7 ˜' 
 

? /t  3 l w   H ~ ½ ӆ ¾ Ós  { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ” > r F   9, ¢ ¸ô  Ç z Œ ™“ É r { 9

^ ‰  H p ì  rÔ  ¦0 p x“   — ¸" fo ü < ° ú  “ É r  Òì  r`  ¦ t >   ) a  .

Table 1. Maximal fidelities for some spin numbers.

N F

max

1 2/3

2

³⁺₆^√3

3 0.8449

4 0.8873

5 0.9114

6 0.9306

7 0.9429

... ...

(27) d ” \ " f ^  ¦ à º e ”   H  ü < ° ú  s  F  7 £ x    H ~ ½ ӆ ¾ Ó

“

É r a / B Nç ß –\ " f d ≡ ( ¹ ₃ , 0, ¹ ₅ , · · ·) s  .   " f (26)Ü ¼– Ð

&

ñ _  ÷ &  H % ò % i  ×  æ F _  þ j@ /° ú כ`  ¦ Šҍ  H t & h “ É r { 9 ^ ‰ ³ ð

€ 

\ " f_  à ºf ”  7 ˜'  d ü < ¨ î ' Ÿ “   t & h s  . N = 2 “  

 â

Ä º  H s \  ¦ s 6   x # Œ þ j@ / F \  ¦ ~ 1 >  ½ ¨½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤ (x, x ² − ¹ ₃ )  ( ¹ 3 , 0) ü < ¨ î ' Ÿ “    â Ä º  H x = ± ^{√ 1} ₃ “   M :s 

“

¦, x\  K { © œ   H ¨ î €  s  ë ß –× ¼  H { 9 ^ ‰ ³ ð€   © œ_  0 Au   H x ü < x + dx– Ð y Œ •y Œ • & ñ _ ÷ &  H ¨ î €  (f ” ‚  )_  “ §& h Ü ¼– РÒ' 

½

¨K t Ù ¼– Ð, s [ þ t`  ¦ s 6   x # Œ F _  þ j@ /° ú כ`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ” 



. Õ ª  X < N ≥ 3 “    â Ä º  H (x, x ² − ¹ ₃ , x ³ ) s  ( ¹ 3 , 0, ¹ ₅ ) ü <

¨ î

' Ÿ  >  | ¨ c à º \ O   H  כ ° ú  s  { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ô  ¦ 0 p x  . 7 £ ¤ ] X

¨ î €  s  ” > r F  t  · ú §  H — ¸" fo & h \ " f F  þ j@ /“    â Ä º

\

 K { © œ “ ¦, : Ÿ x © œ_  K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x l \   H # Q 9

¹

¡

§ s    É r  .   " f, N ≥ 3 “    â Ä º\  @ /K " f  H à ºu & h 

“

  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð þ j@ /° ú כ`  ¦ ½ ¨ % i  .

›

¸|  (26)`  ¦ ë ß –7 á ¤   H a% ò % i s  ^  ¦2 Ÿ ¤ “ ¦ F  7 £ x  



 H ~ ½ ӆ ¾ Ó d — ¸Ž  H / B M \ " f { 9 & ñ Ù ¼– Ð, ² D G ™ è& h  þ j@ /° ú כ

`

 ¦ ° ú   H  â Ä º  H µ 1 ÏÒ q t t  · ú §“ ¦   " f  6 £ § õ  ° ú  “ É r ç ß – é

ß –ô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Е ¸ þ j@ /° ú כ t & h \  • ¸² ú ˜½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤ €  

$

 (26)_  1 p x   ñ\  ¦ ë ß –7 á ¤   H (7 £ ¤  â > €   ¢ ¸  H ? / Ò_  7 ˜ '

) a\  ¦ ¸ ú š  H  . þ j@ /° ú כ t & h s       â > €  \  • ¸² ú ˜ô  Ç

 â

Ä º s \  ¦ ? / Ò_  & h Ü ¼– Ð s 1 l x r v ÷ &  © œ ´ òõ & h “   0 A u

\  ¦ · ú ˜t  3 l w Ù ¼– Ð, { 9 é ß – a\  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ô  Ç & h { © œô  Ç Â Òx  l ^N î ß –\ " f (26)`  ¦ ë ß –7 á ¤   H e ” _ _ (random) # Œ Q 7 ˜'  a <sup>0</sup> <sub>k</sub> , (k = 1, · · · K) [ þ t`  ¦ ¸ ú š“ É r + ', y Œ •y Œ •`  ¦  â > €  \    

\

 ¦ M : t  d ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð s 1 l x r &  a ⁰⁰ k \  ¦ % 3   H  . % 3 “ É r a ⁰⁰ _k

×

 æ F _  ° ú כs  þ j@ /“    כ `  ¦ Y  J   s \  ¦ a – Ð Z  ~ “ ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ô  Ç .

0 Aü < ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç t & h _  & ñ x 9 • ¸  H @ /| Ä Ì l /K

^N1

&

ñ • ¸ ÷ &Ù ¼– Ð, z  ´] j\  e ” # Q" f  H Ì q t’  ÷ &  H a _  ‘  • ¸\ 



  l `  ¦ & h   ×  ¦ # Œ
 ´ òõ & h Ü ¼– Ð & ñ x 9 • ¸\  ¦ Z  } s • ¸2 Ÿ ¤

% i “ ¦ K  H & h _  x 9 • ¸\  ¦ “ ¦ 9 # Œ Ø  æì  r y  ß ¼>  % i  .

s

ü < ° ú  s  ½ ¨ô  Ç F _  þ j@ /° ú כ`  ¦ [Table 1] \ 
 ? /% 3  .

s

   õ \  ¦ Bagan 1 p x s  ½ ¨^ ‰& h  “   ï` ç /n  ï` ç ~ ½ ÓZ O 

`

 ¦ ƒ  ½ ¨ # Œ % 3 “ É r F _  þ j@ /° ú כõ  q “ §K  ˜ Ѐ   1 l x{ 9 † < Ê`  ¦

·

ú ˜ à º e ”  . 7 £ ¤ Bagan 1 p x“ É r (23), (24), (25) – Ð ) ‡6   x ÷ &  H E( ·)_  — ¸€ ª œ ×  æ þ j@ / F ° ú כ`  ¦ Šҍ  H  â Ä º\  ¦ z  ´] j– Ð ½ ¨‰ & ³ 



 H ½ ¨^ ‰& h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ ˜ Г    כ s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

V. + s Ç Â ] Ø

s

 © œÜ ¼– РÒ'  3 " é ¶ / B Nç ß –_  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ Û ¼— 2 ;-1/2  © œI [ þ t

`

 ¦ s 6   x # Œ „  ² ú ˜½ + É M :
 
  H ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ _  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í

\

 ¦ ½ ¨^ ‰& h “   ~ ½ ӆ ¾ Ót r  © œI 
 ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ õ & ñ `  ¦ & ñ t 

·

ú §“ ¦• ¸ † < Êà º— ¸€ ª œ t    & ñ ½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð% i  . 7 £ ¤ Û ¼— 2 ;



© œI _   r„    ¨ 8 Š \  @ /ô  Ç $ í | 9 õ  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í† < Êà º x 9 • ¸' Ÿ 

§ >

=\  @ /K  t   H ‚  + þ A$ í `  ¦ s 6   x # Œ S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í : £ ¤& ñ ô 

Ç † < Êà º — ¸€ ª œs  ÷ &# Q † < Ê`  ¦ ˜ Ð% i  . Õ ªo “ ¦ s – РÒ'  ~ ½ Ó

†

¾ ӄ  ² ú ˜_  Ø  æz  ´• ¸_  0 p xô  Ç þ j@ /° ú כ`  ¦ ½ ¨ % i  . ¢ ¸ô  Ç Õ ª

 

õ  Bagan 1 p x s  ½ ¨^ ‰& h “   ~ ½ ӆ ¾ Ót r  © œI 
 ~ ½ ӆ ¾ ÓÆ Ò& ñ õ & ñ \  @ /ô  Ç › ¸ \  ¦ : Ÿ x K  % 3 “ É r  כ õ  ° ú  6 £ §`  ¦ 4 Ÿ § Ü ¼– Ð+ ‹ % 3 

#

Q”   þ j& h _  S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í— ¸€ ª œs  ½ ¨^ ‰& h “   Ó ü t o & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ : Ÿ x K

 z  ´‰ & ³| ¨ c à º e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰ “   % i  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Peres and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 66, 1119 (1991); A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods (Kluwer, Dordrecht, 1995).

[2] S. Massar and S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 74, 1259 (1995).

[3] R. Derka, V. Buzek and A. K. Ekert, Phys. Rev. Lett.

80, 1571 (1998).

[4] N. Gisin and S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 83, 432 (1999).

[5] E. Bagan, M. Baig, A. Brey and R. Munoz-Tapia, Phys. Rev. Lett. 85, 5230 (2000).

[6] E. Bagan, M. Baig, A. Brey and R. Munoz-Tapia, Phys. Rev. A 63, 052309 (2001).

Probability Distribution of Guessed Directions in the Encoding/Decoding Method Using Spin

Yeong Deok Han ^∗ and Gi Ok Kim

Department of Physics, Woosuk University, Wanju-Gun, Cheonbuk 565-701 (Received 25 October 2004)

A direction can be encoded on spins and decoded by some measurements. The form of the prob- ability distribution of the guessed directions cannot be fixed without information on the concrete encoding/decoding method, but it is not arbitrary. We showed that, due to the rotational transfor- mation properties, there is some constraint on the functional form of the probability distribution.

Using these results, we calculate the maximal fidelities for some spin numbers.

PACS numbers: 03.65, 03.67

Keywords: Spin, Direction, Encoding, Decoding, Probability

∗

E-mail: [email protected]