T Å W ¥-• ¥² ¦ X U ê sX N ËÅ k Ä ù p § T “ Ó Þ” X ¢ -± Žù m ÇS ë s 4  ˜ m



T Å W ¥-• ¥² ¦ X  U ê sX N ËÅ k Ä ù p § T “ Ó Þ” X ¢  -± Žù m ÇS ë s 4  ˜ m

T

) o ?  ^∗

[

j" î @ /† < Ɠ § „  l „   / B N † < Æ Ò, ] j…  ; 390-230 (2005¸   1 Z 4 26{ 9  ~ à Î6 £ §)



s ’  H- à » à Ý   ~ ½ Ó& ñ d ” s  | 9 | ¾ Ó> í ß –`  ¦ 0 AK   6   x| ¨ c M :   ½ + Ë © œÃ º
 › ' aº   J  p ' _  ß ¼l \      s

X O  @ /g A$ í s  L :t   H t  <  ʓ É r # QÖ ¼ r & h \ " f L :# Qt   H t \  ¦ S X ‰ “  ½ + Éà º e ”  . ¢ ¸ô  Ç ‰ & ³ © œ : r& h Ü ¼– Ð & h 

½

+ Ëô  Ç  © œÃ º[ þ t õ  & h & ñ ô  Ç — ¸4 S q_  „   † < Êà º\  ¦ & ñ # Œ QCDë ß –`  ¦  6   x ½ + É  â Ä º ½ ¨$ í | 9 | ¾ Ó (Constituent mass) _  > í ß –s  0 p x  . lattice> í ß –õ   H ² ú ˜o  pcü < # 3 6   x ™ èá Ôà ÔJ ?# Q\  ¦  6   x # Œ > í ß –  õ \  ¦ ˜ Ðs 

“

¦  ô  Ç .

PACS numbers: 12

Keywords: Dyson-Schwinger, Dynamical Symmetry Breaking

I. " e  ] Ø

1

l x§ 4 † < Æ& h  @ /g A$ í L :f ” õ  ´ n u‰ & ³ © œ“ É r QCD _   © œ ×  æ כ

¹ô  Ç ¿ ºt  ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð, s [ þ t“ É r × ¼ : r Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ ´ òõ 

&

h Ü ¼– Ð [ O " î “ ¦ e ”  . \ V\  ¦ [ þ t # Q  Œ •“ É r | 9 | ¾ Ó_   s “ : r Û

¼º ú ˜   à Ô - \ O    H  z  ´s 
,  Ä » 3 $ß ¼ \ O    H



z  ´s  s \  ¦ z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð [ O " î ô  Ç . ° ú  “ É r ³ ð‰ & ³s t ë ß – ˜ Ð



 ~ 1 >  ´ ú ˜ô  Ç €   ! 9î  r 3 $ß ¼{ 9  [ þ t s  QCDü <  © œ  ñ Œ • 6

 

x # Œ 1 l x§ 4 † < Æ& h Ü ¼– Ð % 3 # Q”    H | 9 | ¾ Ó`  ¦ ° ú “ ¦, ì ø ̀  \  \ 



-t   H q ò ø Í$ í í ß –ê ø Íz  ´+ « >\ " f 3 $ß ¼[ þ t“ É r  _  | 9 | ¾ Ós 

\ O

  H1 p w s  ' Ÿ 1 l x ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç  H \  -t  & h   H  © œI \ " f 3 $ß ¼ ü

< / å J À ғ : r“ É r é ß –t  º ú ˜  \ O   H ½ ¨5 Å q  © œI – Ðë ß – µ 1 Ï| ÷ &“ ¦ e ”

 . s ü <° ú  “ É r QCD _  1 l x§ 4 † < Æ& h  : £ ¤$ í `  ¦ > í ß – l  0 Aô  Ç

~

½ ÓZ O Ü ¼– Ð Montecarlo simulation [1]õ  Dyson-Schwinger [2] ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ É Ò  H ¿ ºt  ~ ½ ÓZ O s  e ”  . „     H QCD _  q

[ O 1 l x : r& h “   ë  H ] j\  ¦ " é ¶ o & h Ü ¼– Ð ] X   H # Œ Û  ¦  9  H r • ¸

“

 X <, s \   H > í ß –`  ¦ 0 Aô  Ç ~ ½ Ó@ /ô  Ç ( Ž É Ó' \  ¦ s 6   x ô  Ç ” ¸§ 4  õ

, ƒ  5 Å q ^ ‰– Ð ˜ Ðs • ¸2 Ÿ ¤ l 0 Aô  Ç & h õ  Á ºô  Ç^ ‰& h \    É r Ô

 ¦S X ‰& ñ $ í s  z  ´] j> í ß –`  ¦ ] j€  • “ ¦ e ”  . DS ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r l 

‘

: r& h Ü ¼– Ð K $ 3 & h s “ ¦ ƒ  5 Å q ^ ‰ 0 A\ " f & ñ _ ÷ &# Q4 R e ”  .

Õ

ª Q
 s  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 2& h  Õ ª 2 ;† < Êà º\  @ /ô  Ç ƒ  w n ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼

–

Ð, ` …Ø Ôp “ : r õ  ˜ Д > r Õ ªo “ ¦ › ' aº   ) a =  G t & h \  @ /K  “ ¦

 À Òá Ô_  > í ß –`  ¦ כ ¹   H { 9 º  _  4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç } Û ¼% 7 ›`  ¦ + þ A$ í ô

 Ç . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð s \  ¦ Û  ¦ l 0 AK " f & h & ñ ô  Ç ansatz_    6

 

x`  ¦ : Ÿ x K  Ä »ô  Ç> h_  ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð = å S # Q? /# Q (truncated)

>

í ß – >   ) a   [3]. QCD > í ß –\ " f  © œ { 9 ì ø Í& h “   \ V

∗

E-mail: [email protected]



 H / å J À ғ : r _  „   † < Êà ºü < / å J À ғ : r- 3 $ß ¼_  =  G t & h † < Êà º\  ¦ & h  {

© œy  ‚  × þ ˜ # Œ 3 $ß ¼ „   † < Êà º\  @ /ô  Ç & h ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 



 H  כ s  .  © œ { 9 ì ø Í& h “   F ½ ©   o  ) a / å J À ғ : r „   † < Êà º



 H Ò  o/ B N ç ß – (color space)\ " f @ /y Œ •‚   כ ¹™ èë ß – ° ú   H / B N   (covariant) > s t s  . / B N  > s t   H ´ ú §“ É r  © œ& h s  e ”  .

\

V\  ¦ [ þ t # Q Slavnov-Taylor † ½ Ó1 p xd ” “ É r ×  æ כ ¹ô  Ç _ p \  ¦ ° ú   H X

<, / B N  > s t \  ¦  6   x ½ + É  â Ä º „   † < Êà º_  ”  ' Ÿ ~ ½ ӆ ¾ Ó $ í ì

 r (longitudinal)“ É r  © œ  ñ Œ •6   x \ _ K   7 t  · ú §  H   [4].

/

B N  > s t _  
– Ð Landau > s t   H / å J À ғ : r „   † < Êà º

 S $ í ì  r (transeversal) ë ß – ° ú >   ) a   [5]. Landau > s t 

\

  H ¢ ¸  É r  © œ& h s  e ”   H X <, s   H F ½ ©   oç  H _  “ ¦& ñ & h  Ü

¼– Ð > s t    p '     t  · ú §  H    H  z  ´s  . Õ ª



Q
 z  ´] j QCD ƒ  ½ ¨\ " f ì ø Í× ¼r  / B N  > s t  ‚    ñ÷ &



 H  כ “ É r  m  . ´ ú §“ É r  © œ& h \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ / B N  > s t   H

“

¦Û ¼à Ô { 9  ü < Faddeev-Popov ` …Ø Ôp “ : r determinant\  ¦

“

¦ 9K     H 1 p x z  ´] j > í ß –“ É r B Ä º 4 Ÿ ¤ ¸ ú š  .

"

é

¶ o & h Ü ¼– Ð # Q* ‹ô  Ç > s t \  ¦ æ ¼  H   H ë  H ] j | ¨ c à º\ O 



. Õ ª Q
 ¢ - a# 4 ô  Ç  Õ ª| ½ Ót î ß –`  ¦ — ¸ É r G    H  & h Ü ¼– Ð ] X 



 H ½ + É  â Ä º Ó ü t o & h     : r \  > s t _  ‚  × þ ˜s  % ò † ¾ Ó`  ¦ p } 9  Ã

º e ” 6 £ §`  ¦ Ä ºo   H % i ¿ º\  ¿ º# Q  ô  Ç . s   7 Hë  H \ " f  H / B N



 $ í `  ¦ { 9 t ë ß – s  Qô  Ç 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ x K  > í ß –½ + É Ã º e ”   H Ù ü t 2

Ÿ

x > s t  [6]\  ¦  6   x # Œ y © œ Œ •6   x (QCD) õ  „   €  • Œ •6   x (Electroweak) ë ß –`  ¦ “ ¦ 9½ + É M : 3 $ß ¼_  | 9 | ¾ Ós  \ O  



`

 ¦ t  > í ß –K  ˜ Г ¦  ô  Ç . ³ ðï  r — ¸+ þ A\ " f3 $ß ¼_  | 9 | ¾ ӓ É r Ä

»ü <† ½ Ó\  Å Ò# Q4 R e ” Ü ¼
, s   7 Hë  H \ " f  H Ä »ü <† ½ Ó`  ¦ Á

ºr  “ ¦ í  H à º y © œ Œ •6   x õ  „   €  • Œ •6   x ë ß –Ü ¼– Ð 3 $ß ¼_  | 9 | ¾ Ó

`

 ¦ 1 l x§ 4 † < Æ& h Ü ¼– Ð F Ò q t “ ¦  ô  Ç . ] j2] X \ " f  H > í ß –`  ¦ 0

Aô  Ç l ‘ : r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ & ñ “ ¦ 3] X \ " f  H QCD-EW ë ß –`  ¦ s 

-37-

6  

x ½ + É  â Ä º_  > í ß –`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . 4] X “ É r 3 $ß ¼| 9 | ¾ Ó`  ¦ à ºu & h  Ü

¼– Ð ´ ú Ø  ¦ à º e ”   H — ¸4 S q“ É r 0 p x ô  Çt  ¹ 1 Ô ^  ¦ כ s  . p t  }

Œ

•Ü ¼– Ð 5] X \ " f  H à ºu > í ß –_  õ & ñ õ  ë  H ] j& h `  ¦  Ž ž Ð 

 ’

x . Õ ª Q
 s    > í ß –“ É r   H‘ : r& h Ü ¼– Ð ô  Ç> \  ¦ ° ú `  ¦ à º µ 1 Ú

\

 \ O  .  =
 €   y © œ Œ •6   x õ  „   €  • Œ •6   x ë ß –Ü ¼– Ѝ  H 6 > h_ 

"

f– Ð  É r 3 $ß ¼\  ¦ ì  r o ½ + É ~ ½ Óî ß –s  \ O l  M :ë  H s  . s  Qô  Ç ë

 H ] j& h `  ¦  t } Œ • 4] X \ " f  7 H _   ’ x .

II.  -± Žù m ÇS ë s 4  ˜ m ù p §  ü” X ¢ Ž Ò ÞW Ä] K ¡X ì Ä { ¢¨ | 

1

l x% i † < Æ& h Ü ¼– Ð ë  H ] j\  ] X   H l  0 AK  3 $ß ¼_  | 9 | ¾ Ós  í  H Ã

ºy  1 l x% i † < Æ& h Ü ¼– Ð Ò q t$ í  ) a  “ ¦ & ñ  . s   H „   €  •



Œ

•6   x \  e ”   H Ä »ü <† ½ Ó`  ¦  6   x t  · ú §“ ¦ | 9 | ¾ Ó`  ¦ 1 l x% i † < Æ

&

h Ü ¼– Ðë ß – > í ß –   H  כ s  . €  $   s ’  H- à » à Ý   r Û ¼% 7 › _

 3 $ß ¼| 9 | ¾ ӓ É r ` …Ø Ôp “ : r „   † < Êà º\  ¦ S

_F⁻¹

(p) = A(p) γ · p − m(p) ü < ° ú  s  2 [ “ ¦  © œ  ñ Œ •6   x s  \ O   H " é ¶ „   

†

< Êà º(bare propagator)\  1 l x% i † < Æ& h  2 [t \  ´ ú >  " é ¶ | 9 

|

¾ Ó(bare mass)s  \ O  “ ¦ & ñ # Œ S

0⁻¹

(p) = γ · p  “ ¦

× þ

˜ €   ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ¸ ú ˜ · ú ˜ 9”    ü <° ú  s   6 £ § õ  ° ú   .

S

_F⁻¹

= S

₀⁻¹

+ Σ

= S

₀⁻¹

+ α · Z

d

⁴

k · Γ

µ

· S

F

· Γ

⁰_ν

· D

µν

. (1)



© œÃ º ፠ H   ½ + Ë © œÃ º_  ] jY  L \  q Y V   H ° ú כs “ ¦, =  G t & h 

†

< ÊÃ º Γ

^µ

ü < Γ

⁰µ

“ É r y Œ •y Œ • " é ¶(bare) ° ú כõ   © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ “ ¦ 9ô  Ç (dressed) ° ú כs  . D

^µν

  H : Ÿ x  © œ& h “   \ Vü < ° ú  s  7 ˜'  „   

†

< Êà ºs  . s  ~ ½ Ó& ñ d ” _  & h ì  r † ½ ӓ É r l ‘ : r& h Ü ¼– Ð  l \  - t

(self-energy)\  ¦ > p w  9 e ” y  · ú ˜ 9”    ü <° ú  s   6 £ § õ 

° ú

 “ É r + þ AI \  ¦ ° ú    H X < [7]

Σ = ig

²

4 · (2π)

⁴

Z

d

⁴

kD

_µν

((p − k)

²

)

× γ

µ

· (Aγ · k + m) · γ

ν

A

²

k

²

− m

²

(2) s

\  ¦ d ” (1)\  V , “ ¦ & ñ o  €  

A 6 p − m(p) = 6 p − ig

²

4 · (2π)

⁴

Z

d

⁴

k D((p − k)

²

)

× γ

µ

· (Aγ · k + m) · γ

µ

A

²

k

²

− m

²

(3) z

Œ

™“ É r õ & ñ “ É r d ” _  ý aÄ º\  ¦ ¶ ú ˜x # Q γ\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç † ½ Óõ  Õ ª X O

t  · ú §“ É r † ½ Ó`  ¦ ì  r o  # Œ A(p)ü < m(p)`  ¦ y Œ •y Œ • ¹ 1 Ô  ? /€  

 )

a  . Õ ª Q
 s  d ” `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ   €  $  γ\  ¦ Ÿ í† < Ê   H & h ì  r

†

½ Ós  l † < Êà º 6 k\  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ” # Q ´ ú §“ É r  Òì  r s  " f– Ð  © œ W

÷

&“ ¦ B Ä º Œ •“ É r € ª œë ß – z Œ ™  H    H  כ `  ¦ · ú ˜Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç s  d ” 

“ É

r / B N  $ í `  ¦ Ä »t  “ ¦ e ” # Q z  ´] j > í ß –_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ \ V © œ H

 ô  Ç . s \  ¦ 0 A # Œ Ù ü t2 Ÿ x > s t ü < Y > t  & ñ `  ¦  6   x

 ’ x . €  $  Ù ü t2 Ÿ x > s t   H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð  © œ  ñ Œ •6   x s  3 

"

é

¶ 7 ˜' ë ß –`  ¦  6   x “ ¦, Û ¼— 2 ;õ  › ' aº   # Œ" f  H 4- 7 ˜' _  0  P : $ í ì  r ë ß –`  ¦ “ ¦ 9ô  Ç . s   H f ” ² ú ˜ Œ •6   x (instantaneous interaction)`  ¦ [ O " î l  0 Aô  Ç { 9 ì ø Í& h “   Ù ü t2 Ÿ x  Œ •6   x _  $ í    s

 . 7 £ ¤ D

µν

(q

²

) = −g

µν

D(q

²

) _  0  P : $ í ì  r`  ¦ 3 " é ¶ 7 ˜ '

 D(q

²

)   “ ¦ 7 ˜' { 9  _  „   † < Êà º– Ð  6   x ô  Ç . s  ü

< ° ú  “ É r “ ¦ 9  † ½ Ó`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð €  •ç ß –_  @ /à º& h  ] X  \  ¦   5

g A(p)ü < m(p)`  ¦ ½ ¨K ˜ Ѐ  ,  6 £ § õ  ° ú  “ É r q ‚  + þ A ƒ  w n & h  ì

 r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s ê  r  .

A(p) = A(µ) + α Z

d

³

k

× [ p · k

p

²

D (q) − µ · k

µ

²

D (q

⁰

)] A(k) ω(k) , (4) m(p) = α

Z

d

³

k D (q) m(k)

ω(k) , (5)

#

Œl " f q = p − k, q

⁰

= µ − k – Ð+ ‹ y Œ •y Œ •  Œ •6   x î  r1 l x | ¾ Ó õ

 F ½ ©   o & h `  ¦
 ? /  H î  r1 l x | ¾ Ós  . D h– Ðî  r J  p  '

 ω(k) • ¸{ 9  ÷ &% 3   H X < s   H ω(k)

²

= A(k)

²

+ m(k)

²

Ü

¼– Ð+ ‹ { 9  _  8 ú x \  -t \  ¦ _ p ô  Ç .

3

$ß ¼ | 9 | ¾ Ó> í ß –_  l ‘ : r“ É r † < Êà º A(p)õ  m(p)\  ¦ > í ß – 



 H { 9 s  . ¢ ¸ô  Ç s  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  ¦ l  0 AK " f  H 7 ˜'  „   

†

< Êà º D(q)_  & ñ S X ‰ ô  Ç † < Êà º\  ¦ · ú ˜     H X < s  † < Êà º ¢ ¸ô  Ç 3

$ß ¼_  „   † < Êà º% ƒ! 3  & h ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð ƒ    ÷ &# Q e ” `  ¦÷  r



m   ‰ & ³ © œ : r& h Ü ¼– Е ¸ & ñ S X ‰ ô  Ç ° ú כs  Å Ò# Qt “ ¦ e ” t  · ú §



.   " f # Q‹ "  — ¸+ þ A_  D

µν

((p − k)

²

)\  ¦ æ ¼Ö ¼
 ¢ ¸ô  Ç Ã º u

K $ 3  © œ % ò † ¾ Ó`  ¦ p u “ ¦ e ”  . t F K  t _  d ” [ þ t“ É r Ó ü t o 

&

h

 : £ ¤$ í `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H & ñ $ í & h  ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð  f ”  > í ß –\  [  t { 9

 l  0 Aô  Ç Ã ºd ” “ É r  m  .

>

í ß –0 p x ô  Ç Ã ºd ” _  ô  Ç — ¸4 S q`  ¦ ¹ 1 Ôl  0 Aô  Ç ' Í   P :  Œ •\ O 

“

É r 7 ˜' „   † < Êà º_    & ñ s  .  7 H o & h Ü ¼– Ð & ñ S X ‰ ô  Ç 7 ˜' 

„

  † < Êà º  H QCD  Õ ª| ½ Ót î ß –s  Å Ò# Q4 R e ” 6 £ § \ • ¸ · ú ˜ 9 4

Re ” t t  · ú §€ Œ ¤ . “ ¦  À Òá Ô> í ß –s  € 9 כ ¹ “ ¦ y Œ • é ß –> _ 

>

í ß –   7 ˜' † < Êà º  ’  “ É r Ó ü t : r 3 $ß ¼„   † < Êà º t  { 9 § 4  Ü

¼– Ð € 9 כ ¹ l  M :ë  H s  . 3 $ß ¼_  „   † < Êà º  H · ú ¡\ " f ƒ   /

å

L ô  Ç † < Êà º\  ¦ “  6   x ½ + É Ã º e ”  . / å L& h  > í ß –`  ¦ ç ß –é ß –y  ½ + É Ã

º e ” • ¸2 Ÿ ¤ 7 ˜' † < Êà º\  ¦ > í ß –`  ¦ : Ÿ x K  % 3 l ˜ Ð   H s  : r& h  כ

¹½ ¨ † ½ Óõ  ‰ & ³ © œ : r& h  כ ¹½ ¨ † ½ Ó`  ¦ ° ú ð  r † < Êà º\  ¦ ¹ 1 Ô  @ / { 9

`  ¦ €   > í ß – © œ_  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í õ  è ß –Ð  o © œ`  ¦ # QÖ ¼& ñ • ¸ F G4 Ÿ ¤

“ ¦ 3 $ß ¼ | 9 | ¾ Ó\  @ /ô  Ç Ã ºu K \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . " f : r \ " f

ƒ

 / å LÙ þ ¡1 p w s  { 9 ì ø Í& h “   / B N  > s t   H  6 £ § õ  ° ú   .

D

^µν

(q

²

) = [(g

^µν

− q

^µ

q

^ν

q

²

) 1

1 − Π(q

²

) + ξ q

^µ

q

^ν

q

²

] (6)

Fig. 1. M (p

²

) vs. p

²

based on Coloumb gauge using linear potential, 3D propagator,with bare vertex.

d ”

(6)\ " f Π(q

²

)  H 7 ˜' { 9  “   / å J À ғ : r _  ”  / B N¼ # F G (Vac- uum Polarization) s  9, ξ  H > s t    p ' s  . ë ß –{ 9  Ä

ºo  & ñ S X ‰ ô  Ç Π(q

²

)\  ¦ ½ ¨½ + Éà º e ”  €   ë  H ] j  H \ O  . Õ ª



Q
 Π(q

²

)  H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 3 $ß ¼ „   † < Êà ºü < † < Êa  Bethe- Salpeter & h ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  [8]Ü ¼– Ð ƒ    ÷ &# Qe ”  . s \  ¦ [ O 1 l x



: r& h Ü ¼– Ð ] X   H €   > í ß –“ É r Á ºô  Ç À Òá Ô\   4 R! Qo “ ¦ ë ß –



. ´ òõ & h “   ~ ½ ÓZ O “ É r 7 ˜'  „   † < Êà º D(q)\  ¦ z  ´+ « >& h    z 

´– РÒ'    H   o   H  כ s  . ë  H ] j ÷ &  H t % i “ É r î  r1 l x

|

¾ Ós   Å Ò  Œ • 
 B Ä º  H t % i s  . î  r1 l x | ¾ Ós  B Ä º  Œ •

“ É

r  â Ä º\  „   † < Êà º Ä »ô  Ǔ  t  <  ʓ É r Á ºô  Ǔ  t   H, ™ è0 A

&

h ü @‚   : £ ¤ s & h (infrared singularity)\  › ' a ô  Ç ë  H ] j– Ð+ ‹ þ j



 H lattice simulation   õ   H Ä »ô  Ç{ 9  0 p x$ í `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”

Ü ¼
, 3 $ß ¼ s _  Ÿ íJ $ ™[ > s    H 8 £ ¤€  \ " f  H ½ ¨5 Å q  © œI 

\

 ¦ [ O " î l  0 A # Œ š ¸y  9 Á ºô  ǵ 1 Ïí ß –s  ‚    ñ÷ &“ ¦ e ”   [9]. î  r1 l x | ¾ Ós   H t % i \ " f  H  ü @µ 1 Ïí ß – (ultraviolet diver- gence)\  ¦ K    l  0 AK  F ½ ©   o_  כ ¹½ ¨› ¸| `  ¦ à º6   x 

€

   ) a  . s ü <° ú  “ É r כ ¹½ ¨› ¸| `  ¦ “ ¦ 9 # Œ  6 £ § õ  ° ú  “ É r d ” 

`

 ¦ 7 ˜'  „   † < Êà º– Ð G 6   x K ˜ Ð .

D(q) = Λ

²_low

q

⁴

+ G · Q

q

²

+ Λ

²_high

· ( 1 b + log(1 +

_Λ^q₂²

high

) ) . (7) s

 d ” “ É r & h ü @µ 1 Ïí ß –`  ¦
 ? /  H q

⁻⁴

† ½ Óõ   ü @µ 1 Ïí ß –`  ¦ : Ÿ x ] j

l  0 A # Œ F ½ ©   oô  Ç log † ½ Ó_    ½ + ËÜ ¼– Ð ^  ¦ à º e ”  .

q

⁻⁴

† ½ ӓ É r ‰ & ³ © œ† < Æ& h Ü ¼– Ð ´ n u‰ & ³ © œ`  ¦
 ? /  H ‚  + þ A Ÿ íJ $ ™ [ >

`  ¦
 ? / 9, î  r1 l x | ¾ Ós   Œ •“ É r t % i `  ¦ Šҕ ¸ô  Ç . Ê ê   H F

½ ©   o_  כ ¹½ ¨› ¸| \     î  r1 l x | ¾ Ós   H t % i _  & h   H

&

h   Ä »• ¸\  ¦
  · p .

III. V ê sM  { ¢¨ | ; c   \ ¥ • ¤V A 0V Ä

· ú

¡ ] X \ " f s p  ƒ  / å L ÷ &% 3 1 p w s  A(p)_  & h ì  r † ½ ӓ É r   _

 0\  ] X   H ½ + É כ Ü ¼– Ð l @ /  ) a  . z  ´] j > í ß –\  e ” # Q" f  H

Fig. 2. M (p

²

) vs. p

²

based on various vertices with covariant gauge.

A(µ)\  ¦ 1 – Ð × þ ˜½ + Éà º e ” l  M :ë  H \  d ” (4)ü < d ” (5)\  ¦ ƒ  w n Ü ¼

–

Ð Û  ¦ l ˜ Ð   H A(p) = 1 – Ð Z  ~ “ ¦ Û  ¦% 3 `  ¦  â Ä º | 9 | ¾ Ó> í ß –

\

  H % ò † ¾ ӓ É r \ O % 3  . z  ´] j– Ð A(p)\  ¦ m(p) ü < † < Êa  ƒ  w n 

&

h

ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð Û  ¦% 3 `  ¦  â Ä º A(p)  H F  g# 3 ô  Ç # 3 0 A_  p\ 

 

5 g   H  & h Ü ¼– Ð 1\   î  r ° ú כ`  ¦ î ß –& ñ & h Ü ¼– Ð ˜ Ð# Œï  r  .

A(p)\  ¦ 1 – Ð “ ¦& ñ r ( ” \     > í ß –õ  › ' aº   á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›“ É r @ /

;

Ÿ

¤ ç ß –™ è o  ) a  .



6 £ § Ü ¼– Ð z  ´] j> í ß –\  e ” # Q" f  © œ ë  H ] j ÷ &  H  כ “ É r 7 ˜' „   † < Êà º_  : £ ¤ s & h `  ¦ # Qb  G>  % ƒo  Ö ¼
 s  . ë ß – { 9

 F (q)\  ¦ D(q) _  & h ü @‚   : £ ¤ s & h   Òì  r _  y Œ •\  @ /ô  Ç & h  ì

 r s   “ ¦ ¼ # _  © œ R

k

= m(k)/w(k) – Ð Z  ~ Ü ¼€    6 £ § õ

 ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð & h ì  r`  ¦ Ä »ô  Ç >  › ¸& ñ ½ + Éà º e ”  .

Z

F (q)R

k

k

²

dk = ( Z

p−δ

0

+ Z

∞

p+δ

)F (q) · R

k

· k

²

dk

∼ Z

∞

0

F (q) · (R

k

− R

p

) · k

²

dk

+ R

p

· ( Z

p−δ

0

+ Z

∞

p+δ

)F (q) · k

²

dk

∼ Z

∞

0

F (q) · (R

_k

− R

_p

) · k

²

dk + 3 π

²

R

_p

. (8)

s

ü <° ú  “ É r à ºu K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O “ É r δ _  ± ú š1 p q ½ + Éë ß –ô  Ç F  g# 3 ô  Ç # 3  0

A\    5 g î ß –& ñ & h Ü ¼– Ð $ í w n  ) a  .  z  ´ © œ : £ ¤ s & h  Šҁ  _ 

&

h

ì  r ° ú כ`  ¦ & ñ   H X <  H e ” _ $ í s  e ”   H X < s   H š ¸y  9 à º u

K $ 3 & h Ü ¼– Ð Ä »6   x ô  Ç כ Ü ¼– Ð ó ø Í" î ÷ &% 3 Ü ¼ 9 | 9 | ¾ ӓ É r s ü <

° ú

 “ É r & h ü @µ 1 Ïí ß –_  › ¸& ñ ~ ½ ÓZ O  (subtraction scheme)\  ß ¼>  _

” > r t  · ú §  H    H  z  ´`  ¦ à ºu & h ì  r`  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜Ã ºe ”  .



6 £ § Ü ¼– Ð   ½ + Ë © œÃ ºü < D(q)_  ‰ & ³ © œ† < Æ& h  כ ¹½ ¨\  ¦ ë ß –7 á ¤ r  v

l 0 Aô  Ç  © œÃ º° ú כ_  S X ‰& ñ s  € 9 כ ¹  . ‰ & ³F   Õ ª| ½ Ót î ß –

“ É

r y © œ§ 4  
ë ß –`  ¦ “ ¦ 9 “ ¦ e ” Ü ¼Ù ¼– Ð d ” (5)ü < (7)– ÐÂ Ò '

 αGQ F ½ ©   o_  › ¸| õ  ´ ú   b  # Qt • ¸2 Ÿ ¤   & ñ ½ + É Ã

º e ”  . α\  ¦   & ñ   H ~ ½ ÓZ O \   H Õ ª µ 1 Ú\ • ¸ d ” (5)_  K 

 î  r1 l x | ¾ Ó p  & y Œ ™\     m(p) ∼ m/p

²

÷ &• ¸2 Ÿ ¤   & ñ

½

+ É Ã º• ¸ e ”  . ‘ : r > í ß –\ " f  H Ê ê _   â Ä º\  ¦ × þ ˜ % i Ü ¼ 9

αGQ = 1/(2π) s  . Λ

low

ü < Λ

high

  H ‰ & ³ © œ : r& h Ü ¼– Ð   

&

ñ  ) a  . αΛ

^low

  H QCD ‚  + þ A Ÿ íJ $ ™[ > _  > à ºs  9, Gü < b  H p   Œ • | 9 M : D(q)_  ¿ º  P : † ½ Ós  1/(q

²

+ Λ

²_high

) s  ÷ &# Q



 ô  Ç   H  z  ´`  ¦ s 6   x ½ + É Ã º e ”  . Λ

^low

ü < Λ

^high

\  ¦ ° ú   

“

¦ & ñ ô  Ç  â Ä º e ” % 3  . Õ ª Q
 ¿ º J A p '  ‚  + « >& h  Ü

¼– Ð ° ú  `  ¦ s Ä »  H \ O  .  z  ´ © œ Λ

^high

  H : Ÿ x  © œ& h “   QCD _

 scale mass (Λ

high

= 0.15 Gev) – Ð Õ ªo “ ¦ Λ

low

3 $ß ¼| 9 

|

¾ Ós  ½ + Ëo & h “   ° ú כ`  ¦ ° ú • ¸2 Ÿ ¤ › ¸& ñ ½ + Éà º e ”  . s [ þ t — ¸Ž  H כ ¹

™

è\  ¦ y Œ ™î ß – €    6 £ § õ ° ú  s  X <s  \  ¦ S X ‰& ñ t `  ¦ à º e ”  .

α = 0.037 Λ

_low

= 0.74Gev Λ

_high

= 0.15 G = 4 b = 2 Q = 1.075 t

F K  t   H | 9 | ¾ ÓÒ q t$ í \  Šҕ ¸& h  % i ½ + É`  ¦ ½ + É y © œ§ 4  

ë ß –`  ¦  À Ò# Q M ® o  . Õ ª Q
 z  ´] j– Ѝ  H „   €  • Œ •6   x s  SU (2)

_L

× U (1)

Y

 e ” # Q , (u,d), (c,s), (t,b)ç ß –_  isospin`  ¦ V , `  ¦ à º e ”  . Ó ü t : r €  • Œ •6   x“ É r   ½ + Ë © œÃ º  Œ • 

| 9

| ¾ Ó\  p u   H % ò † ¾ ӓ É r  Å Ò & h `  ¦  כ s  . „   €  • Œ •6   x _ 

>

s t  { 9  _  „   † < Êà º– Ѝ  H ¸ ú ˜· ú ˜ 9”    6 £ § † < Êà º– Ð Ø  æ ì

 r  .

F (q)

EW

= 1

q

²

+ m

²_v

. (9) Å

Ò_ ½ + É  כ “ É r  Œ •\ O s  3 " é ¶ \ " f s À Ò# Qt “ ¦ e ” Ü ¼ 9, : £ ¤ y  F 

g  “    â Ä º m

^v

= 0 s  . ¢ ¸ô  Ç s  d ” \  – ÐÕ ª† ½ Ós  \ O   H

 כ

`  ¦ è  H # Œ  ^  ¦ € 9 כ ¹ e ”   H X <, s   H „   €  • Œ •6   x s  & h   H

&

h   Ä »• ¸\  ¦ ° ú žt  · ú §l M :ë  H s  .

ë

ß –{ 9  Ä ºo  QCDü < „   €  • Œ •6   x ë ß –`  ¦ “ ¦ 9 # Œ, 3 $ß ¼ _

 | 9 | ¾ Ó`  ¦ > í ß –ô  Ç €   (u,d)ç ß –_  | 9 | ¾ Ó   H % 3 `  ¦ à º e ” `  ¦

 כ

s  . Õ ª Q
 [ j@ /ç ß –_  | 9 | ¾ Ó  7 £ ¤ (u,d), (c,s), (t,b) _ 

| 9

| ¾ Ó   H % 3 `  ¦ à º \ O  . { 9 é ß – à ºu  © œ s  Qô  Ç ë  H ] j& h `  ¦ y

Œ

•š ¸ “ ¦, 0 A\ " f [ O " î ô  Ç ‰ & ³ © œ† < Æ& h  J  p ' [ þ t`  ¦ t 

“

¦ | 9 | ¾ Ó`  ¦ > í ß –K  ˜ Ѐ    6 £ § õ  ° ú  “ É r   õ \  ¦ % 3   H  (Fig.

1, 2 ‚ à Л ¸).

' Í

  P : Õ ªa Ë >“ É r ‘ : r ƒ  ½ ¨_  > í ß –   õ – Ð+ ‹ Ù ü t2 Ÿ x > s t 

\ " f î  r1 l x | ¾ Ós   Œ •“ É r t % i \ " f ‚  + þ A Ÿ í_ …[ > `  ¦ X <s   o

% i “ ¦, 3D „   † < Êà º\  ¦ s 6   x # Œ | 9 | ¾ ӆ < Êà º M(x) > í ß –

÷

&% 3  . ì ø ̀  \  ¿ º  P : Õ ªA á ԍ  H / B N  > s t  ü < Y > t 



 É r =  G t & h  † < Êà º_  “ §& ñ `  ¦ ô  Ç > í ß –õ  lattice > í ß –   õ

 † < Êa  ³ ðr ÷ &# Q à ºu K \  ¦ q “ §½ + Éà º e ”   [11]. s  X <

s

   H ¿ ºt  ×  æ כ ¹ô  Ç €  \ " f  z  ´õ   ҽ + Ë “ ¦ e ”  . 

  H 3 $ß ¼_  | 9 | ¾ Ós  î  r1 l x | ¾ Ós  0{ 9 M : 7 £ ¤ m(0) ≈ 350M ev

“

 X < s   H 3 $ß ¼_  s  É r   ½ ¨$ í | 9 | ¾ Ó (constituent mass)ü <

>

h| Ä Ì& h Ü ¼– Ð { 9 u ô  Ç . ¿ º  P :  H y © œ Œ •6   x _  & h   H& h   Ä »



: r \     \ V © œ  ) a  ü < ° ú  s  1 l x% i † < Æ& h “   | 9 | ¾ Ós  & h   H& h  Ü

¼– Ð @ /| Ä Ì q

²

\  ì ø Íq Y V # Œ y Œ ™™ èô  Ç   H  z  ´s  à ºu & h Ü ¼

–

Ð > í ß –_   { © œ$ í `  ¦ ˜ ÐI Šғ ¦ e ”  . ô  Ǽ #  s  X <s    H Ä »



ô  Ç  s ’  H- à » à Ý   ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s ü < q “ § €   Ä » ô  Ç K 

 % 3 # Q& ’ 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . š ¸ É rA á ¤ Õ ªA á ԍ  H / B N  > s t 

\

 ¦ s 6   x “ ¦ Y > t   Ø Ô>  “ §& ñ  ) a =  G t & h  † < Êà º\  ¦  6   x Ù þ

¡`  ¦ M :_  Õ ªA á Ôs  . Õ ª Q
 s ü <° ú  “ É r > í ß –_  à ºu K 



 H  f ”  Ó ü t o & h Ü ¼– Ð _ p e ”  “ ¦ ^  ¦ à º  H\ O  ,  8Ä ºl  s 

>

í ß –“ É r 3 $ß ¼_  [ j@ / \  ¦ [ O " î ½ + Éà º \ O l  M :ë  H s  .

IV. U(1) { ¢¨ | Ê Ý • ¥( a -± Ž { ¢¨ | 

j Ë

²Û ¼{ 9  _  • ¸¹ ¡ §\ O s  3 $ß ¼| 9 | ¾ Ó_  [ j@ / \  ¦ [ O " î l  0

Aô  Ç s  : r“ É r ‰ & ³F  · ú ˜ 94 R e ” t  · ú § . Õ ª Q
 t F K  t  1 l x

%

i † < Æ& h Ü ¼– Ð | 9 | ¾ ÓÒ q t$ í `  ¦ r • ¸Ù þ ¡~   s  : r[ þ t \ " f ˜ Ѐ Œ ¤1 p w s  3

$ß ¼ü < 7 ˜'  { 9  [ þ t _  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ ´ ú Æ Òl  0 AK " f  H ‰ & ³ F

 · ú ˜ 9”   y © œ§ 4 (QCD)˜ Ð   s `’    8 y © œ§ 4 ô  Ç  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦

€ 9

כ ¹– Ð ô  Ç . Õ ª Q
 ‰ & ³ © œ : r _  ] jô  Ç`  ¦  Œ ™r  ] X # Q¿ º“ ¦ é ß – t

 3 $ß ¼ Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 ë ß –`  ¦ ë ß –7 á ¤ r v l  0 Aô  Ç > í ß –“ É r \ O `  ¦  

  H | 9 ë  H`  ¦ ½ + Éà ºe ”  . Family Interaction`  ¦ % i ¿ º\  ¿ º

“

¦ U(1)

F

 Œ •6   x`  ¦ Ò q ty Œ •½ + Éà º e ”  .   É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ѝ  H 80¸  

@

/\  1 p x  © œÙ þ ¡~   _ …ß ¼m º ú ˜  (TechniColor)s  : r [10] ° ú  s 

œ

íy © œ§ 4  (Super Strong)  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ & ñ K  ˜ Ѝ  H  כ s  .

U (1)

F

 © œ  ñ Œ •6   x _  • ¸{ 9 “ É r { 9 é ß –  7 H o & h Ü ¼– Ð é ß –í  H  .

D

h– Ðî  r ` …Ø Ôp “ : r`  ¦ & ñ t  · ú §“ ¦  6 £ § õ  ° ú  “ É r  Õ ª| ½ Ó t

î ß –`  ¦ “ ¦ 9ô  Ç .

L = L

gauge

+ q

L

· (i 6 ∂ − gγ · A

^a

L

a

) · q

L

+ q

_R

· (i 6 ∂ − gγ · A

^a

R

_a

) · q

_R

. (10) L

_a

ü < R

a

  H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ° ú  t  · ú §Ü ¼ 9 QCD, EWü < † < Êa  e ”

`  ¦ M : q & ñ  © œÃ º  © œ W (anomaly cancellation)\  _  # Œ ]

jô  Ç~ à Î>   ) a  . s   â Ä º à ºu > í ß –“ É r _ p  \ O  .  =
 

€

  s  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 3 $ß ¼| 9 | ¾ Ó`  ¦ > í ß – l 0 Aô  Ç Ø  æì  r ô  Ç  Ä »

•

¸ e ” # Q s \  ¦ & h { © œy  › ¸& ñ €   € 9 כ ¹ô  Ç ° ú כ`  ¦ ‚ ½ ÓØ  ¦ ½ + É Ã º e ”

l  M :ë  H s  . Õ ª Q
 7 ˜' | 9 | ¾ Ó\  @ /K  z  ´+ « >& h  › ¸| s 

K t   H X <, s   H p t _  | 9 | ¾ Ós  ‰ & ³F _  z  ´+ « > 0 p x# 3 0 A µ

1 ÚÜ ¼– Ð
  ô  Ç   H › ¸| s  . ¢ ¸ô  Ç 7 ˜' { 9  _  „   

†

< Êà º  H  6 £ § õ  ° ú  “ É r ç ß –é ß –ô  Ç + þ AI \  ¦  6   x ½ + Éà º e ”   H  .

F

₂

(q

²

) = 1

q

²

+ M

_v²

. (11) s

  H â ì2 £ §  ½ + Ë © œÃ º (running coupling constant)_  ´ òõ 

 & h   H& h   Ä »• ¸ \ O # Q Á ºr  | ¨ c à º e ” l  M :ë  H s  . ì ø ̀  

\

 U(1)— ¸4 S q“ É r î  r1 l x | ¾ Ós   H t % i \ " f & h ì  r`  ¦ à º§ 4 r v  l

 0 A # Œ & h { © œô  Ç = å S # Q! Qa Ë > (cutoff)s  € 9 כ ¹  . Õ ª Q
 t

F K  t _  ` …Ø Ôp “ : r \  @ /ô  Ç 1 l x§ 4 † < Æ& h  “ ¦ 9\  ¦ 7 ˜' | 9 | ¾ Ó

`

 ¦ ½ ¨   H X <\ • ¸ & h 6   x ô  Ç €     ² D G Z …_ …-¶ ú ˜x '  ~ ½ Ó& ñ d ”  õ

 ƒ  w n Ü ¼– Ð ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ # Q    H X <, ‰ & ³F  t  ` …Ø Ôp “ : r _

 | 9 | ¾ Óõ  7 ˜' _  | 9 | ¾ Ós  1 l x r \  1 l x§ 4 † < Æ& h Ü ¼– Ð [ O " î ÷ &



 H  © œ  ñ Œ •6   x“ É r µ 1 Ï| ÷ &t  3 l w “ ¦ e ”  . U(1)— ¸4 S qs  é ß –í  H y

 à ºu & h Ü ¼– Ð ` …Ø Ôp “ : r | 9 | ¾ Ó`  ¦ ´ ú Æ Òl 0 Aô  Ç ~ ½ Ó¼ # s  €  , Ã

»( 3 $ß ¼ — ¸4 S q“ É r 1 l x§ 4 † < Æ& h Ü ¼– Ð  8¹ ¡ ¤ ‚    ñ÷ &“ ¦ e ”  . s 

—

¸4 S q“ É r 80¸  @ / œ íl \  Ä »' Ÿ Ù þ ¡~   TechniColor s  : r õ  Ä »



  . U(1)_  — ¸4 S q_   â Ä º ` …Ø Ôp “ : r õ  > s t  { 9  \  ¦ 1

l

x r \  1 l x% i † < Æ& h Ü ¼– Ð ë ß –7 á ¤ r v   H  כ s  # Q§ >    H  z  ´s  t

& h ÷ &% 3   H X <, à »( 3 $ß ¼ — ¸4 S q“ É r s  & h \  e ” # Q" f Ä »ƒ   

>

 @ /% ƒ ½ + Éà º e ” Ü ¼
 D h– Ðî  r ` …Ø Ôp “ : r`  ¦  © œ& ñ K  ô  Ç 



 H  Ò{ Œ ™`  ¦ î ß –>   ) a  . à »( — ¸4 S q_  l ‘ : r& h “   & ñ “ É r QCD ü < ° ú   . s & h “ É r é ß –t   © œ  ñ Œ •6   x  © œÃ ºü < | 9 | ¾ Ó_  Û ¼H { 9  s

  s `›    8 9 þ t÷  r s    H  z  ´s  . é ß –í  H >   Õ ª| ½ Ót î ß –

`

 ¦ ³ ðr K ˜ Ѐ    6 £ § õ  ° ú   .

L = L

SM

+ Q · γ

µ

· Q · V

^µ

+ X

i

(Q · gΓ

_µi

· q

_i

+ q

_i

· gΓ

⁰_µi

· Q) · S

^µ

. (12)

#

Œl " f Q = (U, D) q

ⁱ

= (u

i

, d

i

) s  . @ /ë  H   Q  H à »(  3

$ß ¼s “ ¦, ™ èë  H   3 $ß ¼ü < “   oÛ ¼ i  H Ó ü t : r : Ÿ x  © œ& h “   3 $ ß

¼ü < [ j@ /\  ¦ _ p ô  Ç . V{ 9    H L :t t  · ú §  H í  H à ºô  Ç 7 ˜ '

 Œ •6   x s “ ¦ S{ 9    H à »( 3 $ß ¼-{ 9 ì ø Í3 $ß ¼ü <   ½ + ˽ + É Ã º e ” 



.

ô

 Ǽ #  à »( 3 $ß ¼ ” > r F ô  Ç €   { 9 ì ø Í& h “   3 $ß ¼
 > s  t

 { 9  _  _   ^ ‰\  -t  > í ß –\  e ” # Q ? /Â Ò À Òá Ô > í ß –

`

 ¦ ½ + ÉM : à »( 3 $ß ¼Š © œ`  ¦ V , 6 £ § Ü ¼– Ð+ ‹ 3 $ß ¼ü < €  • Œ •6   x > s  t

 { 9  _  | 9 | ¾ Ó`  ¦ — ¸¿ º 1 l x% i † < Æ& h Ü ¼– Ð í ß –Ø  ¦ ½ + Éà º e ”   H >  l

\  ¦ ë ß –[ þ t à º e ”  . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ѝ  H ´ ú §“ É r ë  H ] j ] jl  | ¨ c à º e ”

 . \ V\  ¦ [ þ t€   W, Z ü < Á º î  r 3 $ß ¼_  Y  J × ¼Û ¼— : r ˜ Д > r õ

   ½ + Ëë  H ] j, ¢ ¸ à »(  3 $ß ¼\  ¦ { 9 ì ø Í 3 $ß ¼% ƒ! 3  & ñ ½ + ÉM : µ 1 Ï Ò q

t½ + É Ã º e ”   H [ O e ”  (mixing)`  ¦ # Qb  G>  [ O & ñ K     H t 

\

 @ /ô  Ç z  ´+ « >& h s  
 s  : r& h  7 £ x    H \ O  .  8¹ ¡ ¤ s  ë  H ] j



 H à »( 3 $ß ¼ü < Õ ª[ þ t _  > s t  { 9   ë ß –7 á ¤ “ ¦ e ”   H  © œ  

ñ Œ •6   x _  @ /g A$ í s  L :4 R ³ ðï  r — ¸4 S q– Ð ? / 9`  ¦ M : @ /g A$ í L

:f ” \    É r Y  J × ¼Û ¼— : r- ˜ Д > r s  µ 1 Ï| ÷ &t  · ú §“ ¦ e ”   & h s 



. ‰ & ³F  ‰ & ³ © œ† < Æ& h Ü ¼– Ð _ …ß ¼m º ú ˜  s  : r s 
 Ã »( 3 $ß ¼ s

 : r`  ¦ & ñ { © œ o ½ + É # Q* ‹ô  Ç z  ´+ « >& h    H  • ¸ µ 1 Ï| ÷ &t  · ú §“ ¦ e ”

  H z  ´& ñ s  .

V.  ¹ Å= kX ì Äß Ã Å 4  ˜ mÊ ÝX N ËÊ Ý + s Ç Â ] Ø

0

A\ " f ƒ  / å L ô  Ç €  •& h `  ¦ y Œ ™Ã º “ ¦ > í ß –K ‘ : r   õ  QCD ü

< „   €  • Œ •6   x ë ß –`  ¦ s 6   x # Œ > í ß –Ù þ ¡`  ¦ M : s  É r   3 $ß ¼ _

 Ù þ ˜  ? /\ " f_  ½ ¨$ í | 9 | ¾ Ó (Constituent mass)õ  ° ú  “ É r

° ú

כ`  ¦ % 3 % 3  . QCD  H > í ß –\  e ” # Q  © œ ×  æ כ ¹ô  Ç Â Òì  r Ü ¼

–

Ð U(1)— ¸4 S q\ " f• ¸  © œ Ù þ ˜d ” & h  > í ß –  † ½ Ós  9, à »( 3 $ ß

¼— ¸4 S q\ " f  H QCD  H Ó ü t : r QCD ü < 4 Ÿ ¤  ó ø ͓   à »( QCD _

 > í ß –s  › ' a d ” _  œ í& h s   ) a  . à ºu > í ß –_   © œ  H ë  H ] j



 H î  r1 l x | ¾ Ós  0“    â Ä º & h ü @µ 1 Ïí ß –õ   ü @µ 1 Ïí ß –_  % ƒo õ & ñ s

 . s  õ & ñ “ É r 2  © œ\ " f [ O " î ÷ &# Q& ’  . d ” (7)`  ¦  r  ˜ Ð

€

  î  r1 l x | ¾ Ó_  45 p x \  ì ø Íq Y U   H ' Í   P : † ½ Óõ  25 p x \  ì ø Íq  Y

V  9 – ÐÕ ª† ½ Ó`  ¦ ”   ¿ º† ½ Ó_    ½ + ËÜ ¼– Ð ÷ &# Qe ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜

“

¦ e ”  . s   H î  r1 l x | ¾ Ós   Œ •“ É r t % i õ   H t % i \ " f_  z  ´+ « >

&

h Ü ¼– Ð · ú ˜ 9”    z  ´[ þ t`  ¦ ¸ ú ˜ ì ø Í% ò   H † < Êà ºs  . ¢ ¸ô  Ç & h  {

© œô  Ç   ½ + Ë © œÃ º_  ‚  × þ ˜“ É r 1 l x§ 4 † < Æ& h  | 9 | ¾ Ós  î  r1 l x | ¾ Ó_  ] j Y

 L \  ì ø Íq Y V • ¸2 Ÿ ¤ [ O & ñ ½ + É Ã º e ” % 3  .

&

h

ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  à ºu K   H ì ø Í4 Ÿ ¤ > í ß – (iteration)`  ¦ : Ÿ x K  s

À Ò# Q”   . þ jœ í\  & h { © œô  Ç œ íl ° ú כ`  ¦ | 9 | ¾ Ó° ú כÜ ¼– РŠғ ¦

&

h

ì  r`  ¦ €   D h– Ðî  r | 9 | ¾ Ó° ú כs  > í ß –÷ &# Q
“ : r  .  r  s 

| 9

| ¾ Ó° ú כ`  ¦ D h– Ðî  r œ íl ° ú כÜ ¼– Ð ç ß –Å Ò # Œ & h ì  r`  ¦ €   ¢ ¸



r  D h– Ðî  r | 9 | ¾ Ó° ú כ`  ¦ % 3 “ ¦,  r  s  õ & ñ `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ ô  Ç .

õ

& ñ “ É r δm/m = 0.001 \  s \  ¦ M : t  ì ø Í4 Ÿ ¤`  ¦ > 5 Å q ô  Ç .

Ä

ºo   6   x   H  © œ  ñ Œ •6   x“ É r r ç ß –\  1 l qw n e ” Ü ¼– Ð î  r1 l x | ¾ Ó

\

 @ /ô  Ç / B N ç ß –& h ì  r“ É r / B N ç ß – $ í ì  r ë ß –`  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ”  .   

"

f y Œ •\  @ / # Œ €  $  K $ 3 † < Æ& h Ü ¼– Ð & h ì  r`  ¦ “ ¦
€     6

£

§ õ  ° ú  “ É r { 9  " é ¶ & h ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3   H  .

m(p) = α Z

∞

0

k

²

dk F (p, k) m(k)

w(k) . (13)

#

Œl " f F (p, k)  H d ” (5)_  s-wave á Ԗ Ð# • o‚  Ü ¼– Ð s ] j Ä º o

  H { 9  " é ¶ & h ì  rd ” `  ¦ ° ú >   ) a  . > í ß –_  ì ø Í4 Ÿ ¤  rà º\  ¦ ×  ¦ s

“ ¦ & ñ x 9 • ¸\  ¦ Z  } s l  0 A # Œ œ íl ° ú כ`  ¦ F ½ ©   o\   

 É

r & h   H& h  ' Ÿ I \  · ú ˜´ ú   H œ íl ° ú כ`  ¦ & ñ “ ¦ & h ì  r“ É r y Œ • ½ ¨ ç

ß –   3& h -? /¶ ú šZ O  (3-point interpolation)`  ¦ s 6   x ô  Ç d ” 

’

 H ~ ½ ÓZ O `  ¦ G × þ ˜ % i  . Õ ª µ 1 Ú\ • ¸ l Õ ü t& h Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç Y > 

t  ë  H ] j& h s  e ” % 3   H X <, p = k“   & h \ " f_  : £ ¤ s & h `  ¦



À ҍ  H X < e ” # Q ? /¶ ú šZ O _   6   x“ É r K { © œt % i _  & h ì  r`  ¦ K 

$

3 † < Æ& h Ü ¼– Ð › ' aº   † < Êà º_  Å Ò  ) a ° ú כ (principal value)\  ¦ ½ ¨

# Œ @ /u  % i  . ¢ ¸ô  Ç & h ü @: £ ¤ s & h õ  k

²

“   _    ½ + ˓ É r k = 0 Â Ò   H _  & h ì  r`  ¦   y Œ ™ >  ë ß –Ž  H  . ì ø ̀  \   H k \  @ / K

" f  H  Ò× ¼X O >  é ß –› ¸ y Œ ™™ èô  Ç .   " f ? /¶ ú š ½ ¨ç ß –`  ¦ ¸ ú š

`

 ¦ M :  Œ •“ É r k \  @ /K " f  H 8 ú §8 ú § y  ¸ ú š“ ¦,  H k \ " f  H ½ ¨ç ß –s  k ° ú כ\     7 £ x  • ¸2 Ÿ ¤ › ¸u  # Œ > í ß – % i  .    : r& h Ü ¼

–

Ð & h ì  r“ É r B Ä º   y Œ ™ # Œ k_  ° ú כs  7 £ x @ / | ¨ c M : & h ] X ô  Ç › ¸

&

ñ s  K t t  · ú §Ü ¼€   î ß –& ñ & h  K \  ¦ % 3   H X < # Q 9¹ ¡ § s  e ”  6

£

§`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ Ò% 3  . ¢ ¸ô  Ç k B Ä º  H  â Ä º w(k) → k e ” Ü ¼

–

Ð : £ ¤& ñ ô  Ç ° ú כ k

^max

s Ê ê Ò'  ∞ t   H K $ 3 † < Æ& h Ü ¼– Ð & h  ì

 r # Œ ½ + Ëí ß – % i  . s ü <° ú  s  k_  y Œ •  Òì  r \  @ /ô  Ç & ñ x 9 

ô

 Ç › ¸& ñ `  ¦ : Ÿ x ô  Ç & h ì  r“ É r   õ & h Ü ¼– Ð Ä »ô  Çô  Ç # 3 0 A s ? /\ 

"

fë ß – & h ì  r # Œ• ¸ „  ½ ¨ç ß –\  @ /ô  Ç & h ì  r ° ú כ`  ¦ ½ ¨½ + Éà º e ” • ¸ 2

Ÿ

¤ ™ èá Ôà ÔJ ?# Q& h Ü ¼– Ð  Œ •$ í ÷ &% 3  .

ë

ß –{ 9  ì ø Í4 Ÿ ¤ > í ß –s  à º§ 4 ô  Ç €   s   H ì  r" î y  Ä ºo  ¹ 1 Ô



 H K { 9   כ s  . Õ ª Q
 K  ” > r F ô  Ç  ½ + Ét  • ¸,s  & h ì  r

~

½ Ó& ñ d ” _  > í ß –s  à º§ 4 | ¨ c  כ s    H ˜ Ё © œ“ É r \ O  . ô  Ç \ V\  ¦ [

þ

t # Q š ¸Û ¼ s  : r \ " f ´ ú §s  1 p x  © œ   H x = λx(1−x)\  ¦ Ò q t y

Œ

•K ˜ Ð . s  ~ ½ Ó& ñ d ” _  K   H x = 0 õ  x = 1 − 1/λ s  .

Õ

ª Q
 s  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ > í ß – (iteration)`  ¦ : Ÿ x K  Û  ¦ M : Ä º o

  H ”  1 l x   H “ ¦& ñ & h  (fixed point)`  ¦ ë ß –
 9,   ½ + Ë © œÃ º

 & f ” \     š ¸Û ¼ ‰ & ³ © œs 
 è ß – . Ä » ô  Ç ‰ & ³ © œ s

 | 9 | ¾ Ó> í ß –\ " f• ¸
 z Œ ™s  µ 1 Ï| ÷ &% 3  . Õ ª Q
 p €  • ô

 Ç ”  1 l x s 
 
  H  â Ä º ~ ½ Ó& ñ d ” _  € ª œ  \  ° ú  “ É r ° ú כ`  ¦  8 K

 º ¡ § Ü ¼– Ð+ ‹ ”  1 l x`  ¦   · ú ¦ n =à º e ” % 3   H X <, s  Qô  Ç > í ß –



© œ › ¸ Œ •s  K \   H % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Òt  · ú §  H כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . Õ ª



Q
  Å Ò  H   ½ + Ë © œÃ º\  @ /K  ì ø Í4 Ÿ ¤ > í ß –“ É r à º§ 4 K \  ¦ Å Ò t

 · ú §  H X <, s  כ s  Ó ü t o & h Ü ¼– Ð Õ ª Qô  Ç  © œ  ñ Œ •6   x s  e ” `  ¦ Ã

º \ O 6 £ §`  ¦
 ? /  H t  # ŒÂ Ò\  @ /K " f  H ‰ & ³é ß –> \ " f · ú ˜ Ã

º \ O % 3  .  Ö  ¦  Q ¢ ¸ ô  Çt  t & h ½ + É  † ½ ӓ É r   ½ + Ë © œÃ º

B

Ä º  Œ •`  ¦  â Ä º ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r | 9 | ¾ Ó`  ¦ Ò q t$ í t  3 l w † < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œ Å

ҍ  H X <, s   H Ä ºo _   © œd ” õ  { 9 u  “ ¦ e ”  . ì ø ̀  \    

½

+ Ë © œÃ º # Q‹ " ° ú כ`  ¦  Å `  ¦ M : Ò'  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r Ä »ô  ÇK \  ¦ ° ú l  r

 Œ •   H X <, s   H s  É r   Š © œ° ú ˜a Ë > (bifurcation)_  \ V– Ð ç ß – Å

Ò | ¨ c à º e ” `  ¦ כ s  .

t

F K  t  > í ß –`  ¦ ˜ Ѐ    Ž 7 £ x ) a { 9  ü <  © œ  ñ Œ •6   x ë ß –Ü ¼– Ð



 H ` …Ø Ôp “ : r _  | 9 | ¾ Ó Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ í ß –Ø  ¦ ½ + É Ã º \ O  . ³ ðï  r — ¸ 4

S q › ¸ • ¸ z  ´+ « >Ü ¼– Ð   & ñ ½ + É Ã º µ 1 Ú\  \ O   H 19 > h
 ÷ &  H   Ä

»  à º\  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ”  . ³ ðï  r — ¸4 S q_  Ù þ ˜“   j Ë ²Û ¼\  ¦ @ /’  

# Œ   É r  © œ  ñ Œ •6   x õ  { 9  \  ¦ • ¸{ 9 ½ + É  â Ä º  Ò q t÷ &  H   Ä

»  à º\  ¦ s 6   x # Œ | 9 | ¾ Ó`  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð í ß –Ø  ¦ ½ + É Ã º e ”  

€

  ³ ðï  r — ¸4 S q˜ Ð   ƒ  Û ¼   s  : r s  | ¨ c כ s  . Õ ª Q
 s 



Qô  Ç s  : r“ É r ‰ & ³F  D h– Ðî  r  © œ  ñ Œ •6   x õ  { 9  \ @ /ô  Ç  Ž 7 £ x s

 \ O 6 £ § Ü ¼– Ð  H €  •& h `  ¦ ° ú “ ¦ e ” `  ¦÷  r  m    s ’  H- à » à Ý



 ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x ô  Ç ` …Ø Ôp “ : r | 9 | ¾ Óõ  Z …_ …-¶ ú ˜x '  ~ ½ Ó& ñ d ”

`  ¦ s 6   x ô  Ç > s t  { 9   | 9 | ¾ Ós  1 l x r \  > í ß – | ¨ c à º e ”   H

—

¸4 S q“ É r µ 1 Ï| ÷ & · ú §“ ¦ e ”  .

P

c p 8 ý ò k >

‘

: r ƒ  ½ ¨  H [ j" î @ /† < Ɠ § “ §? / s / B N > ì  r   ƒ  ½ ¨ t " é ¶F K

\

 _ ô  Ç  כ s  9 s \  y Œ ™ × ¼w n m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] H. J. Rothe, World Sci. Lect. Notes Phys. C 59, 1 (1997).

[2] C. D. Roberts, Nonperturbative QCD with modern tools in Frontiers in Nuclear Physics, edited by S.

Kuyucak (World Scientific, Singapore, 1999) p. 212;

C. D. Roberts and S. M. Schmidt, Prog. Part. Nucl.

Phys. 45, S1 (2000) nucl-th/0005064; P. Maris and C. D. Roberts, Int. J. Mod. Phys. E 12, 297 (2003) nucl-th/0301049.

[3] D. Atkinson and J. C. Bloch, Mod. Phys. Lett. A 13, 1055 (1998) ; C. Lerche and L. von Smekal, Phys.

Rev. D 65, 125006 (2002); D. Zwanziger, Phys. Rev.

D 65, 094039 (2002).

[4] M. Schaden and A. Rozenberg, D 57, 1 (1998).

[5] R. Alkofer, W. Detmold, C. S. Fischer, P. Maris, arxiv: hep-ph/0307077; R. Alkofer and Lorenz von Smekal, Phys. Rev. 353, 281 (2001).

[6] N. H. Christ and T. D. Lee, Phys. Rev. 22, 939 (1980); D. Zwanziger, Nucl. Phys. B 485, 185 (1997); F. D. Bonnet, P. O. Bowman, D. B. Lein- weber and A. G. Williams, Phys. Rev. 62 051501 (2000); P. O. Bowman, U. M. Heller, D. B. Lein- weber and A. G. Williams, Phys. Rev. 66, 074505 (2002); A. Cucchieri and D. Zwanziger, Phys. Rev.

65, 014001 (2002).

[7] A. R. Swift and F. S. Roig, Phys. Rev. 18, 1306 (1978); A. R. Swift, ibid. D 38, 688 (1988).

[8] N. Nakanishi, Suppl. Prog. Theor. Phys. 43 (1969);

N. Nakanishi, ibid. 95 78 (1988); A. R. Swift, Phys.

Rev. 38, 688 (1988); P. Maris and C. Roberts,

”Dyson-Schwinger Equation: A tool for hadron physics”, (2003) International Journal of Modern Physics E, arxiv:nucl-th/0301049.

[9] A. R. Swift and J. L. Rodriguz Marrero Phys. Rev.

29, 1823 (1984); Jeffrey E. Mandula, Physics Re- ports 315, 273 (1999).

[10] E. Farhi and L. Susskind, Phys. Rev. 74, 278 (1981);

R. K. Kaul, Rev. of Modern Phys. 55, 449 (1983).

[11] F. D. Bonnet, P. O. Bowman, D. B. Leinweber,

A. G. Williams and J. B. Zhang [CSSM Lattice

collaboration], Phys. Rev. D 65, 114503 (2002)

[arXiv:hep-lat/0202003]. J. B. Zhang, F. D. Bonnet,

P. O. Bowman, D. B. Leinweber and A. G. Williams,

arXiv:hep-lat/0208037. P. O. Bowman, U. M. Heller, D. B. Leinweber and A. G. Williams, arXiv:hep-

lat/0209129.

Dyson-Schwinger Equation and Mass Calculation

Seoktae Lee

^∗

School of Electrical & Electronic Engineering, Semyung University, Jecheon 390-230 (Received 26 January 2005)

The Dyson-Schwinger equation can be used to calculate the fermion mass and to show how to break chiral symmetry. The calculation also gives the constituent mass of the quark when quantum chromodynamics is taken into account with the proper choice of phenomenological propagators and related constants. We checked the possibility of getting a numerical value for the full quark mass spectrum when assumed new imaginary interactions are assumed. The whole calculation, unlike lattice calculations,was done with general PC software.

PACS numbers: 12

Keywords: Dyson-Schwinger, Dynamical Symmetry Breaking

∗

E-mail: [email protected]