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E-mail: [email protected]

Fig. 1. Optical setup for observing fractional-Talbot im- ages. A light of wavelength λ, starting from a point source P , illuminates a line grating of period p. The zero- order ray goes along the straight line from P through V in the grating to P ⁰ on the observation plane, and an- other ray proceeds from P to P ⁰ after being diffracted at some point Q in the grating. The coordinate system is referenced on the surface of the grating. Both u _x and u _y denote the direction tangents of a straight line connect- ing P to P ⁰ .

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-59-

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τ (y Q ) =  α, −∆/2 < y Q /p < ∆/2

β, ∆/2 < y Q /p < 1 − ∆/2 , (1) Õ

ªo “ ¦ 0 A © œ+ þ A_   â Ä º

τ (y Q ) =  γ exp(iδ), −∆/2 < y Q /p < ∆/2

γ exp(−iδ), ∆/2 < y Q /p < 1 − ∆/2 , (2)



“ ¦ ¿ º . 0 A d ” \ " f α, β, γ, δ  H — ¸¿ º z  ´Ã ºs “ ¦, ∆  H   



_  Å Òl \  @ /ô  Ç È Òõ  % ò % i _  q s  .

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∆ = 1/2{ 9  M : s ”   † < Êà º_  ½ ¨› ¸\  ¦ Õ ª@ /– Ð Ä »t ô  Ç  [19, 20]. Õ ª s Ä »  H ∆ = 1/2{ 9  M : d ”  (1)õ  d ”  (2)\  @ /ô  Ç É Ò o

\  / å L à º_  Ä » $ í \ " f ¹ 1 Ô`  ¦ à º e ”  . ë ß –{ 9  ∆ = 1/2\ 

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τ (y Q ) =

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X

l=−∞

b l exp

 i 2πl

p y Q



(3)

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(α + β) sin(lπ/2)/lπ, l 6= 0 (4) s

“ ¦, d ”  (2)_   â Ä º

b _l =  γ cos(δ), l = 0

i2γ sin(δ) sin(lπ/2)/lπ, l 6= 0 (5) s

  ) a  .   " f B > h  à º\  ¦

γ = r 1

2 (α ² + β ² ), δ = tan ⁻¹  α − β α + β



(6) ü

< ° ú  s  ‚  × þ ˜ €  , d ”  (4)ü < d ”  (5)_  s   H l = f . Ë Ã º † ½ Ó _

 ) ‡Ã º “    i(= √

−1) ë ß –
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A) s ”   † < Êà º\  ¦ 0 A © œ+ þ A (¢ ¸  H ”  ; Ÿ ¤+ þ A) s ”   † < Êà º– Ð „  ¨ 8 Š r

v   H õ & ñ “ É r l = ‹ Œ •Ã º † ½ ӓ É r Õ ª@ /– Ð ¿ º“ ¦, l = f . Ë Ã º † ½ Ó _

 > à º\  ) ‡Ã º “    i (¢ ¸  H −i)\  ¦ Y  L   H ƒ  í ß –Ü ¼– Ð )

 

 ) a  . s ü < ° ú  “ É r ƒ  í ß –“ É r á ÔY U3 A q  r] X `  ¦ : Ÿ x K " f F  g † < Æ& h  Ü

¼– Ð s À Ò# Q| 9  à º e ”  .

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] j P & h `  ¦
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g _  ”  ; Ÿ ¤ † < Êà º\  ¦ á ÔY U3 A qv Ø Ôy   ñá Ô  r] X  & h ì  r [24] _  á Ô Y

U3 A q   H  d ” Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ €  

U (P ⁰ ) ' C

∞

X

l=−∞

b l

Z Z

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dx Q dy Q exp

 i 2πl

p y Q



exp[ik(r + r ⁰ )]

(7) s

  ) a  . 0 A\ " f C  H  © œÃ º “   s  9, A  H    _  ½ ¨ â `  ¦

 ? /“ ¦, k(= 2π/λ)  H  1 l x 7 ˜' _  ß ¼l s  .    _  ½ ¨

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Œ

•y Œ •

r ' −ζ − (x Q − ξ) ² + (y Q − η) ²

2ζ ,

r ⁰ ' ζ ⁰ + (x Q − ξ ⁰ ) ² + (y Q − η ⁰ ) ²

2ζ ⁰ (8)

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< ° ú  s    H  ½ + É Ã º e ”  . d ”  (8)`  ¦ @ /{ 9  # Œ d ”  (7)`  ¦ Û  ¦

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U (P ⁰ ) ' C ⁰ exp



i kM ² K(M − 1)

 1 + 1

2 (u ² _x + u ² _y )



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l

_A

X

l=−l

_A

b l exp



−i πl ² λ Kp ²

 exp

 i 2πl

p



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K



(9)

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Œ

•y Œ •

(a)

(b)

Fig. 2. (a) The light field represented by the binary- amplitude function in Eq. (1) and (b) the corresponding field converted to the binary-phase function in Eq. (2) at a fractional Talbot distance ζ ⁰ = 2(s − ∆/2)p ² /λ, where we let ∆ = 1/2. The solid (or dashed) line denotes the amplitude (or phase) of the light field.

M = 1 − ζ ⁰

ζ , K = 1 ζ ⁰ − 1

ζ (10) ü

< ° ú  s  & ñ _ ÷ &“ ¦, 0   r] X F  g _  x» ¡ ¤ x 9  y» ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ Ó l Ö  ¦ l

  H y Œ •y Œ •

u x = ξ ⁰ − ξ

ζ ⁰ − ζ , u y = η ⁰ − η

ζ ⁰ − ζ (11) s

 .

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u _y   H P ⁰ _  ý a³ ð (ξ ⁰ , η ⁰ , ζ ⁰ ) \  Á º › ' a K ”   . s M : ζ ⁰ `  ¦ & ñ à º s _  6   x # Q– Ð

ζ ⁰ ' 1

K = (s ∓ ∆/2) 2p ²

λ (12)

ü

< ° ú  s  ‚  × þ ˜ €  , d ”  (9)  H

U (P ⁰ ) '

l

A

X

l=−l

A

b l exp ±i∆πl ²
exp

 i 2πl

p η ⁰ _s



(13)

Fig. 3. (a) The irradiance of the light distributed imme- diately behind a binary-amplitude grating with coherent illumination, and (b) the irradiance of the light converted to a phase type, after being diffracted on condition of Eq. (12). We have used a binary-amplitude grating of p = 400 µm and ∆ = 1/2, and a collimated light of wavelength λ ' 0.633 µm.

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< ° ú  s  j þ t à º e ”  . 0 A d ” \ " f P ⁰ _  ý a³ ð\  Á º › ' a ô  Ç “  



[ þ t`  ¦ ] jü @r (  Ü ¼ 9, η ⁰ s = η ⁰ − u y /K s  .  8¹ ¡ ¤ s  ∆ =

1

2 { 9   â Ä º, d ”  (13)“ É r U (P ⁰ ) ' X

f . Ë Ã º l

(±i)b _l exp

 i 2πl

p η _s ⁰



+ X

‹

Œ

•Ã º l

b l exp

 i 2πl

p η _s ⁰



(14)

s

  ) a  . d ”  (3)õ  d ”  (14)\  ¦ q “ §K ^  ¦ M :, U(P ⁰ )  H f . Ë Ã º  Ã

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° ú

 “ É r + þ AI s  . s    õ   H á ÔY U3 A q  r] X s  d ”  (12)\  Å Ò# Q

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  › ¸| \ " f     † < Êà º_  ‹ Œ •Ã º à º † ½ ӓ É r Õ ª@ /– Ð é  H G , f

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¤    \  ¦ È Òõ ô  Ç f ” Ê ê, Õ ªo “ ¦ (b) ì  r à º » 1 Ϙ Ð  o  ζ ⁰ = 2(s−∆/2)p ² /λ \  Z  ~“    © œ€  \  • ¸² ú ˜ô  Ç Ê ê\  F  g _  ”  ; Ÿ ¤(z  ´

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¦, ”  ; Ÿ ¤    _    à º\  ¦ α = 1 õ  β = 0Ü ¼– Ð ‚  × þ ˜ % i Ü ¼ 9, s \  @ /6 £ x   H ì  r à º » 1 Ϙ Ð  © œ_    à º  H γ = 1/ √

2 õ  δ = 45 ^◦ s   ) a  . Fig. 2(a)_  ì  r Ÿ í\ " f 0 A © œ“ É r { 9 & ñ “ ¦,

”

 ; Ÿ ¤ s  Å Òl & h Ü ¼– Ð      H ì ø ̀  \  Fig. 2(b)\  Å Ò# Q”   ì

 r à º » 1 Ϙ Ð  © œ“ É r ”  ; Ÿ ¤ s  { 9 & ñ “ ¦, 0 A © œs  Å Òl & h Ü ¼– Ð   

  H — ¸_ þ v Ü ¼– Ð „  ¨ 8 Š ) a  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Figure 3“ É r Fig. 2 \  @ /6 £ x   H › ¸| \ " f O É Œ% ò ô  Ç › ¸

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¸ ì  r Ÿ í  ”  s  . z  ´+ « >\   6   x ) a ”  ; Ÿ ¤    _  Å Òl   H p = 400 µm s “ ¦, { 9   F  g _    © œ“ É r λ ' 0.633 µm s  9, ì

 r à º » 1 Ϙ Ð  © œ`  ¦ ^  ¦ à º e ”   H 0 Au   H ζ <sup>0</sup> ' (s − 1/4)(506 mm) s  . Fig. 3(a)  H ”  ; Ÿ ¤    _  — ¸_ þ v`  ¦ Õ ª@ /– Ð ˜ Ð# Œ Å

ҍ  H ì ø ̀  \  Fig. 3(b)  H 0 A © œ    – Ð „  ¨ 8 Š ) a ì  r à º » 1 Ϙ Ð



© œ_  › ¸• ¸ ì  r Ÿ í\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

III. V ê sì Å T Ž Ò Þ • ¤ 

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 è ­ q à º e ” Ü ¼ 9, rõ  r ⁰ “ É r d ”  (8)– Ð Å Ò# Q”   .

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g – Ð& ñ _    ì  r s  0“    ⠖ Ð\  ¦   " f F  g s  ”  ' Ÿ ô  Ç   H ` … Ø

Ô  " é ¶ o (Fermat principle)\  ¦ & h 6   x €  , l  F  g‚  _   â

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Ð ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

x _Q = ξ ⁰ − M u _x

K , y _Q = η ⁰ − M u _y K − lλ

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f s 1 l x ) a  © œ€  õ  P ⁰⁰ & h \ " f ë ß –
  H X <, P ⁰⁰ & h _  ý a³ ð  H ξ ⁰⁰ ' ξ ⁰ + u x δζ ⁰ , η ⁰⁰ = η ⁰ + u y δζ ⁰ , ζ ⁰⁰ = ζ ⁰ + δζ ⁰ (17) ü

< ° ú  s 
 è ­ q à º e ”  . Õ ª Q
  ⠖ Ð ~ ½ Ó& ñ d ”  (16)`  ¦  Ø Ô

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Fig. 4. The focus-shift aberration of a fractional-Talbot imaging system. If a zero-order ray passing through V meets the misfocused plane at P ⁰⁰ , then the l-order imag- ing ray diffracted at Q is not passing through P ⁰⁰ . A reference sphere Ω centered at P ⁰⁰ has the radius of V P ⁰⁰ and a real wavefront Σ converging at P ⁰ corresponds to a fan of imaging rays. If the l-order imaging ray diffracted at Q meets the surface Ω (or Σ) at the point R (or S), the focus-shift aberration is defined by RS.

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(a)

(b)

Fig. 5. (a) The amplitude (solid line) and phase (dashed line) and (b) the irradiance of the light wave on the fractional-Talbot plane, where a focusing error δζ ⁰ = (1/72)(2p ² /λ) is applied to Fig. 2(b).

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Focus-shift Aberrations of Fractional-Talbot Images

Soo Chang ^∗ and Sangil Lee

Department of Physics, Hannam University, Taejon 306-791 (Received 21 April 2009)

We examine the focus-shift aberration in the fractional-Talbot image of a line grating. First, we formulate the complex amplitude of an aberration-free imaging field at a fractional-Talbot plane and then trace the path of a diffracted ray of specific order that contributes to fractional-Talbot imaging. Next, we derive the first-order aberration functions that arise from the focusing error and then evaluate the amplitude and the phase of an aberrated imaging field in terms of aberration functions. We show that the aberrations of lower-order rays become influential by increasing the shift of the focus. The function of focus-shift aberration derived here could be useful in evaluating fractional-Talbot images.

PACS numbers: 42.30.M

Keywords: Fractional-Talbot effect, Binary grating, Aberration, Phase, Amplitude

∗

E-mail: [email protected]