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수학과제 (80분)
1.
아래의 그림은 한 변의 길이가 인 정삼각형 개를 붙여놓아 한 변의 길이가 4인 정삼각형을 만든 것이다. 각각의 정삼각형마다 바둑돌을 하나씩 놓고 모든 바둑돌을 변이 맞닿은 다른 칸으로 움직이 는 시행을 한다.
(1) 바둑돌이 2개 이상 있는 칸의 최댓값을 구하여라.
(2) 바둑돌이 없는 칸의 최댓값을 구하여라.
(3) 바둑돌이 없는 칸의 최솟값을 구하여라.
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2.
다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
(1) 황금비는 선분의 길이를 나눠 두 부분으로 만들었을 때, 긴 부분의 길이를 , 짧은 부분의 길이 를 라고 하면 를 만족하는 길이 의 선분에서 의 값을 말한다. 황 금비는 대략 이다. 이 때, 의 값을 소수점 셋째 자리까지 구하여라.
(2) 다양한 크기의 황금 직사각형을 이용하여 다음과 같은 모양을 만들었다. 이 직사각형의 넓이를 구하여라.
(3) 정십이면체의 한 모서리의 길이와 가장 긴 대각선의 길이 비를 구하여라.
(4) 한 모서리의 길이가 인 정이십면체의 부피를 구하여라.
황금직사각형은 두 변의 길이비가 황금비(1:1.618)를 이루는 사각형이다. 인간이 볼 때 황금 직사 각형이 가장 안정적인 사각형이기 때문에 "황금" 직사각형이라고 불린다. 다음은 황금 직사각형을 이용하여 정십이면체를 만드는 과정을 그림과 글로 나타낸 것이다.
먼저, 황금직사각형 3개를 각 직사각형의 중심이 서로 만나도록 모두 수직되게 놓는다.
직사각형의 꼭짓점을 적절하게 이으면 정삼각형이 생기고 이 과정을 반복하면 정십이면체가 된다.
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3.
다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
(1) 제시문의 식을 증명하여라.
(2)
을 만족하는 자연수 에 대하여 의 최솟값을 구하여라.
(3) ⋯ 과 가장 가까운 정수를 구하여라.
자연수 에 대하여, 과 가장 가까운 제곱수를 라 하자.
그러면, ∈ ∈로 나타낼 수 있다.
이 때,
이면,
≤ ≤
이면,
≤ ≤
가 성립한다.
